complexes cours (Résumé) .pdf

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Mr :Khammour.K

4émeMath & Sc-exp

Résumé 1 : Nombres complexes

 z  a  ib ; a et b sont deux réels : forme cartésienne ou algébrique de z , a  Re( z ) et b  Im( z ) .

z  a 2  b2 : module de z .

z  a  ib : le conjugué de z
z  z  2Re( z)

z  z  2i Im( z)

z.z  Re( z) 2  Im( z) 2  z

 z  z0   z  z0   z 2  2 Re( z0 ) z  z

Pour tout nombre complexe z et z0 on a :
 z est réel

ssi Im(z) = 0

2

2

.

ssi z  z .

z est imaginaire ssi Ré(z) = 0 ssi z   z .
 Le plan muni d’un repère orthonormé direct ( ⃗ ).
A tout point M (a , b) on associe le nombre complexe z  a  ib noté aff(M) où z M . On a :





OM  z et u, OM  arg( z )  2 

M’=S(Ox)(M) ssi zM  zM ' ; M’= SO(M) ssi z M '   zM
M’=S(Oy)(M) ssi  zM  zM '
Opérations sur les arguments:
1
arg  zz’  arg( z)  arg( z ') 2  arg  z   arg( z )  arg( z ') 2
  arg     arg( z )  2 
 
 z’ 
z



arg  z n   n arg( z )  2 

arg z   arg( z )  2 

L’affixe du vecteur AB est z B  z A
zB  z A  AB



arg  z     arg( z) 2 



et arg  zB  z A   u, AB  2 

z A  zB
.
2
M d’affixe z appartient à la médiatrice de [AB] ssi zM  zA  zM  zB

L’affixe du milieu de [AB] est

M d’affixe z appartient au cercle de centre A et de rayon r ssi zM  z A  r

 AB, CD   arg  zz


 (2 )

u et v deux vecteurs tels que v est non nul
 zC
B  zA

D

u et v sont colinéaires ssi

aff (u )
est réel.
aff (v )

u et v sont orthogonaux ssi



aff (u )
est imaginaires.
aff (v )

z z
z A  z MA

et MA, MB  arg  B M
zB  z MB
 z A  zM





 {M un point du plan tel que ,


 (2 )


MA
 1 } = med [AB].
MB

 
{M(z) tel que , arg( z  z )   ( ) }= la droite (AT) privé du point A tel que  u, AT    (2 ) .

 {M(z) tel que , arg( z  z A )   (2 ) }= la demi droite [AT) privé du point A tel que u, AT   (2 ) .


A





 {M(z) tel que , MA, MB   (2 );   k }= l’arc AB privé des points A et B du cercle





passant par A et B et tangent à [AT) tel que AT , AB   (2 ) .



Remarque : Si

2

( ) , l’ensemble est le demi cercle de diamètre [AB] privé de A et B.





 {M du plan tel que , MA, MB   (2 );   k }= cercle passant par A et B privé des





points A et B et tangent à [AT) tel que AT , AB   (2 ) .



Remarque : Si

2

(2 ) , l’ensemble est le cercle de diamètre [AB] privé de A et B.

 z  r (cos   i sin  ) : forme trigonométrique de z avec r  a2  b2 et  tel que cos  

 

z  rei : forme exponentielle de z.Formule de Moivre : ei



n

 ein ou  cos  isn   cos(n )  i sin  n 
n



z  rei , r  0  z  r et arg( z )    2   OM  r et u, OM    2  .

Opposé :  z  rei (  )
Produit : rei .r ' ei '  rr ' ei (  ')
Puissance : (rei )n  r n ein

x ix
1  eix  2 cos e 2
2

Conjugué : z  rei
rei
r
 ei (  ')
Quotient :
i '
r 'e
r'
i
 i
ei  ei
e e
cos  
et sin  
2i
2

x i 2x
ix
1

e


2
i
sin
e
et
2

M  z     A z , R   z  z0  R  il existe   IR, z  z0  Rei
0

 z n  1 ssi z k  e

i

2 k
n

, k  {0,1, 2,....., n  1}, racines nièmes de l'unité .

 2 k
i( 
)
n n

z  a ssi zk  re
n

a
b
et sin   .
r
r

avec r n = a et arg (a)   (2 ), k {0,1, 2,....., n  1}

 Equation : az2+bz+c=0
On calcule   b2  4ac et on cherche  une racine carré de .
| |
Si   x  iy alors : {
( )
( )
b  
b  
sont les solutions de l’équation.
z' 
et z '' 
2a
2a
b
c
z  z '   et zz '  .
a
a
 P(z)=0 équation de degré n :
Si z0 solution de P(z)=0 alors P(z) = (z-z0)Q(z) est un polynôme de degré n-1.



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