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Nom original: AnalyseIbis2.pdf
Titre: Analyse I
Auteur: Mohamed HOUIMDI

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Analyse I

Mohamed HOUIMDI
Université Cadi Ayyad
Faculté des Scieces-Semlalia
Département de Mathématiques
Version septembre 2014

y















3 1
2 , 2





2
2
2 , 2







− 12 ,



3
2






6− 2
2
, 6+
4
4

(0, 1)






6− 2
2
, 6+
4
4

π
2


12



90◦

105◦
120◦





π
6



165◦

π

180◦

360
0◦ ◦




6






2
2
2 ,− 2

330◦
225◦


300
255◦

270◦





3
2







19π
12


2

(0, −1)




6− 2
2
, − 6+
4
4






1
3
2, − 2




x




6+ 2
2
, − 6−
4
4

3
1
2 , −2


4

3

17π
12

− 12 , −



285◦


3



11π
6

315◦
240


4



(1, 0)



23π
12






6+ 2
2
, 6−
4
4

345◦

210◦

3
1
2 , −2



15◦

13π
12





30◦
π
12

11π
12




6+ 2
2
, − 6−
4
4



3 1
2 , 2

45◦

195◦







60◦

135◦



2
2
2 , 2

π
4

75◦

150◦

(−1, 0)

+


π
3


4


6


3
1
2, 2


12


3






6+ 2
2
, 6−
4
4










2
2
2 ,− 2




6− 2
2
, − 6+
4
4

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Table des matières
1 Nombres réels
1.1

3

Rappels sur les relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Définitions et exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Ensembles totalement ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Plus grand élément - Plus petit élément . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4

Borne supérieure - Borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Insuffisance des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3

Corps commutatifs totalement ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1

Définitions et propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2

Valeur absolue dans un corps commutatif totalement ordonné . . . . . . 18

1.3.3

Corps commutatifs totalement ordonnés archimédiens . . . . . . . . . . 19
Proprièté d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Densité de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.4

Corps commutatifs totalement ordonnés archimidiens complets . . . . . 22
Intervalles dans un corps totalement ordonné archimédien . . . . . . . . 22
Proprièté des intervalles emboités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Suites numériques
2.1

2.2

37

Définition et propriètés d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1

Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2

Suites majorées, suites minorées et suites bornées . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.3

Croissance - Décroissance - Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1

Définition et propriètés de la limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.2

Extention de la notion de limite

2.2.3

Opération sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Multiplcation par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3

2.4

2.2.4

Lien entre suites réelles et suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.5

Ordre de R et suite réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1

Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2

Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.3

Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Sous-suites - Valeurs d’adérence - Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . 55
2.4.1

Sous-suite ou suite extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.2

Valeurs d’adhérence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.3

Théorème de Bolzano-Weierstrass
ii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Propriètés topologiques de la droite rélle

70

3.1

Ouvert - Fermé - Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2

Adhérence - Intérieur - Fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3

3.2.1

Adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.2

Intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.3

Frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Fonctions numériques
4.1

Limite d’une fonction

79
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1

Définition et propriètés de la limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . 79

4.1.2

Extention de la notion de limite

4.1.3

Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Inverse et quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.4

Caractérisation séquentielle de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.5

Limite à droite - Limite à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.6

Limite et ordre de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.7

Comparaison locale des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Fonction dominée par une autre fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Fonction négligeable devant une autre fonction . . . . . . . . . . . . . . 91
Notation de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.8
4.2

Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Propriètés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1

Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.2

Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.3

Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.4

Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Théorème des valeurs intermidiaires (T.V.I) . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Théorème du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3

4.2.5

Théorème de la fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.6

Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.1

Dérivabilité en un point - Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.2

Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.3

Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3.4

Dérivée de la composée - Dérivée de la réciproque

4.3.5

Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

. . . . . . . . . . . . 109

Fonction arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Fonction arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
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Pr.Mohamed HOUIMDI

4.3.6

Fonctions hyperboliques - Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . 113
Fonction cosinus hyperbolique et fonction argument cosinus hyperbolique113
Fonction sinus hyperbolique et fonction argument sinus hyperbolique . . 114
Fonction tangente hyperbolique et fonction argument tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4

4.5

Dérivées des fonctions usuelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.1

Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.4.2

Extremums d’une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4.3

Théorème de Rolle - Théorème des accroissements finis

4.4.4

Sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.5

Formules de taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

. . . . . . . . . 120

Développents limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.1

Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5.2

Opération sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Somme et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Développent limité d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Quotient de deux développents limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.5.3

Développents limités usuels au voisinage de 0 . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.5.4

Utilisation des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Recherche d’équivalent simple - Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . 138
Caractérisation d’extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Position d’une courbe par rapport à une tangente . . . . . . . . . . . . . 140

4.5.5

Développents limités généralisés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Développents limités généralisés au voisinage d’un point de R . . . . . . 142
Développents limités généralisés au voisinage de l’infini

. . . . . . . . . 143

Recherche d’asymptotes obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.6

Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.6.1

Définition de la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.6.2

Continuité et dérivabilité des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . 148

4.6.3

Caractérisation de la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.6.4

Quelques inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Inégalité de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Inégalités des moyennes arithmétique et géométrique . . . . . . . . . . . 154
Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.7

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.7.1

Limites - Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.7.2

Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.7.3

Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.7.4

Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.7.5

Formules de taylor - Développents lmités . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.7.6

Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

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4.7.7

Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Page 2 sur 177

Pr.Mohamed HOUIMDI

1 Nombres réels
1.1

Rappels sur les relations d’ordre

1.1.1

Définitions et exemples

Définition
Soit E un ensemble quelconque, non vide, une relation binaire R sur E est définie par
une partie non vide G de E × E, appelée graphe de la relation R.

Notations
Soit R une relation binaire sur un ensemble E définie par son graphe G.
Pour (x, y) ∈ G, on écrit x R y et on lit "x est en relation avec y".
Ainsi, pour chaque x ∈ E et chaque y ∈ E, on aura
x R y ⇐⇒ (x, y) ∈ G
Donc, une relation binaire sur E est définie par une condition nécessaire et suffisante
pour que le couple (x, y) appartient à G.

Exemples
1. Soient E = N \ {0; 1} et R la relation binaire définie sur E par
x R y ⇐⇒ x divise y
Si donc G est le graphe de R, alors on a par exemple, (3, 12) ∈ G, (12, 3) ∈
/ G,
(5, 20) ∈ G, (7, 20) ∈
/ G, etc...
2. Soit X un ensemble quelconque, non vide et soit E = P(X) l’ensemble de toutes
les parties de X. On considère la relation binaire R définie sur E par,
A R B ⇐⇒ A ⊆ B
Si par exemple X = {a, b, c, d, e} et si G est le graphe de R, alors
({a, c}, {a, b, c}) ∈ G par contre ({a, b, c}, {a, b, e}) ∈
/ G.
3. Soit E = Z et soit R la relation binaire définie sur E, par
∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, xRy ⇐⇒ y − x ∈ N
Si donc G est le graphe de R, alors on a par exemple, alors (2, 5) ∈ G, (4, 7) ∈ G,
(6, 3) ∈
/ G, etc...

3

Remarques
Si E est un ensemble fini, une relation binaire peut être définie à l’aide d’un diagramme
orienté. Par exemple, le diagramme représenté dans la figure ci-dessus définit une relation
binaire sur E = {1, 2, 3, 4}. Une flêche allant de x vers y indique que x est en relation
avec y : 1 R 4, 4 R 1, 3 R 4, 2 R 2,· · ·
aRa

a

1
aRb

4

2

dRa

b

aRc
cRb

d

dRd

dRa

bRc

cRd

c

3
Figure 1.1 – E = {1, 2, 3, 4}

F = {a, b, c, d}

Définition
Soit E un ensemble muni d’une relation binaire R.
i) On dit que R est réflexive, si ∀x ∈ E, x R x.
ii) On dit R est symétrique, si
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, x R y =⇒ y R x
iii) On dit que R est antisymétrique si
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, (x R y et y R x) =⇒ x = y
iv) On dit que R est transitive, si
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀z ∈ E, (x R y et y R z) =⇒ x R z

Exemples
1. E = P(X) l’ensemble de toutes les parties de X et R la relation définie sur E par,
A R B ⇐⇒ A ⊆ B
Alors, on vérifie facilement que R est à la fois réflexive, antisymétrique et transitive.

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Pr.Mohamed HOUIMDI

2. E = N \ {0; 1} et R la relation définie sur E par
x R y ⇐⇒ x divise y
Alors R est à la fois réflexive, antisymétrique et transitive.
En effet,
i) Réflixivité
Soit x ∈ E, a-t-on x R x ?
On a x = 1 · x, donc x divise x et par suite x R x.
ii) Antisymétrie
Soient x ∈ E et y ∈ E, tels que x R y et y R x, a-t-on x = y ?
On a x R y et y R x, donc il existe k ∈ N et il existe k 0 ∈ N, tels que y = kx
et x = k 0 y, donc y = kk 0 y, comme y 6= 0, alors kk 0 = 1, avec k ∈ N et k 0 ∈ N,
donc k = k 0 = 1, par suite x = y.
iii) Transitivité
Soient x ∈ E, y ∈ E et z ∈ E, tels que x R y et y R z, a-t-on x R z ?
On a x R y et y R z, donc il existe k ∈ N et il existe k 0 ∈ N, tels que y = kx
et z = k 0 y, donc z = kk 0 x, par suite, x R z.
Définition
Soit R une relation binaire sur un ensemble E. On dit que R est une relation d’ordre
sur E, si R est à la fois réflexive, antisymétrique et transitive.

Notations
Dans toute la suite, toute relation d’ordre R sur un ensemble E, sera désignée par le
signe ≤.
Donc pour x ∈ E et y ∈ E au lieu d’écrire x R y on écrit x ≤ y.
Si E est muni d’une relation d’ordre ≤, on dit que (E, ≤) est un ensemble ordonné.
La notation x < y signifie x ≤ y et x 6= y.

Exemples
1. E = Z muni de la relation ≤ définie par
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ N
Alors (Z, ≤) est un ensemble ordonné.
2. E = N \ {0, 1} muni de la relation ≤ définie par
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, x ≤ y ⇐⇒ x divise y
Alors (E, ≤) est un ensemble ordonné.

Page 5 sur 177

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3. E = P(X), où X est un ensemble quelconque, muni de la relation ≤ définie par
∀A ∈ E, ∀B ∈ E, A ≤ B ⇐⇒ A ⊆ B
Alors (E, ≤) est un ensemble ordonné.
4. E = F(X, R) l’ensemble de toutes les applications d’un ensemble X vers R, muni
de la relation binaire ≤ définie par
∀f ∈ F(X; R), ∀g ∈ F(X; R), f ≤ g ⇐⇒ ∀x ∈ X, f (x) ≤ g(x)
Alors (E, ≤) est un ensemble ordonné.
Dans cet exemple, pour f ∈ F(X, R) et g ∈ F(X, R), on a
f < g ⇐⇒ f ≤ g et f 6= g
⇐⇒ (∀x ∈ X, f (x) ≤ g(x)) et (∃x0 ∈ X : f (x0 ) 6= g(x0 ))
En particulier, on a
f > 0 ⇐⇒ (∀x ∈ X, f (x) ≥ 0) et (∃x0 ∈ X : f (x0 ) 6= 0)
5. Pour n ∈ N, avec n ≥ 2, on munit Rn de la relation définie par

(x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ (y1 , y2 , . . . , yn ) ⇐⇒




(x1 ≤ y1 )






ou







(x1 = y1 et x2 ≤ y2 )




ou




.


..






ou







(x1 = y1 et x2 = y2 et . . . et xn−1 = yn−1 et xn ≤ yn )

Alors (Rn , ≤) est un ensemble ordonné.

Cet ordre s’appelle l’ordre lexicographique sur Rn , il est équivalent à l’ordre pour
lequel les mots sont classés dans un dictionnaire.

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1.1.2

Ensembles totalement ordonnés

Définition
i) Une relation d’ordre ≤ est dite totale, si pour tout x ∈ E et pour tout y ∈ E, on a
x ≤ y ou y ≤ x
ii) Un ensemble totalement ordonné est un ensemble E muni d’une relation d’ordre
totale.
iii) Si (E, ≤) n’est pas totalement ordonné, on dit que (E, ≤) est partiellement ordonné.

Remarque
Dans un ensemble totalement ordonné (E, ≤), la négation de x ≤ y est y < x.

Exemples
1. Z muni de l’ordre naturel défini dans l’exemple précédent,
x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ N
est un ensemble totalement ordonné.
2. Q muni de l’ordre défini dans l’exemple précédent, est totalement ordonné.
3. N \ {0, 1} ordonné par division :
x ≤ y ⇐⇒ y divise x
n’est pas un ensemble totalement ordonné.
4. P(X), où X est un ensemble de cardinal ≥ 2, ordonné par inclusion :
A ≤ B ⇐⇒ A ⊆ B
n’est pas un ensemble totalement ordonné.
5. E = C muni de la relation ≤ définie pour z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 , par
z ≤ z 0 ⇐⇒ (x ≤ x0 ) ou (x = x0 et y ≤ y 0 )
Alors (C, ≤) est totalement ordonné.
Cet ordre s’appelle l’ordre lexicographique sur C.
6. Rn muni de l’ordre lexicographique est un ensemble totalement ordonné.

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1.1.3

Plus grand élément - Plus petit élément

Définition
Soient (E, ≤) un ensemble ordonné, A une partie non vide de E et a ∈ A,
i) On dit que a est un plus grand élément de A, si ∀x ∈ A, x ≤ a.
ii) On dit que a est un plus petit élément de A, si ∀x ∈ A, a ≤ x.

Remarque
Si A possède un plus grand élément (resp. un plus petit élément), alors cet élément est
unique.
En effet, supposons que b ∈ A est un autre plus grand élément de A, alors on aura
a ≤ b et b ≤ a
Donc, d’après l’antisymétrie de la relation ≤, on aura a = b.

Notations
Soit A une partie d’un ensemble ordonné.
Si A possède un plus grand élément (resp. un plus petit élément), on note cet élément
max(A) (resp. min(A)).

Exemples
1. E = P(X) ordonné par inclusion, où X est un ensemble non vide.
Alors ∅ est le plus petit élément de E et X est le plus grand élément de E.
2. E = P(X) \ {∅, X} ordonné par inclusion, où X est un ensemble de cardinal ≥ 2.
Alors E n’admet ni plus grand élément, ni plus petit élément.
3. E = N \ {0, 1} ordonné par la division.
Alors E n’admet ni plus grand élément, ni plus petit élément.
4. Toute partie non vide de N possède un plus petit élément, comme le montre le
théorème suivant :

Théorème
Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

Preuve
Pour la démonstration de ce théorème, on a besoin de l’axiome suivant, dit axiome de
Peano ou principe de récurrence :
Soit A une partie de N, telle que
i) 0 ∈ A,
ii) ∀n ∈ N, n ∈ A =⇒ n + 1 ∈ A.
Alors A = N.

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Soit maintenant B une partie non vide de N et soit A la partie de N définie par,
∀x ∈ N, x ∈ A ⇐⇒ ∀b ∈ B, x ≤ b
Puisque B 6= ∅, alors on peut choisir b ∈ B, donc on voit que b + 1 ∈
/ A et par suite,
A 6= N. Puisque 0 ∈ A et A 6= N, alors A ne vérifie pas la deuxième condition de l’axiome
précédent :
∀n ∈ N, n ∈ A =⇒ n + 1 ∈ A
Donc, il existe n0 ∈ N, tel que n0 ∈ A et n0 + 1 ∈
/ A.
n0 + 1 ∈
/ A, donc il existe b ∈ B, tel que b < n0 + 1 et puisque n0 ∈ A, alors on aura
n0 ≤ b < n0 + 1
Ainsi, on aura 0 ≤ b − n0 < 1, donc n0 = b, par suite b est un plus petit élément de B.

1.1.4

Borne supérieure - Borne inférieure

Définition
Soient (E, ≤) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E.
i) On dit que A est majorée dans E, s’il existe x ∈ E, tel que
∀a ∈ A, a ≤ x
Dans ce cas on dit que x est un majorant de A dans E.
ii) On dit que A est minorée dans E, s’il existe x ∈ E, tel que,
∀a ∈ A, x ≤ a
Dans ce cas, on dit que x est un minorant de A dans E.
iii) On dit que A est bornée si A est la fois majorée et minorée.

Notations
On note M (A) l’ensemble de tous les majorants de A et m(A) l’ensemble de tous les
minorants de A. Alors on a
A majoré ⇐⇒ M (A) 6= ∅ et A minoré ⇐⇒ m(A) 6= ∅

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Définition
Soient (E, ≤) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E.
i) Si A est majorée et si M (A) possède un plus petit élément, alors cet élément s’appelle
la borne supérieure de A et se note sup(A).
ii) Si A est minorée et si m(A) possède un plus grand élément, alors cet élément
s’appelle la borne inférieure de A et se note inf(A).

Remarques
Soient (E, ≤) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E.
1. Par définition, on a sup(A) ∈ M (A) et sup(A) est le plus petit majorant de A.
On a aussi inf(A) ∈ m(A) et inf(A) est le plus grand minorant de A.
2. Un plus grand élément de A appartient toujours à A, tandis qu’une borne supérieure de A peut ne pas appartenir à A.
3. Une borne supérieure ou inférieure, s’il existe, est toujours unique.
4. Si A possède un plus grand élément (resp. un plus petit élément), alors cet élément
coincide avec sa borne supérieure (resp. inférieure).

Exemples
1. A = [0, 1], alors 0 est le plus petit élément de A, donc 0 c’est aussi la borne
inférieure de A.
On voit aussi que 1 est le plus grand élément de A, donc 1 est la borne supérieure
de A.
2. A =]0, 1[, dans ce cas A n’admet ni plus grand élément, ni plus petit élément. Par
contre 0 est la borne inférieure de A et 1 est la borne supérieure de A.
3. A =] − ∞, 0] ∪ [1, +∞[. Alors A n’admet ni plus grand élément, ni plus petit
élément, ni borne supérieure, ni borne inférieure.
4. E = P(X) ordonné par inclusion, alors toute partie A de E, non vide et majorée
(resp. minorée) possède une borne supérieure (resp. inférieure).
En effet, supposons que A est majorée et soit ∆ =

S

A, alors on vérifie facilement

A∈A

que ∆ est la borne supérieure de A.
Si A est minorée, on prend Λ =

T

A, alors Λ est la borne inférieure de A.

A∈A

5. Toute partie non vide et majorée de N possède un plus grand élément.
En effet, nous allons montrer la proposition suivante :
Proposition
Soit n ∈ N, alors toute partie non vide de N majorée par n, possède un plus grand
élément.

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Preuve
Soit A une partie majorée par n. Montrons que A possède un plus grand élément.
Pour cela, on procède par récurrence sur n.
Pour n = 0, puisque A est majorée par 0 et A est non vide, alors A = {0}, donc 0 est le
grand élément de A.
Supposons que toute partie non vide A de N majorée par n possède un plus grand
élément.
Soit A une partie non vide de N majorée par n + 1. Deux cas sont donc possibles :
Si A est majorée par n, alors d’après l’hypothèse de récurrence, A possède un plus grand
élément.
Si A n’est pas majorée par n, alors il existe a ∈ A, tel que a > n, donc a ≥ n + 1 et par
suite, a = n + 1, car n + 1 est majorant de A. On en déduit donc que n + 1 ∈ A et que
n + 1 est un plus grand élément de A.

Caractérisation algèbrique de la borne supérieure
Soient (E, ≤) un ensemble totalement ordonné, A une partie non vide de E et x ∈ E.
Alors x est la borne supérieure de A, si et seulement si,
i) ∀a ∈ A, a ≤ x.
ii) ∀y ∈ E, y < x =⇒ ∃a ∈ A : y < a ≤ x.

Preuve
(=⇒) Supposons que x est la borne supérieure de A. Alors, par définition, x est un
majorant de A.
Soit y ∈ E, tel que y < x. Montrons qu’il existe a ∈ A, tel que y < a ≤ x.
on a y < x, donc y ∈
/ M (A), car x est le plus petit élément de M (A), donc y
n’est pas un majorant de A, par suite il existe a ∈ A, tel que y < a. Ainsi, on a
y < a ≤ x.
(⇐=) Supposons que (∀a ∈ A, a ≤ x) et (∀y ∈ E, y < x =⇒ ∃a ∈ A : x ≤ a < y).
Montrons que x est la borne supérieure de A. Pour cela, soit M (A) l’ensemble de
tous les majorants de A, alors on a x ∈ M (A), donc M (A) 6= ∅.
Montrons que x est le plus petit élément de M (A). Pour cela, il suffit de montrer
que
∀y ∈ M (A), x ≤ y.
Puisque E est totalement ordonné, alors par absurde, on suppose qu’il existe y ∈
M (A), tel que y < x, donc, par hypothèse, il existe a ∈ A, tel que y < a ≤ x. Ce
qui est absurde, car y est un majorant de A.

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Remarques
Le théorème s’écrit sous la forme,

x = sup(A) ⇐⇒




∀a ∈ A, a ≤ x




et




∀y ∈ E, y < x =⇒ ∃a ∈ A : y < a ≤ x

On a aussi un théorème analogue pour la caractérisation de la borne inférieure d’une
partie A d’un ensemble totalement ordonné :

x = inf(A) ⇐⇒

1.2




∀a ∈ A, x ≤ a




et




∀y ∈ E, x < y =⇒ ∃a ∈ A : x ≤ a < y

Insuffisance des nombres rationnels

D’après le théorème de Pythagore, on sait que si ABC est un triangle rectangle en A avec


AB = AC = 1, alors BC = AB 2 + AC 2 = 2.
C


1

A

2

B

1

Cependant, comme le montre la proposition suivante,



2∈
/ Q. Donc, il existe des nombres

dans la nature qui ne sont pas des nombres rationnels, ainsi l’ensemble Q est insuffisant pour
représenter toutes les mesures possibles de la nature, d’où la nécessité de construire un autre
ensemble de nombres contenant Q dans lequel toutes les mesures possibles sont représentées.
Un nombre entier n ∈ N est un carré parfait, s’il existe p ∈ N, tel que n = p2 .
Proposition
Soit n un nombre entier naturel qui n’est pas un carré parfait, alors

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n∈
/ Q.

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Preuve



n ∈ Q, donc il existe p ∈ N∗ et il existe q ∈ N∗ , avec p et

p
q premiers entre eux, tels que n = .
q
Supposons, par absurde, que



n=

p
p2
=⇒ n = 2
q
q
=⇒ p2 = nq 2
=⇒ q divise p2
=⇒ q divise p

(car p et q sont premiers entre eux)

=⇒ ∃d ∈ N : p = dq
=⇒ n = d2
donc n est un carré parfait, ce qui est absurde.

Remarques

√ √ √ √
1. Ainsi, d’après la proposition précédente, on voit par exemple que 2, 3, 5, 6,
√ √ √



7, 8, 10, 11, 12, 13, etc.. ne sont pas des nombres rationnels.

2. Q présente un autre défaut fondamental qui réside dans le fait qu’une partie non
vide et majorée de Q peut ne pas avoir de borne supérieure dans Q, comme le
montre l’exemple de la proposition suivante :
Proposition
Soit A = {x ∈ Q : x2 < 2}. Alors A est une partie majorée de Q n’ayant pas de borne
supérueire dans Q.

Preuve
D’abord, il est clair que A est majorée dans Q, car, par exemple, 2 est un majorant de
A dans Q. Supposons, par absurde, que A possède une borne supérieure m, avec m ∈ Q.


D’après la proposition précédente, m2 6= 2, donc deux cas sont possibles m2 < 2 ou

m2 > 2 :

Si m2 < 2, alors on peut trouver p ∈ N∗ , avec p assez grand, tel que (m + p1 )2 < 2, ce
qui est absurde, car m est un majorant de A.
Si m2 > 2, alors on peut trouver p ∈ N∗ , avec p assez grand, tel que (m − p1 )2 > 2, ce
qui est absurde, car m est le plus petit des majorants de A.

1.3
1.3.1

Corps commutatifs totalement ordonnés
Définitions et propriètés de base

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Rappelons que si E est un ensemble quelconque non vide, alors une loi interne sur E est
définie par une application ϕ : E × E −→ E. Dans ce cas, on convient de désigner ϕ(x, y) par
x ∗ y, xT y, x + y, x · y, xy, etc...
Définition
Soit K un ensemble non vide, muni de deux lois internes, notées + et ×. On dit que
(K, +, ×) est un corps commutatif, si
i) La loi + est commutative,
∀x ∈ K, ∀y ∈ K, x + y = y + x
ii) La loi + est associative,
∀x ∈ K, ∀y ∈ K, ∀z ∈ K, (x + y) + z = x + (y + z)
iii) La loi + possède un élément neutre, noté 0K ,
∀x ∈ K, x + 0K = 0K + x = x
iv) Tout élément x ∈ K, possède un symétrique par rapport à la loi +, noté −x,
x + (−x) = (−x) + x = 0K
v) La loi × est commutative,
∀x ∈ K, ∀y ∈ K, x × y = y × x
vi) La loi × est associative,
∀x ∈ K, ∀y ∈ K, ∀z ∈ K, (x × y) × z = x × (y × z)
vii) La loi × possède un élément neutre, noté 1K , avec 1K 6= 0K ,
∀x ∈ K, x × 1K = 1K × x = x
viii) Tout x ∈ K, avec x 6= 0K , possède un inverse par rapport à la loi ×, noté x−1 ,
x × (x−1 ) = (x−1 ) × x = 1K
ix) La loi × est distributive par rapport à la loi +,
∀x ∈ K, ∀y ∈ K, ∀z ∈ K, x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

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Quelques règles de calcul
Soit (K, +, ×) un corps commutatif, alors on a
1. ∀x ∈ K, x × 0K = 0K × x = 0K .
En effet, on a 0K × x = (0K + 0K ) × x = 0K × x + 0K × x, donc 0K × x = 0K .
2. ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, (−x) × y = x × (−y) = −(x × y).
En effet, on a 0K = 0K × y = (x + (−x)) × y = x × y + (−x) × y,
donc (−x) × y = −(x × y).
On a aussi 0K = x × 0K = x × (y + (−y)) = x × y + x × (−y),
donc x × (−y) = −(x × y).
En particulier, on a ∀x ∈ K, −x = (−1K ) × x.
3. ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, (−x) × (−y) = x × y.

Exemples
Q={

p
: p ∈ Z et q ∈ N∗ } muni des lois internes + et × définies par
q
p p0
pq 0 + p0 q
p p0
pp0
+ 0 =
et
×
=
q q
qq 0
q q0
qq 0

est un corps commutatif.

Notations
Soit (K, +, ×) un corps commutatif.
Pour x ∈ K et y ∈ K, on pose xy = x × y, x − y = x + (−y), 0 = 0K et 1 = 1K .
Définition
Un corps commutatif (K, +, ×) est dit totalement ordonné, si K est muni d’une relation
d’ordre totale ≤, telle que
i) ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, ∀z ∈ K, x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z ;
ii) ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, (x ≥ 0 et y ≥ 0) =⇒ xy ≥ 0.
Dans ce cas, on dit que la relation d’ordre ≤ est compatible avec les lois + et ×.

Exemples
(Q, +, ×) est un corps totalement ordonné.

Notations
Dans la suite, on pose
K+ = {x ∈ K : x ≥ 0}, K∗+ = {x ∈ K : x > 0} et K− = {x ∈ K : x ≤ 0}
Sachons que x > y signifie y ≤ x et y 6= x.

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Remarques
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné, alors on a
∀x ∈ K, ∀y ∈ K, x ≤ y ⇐⇒ y − x ≥ 0
⇐⇒ y − x ∈ K+
En effet, si x ≤ y, alors x + (−x) ≤ y + (−x), donc y − x ≤ 0.
Si 0 ≤ y − x alors 0 + x ≤ (y − x) + x, donc x ≤ y.
Réciproquement, soit A une partie non vide de K et soit B = {−x : x ∈ A}, tels que
i) 0 ∈ A,
ii) A ∩ B = {0},
iii) A ∪ B = K,
iv) A est stable pour l’addition et pour la multiplication.
Alors K muni de la relation définie par
∀x ∈ K, ∀y ∈ K, x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ A
est un corps totalement ordonné.
Proposition
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné, alors on a les propriètés suivantes
1. ∀x ∈ K, x ≥ 0 ⇐⇒ −x ≤ 0.
2. ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, (x ≥ 0 et y ≥ 0) =⇒ x + y ≥ 0.
3. ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, (x > 0 et y ≥ 0) =⇒ x + y > 0.
4. ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, (x ≤ 0 et y ≤ 0) =⇒ xy ≥ 0.
5. ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, (x ≤ 0 et y ≥ 0) =⇒ xy ≤ 0.
6. ∀x ∈ K, x2 ≥ 0.
7. ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, ∀z ∈ K, ∀t ∈ K; (x ≤ y et z ≤ t) =⇒ x + z ≤ y + t.
8. ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, ∀a ∈ K, (x ≤ y et a ≥ 0) =⇒ ax ≤ ay.

Preuve
1. Si x ≥ 0, alors 0 ≤ x donc 0 + (−x) ≤ x + (−x) et ainsi on a −x ≤ 0.
La réciproque s’obtient de la même manière.
2. Si 0 ≤ x, alors 0 + y ≤ x + y, donc y ≤ x + y. Donc si 0 ≤ y, alors d’après la
transitivité de la relation d’ordre, on a 0 ≤ x + y.
3. On a x ≥ 0 et y ≥ 0, donc x + y ≥ 0, donc il suffit de vérifier que x + y 6= 0. Pour
cela on suppose que x + y = 0, donc on aura x = −y, avec y ≥ 0, donc x ≤ 0, donc
d’après l’antisymétrie de la relation d’ordre, on x = 0, ce qui est absurde.

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4. Si x ≤ 0 et y ≤ 0, alors −x ≥ 0 et −y ≥ 0, par suite, (−x)(−y) ≥ 0. Or d’après
les règles de calcul dans un corps commutatif, on a (−x)(−y) = xy.
5. Si x ≥ 0 et y ≤ 0, alors x ≤ 0 et −y ≥ 0, donc x(−y) ≥ 0. D’après les règles de
calcul, on a x(−y) = −xy, donc xy ≤ 0, car −xy ≥ 0.
6. Soit x ∈ K. Comme K est totalement ordonné, alors on a x ≥ 0 ou x ≤.
Si x ≥ 0, alors on a x ≥ 0 et x ≥ 0, donc x2 ≥ 0.
Si x ≤ 0, alors on a x ≤ 0 et x ≤ 0, donc x2 ≥ 0.
7. Si x ≤ y et z ≤ t, alors x + z ≤ y + z et y + z ≤ y + t, donc d’après la transitivité
de la relation d’ordre, on a x + z ≤ y + t.
1. Exercice.

Remarques
1. Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné, alors 1 > 0.
En effet, on a 1 = 12 , donc 1 ≥ 0, comme 1 6= 0, alors 1 > 0.
2. C n’est pas un corps totalement ordonné.
En effet, supposons, par absurde, qu’il existe une relation d’ordre ≤ sur C, telle
que (C, +, ×, ≤) soit un corps totalement ordonné.
D’après la ramarque précédente, on a 1 > 0, donc d’après la proposition précédente,
−1 < 0.
Or, on sait que −1 = i2 , donc −1 ≥ 0, ce qui est absurde.

Notations
Soit (K, +, ×) un corps commutatif.
Pour chaque x ∈ K et chaque entier n ∈ Z, on pose

nx =



x+x+
· · · + x}


|
{z



n fois

0






−(−n)x

Alors, on vérifie facilement que

si n > 0
si n = 0
si n < 0

i) ∀x ∈ K, ∀n ∈ Z, ∀m ∈ Z, (n + m)x = nx + mx ;
ii) ∀x ∈ K, ∀n ∈ Z, ∀m ∈ Z, (nm)x = n(mx).
Proposition
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné, alors ∀n ∈ N∗ , n1K > 0K .

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Preuve
On procède par récurrence sur n, avec n ≥ 1.
Pour n = 1, on a n1K = 1K , comme 1K > 0K , alors n1K > 0K .
Supposons que n1K > 0K et montrons que (n + 1)1K > 0K .
On a (n + 1)1K = n1K + 1K , avec n1K > 0K et 1K > 0K , donc (n + 1)1K > 0K .

Remarques
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné.
Soit ϕ l’application définie par
ϕ : Z −→ K
n −→ ϕ(n) = n1K
1. ∀n ∈ Z, n 6= 0 =⇒ n1K 6= 0K .
2. L’application ϕ vérifie les propriètés suivantes :
i) ∀n ∈ Z, ∀m ∈ Z, ϕ(n + m) = ϕ(n) + ϕ(m) ;
ii) ∀n ∈ Z, ∀m ∈ Z, ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) ;
iii) ϕ est injective.
La vérification de ces propriètés est laissée à titre d’exercice.
3. Puisque Z est infini et ϕ injective, alors ϕ(Z) est aussi infini.
On en déduit qu’un corps totalement ordonné est infini.
4. ϕ(Z) = {n1K : n ∈ Z} est une partie de K qui ressemble à Z, dans le sens où on
a
i) ∀m ∈ Z, ∀n ∈ Z, n1K + m1K = (m + n)1K ;
ii) ∀m ∈ Z, ∀n ∈ Z, (m1K )(n1K ) = (mn)1K .
Donc, si pour tout n ∈ Z, on pose n1K = n, alors on peut dire que tout corps
totalement ordonné contient Z et ainsi, on peut dire aussi que tout corps totalement
ordonné contient Q.

1.3.2

Valeur absolue dans un corps commutatif totalement ordonné

Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné.
Pour chaque x ∈ K, la valeur absolue de x qu’on note |x| est définie par :

|x| =


x

−x

si x ≥ 0
si x ≤ 0

Alors les propriètés usuelles d’une valeur absolue sont vérifiées, comme le montre la proposition
suivante :

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Remarques
1. ∀x ∈ K, |x| = max(x, −x).
2. ∀x ∈ K, | − x| = |x|.
3. ∀x ∈ K, x ≤ |x| et − x ≤ |x|.
Proposition
i) ∀x ∈ K, |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 ;
ii) ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, |xy| = |x||y| ;
iii) ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, |x + y| ≤ |x| + |y| ;
iv) ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Preuve
i) Trivial.
ii) Si x ≥ 0 et y ≥ 0, alors xy ≥ 0, donc |xy| = xy = |x||y|.
Si x ≥ 0 et y ≤ 0, alors xy ≤ 0, donc |xy| = −xy = x(−y) = |x||y|.
Si x ≤ 0 et y ≤ 0, alors xy ≥ 0, donc |xy| = xy = (−x)(−y) = |x||y|.
iii) Si x + y ≥ 0, alors |x + y| = x + y ≤ |x| + |y|.
Si x + y ≤ 0, alors |x + y| = −(x + y) = (−x) + (−y) ≤ |x| + |y|.
iv) On a x = (x − y) + y, donc |x| ≤ |x − y| + |y|, par suite |x| − |y| ≤ |x − y| (∗).
On a aussi y = y − x + x, donc |y| ≤ |y − x| + |x|, par suite |y| − |x| ≤ |x − y| (∗∗).
D’après (∗) et (∗∗), on a max(|x| − |y|, |y| − |x|) ≤ |x − y|, donc ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

1.3.3

Corps commutatifs totalement ordonnés archimédiens

Proprièté d’Archimède
Définition
Un corps commutatif totalement ordonné (K, +, ×) est dit archimédien ou vérifie la
proprièté d’Archimède, si
∀x ∈ K+ , ∀y ∈ K∗+ , ∃n ∈ N : x < ny

Remarques
Si K est un corps commutatifs totalement ordonné archimédien, alors pour tout x ≥ 0,
il existe n ∈ N, tel que x < n.
En effet, comme 1K > 0, il suffit d’appliquer la proprièté d’Archimède à x et 1K .

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Exemples
Q est un corps archimédien.
En effet, soient x ∈ Q+ et y ∈ Q∗+ , alors xy −1 ∈ Q, donc xy −1 =
q ∈ N∗ .
Comme q ≥ 1, alors

p
, avec p ∈ N et
q

p
≤ p < p + 1, donc xy −1 < p + 1, par suite, x < (p + 1)y.
q

Partie entière
Proposition
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné archimédien.
Alors pour tout x ∈ K, il existe un unique entier n ∈ Z, tel que
n≤x<n+1
Dans ce cas, n s’appelle la partie entière de x et se note [x] ou E(x).

Preuve
Si x ≥ 0, on considère l’ensemble A = {m ∈ N : m ≤ x}.
Puisque K est archimédien, alors il existe p ∈ N, tel que x < p.
Donc A est une partie de N, non vide, car 0 ∈ A et A est majorée par p, par suite A
possède un plus grand élément, qu’on note n.
Ainsi, on aura n + 1 ∈
/ A, donc n ≤ x < n + 1.
Si x < 0, on considère l’ensemble A = {m ∈ N : m < −x}.
Puisque K est archimédien, alors il existe p ∈ N, tel que −x < p.
Donc A est une partie de N, non vide, car 0 ∈ A et A est majorée par p, par suite A
possède un plus grand élément, qu’on note q.
Ainsi, on aura q + 1 ∈
/ A, donc q < −x ≤ q + 1, donc si on prend n = −q − 1, alors
n ≤ x < n + 1.
Montrons l’unicité de n. Pour ce la, soit m un autre entier tel que m ≤ x < m + 1.
Sopposons, par absurde que m 6= n, donc on peut supposer, par exemple, que m < n.
m < n, donc m + 1 ≤ n, donc m + 1 ≤ x, ce qui est absurde, car x < m + 1.

Remarques
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné archimédien.
Alors pour tout x ∈ K, la partie entière de x, E(x), est l’unique entier vérifiant
E(x) ≤ x < E(x) + 1
Intuitivement, E(x) est l’entier le plus proche de x.

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Corollaire
Soient m ∈ N et n ∈ N∗ . Alors il existe un unique (q, r) ∈ N2 , tel que
m = qn + r

avec 0 ≤ r < n

Preuve
m
et r = m − qn.
Posons q =
n
m
Comme q ≤
< q + 1, alors 0 ≤ m − qn < n, donc on aura
n
ï

ò

m = qn + r

avec 0 ≤ r < n

Remarques
L’expression m = qn + r, avec 0 ≤ r < n, s’appelle la division euclidienne de m par n.
q s’appelle le quotient et r le reste de la division euclidienne de m par n.
Proposition
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné archimédien.
Pour chaque x ∈ K, on désigne par E(x) la partie entière de x, alors on a
i) ∀x ∈ K, ∀m ∈ Z, m ≤ x =⇒ m ≤ E(x)
ii) ∀x ∈ K, ∀m ∈ Z, x < m =⇒ E(x) ≤ m − 1
iii) ∀x ∈ K, E(x) = x ⇐⇒ x ∈ Z ;
iv) ∀x ∈ K \ Z, E(−x) = −E(x) − 1 ;
v) ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.
vi) ∀x ∈ K, ∀n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n

Preuve
i) Soient x ∈ K et m ∈ Z, tels que m ≤ x, donc m < E(x) + 1 et par suite m ≤ E(x).
ii) Soient x ∈ K et m ∈ Z, tels que x < m, donc E(x) < m et par suite, E(x) ≤ m − 1.
iii) Trivial.
iv) Soit x ∈ K \ Z, alors on a E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Comme x ∈
/ Z, alors E(x) < x < E(x) + 1, donc −E(x) − 1 < −x < −E(x), par
suite, on a E(−x) = −E(x) − 1.
v) Soient x ∈ K et y ∈ K, alors on a E(x) + E(y) ≤ x + y, donc d’après i),
E(x) + E(y) ≤ E(x + y).
On a aussi x + y < E(x) + E(y) + 2, donc d’après ii), E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.
vi) Trivial.

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Densité de Q
Définition
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné archimédien.
On dit qu’une partie A de K est dense dans K, si pour tout x ∈ K et pour tout y ∈ K,
avec x < y, il existe a ∈ A, tel que x < a < y.

Théorème
Soit (K, +, ×) un corps commutatif totalement ordonné archimédien.
Alors Q est dense dans K.

Preuve
Soient x ∈ K et y ∈ K, tels que x < y, montrons qu’il existe r ∈ Q, tel que x < r < y.
1
On a y − x > 0 et comme K est archimédien, alors il existe m ∈ K, tel que
< m,
y−x
1
donc
< y − x.
m
n
n 1
D’autre part, soit n = E(mx), donc n ≤ mx < n+1, donc on voit que
≤x< + .
m
m m
n
n
1
1
< y − x et
≤ x, alors
+
< y.
Puisque
m
m
m m
n
1
Donc il suffit de prendre r =
+ .
m m

1.3.4

Corps commutatifs totalement ordonnés archimidiens complets

Intervalles dans un corps totalement ordonné archimédien
Définition
Soient a et b deux éléments d’un corps K totalement ordonné archimédien.
i) On appelle intervalle fermé d’extremités a et b, la partie de K notée [a, b] et définie
par
[a, b] = {x ∈ K : a ≤ x ≤ b}
ii) On appelle intervalle ouvert d’extremités a et b, la partie de K notée ]a, b[ et définie
par
]a, b[= {x ∈ K : a < x < b}
iii) On appelle intervalle semi ouvert à gauche d’extremités a et b, la partie de K notée
]a, b] et définie par
]a, b] = {x ∈ K : a < x ≤ b}
iv) On appelle intervalle semi ouvert à droite d’extremités a et b, la partie de K notée
[a, b[ et définie par
[a, b[= {x ∈ K : a ≤ x < b}

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Remarques
On définit aussi les intervalles [a, +∞[, ]a, +∞[, ] − ∞, a], ] − ∞, a[, et ] − ∞, +∞[ par
[a, +∞[= {x ∈ K : x ≥ a} et ]a, +∞[= {x ∈ K : x > a}
] − ∞, a] = {x ∈ K : x ≤ a} et ] − ∞, a[= {x ∈ K : x < a}
] − ∞, +∞[= K

Proprièté des intervalles emboités
Définition
Soit K un corps commutatif totalement ordonné archimédien.
On dit que K possède la proprièté des intervalles emboités, si pour toute suite d’intervalles fermés ([an , bn ])n≥0 , tels que
∀n ≥ 0, [an+1 , bn+1 ] ⊆ [an , bn ]
il existe au moins c ∈ K, tel que ∀n ∈ N, c ∈ [an , bn ].
Si K possède la proprièté des intervalles emboités, on dit que K est complet.

Exemples
Le corps Q ne possède pas la proprièté des intervalles emboités.
n 1
1
P
et bn = an + , alors
En effet, si on pose, par exemple, an =
n!
k=1 k!
Q∩


\

[an , bn ]

n=0

!

=∅

On vérifie facilement que pour tout n ∈ N, an < an+1 bn+1 ≤ bn et an < bn . Donc on
aura
∀n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊆ [an , bn ]
Supposons, par absurde, qu’il existe α ∈ Q, tel que ∀n ∈ N, α ∈ [an , bn ].
p
On a α > 0, donc il existe p ∈ N∗ et il existe q ∈ N∗ , tel que α = .
q
Puisque pour tout n ∈ N, an ≤ α ≤ bn , alors en particulier pour n = q + 1, on a
aq+1 ≤ α ≤ bq+1 , donc aq < α < bq , par suite, en multipliant par q! et en tenant compte
1
que bq = aq + , on aura
q!
q!aq < q!α < q!aq + 1
Ce qui est absurde, car q!aq ∈ N et q!α ∈ N.

Théorème
Soit K un corps commutatif totalement ordonné archimédien complet. Alors toute partie
non vide et majorée de K possède une borne supérieure.
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Preuve
Soient A une partie non vide et majorée de K, a ∈ A et b un majorant de A.
Si b ∈ A, alors b est un plus grand élément de A, donc b est la borne supérieure de A.
Si b ∈
/ A, alors a < b. Dans ce cas pour chaque n ∈ N, on considère l’ensemble En des
entiers m ∈ N, tels que a + m2−n soit un majorant de A.
(b − a)2n > 0 et K archimédien, donc il existe m ∈ N, tel que (b − a)2n < m, donc
b < a + m2−n .
Or b est un majorant de An donc a + m2−n est un majorant de A et par suite, En 6= ∅.
En est une partie non vide de N, donc En possède un plus petit élément, noté pn .
pn est le plus petit élément de En , donc pn − 1 ∈
/ En , par suite
[a + (pn − 1)2−n , a + pn 2−n ] ∩ A 6= ∅
On a a + pn 2−n = a + 2pn 2−(n+1) , donc 2pn ∈ En+1 , par suite pn+1 ≤ 2pn .
On a aussi a + (pn − 1)2−n = a + (2pn − 2)2−(n+1) , donc 2pn − 2 ∈
/ En+1 , par suite
2pn − 2 < pn+1 , donc 2pn − 1 ≤ pn+1 .
Ainsi, on aura 2pn − 1 ≤ pn+1 ≤ 2pn , donc pn+1 = 2pn ou pn+1 = 2pn − 1, par
conséquent, si pour chaque n ∈ N, on pose an = a + (pn − 1)2−n et bn = a + pn 2−n ,
alors on aura
∀n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊆ [an , bn ]
Comme K est complet, alors il existe α ∈ K, tel que ∀n ∈ N, α ∈ [an , bn ].
Montrons que α est un majorant de A. Pour cela, supposons par absurde que α n’est
pas un majorant de A, donc il existe x ∈ A, tel que α < x, donc x − α > 0.
x − α > 0 et K archimédien, donc il existe m ∈ N, tel que 1K < m(x − α). Soit n ∈ N,
tel que m ≤ 2n , alors on a 1K < 2n (x − α), donc 2−n < x − α.
Comme α ∈ [an , bn ], alors a + (pn − 1)2−n ≤ α, donc a + pn 2−n < x.
Or a + pn 2−n est un majorant de A, donc x est un majorant de A, ce qui est absurde.
Montrons maintenant que α est le plus petit majorant de A. Pour cela, on suppose, par
absurde, qu’il existe un majorant β de A, tel que β < α, donc α − β > 0, par suite, il
existe n ∈ N, tel que α − β > 2−n .
Comme α ∈ [an , bn ], alors β < a+(pn −1)2−n , avec a+(pn −1)2−n n’est pas un majorant
de A, donc β n’est pas un majorant de A, ce qui est absurde.

Corollaire
Soit K un corps commutatif totalement ordonné archimédien complet. Alors toute partie
non vide et minorée de K possède une borne inférieure.

Preuve
Soit A une partie non vide et minorée de K et soit B = −A = {−x : x ∈ A}. Alors B
est une partie partie non vide et majorée de K, donc d’après le théorème précédent, B
possède une borne supérieure α, donc −α est une borne inférieure de A.

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Caractérisation de la borne supérieure
Soient K un corps commutatif totalement ordonné archimédien complet, A une partie non vide et majorée de K et α ∈ K. Alors les deux propositions suivantes sont
équivalentes :
i) α est la borne supérieure de A.
ii) α est un majorant de A et pour tout ε ∈ K, avec ε > 0, il existe a ∈ A, tel que
α−ε<a≤α

Preuve
i) =⇒ ii) Supposons que α est la borne supérieure de A, alors par définition, α est un
majorant de A.
Soit ε ∈ K, avec ε > 0, donc −ε < 0, par suite α − ε < α. Puisque α est le plus
petit majorant de A, alors α − ε n’est pas un majorant de A, donc il existe a ∈ A,
tel que α − ε < a ≤ α.
ii) ⇐= i) Il suffit de montrer que α est le plus petit majorant de A. Pour cela, on
suppose, par absurde, qu’il existe un majorant β de A, tel que β < α, donc α −β >
0, par suite, il existe a ∈ A, tel que α − (α − β) < a, donc β < a, ce qui est absurde,
car β est un majorant de A.

Notations
Soit K un corps commutatif totalement ordonné, archimédien et complet et soit A une
partie non vide de K.
Si A n’est pas majorée, on pose sup(A) = +∞.
Si A n’est pas minorée, on pose inf(A) = −∞.
Donc si on pose K = K ∪ {−∞, +∞} et si on prolonge la relation d’ordre de K à K de
la manière suivante :
∀x ∈ K, x ≤ +∞ et − ∞ ≤ x
alors on obtient le résultat suivant :

Corollaire
Toute partie non vide de K possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Preuve
Soit A une partie non vide de K, alors deux cas sont possibles :
Si A possède un majorant dans K, alors d’après le théorème précédent, A possède une
borne supérieure dans K, donc aussi dans K.
Si A ne possède aucun majorant dans K, alors sup(A) = +∞, avec +∞ ∈ K.
De la même ma nière on montre que A possède une borne inférieure dans K

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Théorème
Il existe un unique corps commutatif totalement ordonné archimidien et complet.
Ce corps s’appelle le corps des nombres réels et se note R.

Preuve
A admettre.

Remarques
1. En fait le corps R est unique à un isomorphisme près, c’est à dire, si K est un autre
corps commutatif totalement ordonné archimidien et complet, alors il existe une
application
ϕ : R −→ K vérifiant les propriètés suivantes :
i) ϕ est bijective ;
ii) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ;
iii) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) ;
iv) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x ≤ y =⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y).
Dans ce cas, on dit que (R, +, ×, ≤) et (K, +, ×, ≤) sont deux corps isomorphe.
Pour plus d’informations sur les propriètés des isomorphismes, voir votre cours
d’Algèbre I.
2. Rappelons les principales propriètés de R :
i) (R, +, ×, ≤) est un corps commutatif totalement ordonné.
ii) Le corps R est archimédien :
∀x ∈ R+ , ∀y ∈ R∗+ , ∃n ∈ N : x < ny
iii) Le corps R possède la proprièté des intervalles emboités :
Si (In )n∈N est une suite décroissante d’intervalles fermés de R, alors


T

n=0

∅.

In 6=

iv) Toute partie non vide et majorée de R possède une borne supérieure.
v) Q est dense dans R.

Exercice
1. Montrer que si a ∈ Q et b ∈ R, alors a + b ∈
/ Q.
2. En déduire, en utisant le fait que Q est dense dans R, que R \ Q est aussi dense
dans R.

Exercice
Soit A une partie non vide de R. Montrer que A est un intervalle de R, si et seulement
si, pour tout a ∈ A et pour tout b ∈ A, on a [a, b] ⊆ A.
(Indication : utiliser la borne supérieure et la borne inférieure de A dans R)

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1.4

Exercices
Exercice
Pour toute application f : R −→ R, on définit la relation binaire, notée ≤f , par
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x ≤f y ⇐⇒ (f (y) − f (x)) ≥ |y − x|
1. Montrer que ≤f définit une relation d’ordre sur R.
2. Montrer que l’ordre défini par ≤f est total, si et seulement si,
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, |f (x) − f (y)| ≥ |x − y|
3. Identifier la relation définie par ≤IdR .

Exercice
Soit X un ensemble non vide et soit RX l’ensemble de toutes les applications de X vers
R muni de la relation binaire ≤ définie par
∀f ∈ RX , ∀g ∈ RX , f ≤ g ⇐⇒ ∀x ∈ R, f (x) ≤ g(x)
1. Vérifier que ≤ définit une relation d’ordre sur RX . Cet ordre est-il total ?
2. Soit f ∈ RX . Les assertions "f est majorée" et "{f } est majoré" sont-elles équivalentes ?
3. Soient f et g deux éléments distincts de RX . L’ensemble {f, g} admet-il un plus
grand élément ? une borne supérieure ?
4. Montrer que toute partie non vide et majorée de RX possède une borne supérieure.

Exercice
Soit E = {n ∈ N : 2 ≤ n ≤ 150} muni de la relation d’ordre définie par la division :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, x ≤ y ⇐⇒ x divise y
1. Est-ce que E est totalement ordonné ? Justifier votre réponse.
2. Soit A la partie de E définie par A = {12, 18, 24, 36}.
a) Est-ce que A possède un plus grand élément ? Un plus petit élément ?
b)) Déterminer m(A) l’ensemble des minorants de A. Est-ce que A possède une
borne inférieure ?
Si oui, déterminer cette borne inférieure.
iii) Déterminer M (A) l’ensemble des majorants de A. Est-ce que A possède une
borne supérieure ?
Si oui, déterminer cette borne supérieure.

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Exercice
1. Soit P (x) = x3 − 21x − 90. Montrer que 6 est l’unique racine réelle de P .
»
»


3
3
2. Montrer que 45 + 29 2 + 45 − 29 2 est un entier.

Exercice
Montrer que

»
3

»


3
27 + 6 21 + 27 − 6 21 est un entier.

Exercice
 

Montrer, par récurrence sur n ≥ 1, que



2+

2+

(Le nombre 2 apparaissant n fois sous le radical).

q

2+

»

··· +



2 = 2 cos

π
2n+1

Exercice
Ecrire sous forme d’intervalle les ensembles suivants :
[

\ ï

0, 1 −

]n, n + 1] ,

n∈N∗

n∈N

1
,
n
ï

\

]−

n∈N∗

ò +∞
ò
+∞
[ ï1
\ ï 1
1
1
1
, 1[,
,3 −
,
− ,3 +
n
n
n
n
n
n=2
n=2

Exercice
Soient x et y deux nombres réels. Montrer que
1. |x| + |y| ≤ |x + y| + |x − y|.
2. 1 + |xy − 1| ≤ (1 + |x − 1|)(1 + |y − 1|).
3.

»

»


|x − y| ≥ |x| −

»




|y| .

4. ∀z ∈ R, x ≤ z ≤ y ⇐⇒ |x − z| + |z − y| = |x − y|

Exercice
1. Soient ∈ N∗ et x0 , x1 , . . . , xn des nombres réels de l’intervalle [0, 1].

1
.
n
2. Soit x ∈ R et n ∈ N∗ . Montrer qu’il existe p ∈ N et il existe q ∈ {1, 2, . . . , n}, tels
Montrer qu’il existe (i, j) ∈ {0, 1, . . . , n}2 , avec i 6= j, tel que |xi − xj | ≤
que





x − p ≤ 1

q q2

(On pourra prendre xi = ix − [ix], i ∈ {0, 1, . . . , n}).

Exercice
Soient A et B deux parties non vides de R, telles que ∀(a, b) ∈ A × B, a ≤ b.
1. Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que sup(A) ≤ inf(B).
2. Montrer que
(sup(A) = inf(B)) ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃(a, b) ∈ A × B : 0 < b − a < ε)

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Exercice
Soient a et b deux nombres réels. Montrer que
max(a, b) =

a + b |b − a|
a + b |b − a|
+
et min(a, b) =

2
2
2
2

Exercice
Soient A et B deux parties non vides de Q, tels que
i) A ∪ B = Q.
ii) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B on a a ≤ b.
Montrer qu’il existe un nombre réel unique x, tel que
∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ x ≤ b

Exercice
Soit A une partie majorée de R ayant au moins deux éléments et soit a ∈ A.
1. Montrer que si a < sup(A) alors sup(A \ {a}) = sup(A).
2. Montrer que si sup(A \ {a}) < sup(A) alors sup(A) = a.

Exercice
Soit A une partie non vide et majorée de R et soit α = sup(A). Montrer que si α ∈
/ A,
alors pour tout ε > 0, l’intervalle ]α − ε, α[ contient une infinité d’éléments de A.

Exercice
Soit A une partie non vide et bornée de R. Montrer que
sup |x − y| = sup(A) − inf(A)
(x,y)∈A2

Exercice
Soient a > 0, b > 0, avec a ≤ b, et A la partie de R définie par :
A={

1
1
+
: m ∈ N∗ et n ∈ N∗ }
ma nb

1. Montrer que A possède un plus grand élément et que A est bornée.
2. Montrer, en utilisant la proprièté d’Archimède, que A admet 0 pour borne inférieure.
3. Montrer que pour tout k ∈ N∗ et pour tout ε > 0, il existe x0 ∈ A et il existe
y0 ∈ A, tels que
0 < x0 <

1
1
+ ε et 0 < y0 <

ka
kb

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Exercice
Soient A et B deux parties non vides et bornées de R. On définit A + B, −A, A − B et
AB par
A + B = {a + b : a ∈ A et b ∈ B}
− A = {−a : a ∈ A} et A − B = A + (−B)
AB = {ab : a ∈ A et b ∈ B}
1. Montrer que A + B est bornée et que
sup(A + B) = sup(A) + sup(B) et inf(A + B) = inf(A) + inf(B)
2. Montrer que −A est bornée et que sup(−A) = − inf(A) et inf(−A) = − sup(A).
3. Montrer que A − B est borné et déteminer sup(A − B) et inf(A − B) en fonction
de sup(A), sup(B), inf(A) et inf(B).
4. Montrer que A ∪ B est bornée et que sup(A ∪ B) = max(sup(A), sup(B)). Que
vaut inf(A ∪ B) ?
5. On suppose que A ⊆ R+ et que sup(B) ≥ 0. Montrer que AB possède une borne
supérieure et que sup(AB) = sup(A) sup(B).
6. On suppose A ∩ B 6= ∅. Montrer que A ∩ B est bornée et que
max(inf(A), inf(B)) ≤ inf(A ∩ B) ≤ sup(A ∩ B) ≤ min(sup(A), sup(B))

Exercice
1. Soient A et B deux parties de R, non vides et bornées. Montrer que
a) A ∪ B est bornée.
b) sup(A ∪ B) = max(sup(A), sup(B)) et inf(A ∪ B) = min(inf(A), inf(B)).
ß

1
n

2. Soit X = (−1) +
: n∈N .
n
ß

1

a) Montrer que X = A ∪ B où A =
1+
: n∈N
et B =
2n
ß

1
−1 +
: n∈N .
2n + 1
b) Montrer que A et B sont bornés et déterminer sup(A), inf(A), sup(B) et inf(B).
c) En déduire que X est borné et déterminer sup(X) et inf(X).
c) Est-ce que X admet un plus grand élément ? Un plus petit élément ?

Exercice
Soit
E={

1+
1−

1
n
1
n

: n ∈ N \ {0, 1}}

a) Montrer que E est borné et déterminer ses bornes supérieure et inférieure.
b) Etudier l’existence d’un plus petit et d’un plus grand élément de E.

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Exercice
Déterminer, s’ils existent, la borne supérieure et la borne inférieure de A dans les cas
suivants :
m
: m, n ∈ N∗ et m < 2n} ;
n
mn
b) A = { 2
: , ∈ Z, n ∈ N∗ }.
4m + n2
1
c) A = {x +
: x ∈ R∗+ }.
x
1
1
+
: n ∈ N∗ et m ∈ N}.
d) A = {
2n 2m + 1
e) A = {xy : (x, y) ∈ R2 et |x| + |y| < 1}.
m
f) A = {
: m ∈ N∗ et n ∈ N∗ }.
mn + 1
mn
g) A = { 2
: m ∈ N∗ et n ∈ N∗ }.
m + n2 + 1
1
1
1
: m ∈ N∗ et n ∈ N∗ }.
h) A = { 2 + 2 −
m
n
mn

a) A = {

Exercice
1. Soit A une partie non vide de R. Montrer que A est un intervalle, si et seulement
si,
∀x ∈ A, ∀y ∈ A, x ≤ y =⇒ [x, y] ⊆ A
2. Soient I et J deux intervalles de R.
a) Montrer que I + J est un intervalle de R.
b) Montrer que si I ∩ J 6= ∅, alors I ∩ J est un intervalle de R.

Exercice
Soit A une partie majorée de R ayant au moins deux éléments et soit a ∈ A.
a) Montrer que si a < sup(A) alors sup(A \ {a}) = sup(A).
b) Montrer que si sup(A \ {a}) < sup(A) alors a = sup(A).

Exercice
Soit
A={

2p2 − 3q
: p ∈ N∗ et q ∈ N∗ tel que p < q}
p2 + q

a) Montrer que A est minorée par −3 et majorée par 2.
b) Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de A.

Exercice
1. Montrer que ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, [x] − [y] − 1 ≤ [x − y] ≤ [x] − [y].
2. Montrer que ∀x ∈ R, [−x] = −[x] − 1.
3. En déduire que ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z− , n([x] + 1) ≤ [nx] ≤ n[x].

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Exercice
1. Montrer que ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, [x + n] = [x] + n.
2. Montrer que ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1.
3. En déduire que si x1 , x2 , . . . , xn sont des nombres réels, alors on a
n
X

[xk ] ≤

k=1

4. En déduire que ∀n ∈

" n
X

k=1

ñ

ô

xk ≤

k=1

N∗ , ∀x

#

n
X

[xk ] + n − 1

[nx]
.
∈ R, [x] =
n

Exercice
Montrer que
i) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N∗ , 0 ≤ [nx] − n[x] ≤ n − 1.
ï
ò
1
ii) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N∗ ,
[nx] = [x].
n
ï
ò
n−1
k
P
x+
iii) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N∗ ,
= [nx]
n
k=0

Exercice
Montrer que ∀n ∈ Z,

ï

n−1
n+2
n+4
+
+
= n.
2
4
4
ò

ï

ò

ï

ò

Exercice
n2 √
P

Soit n un entier ≥ 1, simplifier la somme Sn =

[ k]

k=1

Exercice
Résoudre dans R, E(2x − 1) =E(x − 4).

Exercice
a
b.
b
Montrer que x est le reste de la division euclidienne de a par b.

Soient a et b deux entiers, avec b 6= 0, et soit x = a −

ï ò

Exercice
1. Montrer que ∀x ∈ R, [x] + [−x] =


−1
0

si x ∈
/Z
si x ∈ Z

2. En déduire que si p et q sont des entiers naturels premiers entre eux, alors
q−1


k=1

p−1 ï

X kq
kp
(q − 1)(p − 1)
=
=
q
p
2
k=1
ò

ò

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Exercice
Pour chaque p ∈

N∗ ,

soit fp : R −→ R l’application définie par ∀x ∈ R, fp (x) = E

x
.
p

Å ã

1. Montrer que ∀p ∈ N∗ , fp ◦ E = fp .
2. En déduire que ∀p ∈ N∗ , ∀q ∈ N∗ , fp ◦ fq = fq ◦ fp = fpq .

Exercice
1. Montrer que pour tout x ∈ R, pour tout n ∈ N∗ et pour tout k ∈ N,
ñ

ï

x+k
=
n
ò

ô

[x] + k
.
n

2. Montrer que

n
P

ï

k=1

x+k
= [x].
n
ò

Exercice
1. Soit m ∈ N. Montrer que

(m + 1)2 ≡ 1 [4]
(m + 1)2 ≡ 0 [4]

si m est pair
si m est impair


2. Soit n ∈ N et soit m =E( 4n + 1).

On suppose que 4n + 2 ≥ m + 1. Montrer que 4n + 2 = (m + 1)2 et en déduire


une contradiction et que E( 4n + 1) =E( 4n + 2).

1
3. a) Montrer que ∀n ∈ N, n ≤ n2 + n ≤ n + .
2



b) Montrer que E( n + 1 + n) =E( 4n + 1).

Exercice
Montrer que ∀x > 0, E

»



E(x) = E( x).

Exercice
1. Soit f : R −→ R l’application définie par f (x) =

x
x+1
+
− [x]. Montrer que
2
2

ï ò

ï

ò

∀x ∈ R, f (x + 2) = f (x)
2. En déduire que ∀x ∈ R,

x
x+1
+
= [x].
2
2

ï ò

ï

ò

3. En déduire une expression simple de Sn =

n
P

k=0

4. Calculer lim Sn .

ñ

x + 2k
, pour tout x ∈ R.
2k+1
ô

n→∞

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Exercice
1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a


n+1−





1
n≤ √ ≤ n− n−1
2 n

2. En déduire la partie entière de
X 1
1 10000

2 n=1 n

Exercice
Résoudre dans R les équations suivantes :
ñ 2
ô
3x − 2x + 1
x+1
i)
=
.
2
2
ï
ò ï
ò
2
1
ii) x +
+ x+
= 2[x].
3
2
ï ò
x
= 1.
iii) [x] − 2
2
ï
ò
2x − 3
2x − 3
iv)
=
.
3
3

Exercice
Soit f : R+ −→ R une application non nulle, telle que
∀x ∈ R+ , ∀y ∈ R+ , f (x + y) = f (x) + f (y) et f (xy) = f (x)f (y)
1. Montrer que f (1) = 1 et f (0) = 0.
2. Montrer que ∀n ∈ N, f (n) = n.
1
1
3. Montrer que ∀q ∈ N∗ , f ( ) = et en déduire que ∀r ∈ Q+ , f (r) = r.
q
q
+
4. Montrer que ∀x ∈ R , f (x) ≥ 0.
5. Montrer que ∀x ∈ R+ , ∀y ∈ R+ , x ≤ y =⇒ f (x) ≤ f (y).
6. En utilisant une démonstration par absurde et en utilisant le fait que Q est dense
dans R, montrer que ∀x ∈ R+ , f (x) = x.

Exercice
Soit [a, b] un intervalle de R, avec a < b. On suppose qu’il existe une bijection f :
[a, b] −→ R.
1. Montrer qu’il existe une suite d’intervalles emboités ([an , bn ])n∈N , tels que pour
tout entier n ∈ N, f (n) ∈
/ [an , bn ].
2. En déduire que [a, b] n’est pas dénombrable.

Exercice


Montrer que A = { m − n : m ∈ N et n ∈ N} est dense dans R.

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Exercice
1. Montrer que si a ∈ Q et b ∈
/ Q, alors a + b ∈
/ Q.

/ Q.
2. Montrer que 2 ∈
3. Soient x ∈ R et y ∈ R, avec x < y.
a) Montrer qu’il existe r ∈ Q, tel que x +



2<r<y+



2.

b) En déduire que R \ Q est dense dans R.

Exercice
Soit A une partie non vide de R vérifiant,
i) Pour tout x ∈ R, il existe (a, b) ∈ A2 , tel que a < x < b ;
a+b
∈ A.
ii) ∀a ∈ A, ∀b ∈ A,
2
Montrer que A est dense dans R.

Exercice
1. Soit f : R −→ R une application croissante, telle que
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x + y) = f (x) + f (y)
Montrer qu’il existe a ∈ R, tel que ∀x ∈ R, f (x) = ax.
2. Soit g : R −→ R une application telle que
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x + y) = f (x) + f (y) et ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, f (xy) = f (x)f (y)
a) Montrer que ∀x ∈ R, x ≥ 0 =⇒ g(x) ≥ 0.
b) En déduire que g est croissante.
c) Montrer que ∀x ∈ R, g(x) = x.

Exercice
Soit A un sous-anneau de R. Montrer que
(A est dense dans R) ⇐⇒ A∩]0, 1[6= ∅

Exercice
Soit a ∈ Q+ , tel que



a∈
/ Q.

p √
α
Montrer qu’il existe α > 0, tel que pour tout (p, q) ∈ Z × N∗ , | − a| ≥ 2 .
q
q

Exercice
p
1
Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe (p, q) ∈ Z × N∗ , tel que |x − | ≤ 2 .
q
q

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Exercice
Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] une application croissante, on se propose de montrer qu’il existe
α ∈ [0, 1], tel que f (α) = α.
Pour cela, on considère l’ensemble E = {x ∈ [0, 1] : x ≤ f (x)}.
1. Montrer que E possède une borne supérieure, qu’on note a.
2. Supposons que a < f (a). Montrer que f (a) ∈ E et en déduire une contradiction.
3. Supposons que a > f (a). Montrer qu’il existe x0 ∈ E, tel que f (a) < x0 < a et en
déduire une contradiction.
4. Conclure.

Exercice
Soit G un sous-groupe du groupe additif (R, +). On suppose que G 6= {0} et on pose
G∗+ = {x ∈ G : x > 0}
1. Montrer que G∗+ possède une borne inférieure α et que α ≥ 0.
2. On suppose que α > 0.
a) Montrer que si α ∈
/ G, alors il existe x1 ∈ G et il existe x2 ∈ G, tels que
α < x1 < x2 < 2α.
b) En déduire que α ∈ G et que αZ ⊆ G.
c) Soit x ∈ G. Montrer qu’il existe n ∈ G, tel que nα ≤ x < (n + 1)α et en déduire
que x = nα.
d) Déduire de ce qui précède que G = αZ.
3. On suppose que α = 0 et on fixe un ε > 0.
a) Montrer qu’il existe x ∈ G, tel que 0 < x < ε.
b) Soit y ∈ R. Montrer qu’il existe n ∈ Z, tel que |y − nx| < ε.
c) En déduire que G est dense dans R.
m
4. Vérifier que D = { n : , ∈ Z et n ∈ N} est un sous-groupe de (R, +) et en
2
déduire que D est dense dans R.
5. Soient a et b deux nombres réels. Montrer que
(aZ + bZ est dense dans R) ⇐⇒

a

/Q
b

a

/ Q.

Montrer que {cos(an) : n ∈ N} et {sin(an) : n ∈ N} sont denses dans [−1, 1].

6. Soit a ∈ R, tel que

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2 Suites numériques
2.1

Définition et propriètés d’une suite

2.1.1

Définition et exemples

Définition
Soit E un ensemble non vide. Une suite d’éléments de E est définie par une application
u : N −→ E. Dans ce cas, pour chaque n ∈ N, on pose u(n) = un et on dit que (un )n∈N
est une suite de E.
Si E = R, on dit que (un )n∈N est une suite de nombres réels.
Si E = C, on dit que (un )n∈N est une suite de nombres complexes.
Pour chaque n ∈ N, un s’appelle le terme de rang n de la suite (un )n∈N .

Remarques
1. Dans le cas général, une suite d’un ensemble E est définie par une application
u : I −→ E, où I est une partie infinie de N.
2. Si I est une partie infinie de N, alors il existe une application bijective et strictement croissante ϕ : N −→ I.
En effet, puisque I est infinie, alors I est une partie non vide de N, donc I possède
un plus petit élément n0 .
I est infini, donc I \ {n0 } est une partie non vide de N, par suite I \ {n0 } possède
un plus petit élément n1 et on a n0 < n1 .
I \ {n0 , n1 } est encore une partie non vide de N, donc I \ {n0 , n1 } possède un plus
petit élément n2 et on a n0 < n1 < n2 .
Ainsi, Comme I est infini, on construit, par récurrence, une suite (nk )k≥0 , d’éléments de I, tels que pour tout k ∈ N, nk+1 est le plus petit élément de
I \ {n0 , n1 , n2 , . . . , nk }.
Donc, si pour tout k ∈ N, on pose ϕ(k) = xk , alors ϕ : N −→ I est une application
strictement croissante et bijective.
Dans ce cas, on a I = {n0 , n1 , n2 , . . . , nk , . . .} et (un )n∈I = (unk )k∈N .
3. Une suite complexe (un )n∈N est en général définie par la donnée de deux suites
réelles (xn )n∈N et (yn )n∈N , telles que
∀n ∈ N, un = xn + iyn
Dans ce cas, les propriètés de la suite (un )n∈N découlent de celles des suites (xn )n∈N
et (yn )n∈N .

37

Exemples
1. ([−n, n])n∈N est une suite d’intervalles de R, c’est donc une suite de P(R), c’est
la suite définie par l’application
u : N −→ P(R)
n 7−→ u(n) = [−n, n]
1
2. ( )n≥1 est une suite de Q, c’est la suite définie par l’application
n
u : N∗ −→ Q
n 7−→ u(n) =

1
n


3. ( n − 5)n≥5 est une suite réelle, c’est la suite définie par l’application
u : N \ {0, 1, 2, 3, 4} −→ R

n 7−→ u(n) = n − 5
4. On peut aussi définir une suite à l’aide d’une relation de récurrence.
Les deux exemples suivants sont élémentaires et typiques :
i) Une suite (un )n∈N est dite arithmétique, s’il existe r ∈ R, tel que (un )n∈N soit
définie par la relation de récurrence suivante :
u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = un + r
Dans ce cas, u0 s’appelle le premier terme et r la raison de la suite arithmétique.
ii) Une suite (un )n∈N est dite géométrique, s’il existe q ∈ R, tel que (un )n∈N soit
définie par la relation de récurrence suivante :
u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = qun
Dans ce cas, u0 s’appelle le premier terme et q la raison de la suite géométrique.

2.1.2

Suites majorées, suites minorées et suites bornées

Définition
Soit (un )n∈N une suite réelle.
i) On dit que (un )n∈N est majorée, s’il existe α ∈ R, tel que ∀n ∈ N, un ≤ α.
ii) On dit que (un )n∈N est minorée, s’il existe α ∈ R, tel que ∀n ∈ N, α ≤ un .
iii) On dit que (un )n∈N est bornée, s’il existe α > 0, tel que ∀n ∈ N, |un | ≤ α.

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2.1.3

Croissance - Décroissance - Monotonie

Définition
Soit (un )n∈N une suite réelle.
i) On dit que (un )n∈N est croissante, si ∀n ∈ N, un ≤ un+1 .
Si de plus, on a ∀n ∈ N, un < un+1 , on dit que (un )n∈N est strictement croissante.
ii) On dit que (un )n∈N est décroissante, si ∀n ∈ N, un+1 ≤ un .
Si de plus, on a ∀n ∈ N, un+1 < un , on dit que (un )n∈N est strictement décroissante.
iii) On dit que (un )n∈N est monotone, s’elle est ou bien croissante ou décroissante.
iv) On dit que (un )n∈N est stationnaire, s’il existe p ∈ N, tel que
∀n ∈ N, n ≥ p =⇒ un = up

Remarques
1. En fait, une suite (un )n∈N est dite croissante (resp. décroissante), s’il existe un
entier n0 ≥ 0, tel que
∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , n ≥ m =⇒ un ≥ um (resp. un ≤ um )
2. Une suite (un )n∈N est dite constante, si ∀n ∈ N, un+1 = un .
3. Toute suite constante est stationnaire, tandis que la réciproque n’est pas vraie.

Exemples
1. un = |n − 5| est croissante pour n ≥ 5.
ï
ò
1
2. un =
est une suite stationnaire qui n’est pas constante.
n+1

2.2
2.2.1

Convergence d’une suite
Définition et propriètés de la limite d’une suite

Définition
Soit (un )n∈N une suite réelle ou complexe et soit l ∈ K, avec K = R ou C.
On dit que (un )n∈N tend vers l quand n tend vers l’infini ou que (un )n∈N converge vers
l quand n tend vers l’infini et on écrit lim un = l, si pour tout ε > 0, il existe un entier
n→∞

N ∈ N, tel que
∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |un − l| ≤ ε
Dans ce cas, on dit que (un )n∈N est une suite convergente.

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Remarques
1. En utilisant les quantificateurs logiques, la définition précédente, s’écrit sous la
forme :
( lim un = l) ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |un − l| ≤ ε)
n→∞

ou encore sous la forme
( lim un = l) ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ l − ε ≤ un ≤ l + ε)
n→∞

2. Une suite (un )n∈N converge vers l, si et seulement si, la suite (vn )n∈N définie par
vn = un − l converge vers 0 :
lim un = l ⇐⇒ lim (un − l) = 0

n→∞

n→∞

3. Une suite (un )n∈N ne converge pas vers l, si et seulement si, il existe un ε > 0, tel
que pour tout entier k ∈ N, il existe nk ≥ k, tel que |unk − l| > ε.
4. Une suite (un )n∈N qui ne converge vers aucune limite l est dite divergente.
Donc, une suite (un )n∈N est divergente, si et seulement si, pour tout l ∈ K, il existe
ε > 0, tel pour tout k ∈ N, il existe nk ≥ k, tel que |unk − l| > ε.
5. Toute suite convergente est bornée.
En effet, soit (un )n∈N une suite qui converge vers l et soit, par exemple, ε = 1,
alors il existe N ∈ N, tel que
∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |un − l| ≤ 1
Comme ||un | − |l|| ≤ |un − l|, alors pour tout n ≥ N , on a |un | ≤ |l| + 1.
Soit α = max{|u0 |, |u1 |, . . . , |uN −1 |, |l| + 1}, alors pour tout n ∈ N, on a |un | ≤ α.
6. Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente.
En effet, considèrons la suite (un )n∈N définie par un = (−1)n , alors on a
∀n ∈ N, |un | = 1, donc (un )n∈N est bornée.
Supposons que (un )n∈N converge vers une limite l et appliquons la définition à
1
ε = , alors il existe N ∈ N, tel que
2
∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ un −

1
1
≤ l ≤ un +
2
2

1
3
3
1
≤ l ≤ et pour n = 2N + 1, on aura − ≤ l ≤ − ,
2
2
2
2
ce qui est absurde, par suite (un )n∈N est une suite bornée divergente.
Donc pour n = 2N , on aura

7. Si une suite (un )n∈N converge vers l, alors (|un |)n∈N converge vers |l|, car on a
∀n ∈ N, ||un | − |l|| ≤ |un − l|
La réciproque n’est pas vraie, car, par exemple, si un = (−1)n , alors on a vu que
(un )n∈N n’est pas convergente, tandis que (|un |)n∈N est convergente, car elle est
constante.
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Exemples
1. Pour tout p ∈ N∗ , la suite (un )n≥1 définie par ∀n ∈ N∗ , un =
En effet, soit ε > 0, alors on doit chercher N ∈ N, tel que

1
converge vers 0.
np

∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |un | ≤ ε
1
1
1
Pour cela, remarquons que p ≤ , donc pour que p ≤ ε, alors il suffit que
n
n
n
1
≤ ε.
n
Or, on a
1
1
≤ ε ⇐⇒ n ≥
n
ε
ï ò
1
Donc si on pose N =
+ 1, alors on aura le résultat.
ε
3n − 1
3
2. La suite (un )n∈N définie par ∀n ∈ N, un =
converge vers .
2n + 3
2
En effet, soit ε > 0, alors on a




3n − 1
3
3
− ≤ ε
|un − | ≤ ε ⇐⇒
2
2n + 1 2

−5
≤ε
⇐⇒
4n + 2
5
⇐⇒
≤ε
4n + 2
5 − 2ε
⇐⇒ n ≥

ñ

ô

|5 − 2ε|
5 − 2ε
Donc, si on prend N =
+ 1, alors pour tout n ≥ N , on aura n ≥
,


donc


3n − 1
3


≤ε
2n + 1
2

3. Soit a ∈ K∗ , avec |a| < 1, alors la suite (un )n∈N définie par ∀n ∈ N, un = an
converge vers 0.
En effet, soit ε > 0, alors on a
|un | ≤ ε ⇐⇒ |an | ≤ ε
⇐⇒ |a|n ≤ ε
⇐⇒ n ln |a| ≤ ln ε
⇐⇒ n ≥
ñ

ln ε
ln |a|

(car ln |a| < 0)

ô

ln ε
Donc, si on pose N =
+ 1, alors on aura le résultat.
ln |a|

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Lemme
Soit x ∈ R, tel que pour tout ε > 0, |x| ≤ ε, alors x = 0.

Preuve
|x|
|x|
Par absurde, si on suppose x 6= 0, alors |x| > 0, donc pour ε =
, on aura |x| ≤
,
2
2
1
ce qui est absurde, car on aura 1 ≤ .
2
Proposition
Si une suite (un )n∈N possède une limite l, alors l est unique.

Preuve
Soit l0 une autre limite de (un )n∈N et soit ε > 0, alors il existe un entier p ≥ 0 assez
grand, tel que
|up − l| ≤

ε
ε
et |up − l0 | ≤
2
2

donc on aura
|l − l0 | ≤ |l − up | + |up − l0 | ≤ ε
Donc, pour tout ε > 0, |l − l0 | ≤ ε, par suite l − l0 = 0.

2.2.2

Extention de la notion de limite

Définition
Soit (un )n∈N une suite réelle.
i) On dit que (un )n∈N tend vers +∞ quand n tend vers l’infini et on écrit
lim un = +∞, si pour tout A > 0, il existe N ∈ N, tel que

n→∞

∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ un ≥ A
ii) On dit que (un )n∈N tend vers −∞ quand n tend vers l’infini et on écrit
lim un = −∞, si pour tout A > 0, il existe N ∈ N, tel que

n→∞

∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ un ≤ −A

Remarques
Si une suite (un )n∈N converge vers +∞, alors (un )n∈N n’est pas majorée et si (un )n∈N
tend vers −∞, alors (un )n∈N n’est pas minorée. Tandis que la réciproque n’est pas
toujours vraie. En effet, soit (un )n∈N la suite réelle définie par
∀n ∈ N, u2n = n et u2n+1 = 1
Alors (un )n∈N n’est pas majorée et (un )n∈N ne converge pas vers +∞.

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Exemples
Soit a ∈ R, avec a > 1, alors la suite (un )n∈N définie par un = an converge vers +∞.
En effet, on a a > 1, donc a = 1 + b, avec b > 0, donc pour A > 0, on aura
an ≤ A ⇐⇒ (1 + b)n ≤ A
Or b > 0, donc d’après la formule du binôme, on a (1 + b)n ≥ nb.
Ainsi, pour que

an

aura

A
≥ A, il suffit que nb ≥ A, donc si on pose N =
+ 1, alors on
b
ï

ò

∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ un ≥ A

2.2.3

Opération sur les limites

Addition
La somme de deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N est la suite (wn )n∈N définie par
∀n ∈ N : wn = un + vn
Proposition
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes. Alors la somme (un + vn )n∈N est
une suite convergente et on a
lim (un + vn ) = lim un + lim vn

n→∞

n→∞

n→∞

Preuve
Posons l = lim un et l0 = lim vn et montrons que (un + vn )n∈N converge vers l + l0 .
n→∞

n→∞

Pour cela, soit ε > 0, alors il existe N1 ∈ N et il existe N2 ∈ N, tels que
∀n ∈ N, n ≥ N1 =⇒ |un − l| ≤

ε
ε
et ∀n ∈ N, n ≥ N1 =⇒ |vn − l0 | ≤
2
2

Donc, si on pose N = max(N1 , N2 ), alors pour n ≥ N , on aura
|(un + vn ) − (l + l0 )| = |(un − l) + (vn − l0 )| ≤ |un − l| + |vn − l0 | ≤ ε

Produit
Le produit de deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N est la suite (wn )n∈N définie par
∀n ∈ N : wn = un vn
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Proposition
i) Soit (un )n∈N une suite bornée et soit (vn )n∈N une suite convergente, avec lim vn = 0.
n→∞

Alors le produit (un vn )n∈N est une suite convergente et on a
lim un vn = 0

n→∞

ii) Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes. Alors le produit (un vn )n∈N est
une suite convergente et on a
lim (un vn ) = lim un lim vn

n→∞

n→∞

n→∞

Preuve
i) (un )n∈N est bornée, donc il existe M > 0, tel que pour tout n ∈ N, on a |un | ≤ M .
ε
Soit ε > 0, alors il existe N ∈ N, tel que pour n ≥ N , on a |vn | ≤
.
M
Donc pour n ≥ N , on a |un vn | = M |un | ≤ ε.
ii) Posons l = lim un et l0 = lim vn et montrons que (un vn )n∈N converge vers ll0 .
n→∞

n→∞

On a un vn − ll0 = un vn − lvn + lvn − ll0 = vn (un − l) + l(vn − l0 ).
Comme (vn )n∈N est convergente, alors (vn )n∈N est bornée et comme
lim (un − l) = 0, alors d’après i), on a lim vn (un − l) = 0.

n→∞

n→∞

D’après i), on a aussi lim l(vn − l0 ) = 0.
n→∞

Ainsi, on déduit de ce qui précède, que (un vn − ll0 )n∈N est convergente et on a
lim (un vn − ll0 ) = 0

n→∞

Donc lim un vn = ll0 .
n→∞

Proposition
i) Soit (un )n∈N une suite convergente,
Å ã telle que pour tout n ∈ N, un 6= 0 et tel que
1
lim un 6= 0. Alors la suite
est convergente et on a
n→∞
un n∈N
1
1
=
n→∞ un
lim un
lim

n→∞

ii) Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes,
telles que pour tout n ∈ N, vn 6=
Å ã
un
0 et tel que lim vn 6= 0. Alors la suite
est convergente et on a
n→∞
vn n∈N
lim un
un
= n→∞
n→∞ vn
lim vn
lim

n→∞

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Pr.Mohamed HOUIMDI

Preuve
Å

i) Montrons d’abord que

1
un

ã

est bornée.
n∈N

On a lim un = l, avec l 6= 0, donc pour ε =
n→∞

|l|
, il existe N ∈ N, tel que
2

∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |un − l| ≤

|l|
2

Comme ||un | − |l|| ≤ |un − l|, alors on aura
∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ ||un | − |l|| ≤
Par suite on aura
∀n ∈ N, n ≥ N =⇒

|l|
2

3|l|
|l|
≤ |un | ≤
2
2




1
2
1
1
1
,
Soit M = max
,
,...,
, alors pour tout n ∈ N, on a ≤ M .
|u0 | |u1 |
uN −1 |l|
un
Soit maintenant ε > 0, alors il existe N ∈ N, tel que
Ç

å

∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |un − l| ≤ M |l|ε
Donc pour n ≥ N , on aura

Å

ii) D’après i), la suite

1
vn

ã



1
|un − l|
1 |un − l|


≤ε

=
u

l
|un ||l|
M |l|
n

est convergente et on a lim

n→∞

n∈N

1
1
=
.
vn
lim vn
n→∞

un
1
Comme (un )n∈N est une suite convergente et comme
= un , alors d’après la
vn
vn
proposition précédente, on a
lim un
1
un
1
= lim un
= lim un lim
= n→∞
n→∞
n→∞ vn
vn n→∞ n→∞ vn
lim vn
lim

n→∞

Multiplcation par un scalaire
Soit u = (un )n∈N une suite réelle ou complexe. Pour chaque λ ∈ K, on définit la suite λ · u par
λ · u = (λun )n∈N

Proposition
Soit u = (un )n∈N une suite convergente, alors pour tout λ ∈ K, la suite (λun )n∈N est
convergente et on a
lim (λun ) = λ lim un

n→∞

n→∞

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Pr.Mohamed HOUIMDI

Preuve
Supposons que u = (un )n∈N converge et posons l = lim un .
n→∞

Soit λ ∈ K, alors deux cas sont possibles :
Si λ = 0, alors la proprièté est trivial.
Si λ 6= 0, soit ε > 0, alors il existe N ∈ N, tel que
∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |un − l| ≤

ε
|l|

Donc pour n ≥ N , on aura
|λun − λl| = |l||un − l| ≤ ε

2.2.4

Lien entre suites réelles et suites complexes
Proposition

Soit (zn )n∈N une suite complexe, telle pour tout n ∈ N, zn = xn + iyn , où xn est la
partie réelle de zn et yn est la partie imaginaire de zn . Alors (zn )n∈N est convergente,
si et seulement si, sa partie réelle (xn )n∈N et sa partie imaginaire (yn )n∈N convergent.
De plus, on a
lim zn = lim xn + i lim yn

n→∞

n→∞

n→∞

Preuve
(=⇒) Supposons que (zn )n∈N est convergente vers l, avec l = l1 + il2 .
Montrons que (xn )n∈N et (yn )n∈N convergent respectivement vers l1 et l2 .
Soit ε > 0, alors il existe N ∈ N, tel que
∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |zn − l| ≤ ε
Or, on sait que |xn − l1 | ≤ |zn − l| et |yn − l2 | ≤ |wn − l|, donc pour n ≥ N on a
|xn − l1 | ≤ ε et |yn − l2 | ≤ ε
(⇐=) Supposons que (xn )n∈N et (yn )n∈N convergent, donc d’après la proposition précédente, (iyn )n∈N converge et comme (zn )n∈N est la somme de (xn )n∈N et (iyn )n∈N ,
alors (zn )n∈N converge et on a
lim zn = lim xn + lim (iyn ) = lim xn + i lim yn

n→∞

n→∞

n→∞

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n→∞

n→∞

Pr.Mohamed HOUIMDI



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