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Série n°2 Matrice .pdf


Nom original: Série n°2 Matrice.pdf
Auteur: AmouLa

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Mr :Khammour.K

4èmeAnnée Eco-gestion

Série n°2 :Matrice

Exercice n°1 :

 1 1 1
1 0 0




Soit A   1 1 1 et I 3   0 1 0  la matrice unité d’ordre 3.
0 0 1
 1 1 1 




1) Calculer A2.
2) Montrer que A2  A  2 I 3 .
3) a) Déterminer une matrice B tel que AB  I 3 .
b) En déduire que A est inversible et déterminer sa matrice inverse A1 .
Exercice n°2 :
 1 0 3 


Soit A   2 1 1  .
 1 2 3 


1) Calculer le déterminant de A.
2) A est-elle inversible ?
Exercice n°3 :

1 1 2
1 0 0




Soit B   2 1 1  et I 3   0 1 0  la matrice unité d’ordre 3.
0 0 1
1 1 1




1) Calculer B2 et B3.
2) Montrer que B 3  3B 2  2 B  I 3  O où O est la matrice nulle d’ordre 3.
3) En déduire que B est inversible et déterminer sa matrice inverse B1 .
Exercice n°4 :

 3 1 1 
1 0 0




On donne les deux matrices A   2 0 1  et I 3   0 1 0 
 2 1 0 
0 0 1




1) a) Calculer le déterminant de la matrice A.
b) En déduire que A est inversible.
2) a) Calculer A  A  2I3  .

 1 1 1


b) En déduire que A  2 I 3  A , puis vérifier que A   2 2 1 .
 2 1 2 


1

1

Septembre 2014

x  y  z  1

3) Résoudre , dans IR3 le système { 2 x  2 y  z  1 .
2x  y  2z  1

Exercice n°5 :

2 1 0
1 0 0




Soit M   3 1 1  et I 3   0 1 0  la matrice unité d’ordre 3.
 1 0 1
0 0 1




1) a) Calculer M2.
b) Vérifier que M3=O où O est la matrice nulle d’ordre 3.
2) a) Vérifier que  I3  M   I3  M  M 2   I3 .

b) En déduire que  I3  M  est inversible et que  I 3  M 

1

 4 2 1


  5 2 1 
 2 1 1



x  y  1

3) On considère le système suivant :(S) { 3x  2 y  z  1 .

 x  2z  1
a) Déterminer la matrice A de (S) .
b) Vérifier que A  I 3  M .
c) Résoudre alors le système (S).
Exercice n°6 :
3
1 
1 1 1 
 3




On considère les deux matrices A  1 2 4  et B   2,5 4 1,5  .
 0,5 1 0,5 
1 3 9 




1) a) Montrer que A est inversible.
b) effectuer le produit A  B.
c) En déduire la matrice inverse de A.
x  y  z  2300
2) On considère le système suivant : (S) { x  2 y  4 z  4200
x  3 y  9 z  6900

a) Donner l’écriture matricielle de système (S).
b) Résoudre alors ce système.


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