Préparation de l'exam n°1 .pdf



Nom original: Préparation de l'exam n°1.pdf
Titre: Préparation de l'exam n°1
Auteur: damien

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Préparation de l’exam SIN

Bilan des connaissances




Chap. 1 :
- les bases de numérations (décimal, binaire, hexadécimal),
- les principales représentations des nombres binaires (décimal non signé, décimal signé en représentation complément à 2,
code de GRAY, code BCD, code ASCII)
Chap. 2 :
- Notion d’état logique, de variables logiques, de fonctions logiques combinatoires,
- les opérateurs de bases et usuels (symboles, table de vérité, expression algébrique),
- l’algèbre de Boole,
- termes produits et termes sommes,
- les modèles de représentation des fonctions logiques combinatoires :
table de vérité,
table de vérité avec priorité
table de vérité incomplètement spécifiées
table de vérité à variables introduites
- expression algébrique (∑∏ et ∏∑ forme générale et forme usuelle),
- simplification de fonctions logiques combinatoires,
- logigrammes,
- théorème d’expansion de Shannon

Bilan des compétences




Chap. 1 :
- compter en binaire naturel et en hexa,,
- effectuer des changements de base : décimal
binaire, décimal
hexa, binaire
hexa,
- créer un code binaire réfléchi sur n bits,
- calculer le complément à 1 et à 2 d’un nombre binaire,
- convertir un nombre en BCD,
- utiliser une table ASCII,
- donner une interprétation d’un nombre selon une représentation choisie.
Chap. 2 :
- identifier les E/S d’un système logique combinatoire à partir d’un cahier des charges
- dresser une table de vérité à partir d’une expression algébrique
- simplifier une fonction logique combinatoire (méthode algébrique et karnaugh)
- réaliser une fonction logique combinatoire à l’aide des opérateurs logiques de bases et usuels
- appliquer le théorème d’expansion de Shannon sur une ou plusieurs variables
- dresser une table de vérité à variables introduites

Exercices d’entrainement :
1.1 Compter en binaire naturel sur 4 bits.
1.2 En binaire naturel quel nombre suit immédiatement : 110100b, 111011b, 11011b, 0001b
1.3 En binaire naturel quel nombre précède immédiatement : 110100b, 111011b, 11011b, 0001b
1.4 En hexa quel nombre suit immédiatement : 1ABh, FFFh, 19h, 15h, 100h
1.5 En hexa quel nombre précède immédiatement : 1ABh, FFFh, 19h, 15h, 100h
1.6 Compter en hexa de 00h à 12h
1.7 Convertir en binaire : 156, 29, 255, 1ABh, 03Eh, 0x26
1.8 Convertir en hexadécimal : 384, 160, 1001010b, 110110010b, 0000111111111b
1.9 Convertir en décimal : 1ABh, 03Eh, 0x26, 10010001b, 11011001b, 1101b
1.10 Sur n bits combien de nombre en binaire naturel peut-on coder ?
1.11 Sur n bits combien de nombre en binaire réfléchi peut-on coder ?
1.12 Sur n bits combien de nombre en GRAY peut-on coder ?
1.13 En binaire réfléchi (sur 3 bits), quel code suit immédiatement 100b, 110b, 000b ?
1.14 En binaire réfléchi (sur 3 bits), quel code précède immédiatement 100b, 110b, 000b ?
1.15 Convertir en BCD les nombres : 25, 124, 55901, 12h, 25h, 100001110100b, 1101111b, 101001b
1.16 Convertir (si possible) en décimal les nombres BCD suivants : 100001110100b, 110111b, 10101001b, 10011001b, 12h, 25h,
1Ah.
1.17 Donner le symbole ayant pour code ASCII : 32h, 10h, 78h, 1110000b, 01001001b, 20, 40
1.18 Donner en hexa le code ASCII des symboles : = + % ESC

2.1 A l’aide des règles et propriétés de l’algèbre de Boole démontrer les égalités suivantes :
Notation :

/A =

A

/A.B =

A•B

F1 = /A./B.(C+/A+B.C) = /A./B
F2 = /(A+B./C) + C.(/A+B) + (C ⊕ B) = B + C
F3 = /(/(A+B) . /(A.B)) + A.B.C + /(B./C) = 1
F4 = A./B./(A+/B+C) . /(B.C) = 0
F5 = B./(A ⊕ B) . (/A ⊕ C) = A.B.C

/(A.B) =

A•B

2.2 Donner l’expression de F6, F7 et F8

A

B

C

F6
F7
F8

2.3 En utilisant des portes à 1, 2 ou 3 entrées donner le logigramme des expressions F9, F10 et F11
(En utilisant les symboles européens, puis en utilisant les symboles américains)
F9 =(C+/A+B.C). /A./B
F10 = /(A+B./C) + (C ⊕ B) + C.(/A+B)
F11 = (/A ⊕ C) ./(A ⊕ B) .B
2.4 Dresser les tables de vérités des expressions F12, F13 et F14 (noter les termes produits et les termes sommes)
F12 = /A.B + /B./C
F13 = (C ⊕ B)./A
F14 = /A./B./C + /A.C + /(A+B+C)
2.5 A partir des tables de vérités suivantes donner les expressions générales et usuelles ∑∏ et ∏∑ de F15, F16 et F17
A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

C
0
1
0
1
0
1
0
1

Termes produits

Termes sommes

F15
1
1
0
1
0
0
1
1

F16
1
0
0
0
0
1
0
1

F17
0
0
1
1
0
0
1
1

2.6 A l’aide de la méthode du tableau de Karnaugh, simplifier les expressions F18, F19 et F20
F18 = /A.B + /B./C +/A.(B⊕C)
F19 = (C ⊕ B)./A + /A./B./C + B.(A+/C)
F20 = /A./B./C./D + /A.C.D + /(A+B+C) + /B.C./D
2.7 Exercice de synthèse
Quatre responsables (A; B; C; D) d’une société peuvent avoir accès à un coffre. Ils possèdent chacun badge différent (respectivement
x0, x1, x2 et x3). Le responsable A ne peut ouvrir le coffre avec son badge qu’en présence des badges des responsables B ou C. Les
responsables B, C et D ne peuvent ouvrir le coffre avec chacun leur badge qu’en présence du badge d’au moins un autre responsable
(quelconque).
Convention choisie :
- badge i présent : xi = 1
- badge i absent : xi = 0
a) Etablir la table de vérité de la variable de sortie S (ouverture du coffre).
b) Donner l’équation logique simplifiée de la serrure S en fonction des badges (présents ou absents) x0, x1, x2 et x3.

2.8 On considère dans tout l’exercice les expressions F18, F19 et F20 :
F18 = /A.B + /B./C +/A.(B⊕C)
F19 = (C ⊕ B)./A + /A./B./C + B.(A+/C)
F20 = /A./B./C./D + /A.C.D + /(A+B+C)
a)

Appliquer le théorème d’expansion de Shannon sur des expressions
principale. En déduire la table de vérité à variables introduites.
b) Appliquer le théorème d’expansion de Shannon sur des expressions
principale. En déduire la table de vérité à variables introduites.
c) Appliquer le théorème d’expansion de Shannon sur des expressions en
principales. En déduire la table de vérité à variables introduites.
d) Appliquer le théorème d’expansion de Shannon sur des expressions en
principales. En déduire la table de vérité à variables introduites.

en considérant les variables A comme variable
en considérant les variables C comme variable
considérant les variables A et B comme variables
considérant les variables B et C comme variables

2.9 A partir des tables de vérités à variables introduites suivantes, donner les expressions algébriques (il n’est pas demandé de les
simplifier) de chacun des fonctions.
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

Termes produits

F21
1
0
C+D
/C

C
0
0
1
1

B
0
1
0
1

Termes produits

F22
A
0
/D
D

A
0
1

Termes produits

F21
B+C
/B

C
0
1

Termes produits

F22
1
B

Eléments de correction
Remarques : nous ne donnons ici qu’une correction très succincte. Tous les exercices devraient être dûment justifiés.
1.1 Compter en binaire naturel sur 4 bits.
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
1.2 En binaire naturel quel nombre suit immédiatement : 110100b, 111011b, 11011b, 0001b
110100b,
110101b
111011b,
111100b
11011b,
11100b
0001b
0010b
1.3 En binaire naturel quel nombre précède immédiatement : 110100b, 111011, 11011, 0001b
110100b,
110011b
111011b,
111010b
11011b,
11010b
0001b
0000b
1.4 En hexa quel nombre suit immédiatement : 1ABh, FFFh, 19h, 15h, 100h
1ABh,
1ACh
FFFh,
1000h
19h,
1Ah
15h,
16h
100h
101h

1.5 En hexa quel nombre précède immédiatement : 1ABh, FFFh, 19h, 15h, 100h
1ABh,
1AAh
FFFh,
FFEh
19h,
18h
15h,
14h
100h
0FFh
1.6 Compter en hexa de 00h à 12h
00h
01h
02h
03h
04h
05h
06h
07h
08h
09h
0ah
0bh
0ch
0dh
0eh
10h
11h
12h
1.7 Convertir en binaire : 156, 29, 255, 1ABh, 03Eh, 0x26
Décimal
156
0

binaire : méthode de la division
2
78
0

2
39
1

2
19
1

2
9
1

2
4
0

2
2
0

2
1
1

Rappel : le dernier reste obtenu est le digit de poids fort

29
1

2
14
0

2
7
1

2
3
1

29 = 11101b
Rem. 256 = 1 0000 0000b = 28
Donc 255 = 0 1111 1111b

2
1
1

2
0

2
0
156 = 10011100b

Binaire hexa : Méthode : remplacer chaque digit hexa par son équivalent binaire sur 4 bits
1ABh = 0001 1010 1011b
03Eh = 0011 1110b
0x26 = 0010 0110b
1.8 Convertir en hexadécimal : 384, 160, 1001010b, 110110010b, 0000111111111b
Décimal hexa : méthode de la division
384
0

16
24
8

16
1
1

16
0

384 = 180h
160
0

16
10
10

16
1

Attention : ne pas oublier d’exprimer les restent obtenus dans la base attendue
160 = A0h
Binaire

hexa : Méthode : remplacer chaque groupe de 4 bits son équivalent hexa (ajouter des 0 sur les poids forts si nécessaire)

1001010b = 0100 1010b = 4Ah
110110010b = 0001 1011 0010 = 1B2h
0000111111111b = 0 0001 1111 1111 = 1FFh

1.9 Convertir en décimal : 1ABh, 03Eh, 0x26, 10010001b, 11011001b, 1101b
Hexa

décimal : méthode de la décomposition polynomiale

1ABh = 1×162 + 10×161 + 11×160 = 427
03Eh = 3×161 + 14×160 = 62
0x26 = 2×161 + 6×160 = 38

(rappel : Ah correspond à 10d, Bh à 11d)
(rappel : Eh correspond à 14d)

Binaire décimal : méthode de la décomposition polynomiale
10010001b = 1×27 +0×26 + 0×25 +1×24 + 0×23 +0×22 + 0×21 + 1×20

= 145

11011001b = 1×27 +1×26 + 0×25 +1×24 + 1×23 +0×22 + 0×21 + 1×20

= 217

1101b = 1×23 +1×22 + 0×21 + 1×20 = 13
1.10 Sur n bits combien de nombre en binaire naturel peut-on coder ?
2n
1.11 Sur n bits combien de nombre en binaire réfléchi peut-on coder ?
2n
n
1.12 Sur n bits combien de nombre en GRAY peut-on coder ?
2
1.13 En binaire réfléchi (sur 3 bits), quel code suit immédiatement 100b, 110b, 000b ? cf tableau suivant
1.14 En binaire réfléchi (sur 3 bits), quel code précède immédiatement 100b, 110b, 000b ? cf tableau suivant
Construction du code de GRAY
Sur 1 bit
Sur 2 bits
Sur 3 bits
0
0 0
0 0 0
1
0 1
0 0 1
1 1
0 1 1
1 0
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0

1.15 Convertir en BCD les nombres : 25, 124, 55901, 12h, 25h, 100001110100b, 1101111b, 101001b .
25d = 0010 0101 bcd
124d = 0001 0010 0100 bcd
12h = 18d = 0001 1000bcd
25h = 37d = 0011 0111bcd
100001110100b = 2164d = 0010 0001 0110 0100bcd
1101111b = 111d = 0001 0001 0001bcd
101001b = 14d = 0001 0100bcd
1.16 Convertir (si possible) en décimal les nombres BCD suivants : 100001110100b, 110111b, 10101001b, 10011001b, 12h, 25h,
1Ah.
100001110100bcd = 1000 0111 0100bcd = 874d
110111bcd = 11 0111b = 0011 0111bcd = 37d
10101001bcd =1010 1001bcd non BCD car le premier paquet de 4 bits (1010) ne correspond pas à un digit décimal (compris entre
0 et 9)
10011001bcd = 1001 1001bcd = 99d
12h(bcd) = 0001 0010 bcd = 12d
25h(bcd) = 0010 0101bcd = 25d
1Ah(bcd) = 0001 1010bcd non BCD car le deuxième paquet de 4 bits (1010) ne correspond pas à un digit décimal (compris entre 0
et 9)

1.17 Donner le symbole ayant pour code ASCII : 32h, 10h, 78h, 1110000b, 01001001b, 20, 40
32h ‘2’
10h DLE
78h ‘x’
1110000b ‘p’
01001001b ‘I’
20 = 14h DC4
40 = 28h ‘(‘
1.18 Donner en hexa le code ASCII des symboles :
‘=’ 3Dh
‘+’ 2Bh
‘%’ 25h
ESC 1Bh
2.1 cf algèbre de Boole
F1 =
=
=
=
=

/A./B.(C+/A+B.C)
/A./B.C + /A./A./B + /A./B.B.C
/A./B./C + /A./B + 0
/A./B.( /C + 1)
/A./B

F2 =
=
=
=
=
=
=
=

/(A+B./C) + C.(/A+B) + (C ⊕ B)
/A./B.C + /A.C + B.C + /B.C + B./C
/A.C.(/B + 1)
+ C.(B + /B) + B./C
/A.B
+
C
+B./C
/A.B
+ (C+B).(C+/C)
/A.B
+ C+B
B(/A + 1) + C
B+C

F3 =
=
=
=
=
=
=
=

/(/(A+B) . /(A.B)) + A.B.C + /(B./C)
/(/A./B.(/A+/B))
+ A.B.C + /B + C
/(/A./A./B+/A./B./B) + C(A.B + 1) + /B
/(/A./B) + C + /B
A + B + C + /B
A + C + B + /B
A+C+1
1

=

+

%

ESC

F4 = A./B./(A+/B+C) . /(B.C)
= A./B./A.B./C./(B.C)
= A./A./B.B./C./(B.C)
= 0.0./C./(B.C)
=0
F6 = B./(A ⊕ B) . (/A ⊕ C)
= B./(/A.B + A./B) . (//A.C+/A./C)
= B./(/A.B)./(A./B).(A.C+/A./C)
= B.(A+/B)
. (/A+B).(A.C+/A./C)
= (A.B + B./B) . (/A.A.C+/A./A./C + A.B.C + /A.B./C)
= (A.B) . (/A.C + A.B.C + /A.B./C)
= A./A.B.C + A.A.B.B.C + A./A.B.B./C
= 0
+ A.B.C
+ 0
= A.B.C
2.2
F6 = /(/(/A.+/(A./B)) . (C⊕/C))
F7 = B. (C⊕/C)
F8 = (C⊕/C) + /B + /(/A.B)
2.3 Rappels :

Expression
algébrique

NON (NOT)
= NOT A

S

=

Symbole
- US

ET (AND)
= A AND B
=A.B

S

A

A

A

S

S

A

A

S
1

Expression
algébrique

Symbole

S= NOT (A . B)

S= NOT (A + B)

A.B

S=

S

A+B

A

S
&

S = A.B + A.B
S

A

S

B

A
B

S
≥1

OU Exclusif (XOR)
S = A XOR B
S= A⊕B

B

A
B

B

NON-OU (NOR)

B

- Européen

A

S
&

B

A

- US

A

NON-ET (NAD)

S=

S

B

B

- Européen

OU (OR)
= A OR B
=A+B

S

S
≥1

A
B

S
=1

2.4 Dresser les tables de vérités des expressions F12, F13 et F14 (noter les termes produits et les termes sommes)
A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

C
0
1
0
1
0
1
0
1

Termes produits
/A./B./C
/A./B.C
/A.B./C
/A.B.C
A./B./C
A./B.C
A.B./C
A.B.C

Termes sommes
A+B+C
A+B+/C
A+/B+C
A+/B+/C
/A+B+C
/A+B+/C
/A+/B+C
/A+/B+/C

F12
1
0
1
1
1
0
0
0

F13
0
1
1
0
0
0
0
0

F14
1
1
0
1
0
0
0
0

2.5 A partir des tables de vérités suivantes donner les expressions générales et usuelles ∑∏ et ∏∑ de F15, F16 et F17
A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

C
0
1
0
1
0
1
0
1

Termes produits

Termes sommes

F15
1
1
0
1
0
0
1
1

F16
1
0
0
0
0
1
0
1

F17
0
0
1
1
0
0
1
1

Forme générale ∑∏
F15 = /A./B./C.1 + /A./B.C.1 + /A.B./C.0+ /A.B.C.1 + A./B./C.0 + A./B.C.0 + A.B./C.1 + A.B.C.1
Forme usuelle ∑∏
F15 = /A./B./C + /A./B.C + /A.B.C + A.B./C + A.B.C
Forme générale ∏∑
F15 = (A+B+C+1).(A+B+/C+1).(A+/B+C+0).(A+/B+/C+1).(/A+B+C+0).(/A+B+/C+0).(/A+/B+C+1).(/A+/B+/C+1)
Forme usuelle ∏∑
F15 = (A+/B+C). (/A+B+C).(/A+B+/C
Forme générale ∑∏
F16 = /A./B./C.1 + /A./B.C.0 + /A.B./C.0+ /A.B.C.0 + A./B./C.0 + A./B.C.1 + A.B./C.0 + A.B.C.1
Forme usuelle ∑∏
F16 = /A./B./C+ A./B.C + A.B.C
Forme générale ∏∑
F16 = (A+B+C+1).(A+B+/C+0).(A+/B+C+0).(A+/B+/C+0).(/A+B+C+0).(/A+B+/C+1).(/A+/B+C+0).(/A+/B+/C+1)
Forme usuelle ∏∑
F16 = (A+B+/C).(A+/B+C).(A+/B+/C).(/A+B+C).(/A+/B+C)
Forme générale ∑∏
F17 = /A./B./C.0 + /A./B.C.0 + /A.B./C.1+ /A.B.C.1 + A./B./C.0 + A./B.C.0 + A.B./C.1 + A.B.C.1
Forme usuelle ∑∏
F17 = /A.B./C+ /A.B.C+ A.B./C + A.B.C
Forme générale ∏∑
F17 = (A+B+C+0).(A+B+/C+0).(A+/B+C+1).(A+/B+/C+1).(/A+B+C+0).(/A+B+/C+0).(/A+/B+C+1).(/A+/B+/C+1)
Forme usuelle ∏∑
F17 = (A+B+C).(A+B+/C).(/A+B+C).(/A+B+/C)
2.6 A l’aide de la méthode du tableau de Karnaugh, simplifier les expressions F18, F19 et F20
F18 = /A.B + /B./C +/A.(B⊕C)

BC
A
0
1

00

01

11

10

1
1

1
0

1
0

1
0

00

01

11

10

1
0

1
0

0
1

1
1

/A

/B./C
F18 = /A + /B./C

BC
A
0
1

/A./B
F19 = /A./B + A.B+B./C

B./C

A.B

/A.C.D
CD
AB
00
01
11
10

00

01

11

10

1
0
0
0

1
0
0
0

1
1
0
0

1
0
0
1

/A./B

/B.C./D

F20 = /A.C.D+/A./B+/B.C./D
2.7 Exercice de synthèse
A
x0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

B
x1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

C
x2
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

x2 x3
x0 x1
00
01
11
10

D
x3
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

S
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1

00

01

11

10

0
0
1
0

0
1
1
1

1
1
1
1

0
1
1
1

S = /x0./x1 + /x2./x3 + x1.x3 + x1.x2 + x0.x2 + x0.x3
2.8
Appliquer le théorème d’expansion de Shannon sur des expressions en considérant les variables A comme variable principale. En
déduire la table de vérité à variables introduites.
F18

= /A.B + /B./C +/A.(B⊕C)
= /A. F18(0,B,C) + A. F18(1, B, C)

avec :

F18(0, B, C) = /0.B + /B./C + /0.(B⊕C) = B + /B./C + /B.C + B./C = B + /B = 1
F18(1, B, C) = /1.B + /B./C + /1.(B⊕C) = 0.B + /B./C + 0.(B⊕C) = /B.C
A
0
1

F18
1
/B.C

Appliquer le théorème d’expansion de Shannon sur des expressions en considérant les variables C comme variable principale. En
déduire la table de vérité à variables introduites.
F18

= /A.B + /B./C +/A.(B⊕C)
= /C. F18(A,B,0) + C. F18(A, B, 1)

avec :

F18(A, B, 0) = /A.B + /B./0+ /A.(B⊕0) = /A.B + /B + /A.B = /A + /B
F18(A, B, 1) = /A.B + /B./1 + /A.(B⊕1) = /A.B + /B.0 + A./B = (A⊕B)

C
0
1

F18
/A+/B
(A⊕B)

Appliquer le théorème d’expansion de Shannon sur des expressions en considérant les variables A et B comme variables principales.
En déduire la table de vérité à variables introduites.
F18

= /A.B + /B./C +/A.(B⊕C)
= /A./B. F18(0,0,C) + /A.B. F18(0,1,C) + A./B. F18(1,0,C) + A.B. F18(1,1,C)

avec :

F18(0, 0, C) = /0.0 + /0./C+ /0.(0⊕C) = /C + C = 1
F18(0, 1, C) = /0.1 + /1./C+ /0.(1⊕C) = 1
F18(1, 0, C) = /1.0 + /0./C+ /1.(0⊕C) = /C
F18(1, 1, C) = /1.1 + /1./C+ /1.(0⊕C) = 0
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

F18
1
1
/C
0

2.9 A partir des tables de vérités à variables introduites suivantes, donner les expressions algébriques (il n’est pas demandé de les
simplifier) de chacun des fonctions.
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

Termes produits
/A./B
/A.B
A./B
A.B

F21
1
0
C+D
/C

F21 = /A./B.1 + /A.B.0 + A./B.(C+D) + A.B./C

C
0
0
1
1

B
0
1
0
1

Termes produits
/C./B
/C.B
C./B
C.B

F22
A
0
/D
D

F22 = /C./B.A + /C.B.0 + C./B./D + C.B.D

A
0
1

Termes produits
/A
A

F21
B+C
/B

F21 = /A.(B+C) + A./B
C
0
1

Termes produits
/C
C

F22 = /C + C.B

F22
1
B



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