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Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices

Exercices sur la r´
eduction
Exercice 1:
D´eterminer la matrice de passage de la base B a` la base B′ .
1. B est la base canonique de R3 et B′ = (~u, ~v , w)
~ avec ~u = (1, 1, 1), ~v = (1, −1, 0) et w
~ = (1, 1, −2).










1 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 1
1 0
0 1

2. B =
,
,
,
et B =
,
,
,
0 0
0 0
1 0
0 1
0 −1
−1 0
0 1
1 0
3. B est la base canonique de R2 [X] et B′ = (−X 2 + 2X + 1, X + 1, X 2 + 2)
4. B = (1, X − 2, X 2 − 3X + 3) et B′ est la base canonique de R2 [X].

Exercice 2:

2

Soit la matrice A = 3
1
Montrer que les vecteurs
associ´ees


 
 
 
0 4
−4
4
2






−4 12 et les matrices colonnes X1 =
3 , X2 =
0
et X3 = 1.
−2 5
2
−1
0
X1 , X2 et X3 sont des vecteurs propres de A et d´eterminer les valeurs propres

Exercice
 3:


7
3 −9
Soit A = −2 −1 2 .
2 −1 −4

1. Soit P (X) = X 3 − 2X 2 − 5X + 6.
a) R´esoudre dans R l’´equation P (x) = 0.
b) Calculer P (A).
c) En d´eduire que l’ensemble des valeurs propres de A est inclus dans {−2; 1; 3}.
2. D´eterminer les valeurs propres de A et pour chaque valeur propre d´eterminer une base du sous-espace
propre associ´e.

Exercice 4:
D´eterminer les valeurs propres des matrices suivantes, ainsi qu’une base des sous-espaces propres associ´es.






1 −2 2
2 4
1 −1 0
1. A =
3. C = −2 1 2
1 −1
2. B = 0 2 −2
−2 −2 5
0 0
3

Exercice 5:

1

1. Soit la matrice A = 0
0

1

2. Soit la matrice B = 0
0
 1
0 2

3. La matrice D = 12 0
1
2

1
2

Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices


4 6
2 5. A est-elle diagonalisable ? A est-elle inversible ?
0 3

3 5
0 4. B est-elle diagonalisable ? B est-elle inversible ?
0 2

1

2
1
2

est-elle diagonalisable ?

0

Page 1

R´eduction des endomorphismes

Exercice 6:
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? Si oui d´eterminer une matrice diagonale D et une
matrice inversible P telles que A = P DP −1

1. A =



5 −6
3 −6




1 0 1
2. A = 0 1 0
1 1 1



4 −3 −1
4. A =  4 −3 −2
−1 1
2


3 0 1
3. A = −1 2 −1
−2 0 0





Exercice 7:
On note B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 .
la base B est :

−1

A = −4
−2

Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans

2 −1
5 −3
2 −1

1. a) Soit u1 = e1 + e2 . Calculer les coordonn´ees de f (u1 ) dans la base B. Que peut-on en d´eduire pour
u1 ?
b) En utilisant la m´ethode de Gauss, montrer que 1 est l’unique valeur propre de f .
c) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? Est-il bijectif ?
2. On consid`ere les ´el´ements de R3 : u2 = pe2 + qe3 et u3 = re1 + se3 , o`
u p, q, r, s sont des r´eels.
a) D´eterminer u2 et u3 pour que :
f (u2) = u1 + u2

et f (u3) = 2u2 + u3

b) V´erifier alors que B′ = (u1 , u2 , u3) est une base de R3 .
´
c) Ecrire
la matrice A′ de f dans la base B′ .
d) Calculer A′−1 (les calculs devront figurer sur la copie) ; en d´eduire A−1 .

Exercice 8:
On consid`ere pour n entier naturel non nul la matrice carr´ee d’ordre 3 suivante :




1
1
1
1
0
0
n
n
n+2
1
An =  −1
et on note I = 0 1 0
n
n
n
1
−1
0 0 1
1
n
n
On note fn l’endomorphisme de R3 repr´esent´e par An relativement a` la base canonique de R3 .



On consid`ere ´egalement les vecteurs de R3 : →
u = (1, 1, −1), →
v = (1, 1, 0) et →
w = (0, −1, 1).
1. D´eterminer pour tout triplet (x, y, z) de R3 l’expression de fn ((x, y, z)) en fonction de n, x, y, z.



2. a) Montrer que →
u,→
v ,→
w sont des vecteurs propres de f .
n




b) Montrer que la famille ( →
u ,→
v ,→
w ) est une base de R3 .
c) En d´eduire une matrice P telle que : 
1 −1 −1
1
– P inversible et P −1 = 0 1
1 −1 0



0 0 0
1
– P −1 An P = Dn , o`
u Dn = I + H et H = 0 1 0
n
0 0 1

3. On pose pour tout entier naturel n non nul Πn = A1 A2 · · · An (avec Π1 = A1 ).
a) Montrer que Πn = P D1 D2 · · · Dn P −1 .

Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices

Page 2

R´eduction des endomorphismes

b) Montrer par r´ecurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul :
D1 D2 · · · Dn = I + nH o`
u H est la matrice d´efinie au 2. c)
c) En d´eduire les neuf coefficients de la matrice Πn .
4. a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul D1 D2 · · · Dn est inversible et que
(D1 D2 · · · Dn )−1 = I −

n
H
n+1

o`
u H est la matrice d´efinie au 2. c)

b) En d´eduire que Πn est inversible et donner les neuf coefficients de Π−1
n .

Exercice 9:
On note B la base canonique de R3 et on d´efinit les matrices :





1 0 0
0 1 0
0 2





I= 0 1 0
N= 0 0 1
Py = 4 0
0 0 1
0 0 0
4 2


1
y
0



3 1 −1
A = 1 1 1 
2 0 2

On note f l’endomorphisme de R3 de matrice A dans la base canonique B.
On note id l’endomorphisme de R3 de matrice I dans la base canonique B.
1. a) Calculer (A − 2I)2 , puis v´erifier que (A − 2I)3 = 03 (matrice nulle de M3 (R)).
b) En d´eduire que le r´eel 2 est l’unique valeur propre de A et d´eterminer une base et la dimension
du sous espace propre de A associ´e a` la valeur propre 2.
2. Montrer par la m´ethode du pivot que Py est inversible si et seulement si y 6= −1.
3. On note dans toute la suite les vecteurs u1 = (0, 4, 4) et u2 = (2, 0, 2).
a) D´eterminer l’unique vecteur u3 de la forme u3 = (1, y, 0) tel que f (u3 ) = u2 + 2u3 .
b) Donner la matrice de passage P de la base B a` la famille B′ = (u1, u2 , u3 ).
Montrer a` l’aide de la question 2) que P est inversible puis justifier que la famille B′ est une base
de R3 .
c) Exprimer f (u1) en fonction de u1 , puis f (u2) en fonction de u1 et u2 .
En d´eduire que la matrice T de l’endomorphisme f dans la base B′ est T = 2I + N.
Donner, en la justifiant en une seule ligne, la relation liant les matrices A, T , P et P −1 .
On cherche maintenant `a d´eterminer l’ensemble S des endomorphismes h de R3 v´erifiant la relation
(R) :
(R)
f ◦h=h◦f
4. a) On note M ′ la matrice de l’endomorphisme h relativement a` la base B′ .
Montrer que :
(R) ⇐⇒ (NM ′ = M ′ N).




a a′ a′′
a a′ a′′
(R) ⇐⇒ M ′ = 0 a a′ .
b) En posant M ′ =  b b′ b′′ , montrer que :
0 0 a
c c′ c′′
c) Calculer la matrice N 2 et en d´eduire que S = vect(id, f − 2id, (f − 2id)2 ).

d) On note G = (I, N, N 2 ). Montrer que G est libre et en d´eduire la dimension de S.
On note F ′ = (id, f, f 2 ). Montrer que F ′ est une base de S.

Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices

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R´eduction des endomorphismes


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