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Les Suites Numériques .pdf



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Chapitre 1:

Les Suites Numériques

1. Définitions et Notations
1.1.

Notations

ℕ : L’ensemble des entiers naturels.
ℤ : L’ensemble des entiers relatifs.
ℚ : L’ensemble des nombres rationnels.
ℝ : L’ensemble des nombres réels.
ℂ : L’ensemble des nombres complexes.

1.2.

Définitions de Base

Définition1: Une suite numérique est une application d’un sous ensemble ℕ1 de
ℕ dans K (K désigne le corps ℝ ou ℂ). On peut alors la présenter comme suit :
𝑢 : ℕ1 ⟶ 𝐾
𝑛 ⟼ 𝑢(𝑛)
 Si 𝐾= ℝ, on dit que 𝑢𝑛 𝑛 est une suite réelle.
 Si 𝐾= ℂ, on dit que 𝑢𝑛 𝑛 est une suite complexe.
On note 𝑢 = 𝑢 𝑛 = 𝑢𝑛 𝑛 ∈ℕ1 ou tout simplement 𝑢𝑛 𝑛 , et on appelle 𝑢𝑛 le
terme général de la suite. 𝑢𝑛 est aussi appelé terme de rang n.

Exemple1 :
1

1) La suite de terme général 𝑢𝑛 = 𝑛 est une suite réelle définie sur ℕ∗ .
2) La suite de terme général 𝑢𝑛 = −1 𝑛 est une suite réelle définie sur ℕ dont les
termes de rang paire valent 1 et ceux de rang impaire -1.
𝜋
𝜋
3) La suite de terme général 𝑢𝑛 = cos 𝑛 4 + 𝑖 sin 𝑛 4 est une suite complexe
définie sur ℕ .
4) La suite de terme général 𝑢𝑛 = 𝑛 − 4 est une suite réelle définie pour n ≥ 4.
1

1.3.

Convergence d’une Suite Numérique

Définition 2 :
 On dit que la suite numérique 𝑢𝑛
vers le scalaireℓ) si :

𝑛 converge

vers ℓ ∈ 𝐾 (ou qu’elle tend

∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − ℓ ≤ 𝜀)
Le scalaire ℓ est appelé limite de la suite et on note ℓ = lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 .
 On dit que la suite numérique 𝑢𝑛 𝑛 converge dans 𝐾 s’il existe ℓ ∈ 𝐾 tel que
𝑢𝑛 𝑛 converge vers ℓ. Autrement dit :
∃ℓ ∈ 𝐾, ∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − ℓ ≤ 𝜀)
 On dit que la suite numérique 𝑢𝑛
limite finie. Autrement dit :

𝑛

diverge si elle ne converge pas vers une

∀ℓ ∈ 𝐾, ∃ 𝜀 > 0, ∀𝑁 ∈ ℕ, ∃𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 𝑒𝑡

𝑢𝑛 − ℓ > 𝜀)

Remarque 1 :
 Si 𝐾= ℝ , le symbole
 Si 𝐾= ℂ, le symbole

désigne la valeur absolue d’un réel.
désigne le module d’un complexe.

Proposition 1 :Si la suite numérique 𝑢𝑛

𝑛

converge alors sa limite est unique.

Proposition 1 :
1) Si la suite numérique 𝑢𝑛 𝑛 converge alors sa limite est unique.
Démonstration : Raisonnons par l’absurde et supposons que la suite 𝑢𝑛 𝑛 converge
et qu’elle admet deux limites ℓ1 et ℓ2 distinctes.
1

Posons 𝜀 = 3 ℓ2 − ℓ1 . On a 𝜀 > 0 et d’après la Définition 2 :
∃𝑁1 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁1 ⟹ 𝑢𝑛 − ℓ1 ≤ 𝜀)
∃𝑁2 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁2 ⟹ 𝑢𝑛 − ℓ2 ≤ 𝜀)
Notons 𝑁 = max 𝑁1 , 𝑁2 et utilisons la première inégalité triangulaire, on obtient
alors :
2
ℓ2 − ℓ1 = ℓ2 − 𝑢𝑁 + 𝑢𝑁 − ℓ1 ≤ ℓ2 − 𝑢𝑁 + 𝑢𝑁 − ℓ1 ≤ 2𝜀 = ℓ2 − ℓ1
3
2
⟹1≤
3
Ce qui est absurde.
On conclut alors que la suite 𝑢𝑛

𝑛

converge vers une limite unique.

2

Définition 3 :
 On dit que la suite réelle 𝑢𝑛

𝑛

tend vers +∞ si :

∀ 𝐴 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≥ 𝐴)
et on note lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 = +∞.
 On dit que la suite réelle 𝑢𝑛

𝑛

tend vers −∞ si :

∀ 𝐵 < 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≤ 𝐵)
et on note lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 = −∞.

Remarque 2 :
 La nature d’une suite numérique est le fait qu’elle converge ou elle diverge.
 D’après la proposition 1, si la suite numérique admet plus qu’une limite alors
elle diverge.
 Si la suite réelle tend vers +∞ ou −∞ alors on dit qu’elle est divergente.

Pour mieux illustrer la convergence et la divergence d’une suite numérique, on donne
l’exemple suivant :

Exemple 2 :
1) Soit 𝑢𝑛

𝑛

1

la suite de terme générale 𝑢𝑛 =𝑛+1 sin(𝑛) avec 𝑛 ∈ ℕ.
lim 𝑢𝑛 = 0

𝑛→+∞

La Fig. 1 est le graphe représentant les 101 premiers termes de cette suite. Comme on
le constate, quel que soit la valeur strictement positive de 𝜀 , on peut trouver un rang
𝑁 à partir duquel tous les termes de rangs supérieurs à 𝑁 sont à une distance de 0
inférieur à 𝜀.

3

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

ℓ+𝜀
ℓ=00
ℓ−𝜀

0

20

40

-0,1

60

80

100

120

N

-0,2

Fig. 1 Illustration graphique de la définition de la convergence

2) La suite de terme général 𝑢𝑛 = −1
différentes ℓ1 = 1 et ℓ2 = −1.

𝑛

diverge car elle admet deux limites

1,5
1
0,5
0
0

2

4

6

8

10

-0,5
-1
-1,5

Fig. 2 Suite ne possédant pas une limite unique.

4

3) La suite de terme général 𝑢𝑛 = 𝑛2 diverge car elle tend vers +∞.
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0

5

10

15

20

Fig. 3 Suite qui tend vers +∞.

4) La suite de terme général 𝑢𝑛 =−(𝑛2 ) diverge car elle tend vers −∞.

0
0

5

10

15

-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400

Fig. 4 Suite qui tend vers −∞.

L’exemple suivant nous donne la méthode de démonstration :
a) qu’un scalaire ℓ est une limite d’une suite 𝑢𝑛
b) une suite tend vers +∞.
5

𝑛

;

20

Exemple 3 :
1) Soit 𝑢𝑛

𝑛

la suite de terme général 𝑢𝑛 =

Montrons que

2𝑛−1
𝑛+1

, 𝑛 ∈ ℕ.

lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 = 2 c-à-d :

∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − 2 ≤ 𝜀)
Soit 𝜀 > 0, cherchons le 𝑁qui vérifie ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − 2 ≤ 𝜀
𝑢𝑛 − 2 =
⟹𝑛≥

2𝑛 − 1
−3
3
−2 =
=
≤ 𝜀
𝑛+1
𝑛+1
𝑛+1

3
−1
𝜀

Il suffit de prendre pour 𝑁 le premier entier strictement supérieur à
𝑁=

3
𝜀

3
𝜀

− 1,

− 1 + 1.

2) Montrons que la suite de terme général 𝑢𝑛 = 𝑛 tend vers +∞ c-à-d :
∀ 𝐴 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≥ 𝐴).
Soit 𝐴 > 0, cherchons le 𝑁 qui vérifie, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≥ 𝐴.
𝑢𝑛 = 𝑛 ≥ 𝐴.
Il suffit de prendre pour 𝑁 le premier entier strictement supérieur à 𝐴,
𝑁 = 𝐴 +1

La proposition suivante rassemble quelques résultats très importants de convergence
des suites numériques.

Proposition 2 :
1) Si une suite réelle à termes positifs (resp. négatifs) converge, sa limite est un
réel positif (resp. négatif).
2) Si la suite numérique 𝑢𝑛 𝑛 converge vers le scalaire ℓ alors la suite réelle de
terme général 𝑢𝑛 converge vers le réel positif ℓ .
3) La suite numérique 𝑢𝑛 𝑛 converge vers 0 si et seulement si la suite réelle de
terme général 𝑢𝑛 converge vers 0.

Démonstration :
1) Considérons une suite 𝑢𝑛 𝑛 à termes positifs qui converge vers un réel ℓ qu’on
suppose< 0 (raisonnement par l’absurde).
1

Prenons 𝜀 = 2 ℓ . D’après la définition 2 :
6

1

∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − ℓ ≤

2

ℓ.

𝑢𝑛 − ℓ ≤

1

2

1
1
⇔ ℓ ≤ 𝑢𝑛 − ℓ ≤ − ℓ
2
2
3

⇔ 2 ℓ ≤ 𝑢𝑛 ≤

1
2

ℓ < 0.

Ce qui est impossible (𝑢𝑛 ≥ 0, ∀𝑛) donc ℓ ≥ 0.
2) Supposons que la suite numérique 𝑢𝑛

𝑛

converge vers un scalaire ℓ, c-à-d :

∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − ℓ ≤ 𝜀)
D’après la deuxième inégalité triangulaire, on a :
𝑢𝑛 − ℓ ≤ 𝑢𝑛 − ℓ ≤ 𝜀.
On en déduit que : ∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − ℓ ≤ 𝜀
Ainsi 𝑢𝑛 converge vers le réel positif ℓ .
3) On a :
lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 = 0 ⇔ ∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − 0 ≤ 𝜀)
⇔ ∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≤ 𝜀)
⇔ ∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: (𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 − 0 ≤ 𝜀)
⇔ lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 = 0.

Remarque 3 :
On ne peut pas conclure la nature de la suite 𝑢𝑛 𝑛 à partir de la nature de la suite
𝑢𝑛 𝑛 sauf si 𝑢𝑛 𝑛 converge vers 0 comme précise la Proposition 2.

Exemple 4 :
Considérons la suite de terme général 𝑢𝑛 = −1 𝑛 .
La suite de terme général 𝑢𝑛 converge vers 1 tandis que la suite 𝑢𝑛

7

𝑛

diverge.

1.4 Suites Bornées
Définition 4 :
 Une suite numérique 𝑢𝑛

𝑛

est dite bornée si :

∃ 𝑀 ∈ ℝ∗+, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑢𝑛 ≤ 𝑀
 Une suite réelle 𝑢𝑛

𝑛 est

dite majorée si

∃ 𝑀 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑢𝑛 ≤ 𝑀
M est alors appelé un majorant de la suite réelle 𝑢𝑛
 Une suite réelle 𝑢𝑛

𝑛 est

𝑛.

dite minorée si

∃𝑚 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑢𝑛 ≥ 𝑚
m est alors appelé un minorant de la suite réelle 𝑢𝑛

𝑛.

Exemple 5 :
La suite de terme général 𝑢𝑛 = sin 𝑛 est bornée car :
∀𝑛 ∈ ℕ: sin( 𝑛) ≤ 1.
⇔ ∀𝑛 ∈ ℕ: − 1 ≤ sin( 𝑛) ≤ 1.
Donc 1 est un majorant et -1 est un minorant.

Proposition 3 : Toute suite numérique 𝑢𝑛

𝑛

convergente est bornée.

Démonstration :
Supposons que la suite numérique 𝑢𝑛

𝑛

converge vers un ℓ, alors pour 𝜀 = 1 on a :

∃𝑁1 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁1 ⟹ 𝑢𝑛 − ℓ ≤ 1.
Donc pour 𝑛 ≥ 𝑁1 : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛 − ℓ + ℓ ≤ 𝑢𝑛 − ℓ + ℓ ≤ 1 + ℓ .
Il suffit de prendre M = max

𝑢0 , 𝑢1 , … . . , 𝑢𝑁1 −1 , 1 + ℓ .

Proposition 4:
1) Une suite réelle est bornée ssi elle est à la fois majorée et minorée, c-à-d :
∃ 𝑀, 𝑚 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑚 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑀.
2) Toute suite réelle qui tend vers +∞ est minorée et toute suite réelle qui tend
vers −∞ est majorée.
8

Démonstration : Exercice.

Remarque 4 :
 Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente.
 Une suite réelle tendant vers +∞ n’est pas majorée mais une suite qui n’est
pas majorée ne tend pas nécessairement vers +∞.

Exemple 6 :
1) La suite de terme général 𝑢𝑛 = −1 𝑛 est bornée par 1 mais qui diverge.
2) La suite de terme général 𝑢𝑛 = −1 𝑛 𝑛 n’est pas majorée mais elle ne tend pas
vers +∞.

2. Propriétés de Suites Numériques
Proposition 5:
Soient 𝑢𝑛 𝑛 et 𝑣𝑛 𝑛 deux suites numériques convergeant respectivement vers
ℓ et ℓ′ et soit 𝜆 un scalaire, a lors :
1)
2)
3)
4)

La suite “somme”: 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 𝑛 converge vers ℓ+ ℓ′ .
La suite “produit”: 𝑢𝑛 × 𝑣𝑛 𝑛 converge vers ℓ × ℓ′ .
La suite: 𝜆 × 𝑢𝑛 𝑛 converge vers 𝜆 × ℓ.
𝑢

Si ℓ′ ≠ 0, la suite: 𝑣𝑛 converge vers ℓ′ .
𝑛

𝑛

Remarque 5 :
 Si la suite 𝑢𝑛 𝑛 converge et 𝑣𝑛 𝑛 diverge alors lasuite 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 𝑛 diverge.
 Si les deux suites 𝑢𝑛 𝑛 et 𝑣𝑛 𝑛 divergent alors on ne peut rien conclure pour
la n a t u r e d e l a suite 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 𝑛 , elle peut diverger ou converger.
 La notation × est le produit défini sur ℂ et devient le produit normal dans ℝ
donc on peut écrire 𝑢𝑛 𝑣𝑛 𝑛 .

Exemple 7 :
Les suites de terme général 𝑢𝑛 = −1 𝑛 et 𝑣𝑛 = −1
terme général 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 est la suite nulle qui converge.

𝑛+1

divergent mais la suite de

Dans le cas de suites réelles, on peut résumer les propriétés de la proposition 5 plus
d’autres dans les tableaux suivants :

9

𝑣𝑛
𝑢𝑛

+∞
−∞

ℓ′

+∞

−∞

ℓ+ ℓ′

+∞
+∞
IND

−∞
IND
−∞

+∞
−∞

ℓ′ > 0

ℓ′ = 0

ℓ′ < 0

+∞

−∞

ℓ>0
ℓ=0
ℓ<0

ℓℓ′

ℓℓ′

+∞
−∞

+∞
−∞

0
0
0
IND
IND

+∞
IND
−∞
+∞
−∞

−∞
IND
+∞
−∞
+∞

𝑣𝑛
𝑢𝑛

0
ℓℓ′

0
ℓℓ′

−∞
+∞

lim ( 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 )

𝑛→+∞

lim ( 𝑢𝑛 𝑣𝑛 )

𝑛→+∞

Proposition 6:
Si 𝑢𝑛 𝑛 est une suite réelle born´ee et si 𝑣𝑛 𝑛 est une suite réelle qui converge
vers 0, alors la suite 𝑢𝑛 𝑣𝑛 𝑛 converge vers 0.

Démonstration : Exercice.

Exemple 8 :
1

Considérons la suite de terme général 𝑢𝑛 = 𝑛 sin 𝑛 .
Puisque sin 𝑛

≤ 1 pour tout n c-à-d bornée et lim

1

𝑛→+∞ 𝑛

= 0 alors :

sin 𝑛
=0
𝑛→+∞
𝑛
lim

Proposition 7: (Passage à la limite dans les inégalités)
Soient 𝑢𝑛

𝑛

une suite réelle convergeant vers un réel ℓ et 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ2 .

1) Si tous les termes de la suite 𝑢𝑛 𝑛 sont minorés par le réel 𝑎 à partir d’un
certain rang alors ℓ ≥ 𝑎. Autrement dit,
(∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≥ 𝑎 ) ⟹ ℓ ≥ 𝑎.
2) Si tous les termes de la suite 𝑢𝑛 𝑛 sont majorés par le réel 𝑏 à partir d’un
certain rang alors ℓ ≤ 𝑏. Autrement dit,
(∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≤ 𝑏 ) ⟹ ℓ ≤ 𝑏.
3) Si tous les termes de la suite 𝑢𝑛 𝑛 à partir d’un certain rang appartiennent à
un intervalle 𝑎, 𝑏 alors ℓ ∈ 𝑎, 𝑏 . Autrement dit,
(∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑎 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑏 ) ⟹ 𝑎 ≤ ℓ ≤ 𝑏.

10

Théorème 1: (Théorème d’encadrement)
Soient 𝑢𝑛

𝑛,

𝑣𝑛

𝑛 et

𝑤𝑛

𝑛

trois suites réelles vérifiant :

∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 ≤ 𝑤𝑛 .
1) Si les suites 𝑢𝑛 𝑛 , 𝑣𝑛 𝑛 et 𝑤𝑛 𝑛 convergent respectivement vers ℓ1 , ℓ2 et
ℓ3 alors ℓ1 ≤ ℓ2 ≤ ℓ3 .
2) Si les suites 𝑢𝑛 𝑛 et 𝑤𝑛 𝑛 convergent vers une même limite ℓ ∈ ℝ alors la
suite 𝑣𝑛 𝑛 converge vers ℓ.
Exemple9 :
1

Revenant à l’exemple 8 avec 𝑢𝑛 = 𝑛 sin 𝑛 .
Puisque −1 ≤ sin 𝑛 ≤ 1 pour tout n alors :
∀𝑛 ∈ ℕ∗ : −
Ainsi lim

𝑛→+∞

sin 𝑛
𝑛

=0

Proposition 8:Soient 𝑢𝑛
1) Si la suite 𝑢𝑛
2) Si la suite 𝑣𝑛

1

lim − 𝑛 = lim

car

𝑛

1 sin 𝑛
1


𝑛
𝑛
𝑛
𝑛 →+∞ 𝑛

𝑛→+∞

et 𝑣𝑛

𝑛

1

= 0.

deux suites réelles vérifiant :

∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑁 ⟹ 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 .
tend
vers +∞ alors la suite 𝑣𝑛 𝑛 tend vers +∞.
𝑛
𝑛 tend vers −∞ alors la suite 𝑢𝑛 𝑛 tend vers −∞.

3. La Monotonie
Définition 5:
 On dit que la suite réelle 𝑢𝑛






est croissante si :
∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑢𝑛 +1 ≥ 𝑢𝑛 .
On dit que la suite réelle 𝑢𝑛 𝑛 est strictement croissante si :
∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑢𝑛 +1 > 𝑢𝑛 .
On dit que la suite réelle 𝑢𝑛 𝑛 est décroissante si :
∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑢𝑛 +1 ≤ 𝑢𝑛 .
On dit que la suite réelle 𝑢𝑛 𝑛 est strictement décroissante si :
∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑢𝑛 +1 < 𝑢𝑛 .
On dit que la suite réelle est monotone si elle est croissante ou décroissante.
On dit que la suitréelle est strictement monotone si elle est strictement
croissante ou strictement décroissante.
𝑛

11

Remarque 6 :
 Une suite peut n’être ni croissante ni décroissante.
 Pour connaitre la monotonie d’une suite, il suffit de voir le signe de 𝑢𝑛 +1 − 𝑢𝑛
𝑢
ou de calculer 𝑢𝑛 +1 (si tous les termes de la suite sont strictement positifs) et
𝑛

voir s’il est ≤ 1 ou ≥ 1.
 La monotonie d’une suite complexe ne peut pas avoir de sens puisque ℂ n’est
pas muni d’une relation d’ordre.

Exemple 10 :
1) La suite de terme général 𝑢𝑛 =
puisque pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ :
𝑢𝑛 +1 − 𝑢𝑛 =

1
𝑛
𝑘=1 𝑘 𝑝
1
𝑛+1 𝑝

où 𝑝 ∈ ℕ∗ est strictement croissante

> 0 ⇔ 𝑢𝑛 +1 > 𝑢𝑛 .

1

2) La suite de terme général 𝑢𝑛 = 𝑒 2𝑛+𝑛 où 𝑛 ∈ ℕ∗ est strictement croissante
puisque pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ :
𝑢 𝑛 +1
𝑢𝑛

= 𝑒

1
𝑛 (𝑛 +1)

2−

1

.
1

Comme 0 < 𝑛 (𝑛+1) < 1pour 𝑛 ∈ ℕ∗, on a 1 < 2 − 𝑛(𝑛+1) < 2 alors :
𝑢 𝑛 +1
𝑢𝑛

> 𝑒 1 > 1 ⇔ 𝑢𝑛 +1 > 𝑢𝑛 .

Proposition 9:
1) Si les suites réelles 𝑢𝑛 𝑛 et 𝑣𝑛 𝑛 sont croissantes (resp. décroissantes)
alors la suite 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 𝑛 est croissante (resp. décroissante).
2) Si les suites réelles 𝑢𝑛 𝑛 et 𝑣𝑛 𝑛 sont à termes positifs et croissantes (resp.
décroissantes) alors la suite 𝑢𝑛 × 𝑣𝑛 𝑛 est croissante (resp. décroissante).
3) Si la suite réelle 𝑢𝑛 𝑛 est croissante (resp. décroissante) alors pour tout réel
𝜆 positif la suite 𝜆. 𝑢𝑛 𝑛 est croissante (resp. décroissante) et pour tout réel
𝜇 négatif la suite 𝜇. 𝑢𝑛 𝑛 est décroissante (resp. croissante).

Démonstration : Exercice (la vérification est très facile).
Théorème 2:
1) Toute suite croissante et majorée converge vers ℓ = 𝑠𝑢𝑝 𝑢𝑛 𝑛 ∈ ℕ}.
2) Toute suite décroissante et minorée converge vers ℓ = 𝑖𝑛𝑓 𝑢𝑛 𝑛 ∈ ℕ}.
12

Démonstration :
1) La partie 𝐴 = 𝑢𝑛 𝑛 ∈ ℕ} de ℝ est non vide et major´ee. Une telle partie a
une borne supérieure. Soit ℓ cette borne supérieure, c’est un majorant de 𝐴 et
c’est le plus petit des majorants de 𝐴.
Puisque ℓ est un majorant on a 𝑢𝑛 ≤ ℓ p our tout 𝑛 .
Soit 𝜀 > 0. Comme ℓ est le plus petit majorant le nombre ℓ − 𝜀 n’est pas un
majorant de 𝐴, donc il existe un 𝑁 tel que :
ℓ − 𝜀 < 𝑢𝑁 .
Comme 𝑢𝑛

𝑛 est

croissante, on a: 𝑢𝑛 ≥ 𝑢𝑁 pour 𝑛 ≥ 𝑁.

On a donc pour 𝑛 ≥ 𝑁:
ℓ − 𝜀 < 𝑢𝑁 ≤ 𝑢𝑛 ≤ ℓ < 𝑙 + 𝜀 .
D’où : 𝑢𝑛 − ℓ ≤ 𝜀 c-à-d : ℓ = lim𝑛 →+∞ 𝑢𝑛 .
2) Même principe pour 2

13


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