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NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
On donne z = 3 + 3i et z ′ = −1 + 2i

z
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : z1 = z − z ′ ; z2 = z ⋅ z ; z3 = z 2 ; z4 = z ′3 ; z5 =

z′

Exercice n°2.
1) Calculer i 2 , i3 et i 4

2) En déduire la valeur de i 2006 et de i 2009 , puis les entiers naturels n tels que i n est imaginaire pur
3) Déterminer les entiers naturels n tels que (1 + i ) soit un réel négatif.
n

Exercice n°3.
Résoudre dans ℂ :

z −i
= 4i
z +1
3z1 + z2 = 1 − 7i
2) Le système d’inconnues complexes z1 et z2 : 
iz1 + 2 z2 = 11i

1) Les équations 5 z + 2i = (1 + i ) z − 3 et

3) Les équations 2 z + i z = 3 et z 2 + z ⋅ z = 0

(

4) Les équations −2 z 2 + 6 z − 5 = 0 et z 2 + 2

)( z 2 − 4 z + 4) = 0

Exercice n°4.

Pour tout complexe z = x + iy , avec x et y réels, z ≠ −1 , on considère le complexe z ′ défini par : z ′ =

1) On note z ′ = x′ + iy ′ , avec x’ et y’ réels. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y
2) Déterminer l’ensemble M des points d’affixe z tels que z ′ soit réel.

z −i
z +1

Exercice n°5.

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal ( O; u ; v ) , on considère les points A,B,C et D d’affixes respectives :

z A = −1 − 5i , z B = 4 − 3i , zC = 3 + 3i et z D = −2 + i
1) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
2) Déterminer l’affixe du point C’, symétrique du point C par rapport à D





3) Déterminer l’affixe du point A’ vérifiant DA′ = DB + DC
4) Quelle est la nature du quadrilatère A’BC’D ?

Exercice n°6.
On considère le plynôme P ( z ) suivant : P ( z ) = z 3 + 9iz 2 + 2 ( 6i − 11) z − 3 ( 4i + 12 )

1) Démontrer que l’équation P ( z ) = 0 admet une solution réelle z1
2) Déterminer un polynôme Q ( z ) tel que P ( z ) = ( z − z1 ) Q ( z )

3) Démontrer que l’équation Q ( z ) = 0 admet une solution imaginaire pure z2
4) Résoudre dans ℂ l’équation P ( z ) = 0

5) On note z3 la 3ième solution de l’équation P ( z ) = 0 . Démontrer que les points du plan complexe A,B et C d’affixes
respectives z1 , z2 et z3 , sont alignés
Exercice n°7.
Déterminer le module, un argument et une forme exponentielle de chacun des nombres donnés :

1 1
1
3
2
i . En déduire module et argument de z1 ⋅ z2 , z1 ⋅ z3 et ( z2 )
z1 = 6 − i 2 , z2 = − − i et z3 = − +
2 2
2 2

Exercice n°8.

 1+ i 3 
Ecrire 1 + i 3 et 1 − i sous la forme trigonométrique et simplifier : z = 
 1 − i 



20

Exercice n°9.

VRAI

Affirmation

FAUX

Pour tout z ∈ ℂ , z imaginaire pur ⇔ z = − z
Pour tout z ∈ ℂ , z = − z
Pour z ∈ ℂ et z ′ ∈ ℂ , z = z ′ ⇔ z = z ′
Si Re ( z ) < −2 , alors z > 2
Pour tout z ∈ ℂ , 1 + iz = 1 + z 2
Exercice n°10.
Déterminer et représenter dans chaque cas, l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie la relation donnée :
1) z − 3 = z − 3i

2) 2 − 3i + z = 2 + 3i
3) z − 4 + i = 1

()

4) arg z = arg ( − z ) ( 2π )
Exercice n°11.
1) Résoudre dans ℂ l’équation z 2 − 2 z + 4 = 0 . On désigne par z1 la solution de partie imaginaire positive et par z2
l’autre solution
2) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions z1 et z2

3) Déterminer le module et un argument de ( z1 ) et ( z2 )

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ( O; u ; v ) , on considère les points A,B,A’ et B’ d’affixes respectives :
2

2

1 + i 3 , 1 − i 3 , −2 + 2i 3 et −2 − 2i 3
4) Déterminer la nature du quadrilatère AA’B’B
5) Démontrer que le triangle AA’B’ est rectangle.

6) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant z − 1 + i 3 = 2 3 .
Exercice n°12.
Pour tout nombre complexe z, on définit : P ( z ) = z 3 + 2

(

)

(

)

2 −1 z2 + 4 1− 2 z − 8

1) Calculer P(2). Déterminer une factorisation de P(z) par (z-2)
2) Résoudre dans ℂ l’équation P ( z ) = 0
On appelle z1 et z2 les solutions de l’équation autres que 2, z1 ayant une partie imaginaire positive.
Vérifier que z1 + z2 = −2 2 . Déterminer le module et un argument de z1 et de z2 .

3) a) Placer dans le plan, muni d’un repère orthonormal direct ( O; u ; v ) (unité graphique : 2 cm), les points :
A d’affixe 2, B et C d’affixes respectives z1 et z2 , et I milieu de [AB]
b) Démontrer que le triangle OAB est isocèle.

( )


En déduire une mesure de l’angle u ; OI

c) Calculer l’affixe z I de I, puis le module de z I
d) Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos



et sin
8
8

Exercice n°13.
On considère le polynôme P défini par P ( z ) = z 4 − 6 z 3 + 24 z 2 − 18 z + 63

( )

(

)

1) Calculer P i 3 et P −i 3 . Déterminer le polynôme Q du second degré à coefficients réels tel que pour tout z ∈ ℂ ,

(

)

on a P ( z ) = z 2 + 3 Q ( z )

2) Résoudre dans ℂ l’équation P ( z ) = 0


3) Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O; u ; v ) (unité graphique : 2 cm) les points A,B,C et D

d’affixes respectives : z A = i 3 ; zB = −i 3 ; zC = 3 + 2i 3 et zD = zC

4) On note E le symétrique de D par rapport à O. Placer le point E sur le dessin. Montrer que

−i π
zC − zB
= e 3 et
zE − zB

déterminer la nature du triangle BEC
Exercice n°14.


z = z −6

.
z étant un complexe, on note ( S ) le système 
π
2
arg(
z
)
2
k
,
k
Z
=
+

π

2


(

)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v .

1) Donner le module et un argument des trois complexes suivants : a = 3 + i
b = −2 + 2i
c = 3 + 3i
2) Parmi les complexes a, b et c, lesquels sont solutions du système ( S ) ? ( justifier la réponse).
3) M étant le point d’affixe z, et A étant le point d’affixe 6, traduire géométriquement les deux contraintes de ( S ) .
4) Résoudre le système ( S ) par la méthode de votre choix.
Exercice n°15.

(



Soit le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct O; e1 ; e2

)

On définit dans P une suite de points ( M n )n∈ℕ d'affixes zn définies par :

z0 = 8 et pour tout entier naturel n, zn +1 =

1+ i 3
zn
4

1) Calculer zn en fonction de n.
2) Pour tout entier naturel n , calculer le rapport

zn +1 − zn
zn +1

En déduire la nature du triangle OM n M n +1 et montrer que : M n M n +1 = kOM n +1 , où k est un réel strictement positif à
déterminer .
3) Si rn est le module de zn , donner la limite de rn si n tend vers plus l'infini. Quelle interprétation géométrique peut-on
donner ?
Exercice n°16.
On considère l’application f du plan qui à tout point M, d’affixe z distincte de 2i, associe le point d’affixe :

z +i
z − 2i
1) Pour z ≠ 2i , on pose z = 2i + reiθ , avec r>0 et θ ∈ ℝ . Ecrire z ′ − 1 à l’aide de r et θ

z′ =

2) A est le point d’affixe 2i
a) Déterminer l’ensemble E1 des points M pour lesquels z ′ − 1 = 3
b) Déterminer l’ensemble E2 des points M pour lesquels arg ( z ′ − 1) =
c) Représenter les ensembles E1 et E2

π
4

( 2π )


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