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Exercices limites et continuité

Exercice 1 : limite finie en l'infini
1
Soit f la fonction définie sur]0;+ ∞[ par f(x) = 3 + .
x
1) Soit r un réel strictement positif et I = ]3 – r;3 + r[.
1
Montrer que, si x > , alors f(x) ∈ I.
r
2) En déduire la limite de f en + ∞, en utilisant la définition.
3) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) – 3 < 10-3 ?
Exercice 2 : continuité
Soit f la fonction définie sur Y par :
f(x) = 2ax² + 5 si x < 2 et f(x) = 2x – 1 si x > 2.
Déterminer a pour que f soit continue en 2.
Exercice 3 : calcul de limites
Déterminer les limites suivantes :
x
a) lim
x→- ∞ 3 - sin x
x² - 4
b) lim+
x→ 2
2- x
1
cos x 2
c) lim
π
x→π/3
x3
Exercice 3 : QCM
-2x² + 7x – 4
est :
3-x
-∞

1) La limite en + ∞ de la fonction f définie sur Y \ {3} par f(x) =
0

2

+∞

3

2) La limite en - ∞ de la fonction f définie sur  - ∞ ; 
2 

x² + x3 + 1
par f(x) =
est :
3x – 4x3
1
1
+∞
-∞
3
4
(2x – 3)(x² + 1)
3) Soit f la fonction définie sur Y \ {-1 ;1} par f(x) =
.
(1 – x²)²
f admet pour limite en + ∞ :
0
-2
-∞
+∞

1

Terminale S

Exercices limites et continuité

4) Soit f la fonction définie sur Y \ {3} par f(x) =

2011-2012

-2
.
(x – 3)²

La limite de f en 3 est :
-2
-∞

+∞

N’existe pas
1 – cos(x)
5) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =
.
x
La limite en + ∞ de f est :
+∞
0
1
x3 + 1
6) Soit f la fonction définie sur Y\{-1} par f(x) =
.
x+1
La limite de f en -1 est :
1
3
+∞
7) Soit f la fonction définie sur ]3 ; + ∞[ par f(x) =.

N’existe pas

-∞

x- 3
.
x-3

La limite de f en 3 est :
+∞

3

1
2 3

8) Soit f la fonction définie sur ]1 ; 5[ par f(x) =.
La limite de f en 1 est :
-∞

+∞

1
3
x–4
.
x² - 6x + 5

1

-3

9) Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; -1[ par f(x) =. x² - 1 + x.
La limite de f en - ∞ est :
-∞

+∞

1
2

0

1
2
10) Soit f la fonction définie sur ]1 ; + ∞[ par f(x) =.
+ .
x – x² x
La limite de f en 1 est :
2
-∞
+∞
N’existe pas
1
11) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =.x sin .
x
La limite de f en 1 est :
N’existe pas
+∞
0
1
12) Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =. x
La limite de f en 0 est :
1
0

1
1+ .
x

+∞

2

Terminale S

Exercices limites et continuité

2011-2012

13) La courbe représentative de la fonction f définie sur Y \ {-2} par
x² + 3x – 2
f(x) =
admet pour asymptote la droite d’équation :
x+2
y=x
x = -2
y=x+1
y = -2
14) La courbe représentative de la fonction f définie sur ]-1; + ∞[ par
x² - 3
f(x) =
admet pour asymptote la droite d’équation :
x+1
y=x

y=x-1

x = -1

x=-

3

Exercice 4 :
Calculer : lim ( 2x² + 5x + 1 + x + 1)
x→− ∞

3


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