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Formation SEREPT – Octobre 2014
Sp´ecialit´e Automatismes

egulation Industrielle
Joseph Hagg`ege
Ing´enieur ENIT
´
Docteur, Agr´eg´e en G´enie Electrique
Maˆıtre de Conf´erences `a l’ENIT
email : joseph.haggege@enit.rnu.tn

PLAN

1. Introduction `a la r´egulation industrielle
2. Repr´esentation et mod´elisation des proc´ed´es industriels
3. Proc´ed´es industriels et boucles de r´egulation
4. R´egulateurs pour les proc´ed´es industriels
5. Commande num´erique et supervision des proc´ed´es industriels
6. Identification des param`etres d’un proc´ed´e industriel


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

2

1. Introduction `
a la r´
egulation industrielle


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

3

La r´
egulation industrielle
R´egulation des proc´ed´es industriels : ensemble de moyens mat´eriels et
techniques utilis´es pour maintenir constante une grandeur physique `
a

egler, ´egale `a une valeur d´esir´ee appel´ee consigne.
L’action de la r´egulation se manifeste lors :
– d’un changement de consigne par l’op´erateur
– d’une perturbation ext´erieure.
La r´egulation provoque alors, au moyen d’un signal de commande, une
variation d’une grandeur physique, appel´ee grandeur r´
eglante, agissant
sur la grandeur physique `a r´egler.
Objectifs de la r´egulation : optimiser les performances du proc´ed´e r´egul´e
en termes de :
– stabilit´e
– pr´ecision

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J. Hagg`
ege

4

– temps de r´eponse
– consommation d’´energie
– qualit´e des produits
– respect de l’environnement
– ...
Terminologie anglo-saxonne :
– grandeur `a r´egler = Process Variable (PV) ou Controlled Variable
– consigne = Set Point (SP)
– perturbation = Disturbance (D)
– grandeur r´eglante = Manipulated Variable (MV)
– signal de commande = Controller Output (OP)
– r´egulateur = Controller


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J. Hagg`
ege

5

Exemple : r´
egulation de temp´
erature d’un ´
echangeur thermique
Régulateur
Air
Signal de commande:
position de la vanne

Consigne:
introduite par
l'opérateur

Capteur de température
Utilisation: fluide à
température constante
Grandeur à régler:
température de sortie
du fluide

Vapeur
Vanne
Grandeur réglante:
débit de vapeur
Echangeur
Perturbations:
- variation débit de charge
- variation température d'entrée de la charge
- variation de la température de la vapeur
Charge: fluide à chauffer


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J. Hagg`
ege

6

Dans cet exemple :
– L’´echangeur thermique est le proc´ed´e sur lequel est appliqu´ee la r´egulation
– Le capteur de temp´erature, le r´egulateur et la vanne constituent le
mat´eriel utilis´e pour la r´egulation
– La r´egulation se fait en boucle ferm´ee (feedback), c’est le type de r´egulation le plus souvent utilis´e.
Principe de la r´egulation en boucle ferm´ee :
Perturbations

Alimentation

Grandeur
réglante

Procédé

Actionneur

Grandeur
à régler

Capteur
Consigne

signal de
commande
Régulateur


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ege

Transmetteur

7

Mat´
eriels pour la r´
egulation
– R´egulateurs monoblocs analogiques et num´eriques

(d'après catalogue OMRON)

– Automates programmables (API) munis de modules d’E/S analogiques

(d'après catalogue Siemens)


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ege

8

– Syst`emes num´eriques de contrˆole commande (SNCC) de proc´ed´e

(d'après La Revue POLYTECHNIQUE, 01/2012)


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ege

9

– Syst`emes embarqu´es reconfigurables d’acquisition et de commande

(d'après catalogue National Instrument)


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ege

10

Quelques techniques de r´
egulation
– Structures de commande :
• R´egulation en boucle ouverte (a priori, tendance)
• R´egulation en boucle ferm´ee (Feedback),
• R´egulation mixte (Feedforward, association d’une boucle ferm´ee et
d’une boucle ouverte)
• R´egulation cascade (plusieurs boucles ferm´ees imbriqu´ees)
• R´egulation par retour d’´etat (utilisation de variables internes)
– Types de r´egulateurs dans une boucle de r´egulation :
• R´egulateurs discontinus (tout ou rien, avec ou sans hyst´er´esis)
• R´egulateurs lin´eaires avec actions proportionnelle, int´egrale, d´eriv´ee
(P, PI, PD, PID)
• R´egulateurs auto-adaptatifs
• R´egulateurs par logique floue

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J. Hagg`
ege

11

– Boucles de r´egulation particuli`eres :
• R´egulation split-range (utilisation de plusieurs grandeurs grandeurs
r´eglantes pour r´eguler une variable de proc´ed´e)
• R´egulation de rapport (maintien d’une proportion constante entre
deux ou plusieurs grandeurs)
• R´egulation par pr´edicteur de Smith (compensation des retards sur
les entr´ees du proc´ed´e)
• R´egulation multivariable (d´ecouplage de boucles en interaction)
• R´egulation par lots (batch control, op´erations de r´egulations et d’automatismes logiques altern´ees)


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J. Hagg`
ege

12

Objectifs de cette formation
– Repr´esenter, mod´eliser et analyser les proc´ed´es industriels
– Comprendre les fonctions r´ealis´ees par diff´erents types de r´egulateurs
– Connaˆıtre les composants mat´eriels constituant une boucle de r´egulation
– D´eterminer exp´erimentalement les param`etres des mod`eles des proc´ed´es
´etudi´es
– Concevoir et mettre au point des boucles de r´egulation en technologies
analogique ou num´erique


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ege

13

2. Repr´
esentation et mod´
elisation des proc´
ed´
es industriels


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ege

14

Nature des proc´
ed´
es industriels
Proc´ed´e : partie ou ´el´ement d’une unit´e de production industrielle. Exemples :
´echangeur thermique comportant une r´egulation de temp´erature, r´eservoir dont le niveau est r´egul´e, . . .
On distingue les proc´
ed´
es continus des proc´
ed´
es discontinus (appel´es ´egalement proc´ed´es par lot ou proc´ed´es batch.
Proc´ed´e continu : les produits d’entr´ee du proc´ed´e sont introduit de mani`ere continue et les produits de sortie sont ´elabor´es de mani`ere ininterrompue. Exemple : colonne de fractionnement butane/propane.
Proc´ed´e discontinu : le produit de sortie est obtenu en quantit´e d´etermin´ee lors d’une proc´edure de fabrication compl`ete. Exemple : autoclave
dans lequel les produits d’entr´ee sont introduits en quantit´es donn´ees, le
chauffage a lieu pendant une dur´ee d´etermin´ee, le produit fini est vidang´e,
puis le cycle peut recommencer.
Dans les deux types de proc´ed´es, les boucles de r´egulation sont identiques.

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J. Hagg`
ege

15

Repr´
esentation des proc´
ed´
es industriels
Une repr´esentation d’un proc´ed´e permet de sch´ematiser les ´el´ements du
proc´ed´e afin de comprendre son fonctionnement, de l’´etudier puis de
concevoir les boucles de r´egulation appropri´ees.
Diff´erentes repr´esentations sont possibles :
– sch´ema de principe
– sch´ema blocs ou sch´ema fonctionnel (Block Diagram)
– plan de circulation des fluides ou sch´ema de proc´ed´e (Process Flow
Diagram, PFD)
– sch´ema de proc´ed´e (ou tuyauterie) et instrumentation (Process [ou
Piping] and Instrumentation Diagram, P&ID)
Ces repr´esentations diff`erent par leur degr´e de pr´ecision et de normalisation.

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J. Hagg`
ege

16

Sch´
ema de principe
Utilis´e pour comprendre le principe de fonctionnement du proc´ed´e.
Exemple : sch´ema de principe de l’´echangeur thermique
vanne

régulateur

transmetteur
capteur
eau
vapeur

échangeur

Ce type de sch´ema a l’avantage d’ˆetre tr`es explicite, mais n’est pas du
tout pratique :
– pour le dessin industriel des sch´emas, en particulier dans le cas de l’utilisation de logiciels de CAO
– pour repr´esenter des proc´ed´es complexes, comportant de nombreuses
boucles de r´egulation

egulation industrielle

J. Hagg`
ege

17

Sch´
ema blocs ou sch´
ema fonctionnel
Repr´esentation graphique simplifi´ee d’un proc´ed´e complexe, permettant
de donner un aper¸cu rapide du proc´ed´e, consid´er´e du point de vue de ses
entr´ees/sorties et de l’action r´ealis´ee par le proc´ed´e.

{

E1
Grandeurs E2
E3
d'entrée

.
.
.

Procédé

.
.
.

{

S1
S2 Grandeurs
S3 de sortie

Un sch´ema blocs (ou sch´ema fonctionnel) est constitu´e de cadres rectangulaires (blocs) reli´es par des lignes d’action.


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J. Hagg`
ege

18

Exemple : sch´ema blocs de l’´echangeur thermique
débit de fluide à chauffer
débit de vapeur

Echangeur
thermique

température du fluide

Capteur de
température

vanne

Transmetteur
Régulateur
consigne de température

Les blocs repr´esentent l’action d’´el´ements tels que les proc´ed´es, les r´egulateurs, les capteurs, les actionneurs, etc.
Les lignes d’action repr´esentent le cheminement des signaux de commande et de mesure, celui des flux massiques et ´energ´etiques, ainsi que
les interactions entre les sous-syst`emes constituant le proc´ed´e.
Le choix des grandeurs repr´esent´ees dans le sch´ema bloc d´epend du rˆole
qu’elles jouent dans la r´egulation consid´er´ee.

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J. Hagg`
ege

19

Plan de circulation des fluides (PCF) ou sch´
ema de proc´
ed´
e
(Process Flow Diagram, PFD)
Sch´ema faisant apparaˆıtre :
– les appareils (cuves, ´echangeurs . . .)
– les organes de puissance (pompes, agitateurs . . .)
– la nature et le sens d’´ecoulement des fluides
– les grandeurs physiques utiles
Exemples :
Agitateur M

QA

Echangeur

T2

QR

T3

Vapeur chaude
T1

Vers
utilisation
Réacteur


egulation industrielle

Fluide à chauffer

T4

Pompe

J. Hagg`
ege

20

Unité de raffinage de pétrole

tour de refroidissement

pompe à vide

cuve
produit
1

ballon
de reflux

four
cuve
d'alimentation
colonne

réacteurs

cuve
produit
2

cuve de
résidus

chaudière


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

21

Sch´
ema de proc´
ed´
e (ou tuyauterie) et instrumentation
(Process [ou Piping] and Instrumentation Diagram, P&ID)
Plan de circulation des fluides instrument´
e, c-`a-d compl´et´e par les appareils de mesure, les appareils de contrˆole et de calcul, les actionneurs.
Le P&ID repr´esente ´egalement les liaisons entre ces divers appareils.
Repr´esentation normalis´ee par l’International Society of Automation (ISA).
Symbolisation des liaisons :
électrique

pneumatique

numérique
tube
capillaire

mécanique

hydraulique
gainée

électromagnétique

S
S
S

x x x

procédé

Symbolisation des instruments : cercle avec indication de la localisation
de l’appareil de mesure, son type, sa fonction et son num´ero d’ordre.
XYZ
123


egulation industrielle

montage
sur site

XYZ
123

montage
en local
technique

J. Hagg`
ege

XYZ
123

montage
en salle
de contrôle

22

La premi`ere lettre indique la
grandeur mesur´ee :
P : Pression
F : D´ebit (Flow)
T : Temp´erature
D : Densit´e
L : Niveau (Level)
A : Analyse
S : Vitesse (Speed)
Le niveau actif peut ˆetre ´egalement indiqu´e :
L
H
LL
HH

:
:
:
:

Bas (Low)
Haut (High)
Tr`es bas (Low Low)
Tr`es haut (High High)


egulation industrielle

Les lettres suivantes indiquent le
type d’appareil et/ou la fonction :
T : Transmetteur
I : Indicateur
A : Alarme
S : S´ecurit´e
E : Capteur (Element)
R : Enregistreur (Recorder)
C : R´egulateur (Controller)
Le num´ero identifie la boucle de r´egulation `a laquelle appartient l’instrument de mesure. On utilise aussi
la notation xxx.yyy o`u xxx indique le
num´ero de la boucle et yyy le num´ero
de l’appareil dans cette boucle.
J. Hagg`
ege

23

Tableau des symboles utilis´es :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M

Premi`ere lettre (Grandeur mesur´ee)
Analyse (%)
Brˆuleur (Combustion)
Conductivit´e ´electrique (S, Ω−1)
Masse volumique (kg/m3) /Densit´e
Tension, Force ´electromotrice (V)
D´ebit (Flow) (kg/s, m3/heure)
Au choix de l’utilisateur
Commande manuelle (Hand)
Intensit´e de courant ´electrique (A)
Puissance (kW)
Temps ou programmation (s)
Niveau (Level) (m)
Humidit´e (Moisture) (%)


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J. Hagg`
ege

Autres lettres (Fcts instruments)
Alarme
Au choix de l’utilisateur
R´egulateur (Controller)
Diff´erence (Differential)
´ ement primaire)
Capteur (El´
Rapport (Fraction)
Vitre (Glass)
H – Haut HH – Tr`es haut
Indicateur
Scrutation (Correction)
Poste de contrˆole
L – Bas LL – tr`es bas
Moyen Interm´ediaire
24

Tableau des symboles utilis´es (suite) :
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z

Premi`ere lettre (Gdeur mesur´ee)
Au choix de l’utilisateur
Au choix de l’utilisateur
Pression (MPa)
Quantit´e
Rayonnement (Lux, Lumen)
Vitesse (speed) (m/s)
Temp´erature (K)
Variables multiples
Viscosit´e ou vibrations
Masse (kg) / force (N)
Au choix de l’utilisateur
Au choix de l’utilisateur
Position


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Autres lettres (Fcts instruments)

Ouverture diaphragme (Restriction)
Prise de test
Int´egration / totalisation, Compteur
Enregistreur (Recorder)
Commutation (Switch), s´ecurit´e
Transmetteur
Multifonctions
Vanne
Protection
Automatisme
Relais, conversion, calcul math´ematique
Actionneur (non r´ef´erenc´e)

J. Hagg`
ege

25

Exemples d’appareils souvent utilis´es :
PT

transmetteur
de pression

LT

transmetteur
de niveau

FT

transmetteur
de débit

FE

TE

AI

PI

analyseur
indicateur

AT

indicateur
de pression

TI

analyseur
transmetteur

indicateur
de température

TR

enregistreur
de température

SI

indicateur
de vitesse

capteur
de débit

LIC

régulateur
indicateur
de niveau

PIC

régulateur
indicateur
de pression

capteur
de température

FIC

régulateur
indicateur
de débit

AIC

régulateur
indicateur
d'analyse


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

TIC

PAL

LSH

FCV

régulateur
indicateur
de température
alarme de
pression
sur niveau
bas
sécurité
sur niveau
haut
vanne
régulatrice
de débit

26

Repr´esentation des appareils de calcul :
.Y

Le point repr´esente la premi`ere lettre qui indique la grandeur trait´ee.
La lettre Y signifie qu’il s’agit d’une fonction math´ematique effectu´ee sur
cette grandeur.

Dans le cadre,∫ on indique la nature de la fonction : Σ (somme),
(racine carr´ee), (int´egrale), + (addition), − (soustraction), × (multiplication), % (division ou proportion), A/R (avance/retard), I/P conversion
courant/pression, . . .
Exemples :
I/P
PY

convertisseur
courant/pression
dans boucle de
pression


egulation industrielle

FY

extracteur de
racine carrée
dans boucle de
débit

J. Hagg`
ege

I/E
TY

conversion
courant/tension
dans boucle de
température

27

Repr´esentation d’autres ´equipements : vannes, pompes, agitateurs, ´echangeurs, etc.
vanne manuelle

vanne
1/4 de tour

vanne automatique,
servomoteur à membrane

vanne de régulation avec
positionneur pneumatique

M
M

moteur

agitateur

pompe centrifuge

échangeur
de chaleur


egulation industrielle

clapet
anti-retour

vanne de régulation avec
positionneur électro-pneumatique

S

électrovanne

vanne
solénoïdale

pompe
volumétrique

condenseur

J. Hagg`
ege

diaphragme
(capteur de débit)

TZ

ballon,
cuve

actionneur non référencé
(dans boucle de température)

chaudière

four

28

Exemples de P&ID :
Régulation de niveau

Régulation de température
débit de
charge
FCV
1

FCV
1

consigne
LIC
1

échangeur
débit
d'entrée

débit
vapeur

ALH
1
niveau

consigne
TIC
1


egulation industrielle

TE
1

température
de sortie

J. Hagg`
ege

LT
1
LE
1

29

Unité de raffinage de pétrole


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

30

Mod´
elisation des proc´
ed´
es industriels
Mod´eliser un proc´ed´e consiste `a d´eterminer une repr´esentation sous forme
d’un ensemble d’´
equations math´
ematiques `a partir du proc´ed´e r´eel.
Il s’agit donc d’´elaborer un syst`
eme d’´
equations alg´
ebriques :
F (y, u) = 0
permettant d’´etablir les relations entre les entr´ees u et les sorties y du
proc´ed´e.
Dans le cas o`u on s’int´eresse `a l’´evolution du proc´ed´e au cours du temps,
les ´equations se pr´esentent sous la forme d’un syst`
eme diff´
erentiel :
F (t, y, y,
˙ y¨, . . . , u, u,
˙ u¨, . . . ) = 0
L’objectif de la mod´elisation en r´egulation industrielle est d’´etudier le
proc´ed´e et le simuler sur ordinateur afin de lui concevoir les boucles de
r´egulation appropri´ees.
Un « bon » mod`ele doit donc avoir un comportement le plus proche
possible du proc´ed´e qu’il est sens´e mod´eliser.

egulation industrielle

J. Hagg`
ege

31

Diff´
erents types de mod`
eles


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

Classification des mod`eles :
importante
connaissance théorique
du procédé

– mod`
eles empiriques (ou mod`eles comportementaux, ou mod`eles de commande), bas´es uniquement sur l’information exp´erimentale
– mod`
eles de connaissance
pure bas´es uniquement sur la
connaissance th´eorique du proc´ed´e
– mod`
eles ph´
enom´
enologiques
mˆelant lois ph´enom´enologiques
et approches empiriques
– mod`
eles « hybrides » combinant les diff´erentes approches

faible

majoritairement utilisé
modèle de
en régulation industrielle
connaissance
pure
modèle
phénoménologique
modèle
hybride
modèle
empirique

faible

information expérimentale

importante

La conception des boucles de r´egulation pour un proc´ed´e s’appuie, dans la majorit´e des cas, sur
l’exploitation d’un mod`
ele empirique obtenu `a l’aide de techniques d’identification, `a partir d’essais exp´erimentaux.
32

Mod`
eles comportementaux utilis´
es en r´
egulation industrielle
Les mod`eles comportementaux ou mod`eles de type « boˆıte noire » sont
construits par une approche « par induction », c’est-`a-dire un genre de
raisonnement qui se propose de chercher des lois g´en´erales `a partir de
l’observation de faits particuliers.
Il peut s’agir de :
– mod`eles bas´es sur la r´eponse `a un ´echelon ou `a une impulsion
– mod`eles r´esultant d’une analyse statistique
– fonctions de transfert (pour les proc´ed´es lin´eaires ou lin´earis´es)
– polynˆomes (relations entr´ees/sorties statiques)
– r´eseaux de neurones
Les fonctions de transfert constituent un outil de mod´elisation particuli`erement puissant pour repr´esenter les proc´ed´es lorsque la dynamique
des grandeurs physiques `a r´eguler se limite `a de « petites » variations
autour de points de fonctionnement fix´es.

egulation industrielle

J. Hagg`
ege

33

Fonctions de transfert
Les fonctions de transfert permettent de mod´eliser une classe de proc´ed´es
dits « lin´
eaires », c’est-`a-dire pouvant ˆetre d´ecrits par des ´equations
diff´erentielles lin´eaires de la forme :
m
n


aiy (i) =
bj u(j)
i=0

j=0

avec n > m, n ´etant l’ordre du syst`eme. Cette ´equation diff´erentielle
constitue une repr´
esentation temporelle du syst`eme.
En prenant la transform´ee de Laplace de cette ´equation, les conditions
initiales ´etant suppos´ees identiquement nulles, il vient :
m
n


aipiY (p) =
bj pj U (p)
i=0

egulation industrielle

j=0
J. Hagg`
ege

34

La fonction de transfert H(p) du proc´ed´e est d´efinie comme ´etant le
rapport des transform´ees de Laplace de la sortie et de l’entr´ee du syst`eme
avec des conditions initiales nulles :
m

bj pj
Y (p) j=0
= n
H(p) =

U (p)
aipi
i=0

Les fonctions de transfert sont associ´ees aux sch´emas blocs :
Y(p) = H(p)U(p)

U(p)
H(p)

Elles permettent de repr´esenter les relations dynamiques entre l’entr´ee
et la sortie d’un ´el´ement quelconque d’un proc´ed´e complexe : capteur,
actionneur, r´egulateur, ´el´ement de proc´ed´e, . . .

egulation industrielle

J. Hagg`
ege

35

Domaine de validit´
e du mod`
ele « fonction de transfert »
Ce mod`ele n’est g´en´eralement valable que pour de petites variations des
grandeurs physiques autour d’un point de fonctionnement.
U = U0 + u

système

Y = Y0 + y

u

H(p)

y

(Y0, U0) repr´esente un point de fonctionnement du syst`eme, c’est-`a-dire
une solution de l’´equation alg´ebrique F (Y, U ) = 0 qui repr´esente la
relation entre l’entr´ee et la sortie du syst`eme en r´egime statique.
(u, y) sont des variations de faible amplitude autour du point de fonctionnement, reli´ees par une ´equation diff´erentielle lin´eaire.
L’amplitude maximale admissible pour ces variations peut ˆetre d´etermin´ee
exp´erimentalement, en examinant l’´ecart entre la sortie du syst`eme r´eel
et celle du mod`ele lin´eaire consid´er´e.
Ainsi, plusieurs mod`eles lin´eaires peuvent ˆetre d´efinis pour un mˆeme syst`eme, selon le point de fonctionnement choisi.

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J. Hagg`
ege

36

Sch´
emas fonctionnels `
a base de fonctions de transfert
Les sch´emas fonctionnels (ou sch´emas blocs) permettent de repr´esenter
des syst`emes complexes par des interconnexions de syst`emes ´el´ementaires,
repr´esent´es par leurs fonctions de transfert.
– interconnexion en cascade (ou en s´erie) :
U ( p)

H1 ( p )

H 2 ( p)

Y ( p)



U ( p)

H1 ( p ) H 2 ( p )

Y ( p)

– interconnexion en parall`ele :
H1 ( p )
U ( p)

+
+

Y ( p)



U ( p)

H1 ( p ) + H 2 ( p )

Y ( p)

H 2 ( p)

– interconnexion en contre-r´eaction :
Y c ( p)

ε ( p)

+


G ( p)

Y ( p)



Y c ( p)

G ( p)

Y ( p)

1 + G ( p) H ( p )

H ( p)


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

37

Manipulation des sch´
emas fonctionnels
Les sch´emas fonctionnels peuvent ˆetre transform´es afin d’ˆetre simplifi´es.
Exemple :
H3 ( p)

Y c ( p)

H3 ( p)

+
+−

H1 ( p)

+


H2 ( p)

Y ( p)

Y c ( p)



+
+

H1 ( p)

+


H4 ( p)



Y ( p)

H5 ( p)

H3 ( p )
H1 ( p )

H3 ( p )
H1 ( p )

+
+

+


H2 ( p)

H4 ( p)

H5 ( p)

Y c ( p)

+−

H1 ( p)

Y ( p)

H2 ( p)
1+ H2 ( p) H4 ( p)



Y c ( p)

+
+


H5 ( p)

H1 ( p ) H 2 ( p )
1+ H2 ( p) H4 ( p)

Y ( p)

H5 ( p)

H3 ( p )
H1 ( p )



Y c ( p)

+
+

+


H1 ( p ) H 2 ( p )
1+ H2 ( p) H4 ( p)

Y ( p)



Y c ( p)

H ( p)
1+ 3
H1 ( p )

H1 ( p ) H 2 ( p )
1+ H2 ( p) H4 ( p)
H ( p ) H 2 ( p ) H5 ( p )
1+ 1
1+ H2 ( p) H4 ( p)

Y ( p)

H5 ( p)




egulation industrielle

Y c ( p) H p + H p
1( )
3( )
H1 ( p )

H1 ( p ) H 2 ( p )
1 + H 2 ( p ) H 4 ( p ) + H1 ( p ) H 2 ( p ) H 5 ( p )

Y ( p)

J. Hagg`
ege



Y c ( p)

H 2 ( p ) ( H1 ( p ) + H 3 ( p ) )

Y ( p)

1 + H 2 ( p ) H 4 ( p ) + H1 ( p ) H 2 ( p ) H 5 ( p )

38

Fonction de transfert harmonique
La fonction de transfert harmonique est obtenue en appliquant `a l’entr´ee
du syst`eme un signal sinuso¨ıdal :
u(t) = Um sin ωt
En r´egime permanent, la sortie est :
y(t) = Ym sin(ωt + φ)
la fonction de transfert harmonique du syst`eme est le nombre complexe
H(jω) tel que :
Ym
|H(jω)| =
et ∠H(jω) = φ
Um
La fonction de transfert H(jω) est ´egalement appel´ee fonction de transfert isochrone tandis que H(p) est la fonction de transfert isomorphe.
La fonction de transfert H(jω) peut ´egalement ˆetre obtenue `a partir de
H(p) en prenant p = jω.

egulation industrielle

J. Hagg`
ege

39

Repr´
esentations de la fonction de transfert harmonique :
Lieux harmoniques
Lieu de Nyquist : ensemble des
points d’affixe H(jω) dans le plan
complexe, ω ∈ [0, +∞].

Lieu de Black : repr´esentation
de |H(jω)|dB = 20 log |H(jω)|
en fonction de ∠H(jω)˚.

Im

H ( jω )

ϕ=

ω2

ϕ

ω1

ω4

ω1

ω=0
O

H ( jω ) dB

ω3

uuuur
OM = H ( jω )

Re

ω=0
H ( jω )

o

M
ω4

ω2

ω3

Les lieux de Nyquist et de Black sont gradu´es en ω et orient´es dans le
sens des ω croissants.

egulation industrielle

J. Hagg`
ege

40

Lieux de Bode : repr´esentation de |H(jω)|dB et ∠H(jω)˚ en fonction
de ω.
H ( jω ) dB

100

101

102

103

ω

(échelle logarithmique)
H ( jω )

o

100

101

102

103

ω

Les lieux de transfert harmoniques
sont principalement utilis´es pour :
– l’´etude de la stabilit´e des syst`emes autour de points de fonctionnement
– la conception des r´egulateurs
dans les boucles de r´egulation
Dans le cas de syst`emes connect´es en cascade, les lieux de Bode
du syst`eme r´esultant sont obtenus
par simple addition graphique des
syst`emes constituant la cascade.


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

41

Processus ´
el´
ementaires
Ce sont des syst`emes qui permettent, par interconnexions, de mod´eliser
des processus plus complexes.
Syst`
eme du 1er ordre :
C’est un syst`eme d´efini par une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 :
dy
τ + y(t) = K u(t)
dt
o`u τ est la constante de temps du syst`eme et K son gain statique.
La fonction de transfert du syst`eme est obtenue en prenant la transform´ee
de Laplace des deux membres de l’´equation diff´erentielle, les conditions
initiales ´etant suppos´ees nulles :
τ pY (p) + Y (p) = K U (p)
d’o`u :
Y (p)
K
H(p) =
=
U (p) 1 + τ p

egulation industrielle

J. Hagg`
ege

42

Lieux de Bode :


eponse indicielle :
u(t) = Γ(t)

KdB = 20 log K

0d
−2

1

H ( jω ) dB

de

ca

B/

KdB − 3dB

t

0

ω = ωc

y(t)

lieux asymptotiques
H ( jω ) °

K
0,63K

0

ω



τ

t

La constante de temps τ apparaˆıt comme le temps de r´eponse `a 63% et le gain K =
H(0) comme le rapport sortie/entr´ee en r´egime permanent
(t → +∞, p → 0).

egulation industrielle

ω
(échelle
logarithmique)

−45°

−90°

La pulsation de coupure `a -3 dB ωc = τ1
d´efinit la bande passante du syst`eme.
Celle-ci est inversement proportionnelle
au temps de r´eponse du syst`eme.
J. Hagg`
ege

43

Syst`
eme du 2nd ordre :
Un syst`eme du second ordre est d´efini par une ´equation diff´erentielle
pouvant s’´ecrire sous la forme standard suivante :

avec ω0 :
ξ :
K :

d2y
dy
2y = Kω 2u(t)
+
2ξω
+
ω
0
0
0
dt
dt2
pulsation naturelle
coefficient d’amortissement
gain statique

Fonction de transfert :
Kω02
Y (p)
H(p) =
= 2
U (p) p + 2ξω0p + ω02
On peut classer les syst`emes du second ordre d’apr`es leur coefficient
d’amortissement ξ qui caract´erise la nature de leur r´eponse indicielle.

egulation industrielle

J. Hagg`
ege

44

Lieux de Bode :


eponses indicielles :
R´eponses ap´eriodiques

H ( jω ) dB
QdB = 20 log Q

y(t)

ξ < 0,7

KdB

K
ξ

Hr dB = KdB + QdB

ξ ≥ 0,7

=1

0 dB
ξ

,9
=1

ω0
−4
0

log ω

dB

/dé
cad

ξ ≥1

e

∠H ( jω ) °

t

ξ=



0,1

log ω

ξ=
0,9

R´eponses oscillatoires amorties

−90°

−180°

ξ=

0, 4

y(t)

K
ξ

=1

ξ ≤1

t


egulation industrielle

L’amortissement critique ξ = 0,7 d´etermine l’apparition d’une√
r´esonance
`a la pulsation ωr = ω0 1 − 2ξ 2,
d’amplitude Hr = K × Q, o`u Q =
√1
est le facteur de r´esonance.
2


J. Hagg`
ege

1−ξ

45


etermination des param`
etres par essai indiciel :

π
Temps de pic : tp = √
ω0 1 − ξ 2

(cas o`u ξ < 1)
y(t)

Premier d´epassement :

D1 : premier dépassement

− √πξ

D1 = Ke
K

tp

D´epassement relatif : δ = D1/K

: gain
statique

: temps de pic = instant du premier dépassement

t

Amortissement :
ξ = −√

ln δ

π 2 + (ln δ)2
Pulsation naturelle :
π
ω0 = √
tp 1 − ξ 2

Gain statique : K = lim y(t)
t→+∞


egulation industrielle

1−ξ 2

J. Hagg`
ege

46

Syst`
eme int´
egrateur :
Syst`eme d´efini par l’´equation diff´erentielle :

dy
1
Ti = u(t) ⇔ y(t) =
u(t)dt
dt
Ti
Ti : temps d’int´egration
R´eponse indicielle :

Fonction de transfert :
Y (p)
1
H(p) =
=
U (p) Tip

y(t)

pente = 1/Ti

Fonction de transfert harmonique :
1
1
= −j
H(jω) =
jωTi
ωTi


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

1
Ti
t

47

Lieux de Bode :
H ( jω ) dB

−20
d

B/d
écad

e

0 dB

ω = 1/Ti

ω
(échelle
logarithmique)

H ( jω ) °

ω


Les lieux de Bode de l’int´egrateur sont identiques aux
lieux de Bode asymptotiques
d’un syst`eme du premier
ordre aux hautes pulsations.
Un syst`eme du premier ordre
se comporte donc comme un
int´egrateur pour les pulsations ´elev´ees.

−90°


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

48

Syst`
eme d´
erivateur :
Syst`eme d´efini par l’´equation diff´erentielle :
du
y(t) = Td
dt
Fonction de transfert :
Y (p)
H(p) =
= Td p
U (p)

Syst`eme irr´ealisable en pratique
(d˚ Num > d˚ Den), on utilise
une d´
eriv´
ee filtr´
ee :
Td p
H(p) =
Td
1+ Np
avec N ≫ 1.
R´eponse indicielle :

Fonction de transfert harmonique :
y(t)

H(jω) = jωTd = jωTd
Les lieux de Bode se d´eduisent de
ceux de l’int´egrateur par sym´etrie
par rapport `a l’axe des pulsations.


egulation industrielle

J. Hagg`
ege

N
t
Td
N

49

Syst`
eme `
a retard pur :
Syst`eme repr´esent´e par une ´equation fonctionnelle :
y(t) = u(t − T )
T : retard pur (ou d´elai de transport) introduit par ce syst`eme.
La sortie du syst`eme est ´egale `a
l’entr´ee retard´ee de T :
u(t)

y(t)

Fonction de transfert :
Y (p)
H(p) =
= e−T p
U (p)
Fonction de transfert harmonique :
H(jω) = e−jωT

t

0
T


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J. Hagg`
ege

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