Les suites réelles (1).pdf


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fn+1 (xn+1 ) − fn+1 (xn ) = 1 - xn n+1 ln(xn ) = 1 - xn (xn ln xn ) = 1 - xn < 0
d’où xn+1 < xn et par suite la suite (xn ) , n > 2 est strictement décroissante.
5. t n ln⁡(t n ) = (xn )n ln(xn )n =n(xn )n ln(xn ) = nfn (xn ) = n car fn xn = 1
6. pour x > 0, on pose g la fonction définie par g(x) = xln(x) – x + 1
g est bien définie, continue et dérivable sur ]0 ; + ∞[ et tel que g’(x) = ln(x) qui
s’annule en 1
On a limx→O + g(x) = 1 et limx→+∞ g(x) = + ∞ et g(1) = 0, donc g est positive sur
]0 ; + ∞[ c’est-à-dire pour tout x > 0, xln(x) – x + 1 > 0 ou x – 1 < xln(x).
On a pour x > 0, xn > 1 cela entraine que (xn )n > 1 d’où t n > 1 ça d’une part
D’autre part t n − 1 ≤ t n ln⁡
(t n ) c’est-à-dire t n − 1 ≤ n ou t n ≤ n + 1. En résulte que
1 ≤ tn ≤ n + 1 .
7. on a 1 ≤ t n ≤ n + 1 signifie 1 ≤ (xn )n ≤ n + 1
signifie ln(1) ≤ ln(xn )n ≤ ln⁡(n + 1)
( car la fonction ln est strictement croissante sur [1 ; + ∞[)
signifie 0 ≤ nln xn ≤ ln⁡
(n + 1)
signifie 0 ≤ ln xn ≤
signifie 1 ≤ xn ≤ 𝑒

ln ⁡
(n+1)
n

ln ⁡
(n +1)
n

( 1 = 𝑒0)

( car la fonction exponentielle est strictement croissante sur [0 ; + ∞[ )
8. On a la suite xn est décroissante et minorée par 1 donc elle est convergente
et comme limn→+∞

ln ⁡
(n+1)

limn→+∞ xn = 1.

n

= 0, alors limn→+∞ 𝑒

ln ⁡
(n +1)
n

= 1 cela entraine que