Les suites réelles (1).pdf


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 La suite U, étant croissante et majorée donc elle converge vers un réel l. Comme,
pour tout n de IN, Un ≥ 0 alors l ≥ 0
3) On a : Un + 1 = f(Un) où f est la fonction x

2 + x. La fonction f étant continue,

On déduit du corollaire précédent que : l = f(l) c'est-à-dire l = 2 + l . Il suit : l = 2

IV – Etude de suites définies par une somme
Exercice 1 :
Enoncé :
1

Soit la suite U définie sur IN* par : Un =

12

1

+

+

22

1
32

+ …………+

1
𝑛2

1) Etudier la monotonie de la suite U.
2) a) Montrer que, pour tout k ≥ 2,

1

1

<

k2

k −1



1
k

b) En déduire que, pour tout n de IN*, Un ≤ 2 −

1
𝑛

3) En déduire que la suite U est convergente et que la limite est inférieure ou égale à 2

Corrigé :
1

1

1

22

1) Un + 1 – Un = ( 2 +
=

1

1
k −1

1
32

+ ……+

1
𝑛2

+

1
(𝑛+1)2

1



k

=

1
k2 − k

>

1
k2

1

1
32

<
<

1
2 −1
1
3 −1

.

.

.

.
1

(𝑛−1)2

<

1
22

+

1
32

en effet 0 < k 2 – k < k 2

b) D’après l’inégalité précédente, on déduit que :
22

1

1

)−( 2+

+ ⋯……+

> 0. Donc la suite U est strictement croissante.

(𝑛+1)2

2) a) Pour k ≥ 2,

+




1
2
1
3

1
𝑛−2



1
𝑛−1

1
𝑛2

)