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Nom original: RESUME SUITES REELLES.pdf
Titre: Limite d’une suite réelle
Auteur: Boubaker Tabbabi

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L.S.C.J.Gafsa

RESUME DE COURS
( suites réelles 4è.)

B.Tabbabi

Limite d’une suite réelle
Théorème
Soit  un  une suite réelle.a est un réel ou l’infini.
lim un  a si et seulement si lim u2n  a et lim u2n 1  a .

n 

n 

n 

Convergence d’une suite réelle
Définition
Une suite réelle  un  est dite convergente si elle admet une limite finie l lorsque n tend vers  .
Dans le cas contraire ( c-à-d si  un  n’a pas de limite ou a une limite infinie) alors  un  est dite divergente.
Théorème
Toute suite convergente est bornée
Remarque
n
La réciproque de ce théorème est fausse.En effet les suites de termes généraux cos(n) et  1 sont bornées et
non convergentes.
Conséquence
Soient  un  une suite réelle et N un entier naturel.On suppose qu’il existe deux réels m et M tels que pour tout
n  N on a : m  un  M .Si la suite  un  converge vers un réel a alors on a : m  a  M .
Suites arithmétiques et géométriques
Définitions et propriétés
.Une suite  un  est dite arithmétique si pour tout n on a : un 1  un  r où r est une constante réelle appelée
raison de la suite.
.Si une suite  un  est arithmétique alors pour tout n on a : un  u0  nr  u1  ( n  1 )r  ...
.Si une suite  un  est arithmétique alors on a :
nm1
Nombre de termes de la somme
  um  un  
  1er terme + dernier terme  .
2
2
k m
.Une suite  un  est dite géométrique si pour tout n on a : un 1  q.un où q est une constante réelle appelée
raison de la suite.
.Si une suite  un  est géométrique alors pour tout n on a : un  u0 .q n  u1 .q n 1  ...
k n

u

k



k n

.Soit  un  une suite géométrique de raison q .Soit S   uk ;alors on a :
k m

..Si q  1 alors S  ( n  m  1 )um  nombre de termes  1er terme de la somme.

1  q nombre de t ermes de la somme
1  q  n  m  1
..Si q  1 alors S 
 1er terme de la somme .
 um 
1

q
1 q
Limite d’une suite géométrique
Soit  un  une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 .On a :
si -1<q<1
0
u
si q  1
 0
lim un    
si q>1 et u0  0
n 
 
si q>1 et u0  0

 n' existe pas si q  -1
voir verso 

Remarque :
Pour tout réel a de ]-1,1[ on a : lim a n  0
n 

Suites du type un 1  f  un 
Théorème
Soient f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et  un  une suite réelle à valeurs dans I.
Si la suite  un  converge vers un réel a de I alors la suite  f  un   converge vers f(a).
Théorème
Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et  un  une suite réelle à valeurs dans I.
Si la suite  un  converge vers un réel a de I et f est continue en a alors on a : f(a)  a .
Théorème
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et  un  une suites à valeurs dans I.
Si lim  l ( l  IR ou l infini) et si lim f ( x )  L( L fini ou infini ) alors lim f  un   L .
n 

n 

x l

Limites et ordre
Soient  un  et ( vn ) deux suites réelles convergentes respectivement vers deux réels a et b.
.S’il existe un entier N tel que pour tout n  N on a : un  vn alors on a : a  b .
.Soient  un  et ( vn ) deux suites réelles.

..S’il existe un entier N tel que pour tout n  N on a : un  vn et lim vn   alors lim un   .
n 

n 

..S’il existe un entier N tel que pour tout n  N on a : un  vn et lim un   alors lim vn   .
n 

n 

..S’il existe un entier N tel que pour tout n  N on a : un  vn et lim vn  0 alors lim un  0 .
Soient  un  , ( vn ) et  wn  trois suites réelles.Soit a un réel.

n 

n 

.S’il existe un entier N tel que pour tout n  N on a : vn  un  wn et lim vn  lim wn  a alors lim un  a .
n 

n 

n 

Théorème
.Toute suite croissante et majorée par un réel a converge vers un réel l tel que l  a.
.Toute suite décroissante et minorée par un réel b converge vers un réel l’ tel que l'  b .
.Toute suite croissante et non majorée diverge vers +  .
.Toute suite décroissante et non minorée diverge vers  .
Suites adjacentes
Définition
Deux suites réelles  un  et ( vn ) sont dites adjacentes si elles vérifient les propriétés suivantes :
.Pour tout n de IN on a un  vn

.  un  est croissante et ( vn ) est décroissante.
. lim  un  vn   0
n 

Théorème
Deux suites adjacentes convergent vers la même limite .

* * * * * * * * * * * *


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