Série n°4 Nombres complexes Bac sc exp .pdf


Nom original: Série n°4 Nombres complexes Bac sc-exp.pdfAuteur: AmouLa

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Mr :Khammour.K

4èmeSc-exp

Série n°4 : Nombres complexes

Octobre 2014

Exercice n°1 :
1) On considère dans C l’équation  E  : z 2  1  i  z  2  2i  0 et on note z’ et z’’ les solutions de (E).



 2  .
4
b) Sans calculer le discriminant. Montrer qu’une solution de (E) est imaginaire pure et la déterminer.
c) Déterminer alors l’autre solution.
a) Sans calculer z’ et z’’ vérifier que z ' z ''  2 2 et que Arg  z '  Arg  z '' 

2) On considère dans C l’équation  E ' : z3  1  i  z 2   2  2i  z  8i  0 .
a) Vérifier que 2i est une solution de (E’) .
b) Résoudre alors (E’).





3) Dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct O, u, v , on considère les points A,B et C d’affixes
respectives a = 2i , b = 1 – i et c = -2 – 2i.
a) Déterminer le module et un argument de

ba
.
bc

b) En déduire la nature de triangle ABC.
Exercice n°2 :









Pour tout nombre complexe z on pose : f ( z )  z 3  2  3  i z 2  4 1  i 3 z  8i .
1) a) Montrer que l’équation f (z) = 0 possède une racine imaginaire pure z0 que l’on déterminera.
b) Résoudre alors l’équation f (z) = 0. On notera z1 et z2 les deux autres racines, z1 étant celle qui a une partie
imaginaire négative.
z
2) On pose w  1 .
z0
a) Donner la forme trigonométrique de w.
b) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u, v .





Atout nombre complexe z non nul on associe les points M, M1 et M2 d’affixes respectives z , wz et w 2z.
Montrer que OMM1M2 est un losange.
Exercice n°3 :
A) Pour tout nombre complexe z, on note P  z   z3  4z2  8z  8 .
1) Calculer P(2). Vérifier que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut s’écrire sous la forme
P  z    z  2   z 2  2 z  4  .




2) Résoudre, dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation z 2  2 z  4  0 .
En déduire les solutions, dans l’ensemble des nombres complexes, de l’équation P(z) = 0.
B) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O ; u, v) (unité graphique : 2 cm). On considère les points A,
B et C d’affixes respectives : a  2 , b  1  i 3 et c  1  i 3 .
1) a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle  de centre O.
c) Construire le cercle  .

2) Déterminer un argument du nombre complexe b. Quelle est la nature du triangle OAB ?
Exercice n°4 :
1) Résoudre dans C l’équation z 2  4 z 3  16  0 .
2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O , u , v ) d’unité graphique 1 cm.

i
Soit les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives z A  2  2i ; zB  2 3  2i et zC  2e 6 .
a) Calculer le module et un argument de zA et zB.
b) Construire les points A, B et C.
c) Calculer z A  zB .

d) Quelle est la nature du triangle OAB ? (justifier la réponse).
3) a) Écrire zC sous forme algébrique.
b) Montrer que C est le milieu du segment [OA].
4) Quelle est la nature du triangle ABC ? (justifier la réponse).
Exercice n°5 :





2

1) Développer 1  2 .





2) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z 2  1  2 z  2  0 .
1
1
 1 et z   2 .
z
z
4
4) Soit P( z ) le polynôme de la variable complexe z définie par : P( z )  z  1  2 z 3  2  2 z 2  1  2 z  1

3) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes les équations z 













.
2





P( z ) 
1
1

  z    1 2  z    2 .
2
z
z
z


b) En déduire les solutions de l’équation P( z ) = 0 .

a) Vérifier que

Exercice n°6 :
   1  i   1  3i

1) Déterminer le complexe  tel que 

2

 i  4  3i

.

2) Pour tout nombre complexe z, on pose f  z   z 2   1 3i  z   4  3i  . Montrer que f  z  s’écrit sous
la forme  z    z  i  . En déduire les solutions (sous forme algébrique) de l’équation f  z   0 .
3) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v) , unité graphique 5 cm.
On considère les points A et B d’affixes respectives a  2  i et b  1 2i . Placer A et B dans le repère . Montrer que

b  ia , en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel que  OA, OB  


2

.

1
4) On considère le point C d’affixe c  1  i . Déterminer l’affixe du point D tel que le triangle OCD soit un
2

triangle isocèle rectangle tel que  OC , OD  


2

.

5) Soit M le milieu du segment [BC]. On appelle z
et z
les affixes respectives des vecteurs OM et DA .
OM
DA
z
1
Prouver que OM  i .
z
2
DA
Exercice n°7 :
Soit  un réel de l'intervalle  ,   . On considère dans C l’équation (E) : z 2  2i sin  z  2 1 cos   0 .
1) a) Résoudre dans C l’équation (E). On note z’ et z’’ les racines de (E) avec Re(z’)>0.
z ''
b) Ecrire z’ et z’’ sous forme exponentielle. En déduire la forme exponentielle de
.
z'
2) Soit M’ et M’’ les points d’affixes respectives z’ et z’’ dans le plan P rapporté à un RON O, u, v .



 



a) Montrer que M’ et M’’ sont symétriques par rapport à la droite O, v .
b) Déterminer l’ensemble  ' des points M’ lorsque  varie.
En déduire l’ensemble  '' des points M’’ lorsque  varie.
c) Déterminer  pour que le triangle OM’M’’ soit rectangle et isocèle en O et de sens direct.
Exercice n°8 :
 
A) On considère l’équation  E  : 2 z 2  2 z  i sin  2  e 2i  0 où    0,  .
 2
 
1) a) Résoudre dans C, l’équation  E   .
 4
b) En déduire les solutions de l’équation  E  : 2z 2  2iz  1  0 .

2) a) Vérifier que 1  2i sin  2  e2i  e4i .
b) Résoudre dans C ; l’équation  E  . Mettre les solutions sous forme exponentielle.
 
i  
2


B) Soit M’ et M’’ les points d’affixes respectives z '  cos   e et z ''  sin   e
.
1) a) Montrer que OM’M’’ est un triangle rectangle en O.
b) Pour quelle valeur de  le triangle OM’M’’ est isocèle.
2) a) Vérifier que l’affixe du point I = M’ * M’’ est indépendant de  .
b) Ecrire z’ – z’’ sous forme exponentielle. En déduire M’M’’.
c) Montrer que les points M’ et M’’ varies sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
i

Exercice n°9 :
Soit dans l’ensemble C l’équation (E) : z3  4 z 2   5  e2i  z  2  1  e2i   0 où    0,   .




1) a) Vérifier que 2 est une solution de (E).
b) Résoudre alors dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation (E). On désigne par z et z les deux
1
2
autres solutions tel que Im z  0 .
1
c) Ecrire z et z sous forme trigonométriques.
1
2

 

2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v) ,on considère les points A , B et C d’affixes
respectives : 2 ; 1 ei et 1 ei

z 2
a) Calculer le nombre complexe 2
.Quelle est la nature du triangle ABC ?
z1  2
b) Déterminer  pour que le triangle ABC soit isocèle .

c) Pour   , montrer que OABC est un carré.
2
Exercice n°10 :

 étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 2  ] et z un nombre complexe, on considère le polynôme P(z),
défini par : P( z)  z3  (1 2sin ) z2  (1 2sin  ) z 1 .
1) a) Calculer P(1).
b) En déduire l'existence de trois réels a, b, c tels que P( z)  ( z 1)(az2  bz  c) . Déterminer a, b et c.
c) Résoudre, dans C, l'équation P(z) = 0.
2) On considère trois nombres complexes : z1 = 1 ; z2 = – sin  + i cos  ; z3 = – sin  − i cos  .
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3.
Exercice n°11 :
On considère les nombres complexes :  

1i 3
3i 3
et  
.
2
2

1) Ecrire  et  sous forme exponentielle.
2) Soit    0,   .
a) Résoudre dans C l’équation z 2  2 z  1  ei  0 . On désigne par z1 la solution tel que Im z1  0 et
z2 l’autre solution.
b) Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle.

 

c) Déterminer  pour que z1   et z2   .

Exercice n°12 :
Résoudre dans C : z3 = - i.
Déterminer les racines cinquièmes de l’unité.
a) Résoudre dans C : z3 = 8.
3
b) Calculer  1 2i  .
5) c) Déduire la résolution de l’équation : z3  8  11 2i  .
1)
2)
3)
4)


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