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ENAC Physique 2001 .pdf



Nom original: ENAC_Physique_2001.pdf
Titre: Physique - 2001
Auteur: COLIN

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EPL - SESSION 2001
ÉNONCÉ
Questions liées.
[1,2,3,4,5,6,7,8] [9,10,11,12,13,14] [15,16,17,18,19] [20,21,22,23,24,25] [26,27,28,29,30]
1.
Le circuit représenté sur la figure 1 est alimenté par un générateur idéal de tension continue, dont
la force électromotrice est E = 20 V. Les bobines, de résistance négligeable, ont la même inductance
propre L = 2 mH et les condensateurs la même capacité C = 0,2 µF.
A l'instant t = 0 où l'on applique entre A et B la tension E, les bobines et les condensateurs ne possèdent
aucune énergie.

u c (t)

L

i(t)

M
C

q(t)
A

B

L
q(t)

C

N
E

Figure 1

Déterminer la loi de variation de la charge q d'un condensateur en fonction du temps t.
a) q ( t ) = 4.10

−6

c) q ( t ) = 4.10

−6

.
t)]
[1 − exp ( −2,510
.
t)]
[1 − cos ( 510
4

4

b) q ( t ) = 2.10

−6

d) q ( t ) = 4.10

−6

.
t )]
[1 + exp ( −510
4

 1
4 
1 − cos 10 t 
 2


(

)

2.
En déduire la valeur maximale uM de la différence de potentiel uc(t).
b) uM = 20 V
c) uM = 15 V
d) uM = 10 V
a) uM = 40 V
3.

Établir l'expression de la différence de potentiel v(M) − v(N) en fonction du temps.

[

(

.
t
a) v( M ) − v( N ) = 20 1 − exp −510
4

)]

( )]
[
d) v( M ) − v( N ) = 40 [1 + exp ( −2 ,510
.
t )]

b) v( M ) − v( N ) = 20 1 − 2 cos 510
.
t
4

 1
4 
c) v( M ) − v( N ) = 10 1 − cos 10 t 
 2


(

)

4

4.
En déduire la valeur maximale u'M de la différence de potentiel v(M) − v(N).
b) u'M = 20 V
c) u'M = 40 V
d) u'M = 60 V
a) u'M = 15 V
5.
Le circuit fonctionne maintenant en régime sinusoïdal ; l'amplitude de la force électromotrice e(t)
du générateur idéal de tension est de 20 V. De plus, les bobines sont différentes et il en est de même des
condensateurs (figure 2).

L1

C1

M1

A

L2

C2

B

M2
+
Figure 2

e(t)

AC

EPL - SESSION 2001

36

Indiquer si le circuit laisse passer un courant de pulsation ω1 telle que L 1 C 1 ω 12 = 1 .
Répondre à la même question pour la pulsation ω2 telle que L 2 C 2 ω 22 = 1 .
a) Le circuit laisse passer le courant de pulsation ω1.
b) Le circuit ne laisse pas passer le courant de pulsation ω1.
c) Le circuit laisse passer le courant de pulsation ω2.
d) Le circuit ne laisse pas passer le courant de pulsation ω2.
6.
Montrer qu'il existe une pulsation ω3 pour laquelle le circuit ne laisse pas passer le courant (circuit
"bouchon").
C1 + C 2
1
1
2
2
b) ω 3 =
+
a) ω 3 =
L 1C 1 L 2 C 2
C 1C 2 L 1 + L 2

(

2

c) ω3 =

(

L1

C1 L1 + L 2

)2

+

(

L2

C 2 L1 + L 2

2

d) ω3 =

)2

)

1 1
1 


+
2  L1C1 L 2 C 2 

7.
Calculer en kilohertz la fréquence N3 correspondant à la pulsation ω3 pour L1 = 2 mH , C1 = 1 µF ,
L2 = 1 mH et C2 = 0,02 µF.
La comparer aux fréquences N1 et N2 associés respectivement aux pulsations ω1 et ω2.
b) N3 = 21 kHz
c) N3 < N1 < N2
d) N 3 ∈ N 1 , N 2
a) N3 = 2 kHz

[

]

8.
Pour N = N3, calculer l'amplitude I exprimée en milliampère de l'intensité du courant qui circule
dans les branches AM1B et AM2B.
a) I = 79 mA
b) I = 19 mA
c) I = 2 mA
d) I = 0 mA
9.
Deux charges électriques ponctuelles identiques q sont placées respectivement à l'origine O et au
point A (a > 0,0) du repère plan (O ; ux,uy) (figure 3).
Calculer les composantes Ex et Ey du vecteur champ électrostatique E(P) créé au point P du plan, de
coordonnées x et y.
y


Figure 3
q 
x
x−a

+
a) E x =
3/ 2
3/ 2 
4 π ε 0  x 2 + y 2
( x − a) 2 + y 2
g




q 
x
x+a

uy
b) E x =
x
3/ 2 
3/ 2 −

2
2
2
2
4π ε 0 x + y
(
)
x
+
a
+
y


O(q) u x
A(q)


q 
y
y

c) E y =
+
3
2
/

2 3/ 2 
2
4π ε 0 x 2 + y 2
( x − a) + y




q 
y
y

d) E y =
3/ 2 
3/ 2 −

2
2
2
2
4π ε 0 x + y
( x + a) + y



(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

10. Indiquer sur quelle droite ∆ du plan , E(P) est parallèle en tout point à l'axe Oy. Donner l'expression
correspondante de E(P).
a) ∆ : droite x = a/2
b) ∆ : droite x = y
q
q
y
1
c) E( P ) =
uy
d) E( P ) =
3/ 2 u y
2
2π ε 0  2 a 2 
4π ε 0 y
 y + 
4 

11. Une charge électrique ponctuelle q' de masse m et de signe contraire à celui de q se déplace sans
frottement sur la droite ∆ à proximité immédiate de l'axe Ox (|y| << a) sous l'action de la force
électrostatique due au champ des deux charges q et de son poids. Oy est la verticale ascendante et g est
l'accélération de la pesanteur supposée uniforme.

AC

PHYSIQUE - ÉNONCÉ

On pose k = −

37

4 qq '

.
3
π ε0 a
Constater qu'il existe une position d'équilibre Pe et calculer l'ordonnée ye de Pe.
mg
mg
mg
mg
b) y e = −
c) y e = −
d) y e = −
a) y e =
3k
4k
k
k
12.

Calculer la période T0 des oscillations qu'effectue la charge q' écartée de sa position d'équilibre.
m
m
2m
m
a) T0 = 2 π
b) T0 = 2 π
c) T0 = 2π
d) T0 = 2 π
4k
2k
k
k
13. La charge q' est maintenant fixée au point B (0,a). Calculer l'énergie électrostatique Ue de la famille
des trois charges q en O, q en A et q' en B. L'origine des potentiels est à l'infini. On rappelle que dans le
cas d'une famille de population n :
n
1
Ue =
q i Vi
2 i =1



où Vi est le potentiel créé au point où se trouve la charge qi par les (n − 1) autres charges de la famille.
2

1 1  q'
1 1 2
2

q ' +2 qq '+ q 2
b) U e =
+ 2 qq ' 
a) U e =

8π ε 0 a  2
4π ε 0 a




1 1 2
1 
1 1  2 qq '
2
 q + qq ' 1 +
c) U e =
d) U e =
+q 
−q ' +



4π ε 0 a 
2
4π ε 0 a 
2 

[

]

14.

Donner l'expression de q' en fonction de q pour que l'énergie Ue soit nulle.
2
a) q ' = − q 2
b) q ' = − q
c) q' = −q
d) q ' = − q 2 2 + 1
1+ 2

(

15. Un cylindre de révolution autour de l'axe Oz a pour rayon b
et une longueur "infinie" (très grande devant b).
Il est parcouru dans la direction et dans le sens de Oz par un courant
continu de densité uniforme de courant J.
Déterminer le vecteur champ magnétique B(P) créé par ce courant
en un point P extérieur au cylindre, situé à la distance ρ de Oz. uρ et
uθ désignent les vecteurs de la base polaire de P (figure 4).
2
µ0J b
b) B( P ) =
a) B( P ) = µ 0 J ρ u θ

2 ρ
2
2
2
µ0J b − ρ
ρ
c) B( P ) = µ 0 J

d) B( P ) =

2b
2
ρ

)


b

ρ
O
J

P uρ
uz
Figure 4

16.

Même question lorsque P est à l'intérieur du cylindre.
µ0J
µ0J
b uθ
b) B( P ) =
ρuθ
a) B( P ) =
2
2
2
2
b
ρ
c) B( P ) = µ 0 J

d) B( P ) = µ 0 J

b
ρ
17. Donner une expression vectorielle intrinsèque du vecteur champ calculé dans la question précédente.
b) B( P ) = µ 0 J OP
a) B( P ) = −µ 0 ( J ∧ OP )
1
c) B( P ) = 2µ 0 ( OP ) J
d) B( P ) = µ 0 ( J ∧ OP )
2
18. Un cylindre de "longueur infinie" et de révolution autour de l'axe Oz est creux ; la partie pleine est
comprise entre les rayons b1 et b2 (b1 > b2). Elle est parcourue dans la direction et dans le sens de Oz par
un courant continu de densité uniforme J (figure 5).

AC

EPL - SESSION 2001

38

Déterminer les vecteurs champ magnétique B1(P) et B2(P) au point P à la
distance ρ de O, lorsqu'on a respectivement ρ ∈ b 1 , b 2 et ρ < b2.
µ0J 2
2 1
a) B 1 ( P ) =

b1 − b 2
2
ρ
2
µ J
b 
b) B 1 ( P ) = 0  ρ − 2 u θ
ρ
2 
c) B 2 ( P ) = 0
µ J 2
2 1
d) B 2 ( P ) = 0 b1 − b 2 u θ
2
ρ

[

(

]

(1)

)

(

b2
O
(2)

b1

J

)

Figure 5

19. Un cylindre de "longueur infinie" et de révolution autour de
l'axe O1z a pour rayon b1. On creuse dans le cylindre un autre
cylindre de "longueur infinie" et de révolution autour de l'axe O2z
parallèle à O1z et de même sens ; son rayon est b2 (b2 < b1). On
désigne par 2a la distance O1O2 (figure 6).
Dans la partie pleine circule dans la direction et le sens de O1z un
courant continu de densité uniforme J.
Après avoir constaté qu'à l'intérieur de la cavité le champ
magnétique B' est uniforme, indiquer la direction et la norme de B'.
a) axe O1y
b) axe O1x
c) B' = 2µ 0 J a
d) B ' = µ 0 J a

y
uz
J

P
O1 O 2

x

2a
Figure 6

20. Une lentille mince convergente L a pour centre O, pour foyer objet F et pour foyer image F' ; sa
distance focale image est f' > 0. Un miroir plan M centré en S sur l'axe Oz de la lentille, est disposé
parallèlement à celle-ci à la distance d = 2f' (figure 7).
Toutes les abscisses des points de l'axe seront comptées positivement dans le sens de l'axe
Oz (sens de la lumière incidente).

L

B

M
z

A

F

O

F'

S

d

Figure 7

Un objet AB perpendiculaire à l'axe Oz est disposé de telle sorte que p = OA . Soit A1B1 son image après
traversée de L et réflexion sur M. Calculer OA 1 en fonction de p.
( 3p + 4 f ') f '
( 3p − 2 f ') f '
a) OA 1 =
b) OA 1 =
p+ f'
p− f'
c) OA 1 =
21.
p.

d) OA 1 =

p + 3f '

( p − f ') f '
p+ f'

Soit A2B2 l'image définitive de AB après retraversée de la lentille L. Calculer OA 2 en fonction de

a) OA 2 =

AC

( 4 f '− p ) f '

pf ' ( −3p + f ')
2

p + 4 pf '−3f '

2

b) OA 2 = −

f ' ( 3p + 4 f ')
2 p + 3f '

PHYSIQUE - ÉNONCÉ

39

f ' ( − p + f ')
2

c) OA 2 =

2

p − 4 pf '+ f '

2

f ' ( 2 p + f ')
2

d) OA 2 =

2

− p + 5pf '+ f '

2

22. Trouver la condition à laquelle satisfait p lorsqu'il correspond à deux points de l'axe, dits points de
Bravais, pour lesquels l'image A2B2 est dans le même plan que l'objet AB.
2
2
2
2
b) 3p − pf '+ f ' = 0
a) 3p + 4 pf '− f ' = 0
2

2

c) 2 p + 2 pf '+ f ' = 0

2

2

d) p + 3pf '+2 f ' = 0

23. En déduire les valeurs numériques p1 et p2 (p1 < p2) de p qui satisfont à cette condition sachant que
f' = 10 cm.
a) p1 = −30 cm
b) p1 = −20 cm
c) p2 = −20 cm
d) p2 = −10 cm
24. Déterminer en fonction de p, dans le cas d'une position quelconque de l'objet AB, le grandissement
transversal γ du système.
2
4f '
f'
a) γ = 2
b) γ =
2
3p + 8f '
p − 4 pf '+ f '
c) γ =

−f '
2 p + 3f '

d) γ =

4f '

2

2

p + 4 pf '+8 f '

2

25. Calculer les valeurs numériques γ1 et γ2 du grandissement transversal γ correspondant respectivement
aux abscisses p1 et p2 des points de Bravais.
a) γ1 = +1
b) γ1 = −2
c) γ2 = −1
d) γ2 = 0,5
26.

Par rapport au référentiel R (O ; ux,uy,uz), un mobile "ponctuel" P a pour coordonnées à la date t :


2π 
π
x = b sin ( kt ) y = b sin  kt +  z = b sin  kt +



3
3 
où k et b sont des constantes positives.
Établir l'équation du plan passant par l'origine O des coordonnées et contenant la trajectoire de P.
a) x + 2 y − 2 z = 0
b) x + y − z = 0
c) x − y + z = 0
d) 2 x + y + z = 0
27.

Déterminer le rayon A de la surface de la sphère de centre O sur laquelle est inscrite la trajectoire de P.
3
a) A = b 6
b) A = b 3
c) A = b 2
d) A = b
2
28.

Calculer la norme v du vecteur vitesse de P.
 kt 
 kt 
b
a) v = 2kb
b) v = kb sin 
c) v = k cos 
2
2
2

d) v = kb

3
2

29.

Calculer le temps T mis par P pour décrire complètement une fois sa trajectoire.


π 6
π
a) T =
b) T =
c) T =
d) T =
k
k
2k
k 2
30. Indiquer dans ces conditions le type de mouvement qu'effectue P.
a) circulaire sinusoïdal
b) circulaire uniforme
c) elliptique uniforme
d) elliptique sinusoïdal

AC


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