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Le¸
con 2. Suites arithm´etiques
I

Progression arithm´
etique
Une suite num´
erique est une suite de nombre u0 , u1 , u2 , .... ind´ex´es par les entiers

naturels 0,1,2,.....
Cette suite est not´ee u (ou (un ) ou encore (un )n∈N ).

efinition 1. On dit qu’une suite u est arithm´
etique si chaque terme s’obtient a` partir
du pr´ec´edent en ajoutant un mˆeme nombre. Ce nombre est alors appel´e la raison de u.
Plus formellement, on dira que u est une suite arithm´etique s’il existe un nombre r telle
que pour tout entier naturel n : un+1 = un + r.
En ´ecriture math´ematique 1 : ∃r ∈ R, ∀n : un+1 = un + r.
Exemple 1. Consid´erons la suite suivante :
+5

+5

+5

+5

2 −→ 7 −→ 12 −→ 17 −→ 22.......
C’est une suite arithm´etique de raison 5.
Propri´
et´
e 1. Si une suite u est arithm´etique de raison r, alors pour tout entier naturel n,
on a
un = u0 + rn
Exemple 2. Reprenons l’exemple pr´ec´edent. On a u0 = 2 et r = 5, ainsi ∀n ∈ N : un = 2+5n.
Cela permet de calculer directement n’importe quel terme de la suite. Par exemple,
u100 = 2 + 5 × 100 = 502.
Propri´
et´
e 2. Si une suite u est telle que pour tout entier naturel n : un = an + b, alors u
est une suite arithm´etique de raison a et de premier terme b.
D´emonstration. Soit n ∈ N quelconque. On veut montrer un+1 = un + a. On calcule un+1 =
a(n + 1) + b, d’o`
u
un+1 − un = a(n + 1) + b − (an + b) = an + a + b − an − b = a
Et puis u0 = a × 0 + b = b.
Exemple 3. Soit v la suite d´efinie par vn = −3n + 7. Alors v est une suite arithm´etique telle
que v0 = 7 et r = −3.
Remarque 1. Pour montrer qu’une suite est arithm´etique, on calcule pour tout n la diff´erence
un+1 − un . Si le r´esultat est un nombre ind´ependant de n, c’est la raison de la suite.
1. ∀ se lit pour tout et ∃ ∈ N se lit il existe.

1

II

Sens de variation


efinition 2. On dit qu’une suite u est strictement croissante si pour tout n ∈ N :
un+1 > un .
On dit qu’une suite u est strictement d´
ecroissante si pour tout n ∈ N : un+1 < un .
On dit qu’une suite u est constante si pour tout n ∈ N : un+1 = un .
Propri´
et´
e 3. Soit u une suite arithm´etique de raison r.
1. La suite est croissante si et seulement si r > 0.
2. La suite est d´ecroissante si et seulement si r < 0.
3. La suite est constante si et seulement si r = 0.
D´emonstration. On d´emontre uniquement le 1.

r > 0 =⇒ ∀n ∈ N : r > 0 =⇒ ∀n ∈ N : un+1 − un > 0 =⇒ ∀n ∈ N : un+1 > un
Cela revient `a dire que r > 0 implique que u est strictement croissante.
R´eciproquement, si u est strictement croissante, alors ∀n ∈ N : un+1 > un . Donc ∀n ∈
N : r = un+1 − un > 0.
Le 2. et le 3. se d´emontrent de mani`ere identique.
Exemple 4. Soit u la suite d´efinie par un = 0, 4n − 7 pour tout n ∈ N.
C’est une suite arithm´etique de raison 0, 4 > 0, elle est donc strictement croissante.

III

Somme des termes

Lemme 1. Pour tout n ∈ N, on a
1 + 2 + 3 + ...+ n =

n(n + 1)
2

On pourra utiliser la notation suivante
n
X
i=0

i=

n(n + 1)
2

D´emonstration. Soit S = 1 + 2 + 3 + . . . + n. Ecrivons S verticalement de deux fa¸cons
S=
S=
1

n

+2

+n − 1

+3
..
.

+n − 2
..
.

+(n − 2)

+3

+(n − 1)

+2

+n

+1
2

2S =
1+n
+1 + n
+1 + n
Si l’on ajoute ces deux colonnes, on a .
..
+1 + n
+1 + n
+1 + n
Autrement dit 2S = n(n + 1) (en effet chaque colonne comporte n lignes). Ainsi
S=

Exemple 5. 1 + 2 + . . . + 100 =

n(n + 1)
2

99 × 100
= 4950.
2

Propri´
et´
e 4. Soit u une suite arithm´etique de raison r. Alors pour tout n ≥ 1, on a
u0 + u1 + . . . + un = u0 (n + 1) + r
On note aussi cela

n
X

ui = u0 (n + 1) + r

i=0

n(n + 1)
2

n(n + 1)
2

D´emonstration. Notons S = u0 + u1 + . . . + un . Pour tout i entier naturel compris entre 0
et i, on a : ui = u0 + ir. Ainsi u1 = u0 + r, u2 = u0 + 2r, . . ., un = u0 + nr. On a donc
S = u0 + (u0 + r) + . . . + (un + nr)
Par associativit´e de l’addition, on obtient
S = (u0 + u0 + . . . + u0 ) + (r + 2r + . . . + nr)
{z
}
|
(n+1) termes

c’est `a dire
S = (n + 1)u0 + r(1 + 2 + . . . + n) = u0 (n + 1) + r

n(n + 1)
2

d’apr`es le lemme.

Exemple 6. D´eterminer la somme suivante (sachant que les termes sont ceux d’une suite
arithm´etique)
S = −3 + 5 + 13 + 21 + ...... + 173
R´eponse.
Soit u la suite arithm´etique de terme initial u0 = −3 et de raison 8. Le terme g´en´eral de
u est pour tout n ∈ N : un = −3 + 8n.
3

Le dernier terme 173 correspond a` un pour un certain entier n a` d´eterminer. On a
un = −3 + 8n = 173 =⇒ 8n = 176 =⇒ n = 22
D’apr`es la propri´et´e 1, on a donc
S = u0 + . . . + u22 = −3(22 + 1) + 8

22(22 + 1)
= 1955
2

Propri´
et´
e 2. Soit u une suite arithm´etique de raison r. Alors pour tout n ≥ 1, on a
u0 + u1 + . . . + un =

(u0 + un )(n + 1)
2

D´emonstration. A faire en exercice. S’inspirer de la preuve du lemme et utiliser la propri´et´e
1.

Exemple 7. Avec l’exemple pr´ec´edent, apr`es avoir d´etermin´e n pour que un = 173, on calcule
23(−3 + 173)
S=
= 1955.
2

4


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