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Travaux dirig´
es: S´
erie 1 - El´
ectricit´
e II

September 11, 2014

Abstract

1

Universit´
e Mohammed V
Facult´
e des Sciences

Ann´
ee Universitaire 2014-2015
SMP: S3

Electricit´
e II
Travaux Dirig´
es: S´
erie 1
Exercice I : Rappels et complements math´ematiques
1) Gradient d’une fonction scalaire,
⃗ en coordonn´ees cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques,
a) Donner grad V = ∇V
( )
b) En d´eduire l’expression de grad 1r ,
2) Divergence d’un vecteur,
⃗ = ∇.
⃗ E
⃗ en coordonn´ees cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques,
Donner div E
3) Rotationnel d’un vecteur,
⃗ ∧A
⃗ en coordonn´ees cart´esiennes,
a) Donner ∇
(
)
⃗ ∧ grad V , (ii) ∇.
⃗ ∇
⃗ ∧A
⃗ ,
b) En d´eduire : (i) ∇
4) Calcul int´egral,
a) Donner le th´eor`eme de Green Ostogradsky reliant une int´egrale triple `a une int´egrale
double,
b) Donner le th´eor`eme de stokes reliant une int´egrale double `a une simple.
⃗ cr´ee par une boucle de courant
Exercice II: champ B
Un courant d’intensit´e I circule dans une spire circulaire de centre O et de rayon R. On
se propose de calculer le champ d’induction magn´etique ⃗b (M ) cr´ee au point M de l’axe


Oz de la spire.
1) Par des consid´erations de sym´etrie, d´eterminer:
a) Les variables dont d´epend ⃗b (M ),
b) La direction de ⃗b (M ) ,
2) A l’aide de la loi de Biot et Savart, d´eterminer:
a) L’expression du champ ⃗b (M ) en fonction de z,
b) L’expression de ⃗b (M ) en l’angle α,
3) En d´eduire la valeur du champ:
a) Au centre de la spire, point z = 0,
b) Dans la limite z tend vers l’infini,
4) Un enroulement de spires jointives identiques d’´epaisseurs tr`es faibles vis-`a-vis des
rayons des spires constitue une bobine plate.
⃗ (z) de la bobine,
a) D´eduire de la question pr´ec´edente le champ d’induction B
b) Justifier la r´eponse,

⃗ (z) le long de tout l’axe −
5) Calculer circulation de B
Oz
2

⃗ cr´ee par un sol´enoide
Exercice III: champ B
Un sol´eno¨ıde S fini est constitu´e d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylin−

dre d’axe ∆ que nous prenons Oz. Le fil, parcouru un courant permanent I, est suffisamment mince permettant d’imaginer le sol´eno¨ıde comme une juxtaposition continue


de spires coaxiales de rayon R d’axe Oz,
1) Faire un sch´ema illustratif, on notera les angles limites α1 et α2 ,
2) Si pour une ´epaisseur dz autour du point P du sol´eno¨ıde, nous avons N spires ; donner
la densit´e dn de spires par unit´e de longueur du sol´enoide,
3) On se propose de calculer le champ d’induction sur l’axe du sol´enoide,
−→
a) Donner l’expression du champ ´el´ementaire dB en fonction de ⃗b (z) ,
⃗ (z) en fonction de α1 et α2 ,
b) Calculer le champ total B
4) En d´eduire la valeur du champ pour le cas d’un sol´enoide infini
⃗ et potentiel vecteur A

Exercice IV: champ B
On consid`ere un conducteur cylindrique homog`ene de base circulaire de rayon R et de
longueur L suppos´ee grande ( L tendant vers l’infini). Ce conducteur est parcouru par
un courant volumique axial d’intensit´e I et de densit´e volumique ⃗j = j⃗ez .
1) Par des consid´erations de sym´etrie, d´eterminer:
⃗ (M ) ,
a) Les variables dont d´epend l’induction magn´etique B
⃗ (M ),
b) La direction de B
⃗ = 0,
c) V´erifier que div B
⃗ (M ) en tout point de l’espace,
2) D´eterminer l’expression du champ B
⃗ (M ) ,
3) D´eterminer les variables dont d´epend le potentiel vecteur A
⃗ (M ) ,
4) D´eterminer la direction de A
⃗ = 0,
5) V´erifier que div A
⃗ =∇
⃗ ∧ A,
⃗ d´eterminer l’expression de A
⃗ (M ) en tout point de
6) A partir de la relation B
l’espace,
⃗ (ρ = R).
7) En d´eduire la constante d’int´egration pour la condition A

3

Solution
Exercice I: Rappels et compl´ements math´ematiques
1) Gradient d’une fonction scalaire
(a) en coordonn´ees cylindriques
∂V
1 ∂V
∂V
⃗eρ +
⃗eφ +
⃗ez
∂ρ
ρ ∂φ
∂z

grad V =
en coordonn´ees sph´eriques

∂V
1 ∂V
1 ∂V
⃗er +
⃗eθ +
⃗eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
( )
(b) En d´eduire l’expression de grad 1r
( )
1
⃗er
⃗r
=− 2 =− 3
grad
r
r
r
grad V =

2) Divergence d’un vecteur
(a) en coordonn´ees cylindriques
⃗ =
div E

1 ∂ (ρEρ ) 1 ∂Eφ ∂Ez
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z

en sph´eriques
⃗ =
div E

1 ∂ (r2 Er )
1 ∂ (sin θEθ )
∂Eφ
+
+
r2 ∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ∂φ

(b) a priori

(
div

⃗r
r3

)
=

1 ∂ (1)
= 0!
r2 ∂r

mais ceci n’est vrai que pour r ̸= 0. Pour r = 0, cette quantit´e diverge; en effet on
⃗ = q ⃗r3 , on a:
sait que pour le champ ´electrostatique E
4πε0 r
⃗ = ϱ =
div E
̸ 0
ε0
ce qui conduit `a:
div

⃗r
ϱ
= 4π ,
3
r
q

ϱ = qδ (r) ,

4

avec δ distribution de Dirac

3) Rotationnel d’un vecteur
⃗ ∧A
⃗ en coordonn´ees cart´esiennes
(a) Donner ∇




Ax

∂x







∇ ∧ A = ∂y ∧ Ay =




Az

∂z

∂Az
∂y
∂Ax
∂z
∂Ay
∂x

y
− ∂A
∂z
z
− ∂A
∂x
x
− ∂A
∂y

(b)
⃗ ∧ ∇V
⃗ = ⃗0
rot (grad V ) = ∇
(
)
⃗ = 0
div rot A
4) relations de Stokes
∫∫∫

div Edτ
∫∫ V

⃗ −
rotB.
dS

∫∫
=

I


⃗ −
E.
dS :

⃗ →
B.
dl

=

S

Relation 1: Green-Ostogradsky

Σ=∂V

:

Relation 2: Stokes

C=∂S

⃗ cr´ee par une boucle de courant
Exercice II: champ B
pour des d´etails voir section 4.2 du cours
1) i) ⃗b = ⃗b (z), ii) ⃗b = b (z) ⃗ez
2) loi de Biot et Savart
⃗b =
=

µ0 I sin3 α
⃗ez
2R
µ0 I
R2
2 (R2 +z 2 ) 32

3) valeur du champ:
(a) Au centre de la spire: point z = 0
⃗b = µ0 I ⃗ez
2R
(b) Dans la limite z tend vers l’infini
⃗b → ⃗0

5

⃗ez

4) bobine plate.
⃗ est obtenu par application du
Le champ B
principe de superposition
⃗ (z) cr´e´e par la bobine est la somme des champs
c’est `a dire que le champ total B
cr´e´es par chacune des N spires: N⃗b
⃗ (z) =
B

µ0 N I
2R

µ0 N I
b3
2R (R2 +z 2 ) 23

=



5) circulation de B le long de tout l’axe Oz
∫∞
∫∞
Bdz
=
−∞
−∞
=

sin3 α ⃗ez

µ0 N I
R2
2 (R2 +z 2 ) 32

∫ ∞ ( µ0 N I
−∞

⃗ez

2R

dz

)
sin3 α dz

Ensuite utilisons les relations
sin3 α

=

tan α
z
dz

=
=
=

et les bornes

pour

R3
3

(R2 +z 2 ) 2
R
z
R
= R cot α
tan α
−R

sin2 α

α
= R cos
sin α

z = −∞ ⇐⇒ α = π −
z=∞
⇐⇒ α = 0+
∫∞

Bdz
−∞

=
=
=
=
=

∫ 0+ ( µ0 N I

)

−R

2R
π−
sin2 α

+
0
− µ02N I π− sin αdα
µ0 N I ∫ 0+
d (cos α)
2
π−
µ0 N I
[cos α]0π
2

sin3 α

µ0 N I

⃗ cr´ee par un sol´enoide S
Exercice III: champ B
voir sous -section 4.3 du cours:
On considerera 2 cas:
6

• sol´enoide fini avec: −z1 < z < z2
ou encore d’ouverture vu de M donn´ee par α1 , α2 ,
• sol´enoide infini avec: −∞ < z < ∞
ou encore α1 = π, α2 = 0.

1) sch´ema illustratif, voir fig

−→
Figure 1: Induction magn´etique cr´e´e par un sol´enoide d’axe OZ
avec
dz = −

R

sin2 α

2) densit´e dn de spires par unit´e de longueur du sol´enoide S

⃗ cr´e´e par S en un point M ∈ −
Pour calculer le champ B
Oz, on suppose que:
i) le fil est suffisamment mince et imaginer:
le sol´enoide S comme une juxtaposition continue de


spires coaxiales Si de rayon R d’axe Oz,
ii) pour une ´epaisseur dz autour du point P du sol´enoide, nous avons N spires.
dz



N spires

Cela veut dire que la densit´e dn de spires par unit´e de longueur du sol´enoide est
dn
=N
dz



7

dn = N dz

2 remarques:
X le sol´enoide S a donc les mˆemes propri´et´es de sym´etrie que les spires Si .
X en fonction de l’angle α :
tan α =



R
z

z=



R
tan α

d’ou
dn = −N

Rdα
dz = − sin


Rdα
sin2 α


3) (a) champ ´el´ementaire: dB
⋆ une spire S, parcourue par I, cr´e´e un champ ⃗b; c`ad:
1 spire S

⃗b =

cr´e´e

µ0 I sin3 α
⃗ez
2R




⋆ une densit´e dn de spires autour de P cr´e´e en tout point M de Oz un champ dB
dn spires


dB

cr´e´e

Rempla¸cons ⃗b par sa valeur, on a:
(
⃗ = − N×
dB

= ⃗bdn
= N⃗bdz
= −N⃗b sinR2 α dα

µ0 I sin3 α
⃗ez
2R

)

×

R

sin2 α

− µ02N I sin αdα⃗ez

=

(b) champ total: B

⃗ (z) =
B
=

α2


dB
α1 ∫
α2
−⃗ez
α1

µ0 IN sin3 α
2R


×

Rdα
sin2 α

= −⃗ez

α2
α1

d’ou
⃗ (z)
B

=

α1 )
µ0 IN (cos α2 −cos
⃗ez
2

4) Sol´enoide infini: α1 = π, α2 = 0,

B

= µ0 IN ⃗ez


= cte


⃗ est constant
sur l’axe Oz le champ B

8

µ0 IN
2

sin αdα

⃗ et potentiel vecteur A

Exercice IV: champ B
sch´ema illustratif: voir fig 2

Figure 2: conducteur cylindrique parcouru par J = jez . Coordonn´ees M = (ρ, φ, z) . Γ
est la courbe d’Amp`ere.

⃗ (M )
1) Propri´et´es de sym´etrie de B
(a) sym´etrie cylindrique implique (ici L est suppos´e infini)
⃗ =B
⃗ (ρ)
B
⃗ : le plan
(b) direction de B
Πs ≡ (⃗eρ , ⃗ez ) ⊥ ⃗eφ

contenant M

est un plan de sym´etrie du conducteur. Ceci implique
⃗ ⊥ Πs
B



⃗ = Bφ (ρ) ⃗eφ
B

⃗ :
(c) calcul de div B
En coordonn´ees cylindriques, on a:

div B

=
=
=

⃗ B

∇.
∂(ρBρ )
φ
+ ∂B
ρ∂ρ
ρ∂φ
∂Bφ
= 0 car
ρ∂φ

z
+ ∂B
∂z
Bφ = Bφ (ρ) ne d´ependant ni de φ ni de z

9

⃗ (M ) en tout point de l’espace
2) Expression du champ B
⋆ le calcul se fait par le th d’Amp`ere (voir chap 2 pour plus de d´etails sur ce th)
I

⃗ −
B.
dl = µ0 I : Th´eor`eme d’Amp`ere
Γ

ou Γ est la courbe d’Amp`ere.
Dans notre cas, Γ est un cercle de rayon ρ passant par M
on a aussi
⃗ = B⃗eφ
B


dl = dρ⃗eρ + ρdφ⃗eφ + dz⃗ez
soit


⃗ −
B.
dl =

ρBdφ

Selon le choix de Γ on distingue deux cas:
a) ρ > R

,

b) ρ < R

i) cas ρ > R

Figure 3: Courbe d’Amp`ere.
La courbe d’Amp`ere est:
un cercle de rayon ρ passant par M
10

Comme ρ > R, le courant traversant S d´elimit´ee par Γ est




→−
I=
J .dS =
j dS
S

avec ∂S = Γ et

S



J =


dS =


j−
ez

dS −
ez



d’ou



I=

j dS +
0≤ρ≤R

ρ>R

j dS
|{z}
=0

et donc
I

=

jπR2

Le th´eor`eme d’Amp`ere implique
I
µ0 I


⃗ →
B.
dl

=
I
=
=




B (ρdφ)

0I



ρB


0

=

2πρB

D’ou


=

µ0 I
2πρ

avec I = jπR2

ii) cas ρ < R
Dans ce cas seule une partie du courant contribue car
Iint

∫ →


− −
= S J .dS = j S dS,
= jπρ2
2
= (jπR2 ) Rρ 2
2
= I Rρ 2

le th´eor`eme d’Amp`ere donne
µ0 jπρ2

=
=
=

2

ρ
µ
I 0 I R2

⃗ −
B.
dl
C
Γ
I 2π
B (ρdφ)
0

= 2πρB
11

∂S = Γ

soit:
2πρB

=

2

µ0 I Rρ 2

et donc
B

ρ
µ0 I 2πR
2

=

⃗ (M ) :
3) variables de A
sym´etrie cylindrique implique:
⃗=A
⃗ (ρ)
A
il n’y a pas de variable z ni de variable φ
⃗ (M ).
4) direction de A
Le plan de symetrie Πs implique
⃗ ∈ Πs
A
c`ad qu’on a chercher 2 composantes.
Mais comme le plan
Πa = (⃗eρ , ⃗eφ )

est un plan d’antisym´etrie

et que
⃗ ⊥ Πa
A
on a
⃗ = A (ρ) ⃗ez
A
⃗=0
5) V´erifier que div A

div A

⃗ A

= ∇.
ρ)
φ
z
z
= ∂(ρA
+ ∂A
+ ∂A
= ∂A
ρ∂ρ
ρ∂φ
∂z
∂z
= 0, car ne d´epend pas de z

⃗ (M ) en tout point de l’espace
6) Expression de A
A partir de
⃗ =∇
⃗ ∧A

B
soit en ´effectuant

Bρ (ρ) = 0


Bφ (ρ) ̸= 0

Bz (ρ) = 0





=




∂ρ

ρ∂φ

∂z

12



0
Aρ = 0




z
∧ Aφ = 0 = − ∂A
∂ρ


0
Az ̸= 0

soit
z
Bφ (ρ) = − ∂A
∂ρ


Az = − Bφ dρ



on distingue 2 cas
α) ρ > R
β) ρ < R

µ0 I
Bφ = 2πρ
ρ
Bφ = µ0 I 2πR
2

:
:

α) ρ > R
Az (ρ) =





µ0 I

2πρ

0I
= − µ2π
ln ρ + cte

⃗ permet de d´eterminer la constante pour ρ = R+
7) la condition sur A


Az (ρ = R) = 0

cte =

µ0 I


ln R

soit
Az (ρ)

=

0I
ln ρ +
− µ2π

β) ρ < R
Az (ρ) =





µ0 Iρ

2πR2

µ0 I


0I
ln R = − µ2π
ln Rρ

µ0 I 2

= − 4πR
2 ρ + cte

⃗ permet de d´eterminer la constante ρ = R−
La condition sur A

soit
Az (ρ) =
=

cte′ =



Az (ρ = R) = 0

µ0 I 2
− 4πR
2ρ +
µ0 I


13

(

1−

ρ2
R2

µ0 I
R2
4πR2

µ0 I
R2
4πR2

)


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