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Travaux dirig´
es- S´
erie 2: El´
ectricit´
e II

September 16, 2014

Abstract

1

Universit´
e Mohammed V
Facult´
e des Sciences

Ann´
ee Universitaire 2014-2015
SMP: S3

Electricit´
e II
Travaux Dirig´
es: S´
erie 2

Exercice I: nappe de courant et discontinuit´e de B
On consid`ere une nappe plane conductrice de courant, d’´epaisseur ε n´egligeable et
travers´ee par un courant uniforme. On prend, la nappe dans le plan xOy, avec − 2ε ≤
z ≤ 2ε , et le vecteur densit´e de courant ⃗js = ε × ⃗j avec courant surfacique ⃗js = js⃗ex .
1) Faire un sch´ema d’illustration,
2) En utilisant les r`egles de sym´etrie, d´eterminer:

a) Les variables dont d´ependent le champ d’induction magn´etique B,
⃗ est dirig´e suivant ⃗ey (c’est `a dire B
⃗ = B⃗ey ),
b) Montrer que le champ B
3) Pour calculer le composante B, on utilise le th´eor`eme d’Amp`ere,
a) Donner la forme de la courbe d’Amp`ere Γ, justifier,
⃗ en tout point M (x, y, z),
b) En d´eduire l’induction magn´etique B
⃗ pour le cas z = 0,
4) Calculer la valeur de B
⃗ est discontinue,
5) Montrer que B
⃗ en tout point M de l’espace,
6) D´eterminer `a une constante pr`es le potentiel vecteur A
⃗ est nul `a l’origine.
7) En d´eduire la constante dans le cas o`
uA

Exercice II: Sol´enoide infini et calcul potentiel vecteur A
−→
On consid`ere un sol´enoide S infini d’axe OZ, de base circulaire de rayon R, parcouru
par un courant permanent I et ayant N spires par unit´e de longueur. On se propose
⃗ (M ) et le potentiel vecteur A
⃗ (M ) en
de d´eterminer le champ d’induction magn´etique B
tout point M de l’espace.
1) Faire un sch´ema d’illustration,
2) En utilisant les r`egles de sym´etrie, d´eterminer:

a) Les variables dont d´ependent le champ d’induction magn´etique B,

b) La direction du champ B,
3) Pour calculer l’expression explicite du champ d’induction magn´etique, on utilise le
th´eor`eme d’Amp`ere,
a) Donner la forme de la courbe d’Amp`ere Γ, justifier le choix,
⃗ en tout point M (x, y, z),
b) En d´eduire l’induction magn´etique B
⃗ est discontinue,
4) Montrer que B
⃗ (M ), on utilisera une relation donnant sa circuPour d´eterminer le potentiel vecteur A
lation sur un contour ferm´e C que l’on d´eterminera.
2

I


⃗−
A.
dl =

⃗ = 0, montrer que
5) En partant de la relation div B
C

∫∫


⃗ −
B.
dS,
S

6) En utilisant les r`egles de symetries de la distribution de courant, donner:
⃗ et les variables dont il d´epend,
a) La direction du champ A
⃗ justifier,
b) Le choix de la courbe C pour le calcul de la circulation de A,
⃗ en tout point de l’espace
7) D´eterminer le potentiel vecteur A
Exercice III: Force magn´etique et effet Hall
On veut d´eterminer le nombre ne d’´electrons de conduction que poss`ede un atome de
cuivre en utilisant l’effet Hall. Pour cela, on consid`ere une plaquette rectangulaire ABCD
de cuivre dans le plan xOy, de longueur L (0 ≤ x ≤ L)), de largeur a (0 ≤ y ≤
a), d’´epaisseur b (− 2b ≤ z ≤ 2b ) et travers´ee par une densit´e de courant surfacique
uniforme ⃗j = j⃗ex . Cette plaquette est plong´ee dans un champ magn´etique ext´erieur
⃗ = B ⃗ez . A l’´equilibre, la tension de Hall mesur´ee entre les 2 bords de
perpendiculaire B
largeur de la plaquette est UH = 5.510−6 V .
1) Faire un sch´ema d’illustration,
2) D´ecrire le ph´enom`ene physique observ´e, commenter,
3) Donner l’expression de la force F⃗m subit par les ´electrons
4) Sous l’effet de la force magn´etique, les ´electrons sont d´evi´es, donner la direction du
⃗ induit
champ ´electrique E
5) En d´eduire l’expression de la force totale subit par les ´electrons
⃗ H `a l’´equilibre en fonction de la vitesse v et B
6) D´eterminer l’expression du champ E
7) En d´eduire la valeur de v en fonction de I, a, b et la densit´e ne des ´electrons,
8) Calculer le nombre ne d’´electrons en fonction de B, I, a, b et EH
9) En d´eduire le nombre ne en fonction de UH ; on donne:
Mmole (cu) = 63g, B = 1T esla,
UH = 5.510−6 V,
e = 1.610−19 C,

b = 10−4 m, ϱvol (cu) = 9000kg/m3
I = 10A,
N = 6.021023 atomes/mole

Exercice IV: Interaction magn´etique entre fil infini et un cadre


Un fil rectiligne z′z de longueur infinie est parcouru par un courant d’intensit´e I1 . Dans
un plan contenant z’z, on place un cadre carr´e ABCD ind´eformable, de cˆot´e a, parcouru


par un courant I2 . Les cˆot´es AB et CD sont parall`eles `a z′z. Soit y la distance qui s´epare
AB de z’z.
1) Faire un sch´ema,

⃗ 1 cr´e´e par le fil −
2) Rappeler le champ magn´etique B
z′z
3) D´eterminer la r´esultante des forces F⃗12 exerc´ees par le fil sur le cadre
4) Retrouver l’expression de F⃗12 en utilisant la relation entre le travail et le flux magn´etique

3

1

Solution de la s´
erie II

Exercice I: Nappe de courant
1) schema d’illustration, voir fig 1

Figure 1: Nappe plane de courant J⃗ = js ⃗ex .
⃗ en tout point M de l’espace
2) champ d’induction B
a) 2 symetries de translations: suivant x et y
Bx (z)

B (M ) = By (z)
Bz (z)

b) direction de B
Le plan (Πs = xOz) est un plan de symetrie, donc
⃗ ⊥ Πs
B



⃗ = By (z) ⃗ey
B

3) Th´eor`eme d’Amp`ere
I


⃗ −
B.
dl =

µ0 I

Γ

a) la courbe d’Amp`ere Γ est un
rectangle ABCD

4

de surface S = ε × L

(
)
A = 0, L2 , − 2ε
,
(
)
L ε
C = 0, − 2 , 2
,

(
)
B = 0, L2 , 2ε
(
)
D = 0, − L2 , − 2ε

- Le sens de parcours positif est comme indiqu´e sur la figure 2.

- Il passe par les points M1 et M2 , sym´etriques par rapport `a la nappe
(
)
(
)
M1 = 0, y, 2ε
, M2 = 0, y, − 2ε

Figure 2: Contour d’Amp`ere.
b) Calcul du champ par le th´eor`eme d’Amp`ere
⃗ = By (z) ⃗ey
B
i) Etape 1
I


⃗ −
B.
dl =
Γ

=
=
=

I
Bdy
∫ D
∫ ΓB
∫C
∫A
Bdy + D Bdy
Bdy − B Bdy +
| C {z }
| A {z }
=0 car y=cte
y=cte
∫C
∫A
− B Bdy + D Bdy
∫ −L
∫L
− L 2 Bdy + −2L B (z) dy
2

2

5

∫ − L2

−B
=

dy +

L
2

∫ L2
−L
2

Bdy

2BL
I

R´esultat 1


⃗ −
B.
dl =

:

2BL

Γ

ii) Etape 2: calcul de I
∫∫
µ0 I

=

∫∫


⃗−
J.
dS =

µ0

µ0

JdS

S

S

avec



, dS = dS ⃗ex

J⃗ = J ⃗ex
∫∫

et
µ0

JdS

=

µ0 J × S

=

µ0 J
× ε} × L
| {z

=

µ0 Js × L

S

Js

R´esultat 2

:

µ0 I

µ0 Js × L

=

iii) Conclusion
Conclusion 1

:

2BL
B

Conclusion 2

:

Conclusion 3

:

=

=

µ0 Js L
µ0 Js
2

= constante

⃗ (M1 ) = − µ0 Js ⃗ey
B
2
µ 0 Js

B (M2 ) = + 2 ⃗ey
⃗ 1T − B
⃗ 2T
B

=
=
=

−µ0 Js⃗ey
µ0 Js⃗ex ∧ ⃗ez
µ0 J⃗s (M ) ∧ ⃗n21

⃗ au point z = 0
4) B
Au point O, origine de l’espace, on distingue 2 plans de sym´etrie de la nappe
xOy

et xOz

6

⃗ doit ˆetre perpendiculaire `a ces 2 plans, c’est `a
donc B



0
0





B =  0  et B =  B
B
0

dire




par cons´equent
⃗ (z = 0) = ⃗0
B
⃗ discontinue
5) B
⃗ est tangent `a la nappe de courant;
B
il doit donc v´erifier la relation de discontinuit´e
⃗ 1T (M ) − B
⃗ 2T (M ) =
B

µ0 J⃗s (M ) ∧ ⃗n21

avec
⃗n21

la normale orient´e de 2 vers 1

Dans notre cas
J⃗s (M ) = Js ⃗ex

et ⃗n21 = ⃗ez

⃗ 1T (M ) − B
⃗ 2T (M )
B

µ0 Js ⃗ex ∧ ⃗ez
−µ0 Js⃗ey

=
=

ce qui est en accord avec
⃗ 1 (M ) − B
⃗ 2 (M )
B

=
=

− µ02Js ⃗ey − − µ02Js ⃗ey
−µ0 Js⃗ey

ou on a utilis´e
⃗ (M1 ) = − µ0 Js ⃗ey
B
2

⃗ (M2 ) =
, B


6) le potentiel vecteur A
a) symetrie de translation suivant x et suivant

Ax (z)

⃗ =  Ay (z)
A
Az (z)

µ 0 Js
⃗ey
2

y





b) direction de A:
Πa

=


yOz

⃗ ⊥ Πa
A

est un plan d’antisymetrie





Ax (z)

⃗ (z) = 
A
 0 
0
7


c) Expression de A
De la relation
⃗ = rotA

B

0


B (z)

0

on obtient

=











A (z)
0




∧ 0
= ∂A

∂z
0
0−0


∂x

∂y

∂z



d’o`
u
A=

Bdz

3 cas `a distinguer:
(i) z > 0

:

B (z) = − µ02Js

(ii) z < 0

:

B (z) =

(iii) z = 0

:

B

µ0 Js
2

=0

,



A (z)

=

− µ02Js z + C1

,



A (z)

=

µ0 Js
z
2

,



A (0)

=

C3

⃗ est nul `a l’origine.
uA
7) cas o`
A (0) = C3 = 0
⃗ exige que les constantes soient nulles,
la continuet´e de A
lim A (z) = 0

=⇒ C1 = C2 = 0

z→0±

Exercice II
1) schema d’illustration: voir fig 3

2) r`egles de symetrie:
⃗ (M ) = B
⃗ (ρ)
a) La sym´etrie cylindrique de S implique: B

b) La direction du champ B
Πs = (⃗eρ , ⃗eφ ) est un plan de sym´etrie du sol´enoide:
⃗ ⊥ Πs
B



8

⃗ (ρ) = B (ρ) ⃗ez
B

+ C2

−→
Figure 3: th´eor`eme d’Amp`ere appliqu´e au s´el´enoide infini d’axe OZ

3) expression explicite de B




⃗ −
B.
dl = µ0



Iint

Γ

a) courbe d’Amp`ere Γ:
rectangle ABCD comme dans la figure
Selon le choix de Γ, on distingue trois cas:
i) cas du contour (1)
Pas de courant qui traverse la surface d´elimit´ee par le contour,


⃗ −
B.
dl = 0
Γ

D’autre part, on a:


∫ →





− ∫





B. dl = AB B⃗ez . dl +
B⃗ez . dl + CD B⃗ez . dl +
B⃗ez . dl
| BC {z
}
| DA {z
}
=0

=0






B⃗ez . dl : voir figure
B⃗ez . dl +
}
| AB {z }
| CD {z




angle (⃗ez .,dl)=0
angle (⃗ez .,dl)=π


=



= AB Bdz − CD Bdz
= (BAB − BCD ) × h
= 0


BAB − BCD = 0

−→
comme sur l’axe OZ, on a:
BAB = µ0 N I
9

⃗ `a l’interieur du sol´enoide infini est uniforme
il s’ensuit que le champ B
BAB

= BCD

`a l’interieur de S

= µ0 N I,

ii) cas du contour (2)
On obtient le mˆeme r´esultat (BAB − BCD ) × h = 0 que pour le cas pr´ec´edent, c’est
`a dire un champ uniforme `a l’ext´erieur. Mais comme ce champ doit ˆetre nul `a
l’infini; c`ad:
BCD = 0
on en d´eduit qu’il est nul partout.
BAB

= BCD

= 0,

`a l’exterieur de S

on red´ecouvrera ce r´esultat dans le cas suivant.
iii) cas du contour (3)
Dans ce cas, la surface d´elimit´ee par le contour est travers´ee par N × h courants
entrants:

Iint = −µ0 N I × h
Par suite nous avons par un calcul similaire auparavant:
(BAB − BCD ) × h = −µ0 N I × h



BAB − BCD = −µ0 N I

Comme on sait que le terme int´erieur BCD est ´egal
BCD = µ0 N I
il en d´ecoule que le champ d’induction BAB `a l’exterieur du s´el´enoide est nul.
BAB = 0
iv) Conclusion

⃗ (ρ)
B

=



 µ0 N I ⃗ez , 0 ≤ ρ < R
0
,
ρ>R


discret
,
ρ=R

10

⃗ :
4) discontinuet´e de B
⃗ 1T (M ) − B
⃗ 2T (M ) =
B

µ0 J⃗ (M ) ∧ ⃗n21

comme
⃗n21 = −⃗eρ ,
on a bien la relation

⃗j = N I ⃗eφ

⃗ 1T − ⃗0 =
B
=

−µ0 N I ⃗eφ ∧ ⃗eρ
µ0 N I ⃗ez

5) En partant de la relation


⃗ =0
div B

⃗ = rot A

B

par integration sur une surface S s’appuyant sur un contour C,
∫∫


⃗ −
B.
dS =
S

∫∫
I


⃗−
rot A.
dS
S


⃗−
A.
dl

=
C

6) r`egles de symetries de la distribution de courant
a) La sym´etrie cylindrique de S implique:
⃗ (M ) = A
⃗ (ρ)
A

La direction du champ A
Πa = (⃗eρ , ⃗ez ) est un plan d’antisym´etrie du sol´enoide
⃗ ⊥ Πa
A



⃗ (ρ) = A (ρ) ⃗eφ
A



b) La courbe C est un cercle de rayon ρ et d’axe Oz
Justification:
La courbe C est dict´ee par la sym´etrie cylindrique car
I
I




⃗ dl =
A.
A⃗eφ . dl
C
I C
=
Aρdφ
CI
= Aρ
dφ car A ne d´epend pas de φ
C

=

2πρA
11

⃗ en tout point de l’espace
7) Le potentiel vecteur A
on applique la relation
I
∫∫




⃗ −
dS
A. dl =
B.
C

S

ce qui conduit `a:

∫∫
A

=

1
2πρ

=

1
2πρ

=

∫∫


⃗ −
B.
dS
S

B × ρ′ dρ′ dφ
∫ 2π S ∫ ρ
1
dφ 0 B × ρ′ dρ′
2πρ 0

⃗ c`ad:
2 cas `a distinguer selon la valeur de B;
{
µ0 N I ⃗ez , 0 ≤ ρ < R
⃗ (ρ) =
B
0
,
ρ>R
On a:
i) ρ > R
∫∫
A (ρ) =
=

1
2πρ

Bρdρdφ
S

B 2
R


2

= µ0 N I R2ρ

ii) ρ < R
∫∫
A (ρ) =
=

1
2πρ
B
ρ
2

Bρdρdφ
S

= µ0 N I ρ2

Exercice III: Effet Hall classique
1) sch´ema d’illustration: voir fig 4 un electron de la plaquette du plan xOy de vitesse
⃗v se d´eplace suivant ⃗ex sous l’effet d’une ddp aux induite par la ddp aux bords
x = 0 et x = L de la plaquette fournie par un g´en´erateur de courant dont le sens
est comme d´esign´e sur la figure. On a:
⃗v = v⃗ex ,

v = − |v| dans le sch´ema

12

Figure 4: plaque rectangulaire normale `a ⃗ez de largeur a, d’´epaiseur b et de longueur
suffisamment grande.
2) ph´
enom`
ene physique observ´
e:
Effet Hall
⃗ cette effet a:
Selon l’intensit´e du champ magn´etique exterieur B,
une description classique pour des petites valeurs de B; elle est ´etudi´e ci-dessous
et
une description quantique pour des champs forts.
⃗ relativement petites; le ph´enom`ene obPour des valeurs du champ magn´etique B
serv´e est comme suit, voir fig 5:

a) deviation des ´electrons sous l’action de B
b) naissance d’un d´eficit de charge ´electrique aux 2 bords de la plaquette
c) apparition d’une ddp aux 2 bords de la largeur de la plaquette:
A l’equilibre cette tension est la tension de Hall
UH
⃗H
qui induit un champ ´electrique E
etique
3) Force magn´
⃗ l’´electron de vitesse
Sous l’effet de B,
⃗v = v⃗ex
est soumis `a la force

F⃗m

=
=
13


−e⃗v ∧ B
evB⃗ey

⃗ (ii)
Figure 5: effet Hall classique: (i) d´eviation des charges sous l’effet du champ B.
naissance d’une ddp aux bornes de la largeur de la plaque
e = |e|

= 1.60217733 × 10−19 C

4) le d´eficit des charges entre les 2 faces y = 0 et y = a cr´ee une ddp
∆U = U2 − U1
et donc une champ ´electrique suivant ⃗ey
⃗ = −∇U
⃗ = E⃗ey
E

5) r´eaction par opposition `a B
⃗ = E⃗ey agit `a son tour sur l’´electron par une force ´electrique
Le champ electrique E
⃗ = −eE⃗ey
F⃗el = −eE

Cette force s’oppose `a la force magn´etique F⃗m cr´ee par B.
L’expression de la force totale subit par l’´electron est alors
F⃗m + F⃗el = (evB − eE) ⃗ey
6) Equilibre des forces F⃗m et F⃗el = Effet Hall, on a:


F⃗m + F⃗el = 0

evB = eE

ce qui donne
EH = vB,

c’est la valeur du champ de Hall
14

(1.1)

7) vitesse de d´eplacement des ´electrons: ⃗v = − |v| ⃗ex
elle est obtenue en calculant l’expression du courant ´electrique I de deux facons et
en comparant les r´esultats.
a) D’une part
∫ −

I = J⃗dS = JS = Jab
soit
J=

I
ab

ii) d’autre part
J⃗ = ρ⃗v

= −ne⃗v
=

= ne |v| ⃗ex
J⃗ex

ce qui donne
ne |v| =

I
ab

d’ou
|v|

=

I
abne

8) Le champ EH d´ecoule de la relation
EH = vB,

v=

−I
abne

soit
EH

=

−IB
abne

d’o`
u
n =

−IB
eabEH

De la relation entre le potentiel ´electrique U et le champ


⃗ →
E = − grad U
=⇒
U =− E
dl
on tire
UH

=
=
=



⃗H →
dl
− E
∫a
−EH 0 dy
−aEH

9) Nombre de e− par unit´e de volume et par atome de Cu:
de la relation
n =

15

−IB
ebaEH

on tire
n=

IB
ebUH

Application num´erique
b
I
B
UH

= 10−4 m
= 10A
= 1T esla
= 5.510−6 V

,
,
,
,

ϱvol (cu)
= 9000kg/m3
mmole (cu) = 63g
e
= 1.610−19 C
N
= 6.021023 atomes/mole

10A×1T esla
n = 1.610−19 C×10
−4 m×5.510−6 V
29 −
= 1.14 × 10 e /m3

Le nombre d’atomes par m3
mvol ×N
mmole

=
=

9000kg/m3 ×6.021023 atomes/mole
63×10−3 kg
28
3

8, 6 × 10

atomes/m

Le nombre d’´el´ectrons par atome est alors
1.14 × 1029 e− /m3
= 1.33 e− /atome
8, 6 × 1028 atomes/m3
Exercice IV: interaction entre 2 conducteurs
1) Sch´ema d’illustration, voir fig 6

Figure 6: force magnetique exerc´ee par un fil sur un cadre

16

⃗ 1 cr´ee par le fil
2) Expression du champ B
Il est obtenu par le th´eor`eme d’Amp`ere:
I

⃗ 1 .−
dl 1 =
B

µ0



Iint

C


ethode:
N le fil conducteur a une symetrie cylindrique,
ceci implique
⃗ 1 (M ) = B
⃗ 1 (ρ)
B
N Le plan Πs = (⃗ez , ⃗eρ ) contenant M est un plan de sym´etrie du circuit;
ceci implique que la direction du champ est
⃗ 1 = B1⃗eϕ
B
⃗ 1 sont des cercles,
N Les lignes de champ de B


ceci implique que la courbe d’Amp`ere C est un cercle d’axe Oz et de rayon ρ orient´e
de droite vers la gauche (sens trigonom´etrique)
Par cons´equent:
I


⃗ 1 .−
Iint = I1 et
B
dl 1 = B1 × 2πρ
C

Conclusion
⃗1
B

=

µ0 I1
⃗e
2πρ φ

3) Force F⃗12 exerc´ee par le fil sur le cadre ABCD
On a 2 conducteurs:
− Un fil infini parcouru par un cournat I1 cr´eant un champ magn´etique
⃗ 1 = µ0 I1 ⃗eφ
B
2πρ
− Un cadre ABCD dans le plan (⃗ez , ⃗eρ ) parcouru par un courant I2 cr´eant un
champ magn´etique
⃗ 2 =!
B
En g´en´eral on a:
⃗ 1 sur le cadre ABCD parcouru par I2
Force F⃗1→2 exerc´ee par B
⃗ 2 sur le fil parcouru par I 1
Force F⃗2→1 exerc´ee par B
F⃗12 + F⃗21

17

= ⃗0

Pour faire le calcul de F⃗12 , on prendra l’exemple particulier o`
u le cadre ABCD dans
le plan yOz; voir fig 6.
Ceci correspond `a poser:
π
φ=
2
Dans ce cas, la base (⃗eρ , ⃗eφ , ⃗ez ) du cadre mobile coincide avec (⃗ey , −⃗ex , ⃗ez ) comme
le montre les relations:
⃗eρ
⃗eφ
d’ou

= ⃗ex cos φ + ⃗ey sin φ
= ⃗ey
= −⃗ex sin φ + ⃗ey cos φ = −⃗ex
⃗1
B
⃗1
B

=
=

0 I1
= − µ2πy
⃗ex
µ0 I1
, b = 2π

µ0 I1
⃗e
2πρ φ
−b
⃗e
y x

⃗ sur le cadre est:
Par d´efinition la force F⃗12 exerc´ee par B
I
F⃗12



⃗1
I2 dl 2 ∧ B

=

,

force de Laplace

ABCDA

=

F⃗AB + F⃗BC + F⃗CD + F⃗DA



soit
F⃗AB
F⃗BC
F⃗CD
F⃗DA

=
=
=


− ⃗
I2 dl ∧ B
1



AB




→ ⃗
I2 dl ∧ B
1

BC




→ ⃗
I2 dl ∧ B
1

CD


→ ⃗
I2 dl ∧ B
1

=
DA

avec




→ ⃗
I2 dl ∧ B
1


=

−I2 b

AB



0


− ⃗
I2 dl ∧ B
1


=


=

a


→ ⃗
I2 dl ∧ B
1
DA


=

=

−I2 ab
⃗e
y y

dy
y

⃗ey ∧ ⃗ex

=

I2 b ln y+a
⃗ez
y

=

ab
I2 y+a
⃗ey

=

−I2 b ln y+a
⃗ez
y

0

−I2 b

CD

⃗ez ∧ ⃗ex

y+a
y


→ ⃗
I2 dl ∧ B
1



dz
y

−I2 b

BC



a

dz
y+a

⃗ez ∧ ⃗ex

y

−I2 b
y+a

18

dy
y

⃗ey ∧ ⃗ex

Noter que
F⃗BC + F⃗DA = 0
La r´esultante des forces F⃗ agissant sur le cadre est
F⃗

=

F⃗AB + F⃗CD

=

−I2 ab

(

1
y



1
y+a

)
⃗ey

−µ0 I1 I2 a2
⃗e
2πy(y+a) y

=

, attraction

Si le cadre ´etait libre, il serait attir´e vers le fil;
⃗ `a
c’est-`a-dire vers la r´egion o`
u est plus intense pour que le flux Φ du champ B
travers le cadre soit maximum:
c’est la r`egle du flux maximal
Remarque: quand y tend vers zero, le flux est max:
en effet, le flux magn´etique Φ est:
∫∫

⃗ −
Φ =
B.
dS
surface du cadre

Vu l’orientation du cadre de la fig 6, on a:



→ −


dS = dz ∧ dy = −dydz →
ex
b

B = − y ⃗ex
∫∫

soit
Φ

=
=


⃗ −
B.
e x dzdy
∫ a ∫ y+a
−bdy

dz
y


0

y

y+1
y

→∞

=

ab ln y+a
y

Noter que
limy→0

,

limy→∞

y+1
y

→0

4) Autre m´ethode
Le travail ´el´ementaire dW des forces magn´etiques F⃗ pour effectuer un d´eplacement


virtuel dr = dy ⃗ey du cadre est:


dW = F⃗ .dr = F dy
dy th de Maxwell
= I2 dΦ = I2 dΦ
dy
19

D’ou
F = I2
calculons


:
dy


dy

De la relation
Φ = ab ln

y+a
= ab [ln (y + a) − ln y]
y
(

on a:



)


dy

=

ab

F

=

µ0 a
I1 I2
− 2πy(y+a)

1
y+a
2

20

1
y

2

µ0 a
= − 2πy(y+a)
I1


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