Série Suites réelles Bac Math .pdf


Nom original: Série Suites réelles Bac Math.pdfAuteur: AmouLa

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Mr :Khammour.K

Série n°4 : « Suites réelles »

4èmeMath

Octobre 2014

Exercice n°1 :
I.

Donner la réponse exacte.
1) Soit la suite U définie par son premier terme U0 et U n+1  2U n  3 .
a) U est une suite géométrique.
b) La suite V définie par Vn  U n  3 est une suite géométrique.
c) Pour tout n  IN , Un  2n  U0  3  3 .

2) On considère les suites U , V et W telles que pour tout n, on a : U n  Vn  Wn . Si lim Vn   alors :
n + 

a)
II.

lim Wn  

n + 

c)  Wn  n’ a pas de limite.

b) lim Un  
n + 

Répondre par vrai ou faux en justifiant :
1) U converge ssi U2 converge.
2) Si U est bornée alors U converge.
U 
3) Si lim  n   l alors lim Un  lim Vn  l.
n +  V
n + 
n + 
 n
4) Deux suites qui convergent vers un même limite sont adjacentes.
k

1
5) Si U n     alors U converge vers 1.
k 1  2 
1
6) La suite Wn   sin(n) est convergente.
n
n

2n   -1
7) La suite T définie pour tout n>0 Tn 
converge vers 2.
n
n

Exercice n°2 :
U0  2

Soit  un réel appartenant à ]0,1[.On considère la suite Un  définie sur IN par :
{

U n1 

1   U n  
Un

1) a) Montrer que pour tout n de IN , on a : U n  1 .
b) Montrer que Un  est une suite décroissante.

c) En déduire que la suite Un  est convergente et trouver sa limite.
U 1
2) Soit Vn  la suite définie sur IN par : Vn  n
.
Un 

a) Montrer que Vn  est une suite géométrique dont on déterminera son premier terme et sa raison.
b) Exprimer Vn puis U n en fonction de n .

c) Retrouver alors la limite de la suite Un  .
Exercice n°3 :
U0  0

On considère la suite Un  définie sur IN par :
{

U n1 

3
6  Un2

1) Calculer U 1 et U 2 .
2) a) Montrer que pour tout n de IN , on a : 0  Un  3 .
b) Montrer que Un  est une suite croissante.

c) En déduire que la suite Un  est convergente et trouver sa limite.
3) Soit Vn  la suite définie sur IN par : Vn 

Un2
.
3  Un2

a) Montrer que Vn  est une suite arithmétique dont on déterminera son premier terme et sa raison.
b) Exprimer Vn puis U n en fonction de n .

c) Retrouver alors la limite de la suite Un  .
Exercice n°4 :
Soit Un nIN la suite réelle définie par son premier terme U0  IR* / 1 et par la relation de récurrence
U n 1  U n  U n 2 .

1) a) Montrer que la suite Un  est décroissante.

b) Montrer que si la suite Un  converge alors lim U n  0 .
n + 

2) On suppose que U 0  0 .
a) Montrer que pour tout n de IN*, U n  U1  0 .

b) Montrer alors que la suite Un  diverge. Quelle est sa limite ?
n 1

1
1
1
1


. Vérifier que
et calculer lim Sn .
n + 
1  U k U k 1 U k
k 0 1  U k
Dans la suite , on suppose que 0  U 0  1 .

c) On pose pour tout n  IN*, S n  

3) a) Montrer que pour tout n de IN , 0  U n  1 et en déduire que Un  converge.
n

b) On pose pour tout n  IN, S n   U k  . Calculer lim Sn .
2

k 0

4) a) Montrer par récurrence que pour tout n  IN , U n 

n + 

1
.(On pourra utiliser les variations de x
n 1

sur [0,1]).
b) Soit la suite Vn  définie sur IN par Vn  nU n .
Montrer que la suite Vn  est croissante et qu’elle convergente vers un réel l  1 .
Exercice n°5 :
2U n
Soit U la suite définie sur IN par : U 0  IR * et n  IN, U n1 
.
3  Un2
1) a) Montrer que n  IN U n >0 .
b) Pour quelle valeur U 0   la suite U est constante ?
On suppose pour la suite de l’exercice que U 0   .
2) a) Montrer que n  IN Un1    et Un    ont même signe ?

b) Etudier la monotonie de la suite U dans chacun des cas suivants : U0  0,  ; U0   ,  .
c) En déduire que dans chaque cas la suite U est convergente et calculer sa limite l.

x  x2

Exercice n°6 :
5
1
1) Soit la suite Un  définie sur IN par U 0  1 ; U1  2 et U n  2  U n 1  U n
4
4
Vn  sur IN par : Vn  U n1  U n .

n  IN .On définie la suite

a) Montrer que la suite Vn  est une suite géométrique convergente.

b) Calculer Un  en fonction de n. En déduire que Un  est convergente et calculer sa limite.
2) On définit la suite Wn  définie sur IN par Wn   2n  1Vn .
a) Montrer que la suite Wn  est décroissante et qu’elle est convergente.
1
1
b) Montrer que n  IN , Wn 1  Wn  Vn , puis calculer lim Wn .
n + 
4
2
n

3) Soit la suite  Sn  définie sur IN par : S n   Wk .
k 0

n 1

1
1
1
a) Montrer que Sn  Sn  1  Wn   Vk .
4
4
2 k 0

b) En déduire que la suite  Sn  est convergente et calculer sa limite.





1
Tn  Tn 2  Wn .
2
a) Montrer que la suite Tn  est minorée par 1 et strictement croissante.

4) On définit la suite Tn  sur IN par : T0  1 et Tn1 

1
b) Montrer que n  IN ;0  Tn1  Tn  Wn . En déduire que la suite Tn  est convergente et que sa limite l
4
14
vérifie 1 l  .
9
Exercice n°7 :
1
U0 
2
On considère la suite U définie par :
3U n 2  1
U n1 
2U n 2  2
{

3x 2  1
.
2x2  2
1
b) Montrer par récurrence que pour tout n de IN on a :  U n  1 et que la suite U est croissante.
2
c) En déduire que la suite U est convergente et calculer sa limite.

1) a) Etudier les variations sur [0,1] de la fonction x

n

4
1 4
2) a) Montrer que pour tout n de IN on a : U n1  1  U n  1 et U n  1    .
5
25
b) Retrouver la limite de la suite U.
n 1

3) On considère la suite S définie par : S n   U k  1 .Montrer que la suite S est décroissante et qu’elle est
k 0

convergente.
4) On considère la suite V telle que {

V0  1

Vn1  Vn  Vn 2  U n

a) Montrer que pour tout n de IN on a : Vn 1  Vn  U n .
b) En déduire pour tout n de IN* on a : Vn  n  1  S n .
c) Déterminer alors la limite de la suite V.
Exercice n°8 :
U0 

On considère la suite U définie par :

1
2

1 

U n   1   U n 1
 2n 
{

pour tout n de IN*.

1) a) Montrer que pour tout n  IN * U n  0 .
b) Exprimer Un en fonction de n.
2) On pose : pour tout n de IN , Vn  nUn et Wn  n  1Un
a) Montrer que la suite V est croissante et la suite W est décroissante.
1
1
 Un 
b) En déduire que pour tout n de IN*
.
4 n
2 n 1
c) Montrer que la suite U est convergente et calculer sa limite.
d) Montrer que les suites U et W sone adjacentes.
Exercice n°9 :
U  2Vn
U  3Vn
,Vn1  n
On définit deux suites (Un) et (Vn) par : U1  12, V1  1, U n1  n
3
4

1) Pour tout entier n  1, on pose Wn = Un – Vn. Montrer que (Wn) est une suite géométrique à termes positifs,
déterminer sa limite et exprimer Wn en fonction de n.
2) Démontrer que la suite (Un) est décroissante et que la suite (Vn) est croissante.
3) Pour tout entier n  1, démontrer que Un  Vn . En déduire que U1  U n  Vn  V1 .
4) Pour tout entier n  1, on pose Tn = 3Un + 8Vn. Démontrer que (Tn) est une suite constante.
5) En déduire les expressions de Un et Vn en fonction de n, puis les limites de (Un) et (Vn).


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