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Universit´
e De Tunis El Manar.
Institut Sup´
erieur des Technologies

edicales de Tunis.

Ann´
ee universitaire : 2014 - 2015
Section: GBM 1


erie de math´
ematiques n.2
Exercice 1.
En utilisant la formule de Taylor avec reste int´egrale, montrer que
x2
x2 x4
π
≤ cos x ≤ 1 −
+
∀x ∈ [0, ], 1 −
2
2
2
4!
Exercice 2.
a) D´eterminer le DL3 (0) de f (x) = esin x
1

b) D´eterminer le DL2 (0) de f (x) = (1 + sin x) x
c) D´eterminer le DL3 (a), a ∈ R de cos x et ex
Exercice 3.
1) Trouver le d´eveloppement limit´e d’ordre 2 en z´ero de

f (x) = 1 + x cos x

1− 1+x cos x
x
x→0

2) calculer lim

1
2
x→0 x

3) calculer lim



cos x
x2


1 − x2

Exercice 4.
Soit la fonction f (.) d´efinie par:
f (x) =

1
x2
ex
x+1

1) Calculer lim f (x) et lim f (x)
x→+∞

x→−∞

2) Effectuer un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en X =

1
x

de la fonction

f (x)
x .

3) D´eduire les asymptotes ´eventuelles et la position de la courbe par rapport aux asymptotes.
Exercice 5. Soit
f (x) = x2 ln(1 + x) − x2 ln x, (x > 0)
´
a) Ecrire
le DL3 (+∞) de f (x).
b) D´eduire l’´equation et la position de l’assymptote `a la courbe de la fonction f (.)

1

Exercice 6. Janvier 2014
Soit la fonction f (.) d´efinie par:
1

f (x) = (1 + 3x + 5x2 ) 2 − 1 + x
1) Ecrire le d´eveloppement limit´e de la fonction f au voisinage de 0 `a l’ordre 2.
2) D´eduire que la fonction f est continue en 0
3) D´eduire aussi l’´equation de la tangente de la fonction f `a l’origine
4) Pr´eciser la position de la courbe de la fonction f au voisinage de 0 par rapport `a sa tangente.
5) Trouver l’´equation de l’asymptote au voisinage de +∞ de la fonction suivante:
1

g(x) = (x2 + 3x + 5) 2 − x + 1
6) Pr´eciser la position de la courbe de la fonction g au voisinage de +∞ par rapport `a sa
tangente

2

Exercice 1.
On ´ecrit la formule de Taylor avec reste int´egrale `a l’ordre 4:
f (x) = cos x, I = [0, π2 ], x0 = 0 ∈ I ∀x ∈ I :
∫x

′′
(3)
(4)
4
(5) (t) dt
f (x) = f (0) + f 1!(0) x + f 2!(0) x2 + f 3!(0) x3 + f 4!(0) x4 + 0 (x−t)
4! f

′′
(3)
(4)
(5)
f (0) = 0, f (0) = −1, f (0) = 0, f (0) = 1, f (x) = − sin x
∫x
4
2
4
cos x = 1 − x2 + x4! − 0 (x−t)
sin t dt
4!
π
∀x ∈ [0, ], ∀t ∈ [0, x], sin t ≥ 0
∫ x (x−t)4 2
2
4
sin t dt ≥ 0 =⇒ cos x ≤ 1 − x2 + x4!
4!
0
On ´ecrit la formule de Taylor pour f (.) avec reste int´egrale `a l’ordre 2:
∫x
2
2
cos x = 1 − x2 + 0 (x−t)
sin t dt
2!
π
∀x ∈ [0, ], ∀t ∈ [0, x], sin t ≥ 0
∫ x (x−t)2 2
2
sin t dt ≥ 0 =⇒ cos x ≥ 1 − x2
2!
0
Exercice 2.
x3
3
6 + x ε(x)
3
x− x6 +x3 ε(x)

a) sin x = x −

esin x = e
2
3
eu = 1 + u + u2 + u6 + u3 ε(u)
3
3
esin x = 1 + (x − x6 ) + 12 (x − x6 )2 + 16 (x −
3
= 1 + (x − x6 ) + 12 x2 + 16 x3 + x3 ε(x)
= 1 + x + 12 x2 + x3 ε(x)

x3 3
6 )

+ x3 ε(x)

b)
1

1

(1 + sin x) x = e x log(1+sin x
Il faut le DL2 (0) de x −→ x1 log(1 + sin x), comme on divise par x, il faut DL3 (0) de
3
x −→ log(1 + sin x) sin x = x − x6 + x3 ε(x)
3
log(1 + sin x) = log(1 + x − x6 + x3 ε(x))
u=x−
2

x3
6

3

log(1 + u) = u − u2 + u3 + u3 ε(u)
3
3
log(1 + sin x) = x − x6 − 12 (x − x6 )2 + 21 (x −
3
2
= x − x6 − x2 + 13 x3 + x3 ε(x)
2
3
= x − x2 + x6 + x3 ϵ(x)

x3 3
6 )

+ x3 ε(x))

1
x x2
log(1 + sin x) = 1 − +
+ x2 ε(x)
x
2
6
c)
f (x) = cos x, V (a)
On Pose u = x − a
cos(x) = cos(u + a) = cos a cos u − sin a sin u
2

3

2

3

= cos a(1 − u2 + u3 ϵ(u)) − sin a(u − u6 + u3 ϵ(u)) = cos a − (sin a)u − (cos a) u2 + (sin a) u6 +
u3 ϵ(u)) et on n’oublie pas de convertire u = x − a
g(x) = ex On Pose u = x − a ex = eu+a = eu ea
3

Exercice 3.
f (x) = 1 + 12 x − 58 x2 + x2 ε(x)

1− 1+x cos x
x
x→0

lim

=

−1
2

1
2
x→0 x

et lim



cos x
x2


1 − x2 = 1

Exercice 4.
1) −∞ et +∞
2)

f (x)
x

=1+

X2
2

+ X 2 ε(X 2 ).

3) y = x.
Exercice 5. Soit
f (x) = x2 ln(1 + x) − x2 ln x, (x > 0)
il suffit de faire un d´eveloppement limit´e de la fonction `a l’ordre 3 au voisinage de l’infini. On
sait que
1+x
1
f (x) = x2 [ln(
)] = x2 [ln(1 + )]
x
x
or
1
1
1
1
1
1 1
ln(1 + ) = − 2 + 3 + 3 ε( ), lim ε( ) = 0
x→∞
x
x 2x
3x
x
x
x
d’o`
u
1
1
1
1
1 1
f (x) = x2 (ln(1 + )) = x2 ( − 2 + 3 + 3 ε( ))
x
x 2x
3x
x
x
1
1
1 1
f (x) = x − +
+ ε( )
2 3x x x
1
1 1
1
+ ε( )
f (x) − (x − ) =
2
3x x x
1
1
1 1
lim [f (x) − (x − )] = lim [
+ ε( )] = 0
x→+∞
x→+∞ 3x
2
x x
la droite d’´equation y = x − 12 est une assymptote `a la courbe de la fonction f (.), La courbe de
la fonction est au-dessus de son assymptote.
Exercice 6.
Soit la fonction f (.) d´efinie par:
1

f (x) = (1 + 3x + 5x2 ) 2 − 1 + x
1) f (x) = 52 x +

11 2
8 x

+ x2 ε(x)

2) f (0) = 0 et lim f (x) = 0
0

3) y = 52 x
4) Cf est au dessus
5) pour x > 0 g(x) =

5
2

+

11
8x

+ x1 ε( x1 )

4


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