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Faculté des sciences
Département de physique

PHYSIQUE DES VIBRATIONS
Jaouad DIYADI
2014/2015

Introduction
On traitera dans ce cours 2 parties :
Vibrations : vibrations d’un oscillateur et couplages entre oscillateurs.
Ondes : propagation des vibrations.
Vibrations : oscillations périodiques d’un système (oscillateur), autour d’un point d’équilibre
stable. La plupart des systèmes physiques (système mécanique, électrique, thermodynamique
. . . etc). Ces oscillations ont lieu si le système est écarté de son point d’équilibre et des forces de
rappel tendent à le ramener vers ce point.
Ondes : évolutions spatiales et temporelles d’un système lorsque ses constituants peuvent effectuer des oscillations et interagir (transfert d’énergie) entre voisins sans transport de matière.
Les oscillations peuvent être de nature intrinsèque :
3 ressort
3 fil de torsion
ou d’un mouvement autour d’un équilibre stable :
3 une bille dans un bol
3 modèle d’une liaison moléculaire
L’outil mathématique utilisé est l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients
constants
a2 x¨ + a1 x˙ + a0 x = 0
Parmi les phénomènes qui obéissent à cette équation on peut citer (en plus des oscillations
habituelles, masse attachée à un ressort ou un pendule, disque relié à un fil de torsion) les
oscillations de :
3 charge électrique dans un circuit RLC
3 charge électrique dans une antenne
3 atome soumis à une excitation lumineuse
3 interaction dans les réactions chimiques
3 poutre en flexion
3 croissance d’une colonie de bactérie en interaction avec la nourriture et le poison(que les
bactéries produisent)
3 la population dans une forêt . . . etc

F IGURE 1 – Divers oscillateurs

UNIVERSITÉ IBN TOFAIL

1

J.DIYADI

Table des matières
I

VIBRATIONS

1

Oscillations libres
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Loi de Hookes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Association de ressorts en série et en paralléle . . . . . .
1.2.4 Equation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Diagramme de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Valeurs moyennes des énergies potentielles et cinétiques
1.4 Autres types d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Oscillateur électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Oscillateur spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

4

L’oscillateur amorti
2.1 Équation du mouvement . . . . . .
2.2 Solutions de l’équation du
mouvement . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Équation caractéristique . .
2.2.2 Régime pseudo-périodique
2.2.3 Régime apériodique . . . .
2.2.4 Régime critique . . . . . . .
2.3 Aspect énergétique . . . . . . . . .

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Oscillations forcées
3.1 Situation du problème . . . . . . . . . . . .
3.2 Cas d’une excitation sinusoïdale . . . . . .
3.2.1 Étude de la solution . . . . . . . . .
3.2.2 Détermination de la solution forcée
3.3 Étude de l’amplitude en fonction
de la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Étude de la Résonance . . . . . . . .
3.3.2 Bandes passantes . . . . . . . . . . .
Oscillations couplées
4.1 Oscillations libres d’un système
à deux degrés de liberté . . . . . . .
4.1.1 Cas du couplage faible . . .
4.1.2 Pulsations et modes propres .
4.1.3 Analogie électromécanique .

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30
31
32

TABLE DES MATIÈRES

4.2

4.3

II
5

III
6

TABLE DES MATIÈRES

Oscillations forcées d’oscillateurs
couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Système oscillant à un degré de liberté .
4.2.2 Système à degré de liberté multiple . .
Chaine d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . .

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ONDES

40

Une approche
du phénomène de propagation
5.1 Le phénomène de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Les différents types d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ondes dans la chaine
d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Équation de propagation dans la chaine d’oscillateurs . . . . . . . .
5.2.2 Solutions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Onde monochromatique progressive . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Longueur d’onde, vecteur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Approximation des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Équations de propagation
de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Lignes de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Solution de l’équation
de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Solutions harmoniques
de l’équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Caracteristiques des ondes planes progressives monochromatiques
5.5 Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Modes de vibration d’une corde fixée aux extrémités . . . . . . . .

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EXERCICES

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Exercices
6.1 Associations de ressorts . . . . . . . . . .
6.2 Ressorts et Poulies . . . . . . . . . . . . .
6.3 Étude d’un oscillateur
à l’aide de son portrait de phase . . . . . .
6.4 Problème (Devoir libre) . . . . . . . . . . .
6.5 Etude de la résonance( TP 2èmeséance ) . .
6.6 Modélisation d’un amortisseur . . . . . .
6.7 Sismographe (Devoir libre) . . . . . . . .
6.8 Couplage de 3 ressorts . . . . . . . . . . .
6.9 Oscillateurs couplés . . . . . . . . . . . . .
6.10 Couplage de pendules simples identiques
6.11 couplage ressort-pendule (1) . . . . . . . .
6.12 Couplage ressort-barre (1) . . . . . . . . .
6.13 Couplage ressort-barre (2)
(Devoir libre) . . . . . . . . . . . . . . . .
6.14 Couplage ressort-barre (2) . . . . . . . . .
6.15 Propagation d’onde . . . . . . . . . . . . .

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J.DIYADI

Première partie

VIBRATIONS

4

Chapitre 1

Oscillations libres
1.1

Définitions

Phénomène périodique : événement périodique qui se reproduit à intervalles réguliers.
Si l’événement se répète à intervalles de temps fixes, on dit qu’il est périodique en temps .
S’il se reproduit à des positions régulièrement espacées on dit qu’il est périodique dans
l’espace.
La rotation de la Terre est un mouvement périodique dans le temps, les intervalles de temps
sont égaux à un jour.
Les lignes d’un papier millimétré périodique dans l’espace, elles sont régulièrement espacées de 1 mm.
Période (s) : intervalle de temps au bout duquel un évènement périodique se reproduit avec
la même phase.
L’unité SI de la période est la seconde (s).
Fréquence (s−1 ) : mesure le nombre de fois qu’un évènement périodique se reproduit en 1
seconde de temps.
L’unité SI de fréquence est le hertz (Hz).
Une fréquence de 1Hz(= 1s−1 ) signifie qu’un événement se reproduit une fois à chaque
seconde.
La fréquence du courant électrique alternatif distribué au Maroc est de 50 Hz, son intensité
dans un sens donné passe par un maximum tous les 1/50 de seconde, mais il change de sens
100 fois par seconde.
Position de repos :
extérieure.

1.2
1.2.1

état d’un système oscillant avant d’être mis en mouvement par une force

Oscillations libres
Oscillateur harmonique

Oscillateur : un oscillateur ou vibrateur est un système qui peut être le siège d’oscillations.
Un pendule est un oscillateur mécanique, de même qu’un système constitué d’une masse suspendue au bout d’un ressort. Un circuit électrique constitué d’une capacité et d’une inductance
est un exemple d’oscillateur électrique.
Les oscillateurs harmoniques : un oscillateur harmonique est un oscillateur dont l’évolution
dans le temps est décrite par une fonction sinusoïdale et dont la fréquence ne dépend que des
caractéristiques du système.

5

1.2. OSCILLATIONS LIBRES

CHAPITRE 1. OSCILLATIONS LIBRES

Il faut noter qu’un un oscillateur harmonique est un outil de modélisation dans de nombreux
domaines : mécanique, électricité, électronique, optique, chimie, biologie,. . .

1.2.2

Loi de Hookes

On va s’intéresser à l’étude du ressort car c’est à travers le ressort qu’on va déterminer les
propriétés des oscillateurs en général.
Soit un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k.
Si x est l’allongement du ressort alors le ressort exerce une force ~f pour revenir à sa position
initiale. La force ~f est proportionnelle à l’allongement algébrique x.

La projection de cette force sur l’axe ox donne
f = −kx

1.2.3

c’est la loi deH OOKS

(1.1)

Association de ressorts en série et en paralléle
en parallèle

en série

1
1
1
=
+
ks
k1
k2

k p = k1 + k2

(1.2)

k s est la raideur équivalente de deux ressorts bout à bout (en série), k p est la raideur équivalente
de deux ressorts accolés (en parallèle).
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J.DIYADI

1.2. OSCILLATIONS LIBRES

CHAPITRE 1. OSCILLATIONS LIBRES

on généralise facilement ces résultats au cas où N > 2 ressorts en série ou en parallèle. Par
exemple pour N ressorts identiques placés en série :
l0 → Nl0 =⇒

1
1
k
= N =⇒ k s =
ks
k
N

Les relations (1.2) montre que la raideur d’un ressort est inversement proportionnelle à la longueur l, soit :
A
x
k=
=⇒ f = − A
(1.3)
l0
l0
A est appelé le module d’Young. Avec cette notation, la force exercée par le ressort est proporx
tionnelle à l’allongement relatif .
l0

1.2.4

Equation de Newton

Soit x = 0 la position d’équilibre. La loi de Newton, pour
une masse m accrochée à l’extrémité du ressort, dont la masse
est négligée, s’écrit :
m x¨ = −kx
x¨ + ω02 x = 0
ω02 =

k
m

(1.4)
(1.5)

Cette équation a pour solution une sinusoïde de pulsation ω0 , ce qui implique deux paramètres,
qui sont déterminés par les conditions initiales.
Il y a deux manières d’écrire la solution la plus générale,
x(t ) = Xm cos(ω0 t − ϕ)

ou bien

x(t ) = A cos ω0 t + B sin ω0 t

(1.6)

avec

A
B
, sin ϕ = −
Xm
Xm
Xm désigne l’amplitude ω0 la pulsation propre ϕ la
phase initiale Le mouvement est périodique de période

T0 =
.
ω0
Xm =

p

A2 + B2 ,

cos ϕ =

Quelle est l’origine du qualificatif harmonique ?
La propriété la plus remarquable de cette solution est
que la période est indépendante de l’amplitude, on dit
qu’il y a isochronisme c’est pourquoi on introduit le qualificatif harmonique pour ce mouvement.

1.2.5

Diagramme de phase

Cherchons la relation entre v et x à partir de la conservation de l’énergie mécanique et à
partir de la conservation de l’énergie mécanique :
• À partir de la conservation de l’énergie mécanique :
Em ( x ) =

1 2
kX
2 m



1 2 1 2 2
v + ω0 x = C
2
2

(C) est une constante qui varie en fonction des conditions initiales notons
2C
A = 2C et B = 2 ;
ω0
v2
x2
+
=1
A
B
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(1.7)

J.DIYADI

1.3. ASPECT ÉNERGÉTIQUE

CHAPITRE 1. OSCILLATIONS LIBRES

• À partir de la solution de l’équation différentielle


x (t) = Xm cos(ω0 t − ϕ)
v(t) = x˙ = ω0 Xm sin(ω0 t − ϕ)

x2
v2
+
=1
2
2 ω2
Xm
Xm
0

c’est l’équation d’une ellipse

(1.8)

F IGURE 1.1 – Diagramme de phase
quand C = 0 → x = 0 →
En dehors du centre :
x = 0 → v = vmax

1.3

v=0

c’est le centre des différentes ellipses.

et lorsque

v=0



x = Xmax

Aspect énergétique

Considérons un cas plus générale (oublions le ressort pour le moment)où une particule
ponctuelle soumise à la seule force conservative 1 ~f et ne dépend que d’un seul paramètre x :

~f = f x~e
celle-ci dérive d’une énergie potentielle E p :
fx = −

dE p
dx

(1.9)

On montre que si E p ( x ) admet un minimum pour x = x0 alors il existe un point d’équilibre
stable en x = x0 .
Effectuons un développement limité d’ordre 2 au voisinage de ce point :
dE p
( x − x0 )2 d2 E p
) x = x0 +
(
) x = x0 + · · ·
dx
2
dx
Puisqu’on a un minimum en x = x0 on peut assimiler la fonction E p ( x ) , au voisinage de
l’équilibre, à une parabole :
E p ( x ) = E p ( x0 ) + ( x − x0 )(

E p ( x ) = E p ( x0 ) +

( x − x0 )2 d2 E p
(
) x = x0 + · · ·
2
dx

1. force conservative = force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi, elle dérive d’un potentiel
~f = − gradE
~ p

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8

J.DIYADI

1.3. ASPECT ÉNERGÉTIQUE

On suppose que (

CHAPITRE 1. OSCILLATIONS LIBRES

d2 E p
) x=x0 existe et on pose :
dx
1 d2 E p
(
) x = x0 = k
2 dx

on en déduit alors l’expression au voisinage de l’équilibre :
fx = −

dE p
= − k ( x − x0 )
dx

(1.10)

On peut remarquer l’analogie évidente entre l’expression de cette force et celle de la force de
rappel d’un ressort. La projection du P.F.D sur l’axe (ox ) donne
m x¨ = f x = −k ( x − x0 )
posons X = x − x0
l’équation ci-dessus s’écrit alors
X¨ + ω02 X = 0
On retrouve l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique
Conclusion :
Si une particule est soumise aux seules forces conservatives alors elle est considérée
comme un oscillateur harmonique.
Exemple :
Les liaisons atomiques (fig.1.2) peuvent être représentées par des ressorts reliant les atomes
entre eux et qui vibrent autour de leurs positions d’équilibre stable.

F IGURE 1.2 – Un modèle de liaison atomique.

1.3.1

Bilan d’énergie

Reprenons l’expression de la solution du mouvement d’un oscillateur harmonique :
x¨ + ω02 x = 0 → x (t) = Xm cos(ω0 t − ϕ)
Pour une force conservative qui dérive d’une énergie potentielle E p ( x ) , cette énergie est définie
à une constante prés (on prendra E p (0) = 0).

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9

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1.4. AUTRES TYPES D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 1. OSCILLATIONS LIBRES

L’énergie potentielle
1 2
kx
2



E p (t ) =

1
kX 2 cos2 (ω0 t − ϕ)
2 m

1 2
mv
2



Ec ( x) =

1
kX 2 sin2 (ω0 t − ϕ)
2 m

Em = Ec + E p



Ep (x) =
L’énergie cinétique
Ec ( x ) =
L’énergie mécanique

Em ( x) =

1
kX 2
2 m

(1.11)

L’énergie mécanique est une constante du mouvement (les forces sont conservatives) on la
notera par la suite E0 .

1.3.2

Valeurs moyennes des énergies potentielles et cinétiques

1 RT
1 RT 1
1
2
2
2


h E p i = T 0 E p (t )dt = T 0 2 kXm cos (ω0 t − ϕ) = 4 kXm


h E i = 1 R T E (t )dt = 1 R T 1 kX 2 sin2 (ω t − ϕ) = 1 kX 2
c
c
0
T 0
T 0 2 m
4 m

(1.12)

La figure (1.3) représente la variation des énergies cinétique et potentielle. Les valeurs
moyennes des énergies potentielle et cinétique sont égales, il y a en permanence un transfert
d’énergie entre les deux formes.
1
h E p i = h E c i = h E0 i
2

(1.13)

F IGURE 1.3 – Variations des énergies cinétique et potentielle en fonction de x.

1.4
1.4.1

Autres types d’oscillateurs
Oscillateur électrique

Considérons un circuit LC (fig 1.4), q étant la charge du condensateur à l’instant t
Le bilan des tensions :
di
q
L + =0
dt C
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1.4. AUTRES TYPES D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 1. OSCILLATIONS LIBRES

F IGURE 1.4 – Circuit LC série

or

i=

dq
dt



L

q
d2 q
+ =0
2
dt
C

soit
d2 q
+ ω02 q = 0
dt 2

(1.14)

1
ω0 = √
LC

(1.15)

q(t ) = Qmax cos(ω0 t − ϕ)

(1.16)

avec

La solution est
On remarquera l’analogie
x→q

1.4.2

v→i

Pendule simple

Soit un pendule simple constitué d’un fil de longeur L auquel est accrochée une masse m
(fig 1.5).

F IGURE 1.5 – Pendule simple
L’équation du mouvement pour un pendule simple s’écrit :
l θ¨ + g sin θ = 0
si θ petit, alors
sin θ ' θ
et
l θ¨ + gθ = 0

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1.4. AUTRES TYPES D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 1. OSCILLATIONS LIBRES

soit :
θ¨ + ω02 θ = 0

(1.17)

avec
r
ω=

g
l

(1.18)

la solution est :
θ(t ) = θmax cos(ω0 t − ϕ)

1.4.3

(1.19)

Oscillateur spatial

Si le ressort effectue le mouvement dans un plan ( x, y),
m~r¨ = −k~r

(1.20)

On projette cette relation sur les axes orthonormés contenus dans le plan du mouvement d’origine le centre des forces
m x¨ = −kx

my¨ = −ky

(1.21)

on obtient alors : un mouvement sinusoïdal de même pulsation sur chaque axe et les solutions
s’écrivent :
x(t ) = a cos(ω0 t − ϕ)
et
y(t ) = b cos(ω0 t − ϕ)
C’est une ellipse de centre O.

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12

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1.4. AUTRES TYPES D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 1. OSCILLATIONS LIBRES

Analogie électrique-mécanique
Des systèmes mécaniques peuvent être représentés par des circuits électriques analogues. Deux
systèmes l’un mécanique et l’autre électrique sont dits analogues si les équations différentielles
qui régissent leur évolution sont identiques. Quand cette équivalence est obtenue, les termes
correspondant dans les équations différentielles sont dits analogues. Il y a deux types d’analogies pour les systèmes mécaniques et électriques :
• l’analogie force-tension ou analogie masse-inductance (c’est la plus utilisée).
• l’analogie force-courant ou analogie masse-capacitance.

F IGURE 1.6 – Équivalence électrique-mécanique

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13

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Chapitre 2

L’oscillateur amorti
Dans l’oscillateur non amorti on constate que :
• l’énergie est conservée
• le mouvement se poursuit éternellement
Mais en réalité, il y a toujours des frottements qui se manifestent par :
• perte d’énergie (dissipation sous forme de chaleur par ex)
• amortissement du mouvement
Nous allons tenir compte de ce paramètre et considerer par la suite les frottements fluides
proportionnelles à la vitesse.

~f = −α~v

2.1

(2.1)

Équation du mouvement

En tenant compte des frottements le ressort est soumis à :
• la force de rappel −k~r
• la force de frottement −α~v
Supposons que le mouvement s’effectue sur un axe horizontal (ox) :
m x¨ = −kx − αv

x¨ +

,

v = x˙

α
k
x˙ +
=0
m
m

(2.2)

Analogie avec le circuit électrique
Pour un circuit RLC série en court-circuit La loi des mailles appliquée au circuit RLC fermé

F IGURE 2.1 – Circuit RLC série
donne
uC + u R + u L = 0

14

2.1. ÉQUATION DU MOUVEMENT

avec
uc =

q
;
C

CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR AMORTI

u R = RI = R

dq
;
dt

uL = L

dI
d2 q
= 2
dt
dt

d’où
q¨ +

1
R
q˙ +
q=0
L
LC

(2.3)

Le tableau suivant explicite en partie l’analogie qui existe entre la mécanique et l’électricité :
Mécanique

←→

m x¨ + α x˙ + kx = 0
r
k
m
élongation x
vitesse v

←→

raideur

←→
←→
←→
←→

k

←→
1 2
énergie cinétique
m x˙ ←→
2
1 2
énergie potentielle
kx ←→
2
Revenons l’équation du mouvement (2.2)
frottement

α

Electricité
1
Lq¨ + Rq˙ + q = 0
r C
1
LC
charge q
intensité i = q˙
1
capacité
C
résistance R
1 2
énergie magnétique
Lq˙
2
11 2
énergie électrostatique
q
2C

α
k
x˙ +
=0
m
m
Habituellement on met cette équation sous une forme dite canonique en posant :
r
k
α
et
λ=
ω0 =
m
2m
x¨ +

x¨ + 2λ x˙ + ω02 x = 0

(2.4)

Remarques : en électricité et pour des commodités de calcul, on utilise une définition différente de λ , en effet au lieu de noter
R
= 2λ
L
on note
R
= 2λω0
L
et l’équation s’écrit dans ce cas :
q¨ + 2λω0 q˙ + ω02 q = 0

(2.5)

On peut rencontrer aussi d’autres écritures,par exemples :
• En fonction de ω0 et d’un temps de relaxation, on pose :
α
1
= 2λ = (τ homogène à un temps)
m
τ
x¨ +

1
x˙ + ω02 x = 0
τ

(2.6)

• En fonction de ω0 et du facteur de qualité Q, Q est sans dimension. On pose :
Q = ω0 τ
x¨ +

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ω0
x˙ + ω02 x = 0
Q
15

(2.7)

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2.2. SOLUTIONS DE L’ÉQUATION DU
MOUVEMENT

2.2
2.2.1

CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR AMORTI

Solutions de l’équation du
mouvement
Équation caractéristique

Pour résoudre l’équation (2.4) on cherche des solutions sous forme :
x (t) = kert
on obtient alors l’équation caractéristique
r 2 + 2λr + ω02 = 0

(2.8)

si r1 et r2 sont solutions de l’équation (2.8) , alors leur combinaison
x(t ) = Aer1 t + Ber2 t

(2.9)

est aussi solution et elle est plus générale. On a plusieurs solutions à envisager selon les
valeurs de r1 et r2 .
Faisons l’étude selon le signe de

2.2.2

40 = λ2 − ω02

Régime pseudo-périodique

40 < 0



λ2 − ω02



λ < ω0 et pour le facteur de qualité :

1
1
1
α
= 2λ = →
< ω0 → ω0 τ >
m
τ

2
soit
Q>

1
2

(2.10)

40 < 0 → les deux racines sont complexes conjuguées
q
r1,2 = −λ ± j ω02 − λ2
posons :
ω2 = ω02 − λ2

(2.11)

soit
r1,2 = −λ ± jω
La solution s’écrit :
x(t ) = Xm e−λt cos(ωt − ϕ)

ou

x(t ) = e−λt ( A cos ωt + B sin ωt )

(2.12)

Xm et ϕ ou A et B sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
Pour ce type de mouvement on définit deux grandeurs :
• La pseudo-période
• Le décrément logarithmique

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16

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2.2. SOLUTIONS DE L’ÉQUATION DU
MOUVEMENT

CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR AMORTI

F IGURE 2.2 – Régime pseudo-périodique

La pseudo-période
C’est l’intervalle de temps entre trois passages par la position d’équilibre.
c’est la période de la fonction cos(ωt − ϕ) qui vaut :
T=


=
ω


s
ω0

T= s

1−

λ2
ω02

T0
λ2
1− 2
ω0

(2.13)

Remarque :
λ < ω0 → T > T0
Les frottements provoquent l’augmentation (légère) de la période du mouvement.

Le décrément logarithmique
Reprenons la première expression de la solution du régime pseudo-périodique (équation (2.12)
x (t) = Xm e−λt cos(ω0 t − ϕ)
| {z }
A(t)

calculons le rapport des amplitudes

A(t)
:
A(t + T )

A(t)
Xm e−λt
=
= eλT
A(t + T )
Xm e − λ ( t + T )
ce rapport dépend de λT, posons :
λT = δ

(2.14)

δ s’appelle le "décrément logarithmique".
Le décrément logarithmique caractérise la vitesse de décroissance des amplitudes.
δ = ln

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A(t )
A(t + T )
17

(2.15)
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2.2. SOLUTIONS DE L’ÉQUATION DU
MOUVEMENT

CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR AMORTI

si on considère la 1re amplitude à l’instant t et la nème amplitude à l’instant t + T
A(t)
1
A(t)
A(t)
= eλnT ⇒ nλT = ln
⇒ δ = ln
A(t + nT )
A(t + nT )
n A(t + nT )
δ=

2.2.3

1
A(t )
ln
n A(t + nT )

(2.16)

Régime apériodique

40 > 0



λ > ω0 (fort frottement)

q

r1 = −λ + λ2 − ω02
q

r = − λ − λ2 − ω 2
2
0

comme r1 et r2 sont négatifs la solution est la somme de deux exponentielles décroissantes
x (t) = Aer1 t + Ber2 t
x(t ) = e−λt [ Aeωt + Be−ωt ]

(2.17)

avec
ω=

2.2.4

q

λ2 − ω02

(2.18)

Régime critique

40 = 0

λ = ω0
la solution s’écrit :



r1 = r2 = − λ
x(t ) = ( At + B)e−λt

(2.19)

A et B à déterminer à partir des conditions initiales. La figure (2.3) montre l’allure des trois
régimes étudiés.
Pour le régime critique (courbe(c)) :

F IGURE 2.3 – Les différents régimes d’oscillation

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18

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2.3. ASPECT ÉNERGÉTIQUE

CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR AMORTI

• l’allure du régime critique est semblable à l’allure du régime apériodique avec un retour à la
position d’équilibre plus rapide.
• c’est la limite qui sépare le mouvement apériodique et le mouvement oscillatoire.
• il s’agit d’un régime théorique et il est très difficile et même presque impossible de l’observer
car l’égalité ne peut jamais être rigoureuse.

2.3

Aspect énergétique

On se limitera au cas où il y a oscillations.
x (t) = Xm e−λt cos(ωt − ϕ)

−→

x˙ (t) = Xm e−λt [−λ cos(ωt − ϕ) − ω sin(ωt − ϕ)]

les énergies cinétique et potentielle :
Ec =

1 2
m x˙
2

Ep (x) =

;

1 2
kx
2

l’énergie mécanique :
Em =

1
2 −2λt
mXm
e
[(λ cos(ωt − ϕ) − ω sin(ωt − ϕ))2 + ω02 cos2 (ωt − ϕ)]
2

L’énergie mécanique n’est pas constante, elle diminue en moyenne en e−2λt . L’amortissement
est donc accompagné de dissipation d’énergie.
Cas d’un amortissement très faible
On se place dans le cas ou
λ ω0

−→

ω ' ω0

Em diminue, donc si Em (t) est l’énergie à l’instant t et Em (t + T0 ) est l’énergie à l’instant t + T0
alors
Em (t + T0 ) < Em (t) et ∆Em = Em (t) − Em (t + T0 ) > 0
On montre facilement que

∆Em
T0


=
=
=
Em
τ
ω0 τ
Q

on obtient une interprétation énergétique du du facteur de qualité dans le cas d’un amortissement très faible :
Em
Q = 2π
(2.20)
∆Em
Attention
cette expression n’est valable que pourλ ω0 .

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19

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Chapitre 3

Oscillations forcées
C’est un chapitre important avec beaucoup d’applications :
• Excitation d’un circuit électrique par un générateur de fréquence
• Réponse d’un véhicule aux cahots de la route
• Résonance à certaines fréquences, le système répond avec une amplitude très grande.
Certains exemples de résonance sont célèbres :
3 Pont s’écoulant sous une troupe marchand au pas cadencé
3 manifestants qui renversent des voitures qu’ils agitent verticalement à un rythme approprié.

A la fin de ce chapitre, on doit savoir distinguer entre :





3.1

Régime apériodique, régime critique et régime pseudo-périodique.
Mouvement libre et mouvement forcé.
Régime transitoire et régime permanent.
Fréquence propre, fréquence d’excitation et fréquence de résonance.

Situation du problème

L’existence d’une force de frottement =⇒ dissipation d’énergie (sous forme de chaleur)
=⇒ amortissement des oscillations =⇒ arrêt du mouvement.
On doit appliquer alors une force extérieure pour entretenir le mouvement.
Reprenons l’oscillateur horizontale et exerçons une force supplémentaire ~F (t) sur la masse
Fig.(3.1).

F IGURE 3.1 – Oscillateur forcé

~F (t) = F (t)~ex
Le principe fondamental de la dynamique ( PFD )appliqué à la masse donne :
m x¨ = −kx − α x˙ + F (t)
20

3.2. CAS D’UNE EXCITATION SINUSOÏDALE

CHAPITRE 3. OSCILLATIONS FORCÉES

ou bien
x¨ +

α
k
F (t)
x˙ +
=
m
m
m

r

k
α
F (t)
;
λ=
;
= g(t)
m
2m
m
et l’équation différentielle du mouvement s’écrit alors :
ω0 =

(dimension d’une accéleration)

x¨ + 2λ x˙ + ω02 x = g (t )

3.2

(3.1)

Cas d’une excitation sinusoïdale

On se limitera dans la suite aux excitations sinusoïdales.
F (t) = F cos Ωt

g(t) = gm cos Ωt

−→

avec

gm =

F
m

x¨ + 2λ x˙ + ω02 x = gm cos Ωt

(3.2)

Intérêt de l’excitation sinusoïdale
• Intérêt pratique : utilisation dans les machines, description du mouvement dans un champ
magnétique, . . . etc
• Intérêt théorique : F (t) peut s’écrire comme superposition de fonctions sinusoïdales discrètes
ou continues (selon que la fonction F (t) est périodique ou non) et la solution, comme la
somme de solutions obtenues pour chaque fonction sinusoïdale.

3.2.1

Étude de la solution

La solution de l’équation s’écrit :
(
x (t) = x H + x p

3.2.2

avec

x H = solution de l’équation homogène
x p = solution particulière

(3.3)

Détermination de la solution forcée

La solution x H (t) de l’équation sans second membre a été déjà étudiée dans le chapitre (1).
Cette solution disparait avec le temps, (régime transitoire), seule reste la solution particulière
(régime permanent).
Cherchons la solution particulière sous forme de :
x P (t) = A cos(Ωt − ψ)
On utilisera la méthode des complexes, (ou la méthode de Fresnel, les deux méthodes sont
complémentaires).
On associe à x P (t) son complexe
− jψ jΩt
jΩt
x p (t) = Ae j(Ωt−ψ) = |Ae{z
} e = Xe
X

de même à
g(t) = gm cos Ωt
est associé le complexe
g(t) = gm e jΩt
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21

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3.2. CAS D’UNE EXCITATION SINUSOÏDALE

CHAPITRE 3. OSCILLATIONS FORCÉES

F IGURE 3.2 – Régime forcé.
L’équation (3.2) se réduit à l’écriture suivante en notation complexe :
x¨ p + 2λ x˙ p + ω02 x p = gm

(−Ω2 X + 2jλΩX + ω02 X )e jΩt = gm e jΩt
−Ω2 X + 2jλΩX + ω02 X = gm
gm
X=
2
(ω0 − Ω2 ) + 2jλΩ
le module est donné par A =

q



( XX )

A(Ω) = q

F
m

(ω02 − Ω2 )2 + 4λ2 Ω2

tan ψ =

2λΩ
− Ω2

ω02

(3.4)

(3.5)

sin ψ doit être > 0 pour avoir l’amplitude A > 0.

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22

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3.2. CAS D’UNE EXCITATION SINUSOÏDALE

CHAPITRE 3. OSCILLATIONS FORCÉES

Récapitulatif
x(t ) = x H + x p

−λt cos( ωt − ψ )

si
λ2 < ω02
Ce
x(t ) = A(Ω) cos(Ωt − ψ) + e−λt ( Aeωt + Be−ωt ) si
λ2 = ω02

 −λt
e
[ Aeωt + Be−ωt ] si
λ2 > ω02

q

régime faiblement amorti
ω 2 − λ2
(
1
)
ω
=



r0

k
( 2 ) ω0 =
régime critique


q m


 (3) ω = λ2 − ω 2
régime fortement amorti
0

(1)
(2)
(3)

si on utilise d’autres paramètres que λet ω0 on obtient :
m
1
• en fonction de τ =
=
et de ω02 :
α

Remarque

F
m

X=

(ω02 − Ω2 ) + j


τ

d’où
F
m








 A(Ω) = r

2
2 − Ω2 )2 + Ω
(
ω
0
2

τ






tan ψ = −
τ (ω02 − Ω2 )

• en fonction de Q = ω0 τ =

(3.6)

ω0
et ω02 :

F
m

X=

(ω02 − Ω2 ) + j

Ωω0
Q

d’où







A(Ω) = s





F
m

(ω02 − Ω2 )2 +

ω02 Ω2
Q2

(3.7)




1


tan ψ = −


ω0



Q(

)


ω0

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23

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3.3. ÉTUDE DE L’AMPLITUDE EN FONCTION
DE LA FRÉQUENCE

3.3
3.3.1

CHAPITRE 3. OSCILLATIONS FORCÉES

Étude de l’amplitude en fonction
de la fréquence
Étude de la Résonance

On aura résonance de l’amplitude lorsque celle ci passe par son maximum. Cherchons le maximum de :
F
m
A(Ω) = q
(3.8)

(ω02 − Ω2 )2 + 4λ2 Ω2
|
{z
}
1

D (Ω) 2

A(Ω) est maximum si D (Ω) est minimum
dD
= 4Ω(Ω2 − ω02 + 2λ2 )
dΩ
(
Ω=0
dD
= 0 =⇒
dΩ
Ω2 = ω02 − 2λ2
la 2ème solution admet des valeurs réelles si :


ω02 > 2λ2 =⇒ ω0 > λ 2
ou bien, si l’on préfère la condition sur le coefficient de surtension :
Q = ω0 τ =

ω0


soit
r
Q>

1
2

(3.9)

Discussion
Discutons les deux cas suivants :
r
Q>
r
(a) si Q >

1
2

r
et

Q<

1
2

1
on aura 2 solutions possibles :
2

Ω = 0
r
q
1
Ω = Ωm = ω02 − 2λ2 = ω0 1 −
2Q2

les amplitudes pour ces 2 pulsations sont :

F
F


A (0) =
=

2

k
mω0
ω02
F

q
A
(

)
=

m


mω02 2λ ω 2 − λ2
0
et si l’on exprime A(Ωm ) en fonction du coefficient de surtension Q, on obtient :
A(Ωm ) =

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F
mω02

24

Q
r

1
1−
4Q2

(3.10)

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3.3. ÉTUDE DE L’AMPLITUDE EN FONCTION
DE LA FRÉQUENCE

CHAPITRE 3. OSCILLATIONS FORCÉES

On remarque que :
Q
r
1−

1
4Q2

1
( puisque Q > √ )
2

>1

d’où
A ( Ω m ) > A (0)
le maximum de A(Ω) est donc A(Ωm ) et la valeur de ce maximum est :
Am = A(Ωm ) =

F
mω02

ω02


q

ω02 − λ2

(résonance en amplitude)
r

ω0
1
(λ > √ )
2
2
Il y a une seule solution → Ω = 0. L’amplitude décroit avec la fréquence : il n y a pas de
résonance.

(b) Q <

On note donc que :
la résonance n’aura pas lieu si les frottements dépassent une certaine valeur
exprimée par :
ω0
λ> √
2
dA(Ω)
= 0 → Ω = 0 → tangente horizontale en cepoint
dΩ

F IGURE 3.3 – Résonance
Il s’agit de l’analogue de la résonance de tension aux bornes du condensateur d’un circuit RLC
(vu en TP en S3).

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25

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3.3. ÉTUDE DE L’AMPLITUDE EN FONCTION
DE LA FRÉQUENCE

3.3.2

CHAPITRE 3. OSCILLATIONS FORCÉES

Bandes passantes

Calcul de 4Ω
La finesse de la résonance se définit à l’aide de la bande passante (comme en électricité)
∆Ω = Ω2 − Ω1

C’est l’intervalle de fréquence ou l’amplitude reste > à l’amplitude maximale divisé par



2

Reprenons les expressions de A(Ω) (3.8) et Am (3.10)
cherchons Ω tel que
Am
A(Ω) > √
2
la résolution de cette inégalité donne
Ω1 ≤ Ω ≤ Ω2
r

1
1



Ω1 = ω0 1 − 2Q2 − Q (1 −
r


1
1

 Ω 2 = ω0 1 −
+ (1 −
2
2Q
Q

1 1
)2
4Q2
1 1
)2
4Q2

Cas d’amortissement faible

Q 1 ; le développement limité donne


1


)
 Ω 1 ' ω0 ( 1 −

2Q

1


 Ω 2 ' ω0 ( 1 +
)
2Q

on en déduit la bande passante approchée :
∆Ω =

ω0
Q

Ce résultat fournit une autre définition du facteur de qualité :
Q=

ω0
∆Ω

(3.11)

(ω0 la pulsation propre ; ∆Ω la bande passante)
Dans le cas de faible amortissement :
• la fréquence de résonance est Ωm ' ω0
F Q
• l’amplitude maximale vaut Am '
m ω0
On en déduit pour un très faible amortissement :
Q=

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Am
A (0)

26

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3.3. ÉTUDE DE L’AMPLITUDE EN FONCTION
DE LA FRÉQUENCE

CHAPITRE 3. OSCILLATIONS FORCÉES

On définit la bande passante aussi comme :
l’intervalle de fréquence où l’énergie potentielle du ressort reste supérieur à la moitié
de l’énergie potentielle à la résonance.
(

E p = 12 kA2 (Ω)
A(Ω)
1
E p > 0.5E pR → A2 (Ω) > 12 A2m →
>√
1
2
Am
E pR = 2 kAm
2
1
la bande passante correspond à un rapport d’amplitude égale à √ est appelée bande passante
2
à −3dB.
En effet, le décibel (10 bel) est définit par 10 fois le logarithme décimal d’un rapport de puissance(ou d’énergie) :
Ep
) = 10 log 0.5 ' −3db
10 log(
E pR

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27

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Chapitre 4

Oscillations couplées
4.1

Oscillations libres d’un système
à deux degrés de liberté

Considérons 2 masses m1 et m2 qui peuvent se déplacer suivant l’axe (ox), m1 et m2 attachées à
2 points fixes par ressorts k1 et k2 .
Si on écarte les masses de leurs positions d’équilibre, les ressorts étant libres, chaque masse va

F IGURE 4.1 – Ressorts libres
osciller avec une pulsation propre :
s
ω01 =

k1
m1

s
;

ω02 =

k2
m2

Quelle est l’influence sur ce système si on relie les deux masses par un troisième ressort de
raideur k c ?

F IGURE 4.2 – Ressorts couplés
On écarte l’une des deux masses de sa position d’équilibre et on la relâche, le système prend
un mouvement oscillatoire.

28

4.1. OSCILLATIONS LIBRES D’UN SYSTÈME
À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ

CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

Appliquons le PFD aux deux masses :

(

~1 + T
~c
~1 = T
m1 γ
~c0
~2 + T
~2 = T
m2 γ


~1 = −k1 x1 e~x

T



T
~2 = −k2 x2 e~x
~c = −k c ( x2 − x1 )~

ex
T


T
0
~c = − T
~c = k c ( x2 − x1 )~
ex

avec

la projection sur l’axe (ox) donne :
(
m1 x¨1 = −k1 x1 + k c ( x2 − x1 )
m2 x¨2 = −k2 x2 − k c ( x2 − x1 )
ou bien

(

m1 x¨1 = −(k1 + k c ) x1 + k c x2
m2 x¨2 = k c x1 − (k2 + k c ) x2

Si on résout ce système dans le dans le cas simple :
m1 = m2 = m

et

k1 = k2 = k

on aura un système différentielle dit "symétrique " :
(

m x¨1 = −(k + kc ) x1 + kc x2
m x¨2 = kc x1 − (k + kc ) x2

(1)
(2)

(4.1)

la somme ((1) + (2)) et la différence ((1) − (2)) des deux équations donne :
(
m( x¨1 + x¨2 ) = −k ( x1 + x2 )
m( x¨1 − x¨2 ) = −k ( x1 − x2 ) − 2k c ( x1 − x2 )
Pour résoudre ce système on fait le changement de variable suivant :
(
u = x1 + x2
v = x1 − x2

(4.2)

u et v sont appelés coordonnées normales.
Ce changement de variable permet de découpler les équations (on obtient 2 équations indépendantes l’une de l’autre), on aura alors :
(
mu¨ = −ku
mv¨ = −(k + 2k c )v
Posons :
r
ω1 =

k
= ω0
m

r
et

ω2 =

k + 2k c
m

(4.3)

Les pulsations ω1 et ω2 sont appelées pulsations propres du système d’oscillations couplés.
On obtient alors :
(
(
u¨ + ω12 u = 0
u(t) = Um cos(ω1 t + ϕ1 )
=⇒
2
v¨ + ω2 v = 0
v(t) = Vm cos(ω2 t + ϕ2 )
qu’on peut aussi écrire :
(

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u(t) = A cos ω1 t + B sin ω1 t
v(t) = C cos ω2 t + D sin ω2 t
29

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4.1. OSCILLATIONS LIBRES D’UN SYSTÈME
À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ

CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

Si on choisit les conditions initiales suivantes :
x1 (0) = a0

x2 (0) = 0

x˙ 1 (0) = x˙ 2 (0) = 0

le système d’équation se réduit à :
(

u(t) = a0 cos ω1 t
v(t) = a0 cos ω2 t

L’équation (4.2) permet d’exprimer x1 (t) et x2 (t) en fonction de u et v :

1


 x1 ( t ) = 2 ( u + v )


1

x2 ( t ) = ( u − v )
2
remplaçons u et v par leurs expressions en fonction de ω1 et ω2

a0


 x1 (t) = 2 (cos ω1 t + cos ω2 t)


 x2 (t) = a0 (cos ω1 t − cos ω2 t)
2
soit 1

4.1.1

ω1 − ω2
t
2


ω1 + ω2

t

 x1 (t ) = a0 cos
2

cos



 x (t ) = a sin ω1 + ω2 t
2
0
2

ω1 + ω2
sin
t
2

(4.4)

Cas du couplage faible

Reprenons le système d’équation (4.4) et rappelons les expressions de ses pulsations propres
ω1 et ω2 :
r
r
k
k + 2k c
ω1 =
= ω0
ω2 =
m
m
Posons

 Ω = ω2 + ω1
2
 ω = ω2 − ω1
2
le système s’écrit dans ce cas
(

x1 (t ) = a0 cos Ωt cos ωt
x2 (t ) = a0 sin Ωt sin ωt

(4.5)

Lorsque le couplage est faible
kc k
alors




ω2 ' ω1 ( 1 +

Ω ' ω ' ω
2
1
1. cos a + cos b = 2 cos

kc
)
k

(4.6)

a+b
a−b
a+b
a−b
cos
; cos a − cos b = −2 sin
sin
2
2
2
2

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30

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4.1. OSCILLATIONS LIBRES D’UN SYSTÈME
À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ

CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

on déduit de la première équation du système (4.6) :
ω2 − ω1
kc
'
1
ω1
k

ω2 − ω1 ω1

=⇒

=⇒ ω Ω

"ω" petit lui correspond une période "T" grande, donc la fonction cos ωt va être l’enveloppe
à l’intérieur de laquelle évolue la fonction cos Ωt, (autrement dit, dans l’expression de x1 (t)
(équations 4.5) le terme "a0 cos ωt" joue le rôle d’une amplitude, on aura donc une fonction
sinusoïdale de fréquence Ω modulée par une fonction sinusoïdale de fréquence plus petite ω).

F IGURE 4.3 – Phénomène des battaments.

4.1.2

Pulsations et modes propres

• si v = 0 → x1 = x2 =
lorsque

um
cos(ω1 t + ϕ1 ) (pas de pulsation ω2 ), on en déduit alors que :
2
x1 = x2

on a un déplacement identique des deux mobiles ; on obtient dans ce cas un mode propre
associé à la pulsation ω1 , il s’agit d’un mode d’oscillation symétrique ( ou mode acoustique).

F IGURE 4.4 – symétrique
vm
• si u = 0 → x1 = − x2 =
cos(ω2 t + ϕ2 ) (pas de pulsation ω1 ) on en déduit dans ce cas
2
que : .
lorsque
x1 = − x2
On obtient un mode propre associé à ω2 , on a des déplacements opposés des deux mobiles ;
il s’agit d’un mode d’oscillation antisymétrique (ou mode optique).
• Les mouvements d’un système (stable) décrit par un système d’équation différentielle linéaire est le résultat d’une superposition de mouvements correspondants aux modes propres
du système.
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31

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4.1. OSCILLATIONS LIBRES D’UN SYSTÈME
À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ

CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

• Ces modes propres sont des états d’oscillation ou tous les éléments du système vibrent avec
la même pulsation et qui est une pulsation propre du système.
• Si le système est initialement excité dans l’un de ses modes propres, il y reste par la suite.
Exemple : le couplage des pendules.

F IGURE 4.5 – symétrie et antisymétrique dans les pendules

4.1.3

Analogie électromécanique

Soit le circuit ci-dessous où l’on notera :
Q
V=
: tension aux bornes du condensateur ;
C
di
V = L : tension aux bornes de la self ;
dt
dQ
i=
la relation qui relie le courant à la charge.
dt

F IGURE 4.6 – Couplage électrique
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32

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4.2. OSCILLATIONS FORCÉES D’OSCILLATEURS
COUPLÉS
CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

L’application de la loi des mailles :

0

 L di1 = Q − Q1
dt
C 00
C
di
Q
Q2

2
L
= 0 −
dt
C
C
En tenant compte de la relation charge-courant et de la conservation des charges :
Q1 + Q2 + Q 0 = 0
on aura


Q2
Q1
Q1

¨

 L Q1 = − C 0 − C 0 − C


 L Q¨ = − Q1 − Q2 − Q2
2
C0
C0
C

ou bien

1
1
1

¨

 L Q1 = −( C 0 + C ) − ( C 0 ) Q2

1
1
1
 ¨

L Q2 = −( 0 ) Q1 − ( 0 + ) Q2
C
C
C

(4.7)

c’est un système d’équation équivalent au système (4.1).

Le tableau suivant explicite l’analogie qui existe entre la mécanique et l’électricité :
Mécanique

←→

kc

←→

x1
x2r

←→
←→

k
ω1 =
m
r
k + 2k c
ω2 =
m

4.2

←→
←→

Electricité
1
C0
Q1
−Q
r2
1
ω1 =
LC
r
1 1
2
ω2 =
( + 0)
L C C

Oscillations forcées d’oscillateurs
couplés

On s’intéressera uniquement au :
• système stable : le système a besoin d’être excité pour se mettre à évoluer
• petites oscillations : on restera dans le domaine d’évolution linéaire

4.2.1

Système oscillant à un degré de liberté

Oscillateur idéal
(idéal → pas de frottement)
Considérons 2 ressorts identiques (k, l0 ) qu’on relie par une masse m, une extrémité des deux
ressorts est fixe, alors que l’autre extrémité E est animé d’un mouvement xe (t) (fig.(4.7).
3 Au repos l’allongement de chaque ressort est (l − l0 )
3 En mouvement :
• le ressort de gauche est allongé de

( l − l0 ) + ( x − x e )
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33

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4.2. OSCILLATIONS FORCÉES D’OSCILLATEURS
COUPLÉS
CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

F IGURE 4.7 – oscillateur idéal
• le ressort de droite est allongé de

( l − l0 − x )
l’équation du mouvement s’écrit alors :
m x¨ = −k (( x − xe ) + (l − l0 )) + k (l − l0 − x )
soit
m x¨ = −2kx + kxe
|{z}
F (t)

F (t) apparait comme une force agissant sur la masse du ressort,
x¨ +
posons ω12 =

2k
k
x = xe
m
m

2k
m
x¨ + ω12 x =

F
m

Si xe est une fonction sinusoïdale :
xe = a0 cos Ωt,

F = kxe



F = ka0 cos Ωt
|{z}
F0

On cherchera des solutions sinusoïdales sous forme :
x (t) = A cos(Ωt − ϕ)
soit en notation complexe :
F = F0 e jΩt ,
on obtient alors :

−Ω2 A + ω12 A =

x = Ae jΩt

F0
;
m

A(Ω) =

F0
1
m (ω12 − Ω2 )


1
 A(Ω) = F0
2
m ( ω1 − Ω 2 )

tan ϕ = 0

(4.8)

x(t ) = A(Ω) cos Ωt

(4.9)

A(Ω) fait apparaitre une résonance à Ω = ω1 , l’amplitude devient infinie lorsque le système
est excité avec sa propre fréquence (courbe gauche dans la figure 4.8).

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34

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4.2. OSCILLATIONS FORCÉES D’OSCILLATEURS
COUPLÉS
CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

F IGURE 4.8 – courbes de résonance : (courbe gauche) sans frottement, (courbe droite) avec frottement
Limitation de la résonance
En réalité les frottements sont inévitables et limitent la résonance, l’équation avec frottement
s’écrit :
ω1
F
F0
1
r
x¨ +
x˙ + ω12 x =

A(Ω) =
Q
m
m
ω Ω
(ω12 − Ω2 )2 + ( 1 )2
Q
A(Ω) est maximale si Ω prend la valeur :
s
Ω = ω10 = ω1

1−

1
6 = ω1
2Q2

or cette valeur ne peut exister que si :
1
Q> √
2
c’est la condition d’existence de résonance.

En conclusion
Pour un oscillateur harmonique à un degré de liberté, l’amplitude de ses déplacements
devient très importante, lorsqu’il a un bon facteur de qualité et lorsque la pulsation
d’excitation est très proche de sa propre pulsation.

4.2.2

Système à degré de liberté multiple

 x¨ + 2ω2 x − ω2 x = F0 cos Ωt
1
0 1
0 2
m
 x¨ + 2ω2 x − ω2 x = 0
2
0 2
0 1

r
avec

ω0 =

k
m

(4.10)

Pour découpler ces deux équations on pose :
(
u = x1 + x2
v = x1 − x2
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35

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4.2. OSCILLATIONS FORCÉES D’OSCILLATEURS
COUPLÉS
CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

F IGURE 4.9 – oscillateur multiple
on aura alors le système suivant :

F0
2


u¨ + ω1 u = m cos Ωt


v¨ + ω 2 v = F0 cos Ωt
2
m
avec

(

ω1 = ω0

ω2 = ω0 3

qui sont les pulsations propres du système

Les solutions de ce système s’écrivent

1
F0


cos Ωt
u =
2
m ( ω1 − Ω 2 )
F0
1


cos Ωt
v =
m (ω22 − Ω2 )

(4.11)

Les solutions x1 et x2 du système d’équation (4.10)
(

x1 = A1 (Ω) cos Ωt
x2 = A2 (Ω) cos Ωt


1
1
F0


+
)
( 2
 A1 ( Ω ) =
2
2
2m (ω1 − Ω )
(ω2 − Ω2 )
avec
1
F0
1



)
( 2
 A2 ( Ω ) =
2
2
2m (ω1 − Ω )
(ω2 − Ω2 )

(4.12)

Ces deux expressions font apparaitre deux résonances pour chaque amplitude.
Sur la figure (4.10) nous avons reporté les allures des deux courbes de resonance relatives aux
expressions données dans le système (4.12) et en dessous, deux autres courbes ou nous avons
representé (à titre indicatif)l’influence des frottements sur ces courbes.

Analogies électromécanique
Rappelons que les relations entre le courant électrique i et la charge électrique Q sont exactement de même nature que celles qui existent entre la vitesse x˙ et la position x d’un système
mécanique en translation :
Z
dQ
i=
ou bien Q = idt
dt
sont analogues à
Z
dx
˙
x˙ =
ou bien x = xdt
dt

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36

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4.2. OSCILLATIONS FORCÉES D’OSCILLATEURS
COUPLÉS
CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

F IGURE 4.10 – Couplage multiple

F IGURE 4.11 – analogie
Système forcé à un degré de liberté. Le système masse-amortisseur-ressort de la figure (4.11)
est régi par l’équation différentielle suivante :
m x¨ + α x˙ + kx = F (t)

L’écriture de la seconde loi de Kirchhoff
permet d’obtenir l’équation différentielle
qui régit le circuit RLC série ci-dessus

l’équation (4.13) peut s’écrire en fonction
de la vitesse x˙ sous la forme

m

d x˙
+ α x˙ +
dt

Z

(4.13)

˙ = F (t)
xdt

L

di
1
+ Ri +
dt
C

Z

idt = e(t)

Les équations différentielles qui régissent ces deux systèmes sont de même nature. Les deux
systèmes physiques sont dits analogues.
Exercice Établir, dans le cadre de l’analogie force-tension, le système électrique analogue au
système mécanique à deux degrés de liberté de la figure(4.12).
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37

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4.3. CHAINE D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

F IGURE 4.12 – Couplage de 2 ressorts
Solution démarche à suivre :
Ù Établir le système d’équations différentielles
m1 x¨1 + (α1 + α2 ) x˙ 1 + (k1 + k2 ) x1 − α2 x˙ 2 − k2 x2 = F (t)
m2 x¨2 + α2 x˙ 2 + k2 x2 − α2 x˙ 1 − k2 x1 = 0
Ù Regrouper les différents termes en mettant en facteur chaque grandeur correspondant à un
élément mécanique.
m1 x¨1 + α1 x˙ 1 + k1 x1 + α2 ( x˙ 1 − x˙ 2 ) + k2 ( x1 − x2 ) = F (t)
m2 x¨2 − α2 ( x˙ 1 − x˙ 2 ) − k2 ( x1 − x2 ) = 0
Ù Écrire le système d’équations différentielles sous la forme d’un système intégro-différentiel
Ù Établir la liste des éléments électriques analogues.
Ù Remplacer chaque terme du système d’équations mécanique par un terme électrique analogue. Ce qui permet d’établir le système d’équations intégro-différentiel électrique
Ù Construire le circuit électrique analogue en remarquant que les termes de ces deux équations sont respectivement la d.d.p aux bornes de L1 , R1 , C1 , R2 , C2 , e et L2 . Ces deux
équations représentent l’écriture de la seconde loi de Kirchoff pour deux mailles parcourues respectivement par les courants i1 et i2 et qui ont une branche commune contenant R2
et C2 et parcourue par le courant i = i1 − i2 .

4.3

Chaine d’oscillateurs

Les études faites pour 2 degrés de liberté peuvent se généraliser pour N oscillateurs couplés
identiques.
Lorsqu’un ensemble de N oscillateurs couplés (de bonne qualité) est soumis à une excitation
sinusoïdale permanente de pulsation ω, l’amplitude des mouvements des oscillateurs devient
importante.
Lorsque la pulsation de l’excitation s’approche de l’une des pulsation propres du système.
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38

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4.3. CHAINE D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 4. OSCILLATIONS COUPLÉES

l’amplitude des oscillations décroit rapidement dés que la fréquence de l’excitation dépasse
celle du nième mode, de pulsation maximale. Au delà de cette pulsation, la déformation induite
n’est quasiment pas transmise par la chaine.

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39

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Deuxième partie

ONDES

40

Chapitre 5

Une approche
du phénomène de propagation
5.1
5.1.1

Le phénomène de propagation
Généralisation

Les phénomènes de propagation existent dans de nombreux domaines de la physique : propagation d’ondes électromagnétiques, du son ou de la "chaleur" sans que ces phénomènes soient
de même nature.
Les ondes électromagnétiques : l’onde lumineuse est une onde électromagnétique de longueurs d’ondes inférieures à 100 µm ) peuvent se propager dans le vide, se réfléchissent,
s’absorbent et se transmettent au niveau d’un milieu matériel.

F IGURE 5.1 – Onde électromagnétique
Les ondes mécaniques : les ondes acoustiques (le son) ont besoin d’un milieu matériel pour se
propager comme l’air par exemple.

F IGURE 5.2 – Onde mécanique

41

CHAPITRE 5. UNE APPROCHE
DU PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

5.1. LE PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

La propagation de la "chaleur" est plus complexe : c’est une onde électromagnétisme dans le
cas du rayonnement dit "thermique", une onde mécanique dans le cas de la conduction
de la chaleur et un transfert de matière dans le cas de la convection.
Alors qu’une particule n’occupe à chaque instant qu’un seul point de l’espace , une onde est
caractérisée par son amplitude que l’on notera S(r, t), définie en tous les points de l’espacetemps. La nature mathématique de la fonction amplitude dépend du type de phénomène que
représente l’onde.
Surface d’onde : Le lieu des points où l’amplitude prend simultanément une même valeur
est appelée surface d’onde. Cette surface se déplace en bloc au cours du temps, déplacement
régi par un ensemble d’équations, appelées équations de propagation, faisant intervenir les dérivées de S(r, t) par rapport aux trois coordonnées d’espace et à celle de temps (Contrairement
aux équations du mouvement des particules qui sont des équations différentielles ordinaires
par rapport à la seule variable t).

5.1.2

Les différents types d’ondes

Les modes de propagation
On peut distinguer 2 modes de propagations : ondes transversales et ondes longitudinales.
Les ondes transversales : la grandeur physique ~S n’a pas de composante selon la direction de
propagation.
Les ondes longitudinales : la grandeur physique ~S a une seule composante qui est la direction
de propagation.

F IGURE 5.3 – Les différents types d’ondes

les différentes natures d’ondes
Les ondes planes : la grandeur physique qui se propage possède à chaque instant la même
valeur en tout point d’un plan perpendiculaire à la direction de propagation.
Les ondes progressives : la grandeur physique ~S se propage dans une direction. Il n’y a pas
d’ondes dans le sens opposé.
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42

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5.2. ONDES DANS LA CHAINE
D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 5. UNE APPROCHE
DU PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

Les ondes stationnaires : la grandeur physique ~S ne se propage pas, mais son amplitude peut
dépendre de la position (T est la période temporelle, λ est la période spatiale).

F IGURE 5.4 – Ondes progressive et stationnaire
Les ondes planes polarisées :
• Rectilignement (ex : Sx = 0;
• Circulairement (ex : Sx = 0;
• Elliptiquement (ex : Sx = 0;

5.2

Sy = 0;
Sy 6= 0;
Sy 6= 0;

Sz 6= 0; )
Sz 6= 0;
Sz 6= 0;

avec
avec

Sy2 + Sz2 = cte)
aSy2 + bSz2 = cte)

Ondes dans la chaine
d’oscillateurs

Avant d’examiner la propagation d’onde d’une manière générale, on va s’intéresser d’abord
à la propagation d’une vibration le long d’une chaine d’oscillateur, on définira alors l’onde
monochromatique, l’onde progressive, la longueur d’onde et le vecteur, de même d’onde
correspondant.

Un solide est constitué d’empilement régulier d’atomes (molécules ou
ions) et pour la propagation des petits mouvements dans le solide, on peut
considérer que la force de rappel d’un atome vers sa position d’équilibre
est équivalente à la force de rappel du ressort.
C’est un très bon modèle pour la description de la propagation du "son"
dans un solide.
Pour simplifier, on s’interessera à la propagation à une seule dimension d’espace.

5.2.1

Équation de propagation dans la chaine d’oscillateurs

Considérons l’ensemble de N masses {m1 = m2 = m3 = · · · = m N −1 = m N = m} reliées entre
elles par un ensemble de ressorts identiques de raideur k.
L’équation du mouvement de la nième masse s’écrit :

F IGURE 5.5 – chaine d’oscillateurs

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43

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5.2. ONDES DANS LA CHAINE
D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 5. UNE APPROCHE
DU PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

m x¨ n = −k( xn − xn−1 ) + k( xn+1 − xn )

(5.1)

m x¨ n = kxn−1 − 2kxn + kxn+1

(5.2)

Cette équation est appelée équation de propagation de la déformation de la chaine d’oscillateurs par rapport à l’équilibre.
xn étant le déplacement de la nième masse par rapport à sa position d’équilibre.
Quand la masse d’indice (1) se déplace, elle va influencer sur la masse voisine d’indice (2) puisqu’elles sont reliées par un ressort (couplage), la masse d’indice (3) va être à son tour influencée
par (2) et ainsi de suite pour les autres masses voisines.
Chaque déplacement induit une force sur la masse voisine. Cette déformation de liaison entre
ces mobiles va se propager de proche en proche dans la chaine. La grandeur qui se propage (le
déplacement des masses) est une onde .
Donc la base des phénomènes de propagation des ondes est l’existence de deux grandeurs
(déplacement et forces) qui l’une crée l’autre le long de la chaine.
L’étude de la propagation d’une grandeur physique revient à établir son équation de propagation et définir sa vitesse de propagation.

5.2.2

Solutions harmoniques

L’équation (5.2) peut s’écrire :
x¨ n + ω02 (− xn−1 + 2xn − xn+1 ) = 0
avec

(5.3)

r

k
m
C’est une équation linéaire, la chaine est constituée d’oscillateurs couplés, cherchons alors des
solutions harmoniques (sinusoïdales).
Si ces solutions existent, elles s’écriront sous forme :
ω0 =

xn (t) = An cos(ωt + ϕ)
l’utilisation des notations complexes donne :
xn (t) → x n (t) = An e jωt

avec

An = An e jϕ

x n (t) est solution de l’équation (5.3) si les amplitudes complexes vérifient la relation de récurrence suivante :
ω02 An+1 + (ω 2 − 2ω02 ) An + ω02 An−1 = 0
Cherchons An sous la forme An = r n
L’équation caractéristique associée donne la relation suivante :
ω02 r 2 + (ω2 − 2ω02 )r + ω02 = 0

(5.4)

Le discriminent s’écrit alors :
∆ = ω 2 (ω 2 − 4ω02 )
Les solutions r1 et r2 vérifient
r1 r2 = 1

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5.2. ONDES DANS LA CHAINE
D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 5. UNE APPROCHE
DU PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

Discussion :
• si ∆ > 0 (ω > 2ω0 )
les racines sont réelles et l’une des racines est plus grande que 1, la solution An qui est une
combinaison linéaires de r1n et r2n est divergente.
Solution à rejeter car elle n’est pas vérifiée dans le cas d’une chaine infinie d’oscillateurs
idéaux.
• si ∆ < 0 (ω < 2ω0 )
les racines r1 et r2 sont complexes conjuguées, ce qui conduit alors à des oscillations libres.
Les pulsations ω ne peuvent pas prendre n’importe quelle valeur, elles sont limitées par la
condition :
0 < ω < 2ω0
.
pour une écriture plus explicite on va exprimer cet intervalle par la relation suivante :
ω = 2ω0 sin

Φ
2

avec

o<ϕ< π

l’équation caractéristique va s’écrire :
r2 − 2r cos Φ + 1 = 0
les deux racines sont :
posons k =

Φ
a

r1 = e− jΦ

et

r2 = e+ jΦ

r1 = e− jka

et

r2 = e+ jka

La solution générale est une combinaison des solutions correspondantes à r1 et r2 .
An = A1 r1n + A2 r2n = A1 e− jnka + A2 e+ jnka
A1 = A1 e jϕ1

A2 = A2 e jϕ2

x(t )n = A1 e j(ωt −nka) + A2 e j(ωt +nka)

(5.5)

c’est une onde sinusoïdale se propageant le long de la chaine (on l’appelle onde car elle varie
dans le temps et dans l’espace).
Le déplacement de la nième masse x n (t) peut être considéré comme la valeur de la fonction
d’onde S( x, t) en x = na
S( x, t) = A1 e j(ωt−kx) + A2 e j(ωt+kx)
En notation réelle cette onde s’écrit :
xn (t) = S( x, t)(x=na)
xn (t ) = A1 cos(ωt − nka + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + nka + ϕ2 )

(5.6)

L’équation de propagation impose une relation entre ω et k appelée relation de dispersion :
ω2 = 4ω02 sin2 (

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ka
4K
ka
)=
sin2 ( )
2
m
2

45

(5.7)

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5.2. ONDES DANS LA CHAINE
D’OSCILLATEURS

5.2.3

CHAPITRE 5. UNE APPROCHE
DU PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

Onde monochromatique progressive

Considérons l’onde :
S( x, t) = A1 cos(ωt − kx + ϕ1 )
l’expression du déplacement de la nième masse qui se trouve en x = na
xn (t) = A1 cos(ωt − nka + ϕ1 )
Onde monochromatique
On dit aussi "onde harmonique" car la perturbation se propage avec une seule fréquence.
La lumière est constituée par des ondes électromagnétiques, la différence de couleur est due à
la différence de fréquence, à chaque fréquence correspond une couleur.
Onde progressive
La grandeur perturbée se déplace dans une seule direction (il n’y a pas d’onde dans le sens
opposé). Pour une même phase la fonction S( x, t) prend la même valeur si
ωt − kx = cte
Autrement dit la fonction S( x, t) prend la même valeur en x + ∆x à l’instant t + ∆t voir paragraphe (5.4)
ω
k∆x = ω∆t ⇒ ∆x = ∆t
k
nous pouvons dire que cette onde monochromatique caractérisée par sa phase, se déplace à la
vitesse de phase :
ω
vϕ =
(5.8)
k
L’onde S( x, t) se déplace et progresse le long de l’axe ox de la chaine à la vitesse v ϕ c’est une
onde progressive.
Remarque
De façon générale un signal physique, ici une onde, pourra se décomposer en une superposition de composantes harmoniques. Les déplacements correspondant aux oscillations
libres d’une chaine infinie d’oscillateur peuvent se mettre sous la forme d’une superposition
d’ondes progressives monochromatiques. Les fréquences de ces ondes sont situées dans une
bande permise.

5.2.4

Longueur d’onde, vecteur d’onde

Les ondes suivantes :
S+ ( x, t) = A1 e j(ωt−kx)

et

S− ( x, t) = A2 e j(ωt+kx)

ont la même fréquence, ces deux ondes progressives se propagent de façon similaire le long de
la chaine, mais dans des directions opposées (voir paragraphe(5.4)).

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5.2. ONDES DANS LA CHAINE
D’OSCILLATEURS

CHAPITRE 5. UNE APPROCHE
DU PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

vecteur d’onde :
A une onde progressive monochromatique
S+ ( x, t) = A1 e j(ωt−kx)
correspond un vecteur

~k = k~ex
appelé vecteur d’onde, il indique la direction de propagation de l’onde
k > 0 ⇒ propagation dans le sens(+);

k < 0 ⇒ propagation dans le sens opposé (-)

La pulsation et le vecteur d’onde sont reliés par la relation de dispersion ω (k) dont le graphe
est représenté sur la figure(5.6).
Le graphe est limité à la zone



π
π
<k<+
a
a

appelée première zone de Brillouin, première car les vecteurs k et k +
même solution physique xn (t).


correspondent 1 à la
a

F IGURE 5.6 – 1ère zone de Brillouin.

Longueur d’onde :
Une onde progressive monochromatique a deux périodes :

• la période temporelle T =
ω

• la période spatiale ou longueur d’onde λ =
k
elles sont reliées par la relation :
λ = vϕT

5.2.5

(5.9)

Approximation des milieux continus

Dans le solide la distance "a" inter-atomique est très petite devant la longueur d’onde de propagation des ondes sonores λ,
a λ
Les déplacements xn (t) et xn+1 (t) entre les atomes proches voisins différent très peu, on peut
alors considérer que S( x, t) varie de manière quasi-continu.
1. 0 < ω < 2ω0 → 0 < φ < π → 0 < k <

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π
a

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5.3. ÉQUATIONS DE PROPAGATION
DE D’ALEMBERT

CHAPITRE 5. UNE APPROCHE
DU PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

Équation de propagation
on pose S( x, t) x=(n+1)a = Sn+1 (t) et on fait développement au voisinage de x = na
S n +1 ( t ) = [ S + a

∂S a2 ∂2 S
+
+ · · · ] x=na
∂x
2! ∂2 x

S n −1 ( t ) = [ S − a

∂S a2 ∂2 S
+
+ · · · ] x=na
∂x
2! ∂2 x

l’équation différentielle (5.3)
S¨n = ω02 (Sn−1 − 2Sn + Sn+1 )
est transformée en une équation écrite différemment :
2
∂2 S( x, t)
2 2 ∂ S ( x, t )
=
ω
a
0
∂t2
∂t2

on pose
r
c = ω0 a = a

k
m

l’équation ci-dessus s’écrit alors
1 ∂2 S
∂2 S

=0
∂x2
c ∂t 2

(5.10)

on abouti à une équation de propagation connu sous de l’équation de d’Alembert unidimensionnelle.

5.3

Équations de propagation
de d’Alembert

On rencontre l’équation de propagation de d’Alembert dans plusieurs domaines, l’étude des
ondes planes, la déformation le long d’une corde, onde acoustique, champ électrique et champ
magnétique 2 , lignes de transmission. . . etc,
1 ∂2~
S
∆~
S− 2 2 = 0
c ∂t

(5.11)

où c est la vitesse caractéristique de la propagation.
L’onde S(r, t) peut être scalaire ou vectorielle, dans ce dernier cas on est conduit à trois relations
scalaires.

Exemple d’onde vectorielle
L’équation de propagation d’une onde électromagnétique dans le vide qui s’établit à partir des
4 équations de Maxwell dans le vide est une onde vectorielle.

~
~ ~E = − ∂ B
rot
∂t
div~E = 0

Equation de Maxwell-Faraday

Equation de Maxwell-Gauss
~
~ ~B = µ0 ε 0 ∂ E Equation de Maxwell-Ampère
rot
∂t
div~B = 0
Equation de Maxwell-Flux

2. ∆ =

∂2
∂2
∂2
+ 2 + 2 en coordonnées cartésiennes
2
∂x
∂y
∂z

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