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TP 2014 .pdf



Nom original: TP_2014.pdf
Titre: Microsoft Word - Etude de la gravimétrie
Auteur: Mon Ordi

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Faculté des sciences
Département de physique

TRAVAUX PRATIQUES
DE PHYSIQUE DES VIBRATIONS
Jaouad DIYADI
2014

Le resposable El Mehdi IBRAHIMI

TP 1

ETUDE D’UN SYSTEME
OSCILLATOIRE DU 2nd ORDRE
1.1
1.1.1

Etude théorique
Oscillateur sans amortissement

F IGURE 1.1 – Circuit LC série
Soit un condensateur de capacité C. Après avoir chargé le condensateur jusqu’à une charge
maximale Qmax grâce à un générateur de f.e.m E, on le relie à une bobine de self-induction L.
On ferme l’interrupteur (t = 0). Si V (t) est la tension aux bornes du condensateur à l’instant t.
Montrer que l’équation integro-différentielle qui caractérise le fonctionnement du circuit s’écrit :
d2 V
+ ω02 q = 0
dt 2

(1.1)

1
ω0 = √
LC

(1.2)

avec

Donner la solution de cette équation en précisant les valeurs de l’amplitude et du déphasage.

1.1.2

Oscillateur avec amortissement

On place en série une résistance R dans le circuit précèdent et on l’alimente avec une tension
échelon E.
Montrer que l’équation intégro-différentielle correspondant au circuit s’écrit :
d2 V
dV
+ 2λω0
+ ω02 = ω02 E
2
dt
dt
On cherche les solutions dans les trois cas :

1

avec

R
= 2λω0
L

(1.3)

F IGURE 1.2 – Circuit RLC série
Régime pseudopériodique : On pose
ω = ω0

p

1 − λ2

(1.4)

1. Montrer que

E


e−λω0 t cos(ωt − ϕ)
V ( t ) = E + √
√ 1 − λ2

1 − λ2

tan( ϕ) =
λ
2. Expliciter les termes λ, ω0 et ω.
3. Montrer que le décrément logarithmique s’écrit :
δ = λω0 T = √

2πλ
1 − λ2

(1.5)

(1.6)

Régime critique :
L
R2

ω
t
2. V (t) = E − Ee 0 (1 + ω0 t)
Régime apériodique :
E

Montrer que V (t) = E +
(r2 er1 − r1 er2 ) r1 et r2 sont à déterminer
2ω0 1 − λ2
1. montrer que C = 4

1.2

Etude pratique

Pour étudier les différents régimes, on utilisera un logiciel de simulation.

1.2.1

Oscillateur sans amortissement

F IGURE 1.3
Réaliser le montage du circuit LC série, (fig.(1.3)) en fixant les valeurs indiquées sur la
paillasse et en respectant les couleurs des sondes et leurs dispositions dans le montage.
2

1. Visualiser l’évolution des courbes de tensions VAB et VA0 B0 .
2. Mesurer la période T0 , en déduire la fréquence f et la pulsation ω0 .
3. Comparer ces mesures avec les valeurs théoriques.

1.2.2

Oscillateur avec amortissement

F IGURE 1.4
Réaliser le montage du circuit RLC série (fig(1.4)), en fixant les valeurs indiquées sur la
paillasse.
L’interrupteur gauche sert à appliquer une tension échelon et l’interrupteur droit sert à décharger le condensateur. Les deux sondes servent à comparer les tensions aux bornes du générateur
et aux bornes du condensateur.
1. Commenter l’évolution de la tension aux bornes du condensateur pour chacune des valeurs R1 ,R2 et R3 affichées sur les paillasses.
2. Pour chaque valeur de R qui donne le régime pseudo-périodique :
(a) Mesurer le décrément logarithmique δ et en déduire le coefficients d’amortissement
λ.
(b) Mesurer la pseudo-période.
Les comparer.
3. Déterminer la résistance critique.
4. Comparer toutes les valeurs mesurées aux valeurs théoriques et donner une conclusion.

3

Pour l’utilisation du logiciel, vous serez assistés par un enseignant, vous devez aussi consulter la documentation proposée dans le fichier « documentation » déposé sur le bureau de l’ordinateur mis à votre disposition dans la salle de TP).
Exemple : pour visualiser les courbes correspondant à la figure (1.1), on affichera les valeurs
suivantes pour les commandes de l’oscilloscope.

F IGURE 1.5

4

TP 2

GRAVIMETRIE
2.1

But

L’objectif de cette manipulation est de :
• Mettre en évidence expérimentalement les forces d’attraction gravitationnelle entre deux
corps grâce à la balance de torsion.
• Déterminer la constante d’attraction universelle G
Notons que la force d’attraction entre deux corps de masse respective m et M s’écrit :

~
~F = G mM d
2
d d
d est la distance séparant les centres de masse des deux corps.

2.2
2.2.1

Principe de la mesure et appareillage expérimental
Description de l’appareillage

Deux petites sphères de plomb m1 et m2 de même masse m (voir figure(2.1) ) sont fixées aux
extrémités d’un fléau indéformable. Ce fléau est suspendu en son milieu (O) à un fil de torsion
(OO0 ).
Un miroir est solidaire du fil de torsion. Cet ensemble se trouve à l’intérieur d’un carter.
Les deux sphères sont attirées par deux plus grandes sphères (M1 et M2 ) de même masse
M, qui se trouvent à l’extérieur du carter sur un support mobile en rotation. La force d’attraction entre ces sphères est équilibrée par le couple de torsion.
La figure.2.2 montre les deux positions extrêmes d’équilibre de la balance. Notons également comme accessoire : une lampe qui envoie un faisceau lumineux qui après réflexion sur
un miroir, arrive sur une règle graduée. Ainsi lorsque le miroir tourne d’un angle α, le faisceau
réfléchi tourne de 2α comme l’indique la figure.

5

__________________________________________________________________
L’expérience commence lorsqu’on s’est assuré que la balance se trouve en équilibre dans
l’une des deux positions extrêmes et que la position de repos du spot lumineux
correspondant à cet équilibre a été fixée.
En faisant pivoter alors le support mobile des grandes sphères afin de les amener dans
la position symétrique, l’équilibre est détruit. Le système de la balance quitte la première
position d’équilibre (position I) et se met à osciller autour de l’autre position (position II)
avant d’atteindre le repos.
Les mesures consistent alors à enregistrer les valeurs indiquées par la position du spot
lumineux à des intervalles de temps bien définis.

2.2.2 Principe
Notations utilisées: ݉ ଵ, ݉ ଶ, ‫ ܯ‬ଵ et ‫ ܯ‬ଶdésignent les centres de gravités des petites et
grandes sphères respectivement ; ݉ et ‫ ܯ‬leurs masses. Nous supposerons par la suite
que la droite ݉ ଵ݉ ଶ, (longueur ‫ )ܮ‬est perpendiculaire à la direction ݉ ଵ‫ ܯ‬ଵ ou ݉ ଶ‫ ܯ‬ଶ
(distance ݀଴).
Considérons le cas de la petite sphère ݉ ଵ et cherchons la force d’attraction qui s’exerce
sur elle.
a. De la part de la grande sphère ‫ ܯ‬ଵ : attraction entre sphère proches.

avec

ሬሬሬሬሬ
ሬሬሬሬሬሬ⃗
‫ݑ‬

⃗//݉
ଵ‫ ܯ‬ଵ

‫⃗ܨ‬ଵଵ = ‫ܩ‬

et

‖‫ݑ‬

⃗‖=1

݉‫ܯ‬
‫ݑ‬


݀଴ଶ

b. De la part de la grande sphère ‫ ܯ‬ଶ: attraction entre sphères lointaines

avec

ሬሬሬሬሬ
ሬሬሬሬሬሬ⃗
ܽԦ//݉
ଵ‫ ܯ‬ଶ

‫⃗ܨ‬ଶଵ = ‫ܩ‬

et

‖ܽԦ‖=1

݉‫ܯ‬
ܽԦ
݀ଵଶ

La force ‫⃗ܨ‬ଶଵa une composante suivant ‫ݑ‬

⃗ et une composante suivant ሬ
݉ሬሬሬሬ
ሬሬሬ
݉ሬሬሬሬ
⃗.



Ainsi la composante totale des forces agissant sur ݉ ଵ, de direction ‫ݑ‬


ሬ⃗se met sous la forme:
‫⃗ܨ‬௠ భ



ଶ⎤

݉‫⎢ ܯ‬
1

= ‫ ܩ‬ଶ ⎢1 − ൮

‫ܮ‬ଶ ⎥
݀଴
1+ ଶ ⎥

݀଴ ⎦


(2.1)

Le moment de cette composante par rapport à OO’ s’écrit :
ሬሬሬሬሬሬ⃗ଵ ∧ ‫ܨ‬௠ ‫ݑ‬
ሬ⃗ி / ܱܱ ᇱ = ܱ݉
‫ܯ‬ሬ


೘భ


ሬሬሬሬሬሬ⃗ଵฮ = ‫ܮ‬/2
ฮܱ݉

Il a pour direction OO’ et pour module

_________________________________________________________________________
6

__________________________________________________________________


ଶ⎤

݉
‫ܯ‬
1

⎥ ‫ܮ‬
‫ ܯ‬ி೘ భ /ܱܱ ᇱ = ‫ ܩ‬ଶ ⎢1 − ൮
൲ ⎥

‫ܮ‬
2
݀଴
1+ ଶ ⎥

݀




Un raisonnement analogue s’applique à la sphère ݉ ଶ. Le module du moment total
résultant :

S’écrit alors :

‫ ܯ = ் ܯ‬ி೘ భ + ‫ ܯ‬ி೘ మ


ଶ⎤

݉‫⎢ ܯ‬
1

‫ ܩ = ் ܯ‬ଶ ‫⎢ ܮ‬1 − ൮

‫ܮ‬ଶ ⎥
݀଴
1+ ଶ ⎥

݀଴ ⎦


Par ailleurs, comme il a été précisé plus haut ; à l’équilibre ; la force d’attraction entre
ses sphères est équilibrée par le couple de torsion. Donc le moment total s’écrit
également, si ߚ଴ désigne l’angle à l’équilibre
‫ߚܥ = ் ܯ‬଴

ܽ‫ ݊ܽݐ ܿ݁ݒ‬4ߚ଴ ≅

ܼ଴
‫ܦ‬

comme le montre la figure 2. ߚ଴ étant très petit, on fait l’approximation suivante:
‫ ݊ܽݐ‬4ߚ଴ ≅ 4ߚ଴

‫ݐ݅݋ݏ‬

ߚ଴ ≅

ܼ଴
4‫ܦ‬

La constante de torsion C ne peut être déterminée qu’à l’aide de la période T du
mouvement oscillatoire que le système de la balance prend par rotation autour du fil. Elle
est liée à la pulsation
߱଴ =


ܶ

(voir équation du mouvement au paragraphe suivant) et au moment d’inertie des petites
sphères.
‫ ߱ܫ = ܥ‬଴ଶ

Pour une petite sphère donnée, son moment d’inertie I1 par rapport à l’axe OO’ s’écrit :
‫ܮ‬ଶ
‫ܫ‬ଵ = ݉ ൬ ൰ + ‫∆ܫ‬భ
2

‫∆ܫ‬భ représente le moment d’inertie de la sphère, considéré par rapport à un axe Δ1
passant par son centre de gravité et parallèle à OO’. Si r est le rayon de la petite sphère, le
calcul de ‫∆ܫ‬భ donne :

_________________________________________________________________________
7

__________________________________________________________________
2
‫∆ܫ‬భ = ݉ ‫ݎ‬ଶ
5

Le moment d’inertie total I des deux petites sphères par rapport à OO’ s’écrit alors
‫ =ܫ‬2‫ܫ‬ଵ
‫݉ =ܫ‬
D’où ‫ ் ܯ‬:

‫ܮ‬ଶ
2 2‫ ݎ‬ଶ
ቈ1 + ൬ ൰ ቉
2
5 ‫ܮ‬

‫ߚܥ = ் ܯ‬଴ = ݉

‫ܮ‬ଶ
2 2‫ ݎ‬ଶ
ܼ଴
ቈ1 + ൬ ൰ ቉߱ ଴ଶ
2
5 ‫ܮ‬
4‫ܦ‬

En égalisant cette dernière expression de MT avec celle déjà établie, on obtient la
relation donnant la constante d’attraction universelle G.
‫ ߱ܣ = ܩ‬଴ଶ

ܼ଴
4‫ܦ‬

(2)

Toutes les grandeurs entrant dans cette formule sont mesurables. ‫ ܣ‬est une constante
qui dépend uniquement des caractéristiques mécaniques et géométriques de la balance. ‫ܦ‬
est la distance qui sépare le miroir de la règle graduée. ߱ ଴ et ܼ଴ seront déterminés
expérimentalement.

2.2.3 Équation du mouvement
En faisant pivoter le support mobile des grandes sphères, l’équilibre est détruit, un
phénomène oscillatoire prend naissance autour de la deuxième position extrême
d’équilibre. Après cette rotation et à cause de la grande période des oscillations, le fil de
torsion est toujours tordu dans le sens initial et les grandes sphères attirent les petites en
sens inverse. Grâce à cet artifice la force qui agit sur chaque petite sphère au début du
mouvement est deux fois plus grande que la force d’attraction seule. (Autrement dit, la
force d’attraction change brusquement de sens avec le déplacement des masses d’un coté
à l’autre, alors que la force de torsion du fil reste dans le même sens et ne suit pas
instantanément ce mouvement).
Si on choisit l’axe joignant les petites sphères à l’état final comme origine des angles,
c’est à dire on fait le changement de variable :
ߠ(‫ )ݐ(ߚ = )ݐ‬+ ߚ଴

L’équation du mouvement s’écrit sous la forme :

Divisons par I et posons

‫ ̈ߠܫ‬+ ‫ ̇ߠܬ‬+ ‫= ߠܥ‬0
߱ ଴ଶ =

on obtient :

‫ܥ‬
‫ܫ‬

;

2ߣ =

‫ܬ‬
‫ܫ‬

(ܽ‫)ݐ݊݁ ݉݁ݏݏ݅ݐݎ݋ ݉ܽ’݀ݐ݂݂݊݁݅ܿ݅݁݋ܿ ߣܿ݁ݒ‬

_________________________________________________________________________
8

__________________________________________________________________
ߠ̈ + 2ߣߠ̇ + ߱ ଴ଶߠ = 0

La solution est de la forme :

ߠ(‫ = )ݐ‬2ߚ଴݁ିఒ௧ ܿ‫ݐ߱ (ݏ݋‬− ߮) / ܿ‫( )߮(ݏ݋‬3)
‫= ߮ ݊ܽݐ‬

ߣ
߱

߱ ଶ = ߱ ଴ଶ − ߣଶ

݁‫ݐ‬

Expérimentalement l’angle ߮ est très petit, on utilisera donc par la suite, l’expression
suivante qui constitue une bonne approximation :
ߠ(‫ ≅ )ݐ‬2ߚ଴݁ିఒ௧ ܿ‫)ݐ߱ (ݏ݋‬

Par ailleurs si z(t) représente la déviation du spot on aura:
‫ ݊ܽݐ‬2ߠ(‫= )ݐ‬

‫ )ݐ(ݖ‬s’écrit alors :

‫)ݐ(ݖ‬
≅ 2ߠ(‫)ݐ‬
‫ܦ‬

‫ݖ = )ݐ(ݖ‬଴݁ିఒ௧ ܿ‫)ݐ߱(ݏ݋‬

2.3 Manipulation
2.3.1 Préparation

1. Démontrer la formule (1) et montrer que l’expression de la constante A figurant
dans la formule (2) s’écrit :

‫݀ ܮ‬଴ଶ
2 2‫ ݎ‬ଶ ⎢
1
‫=ܣ‬
ቈ1 + ൬ ൰ ቉⎢1 − ൮

‫ܮ‬ଶ
2‫ܯ‬
5 ‫ܮ‬

1+ ଶ
݀଴


ଷൗ ିଵ








Calculer A sachant que L = 10,09 cm, d0 = 4,68 cm, 2r = 1,53 cm, M = 1,5 Kg.
2. Démonter la formule (3) sachant que :
à ‫ =ݐ‬0

2.3.2

‫∞ → ݐ ݀݊ܽݑݍ‬

Expérience

ߠ(0) = 2ߚ଴
ߠ(‫ → )ݐ‬0

݁‫ݐ‬

ߠ̇ (0) = 0

Le déroulement de l’expérience sera expliqué par l’enseignant.

2.3.4 Mesures
Tracer sur papier millimétré point par point, la courbe d’oscillation.

_________________________________________________________________________
9

__________________________________________________________________
2.3.5

Dépouillement de la courbe

La courbe obtenue a l’allure donnée Fig.3. A priori l’axe réel des temps et l’origine lui
correspondant ne sont pas connus, on suppose alors que la courbe tracée est de la forme:
‫ ݑ = )ݐ(ݕ‬+ ‫ ݑ = )ݐ(ݖ‬+ ‫ݖ‬଴݁ିఒ௧ ܿ‫ݐ߱ݏ݋‬

Où ‫ ݑ‬est la distance séparant un axe arbitraire de votre choix de l’axe réel de temps
recherché ! Si on choisit comme axe arbitraire de temps celui qui a été utilisé pour tracer
la courbe expérimentale, alors = −‫ݖ‬଴ .
Déterminons dans ce cas des axes réels, de ‫ݖ‬଴ et de ߱ ଴.

‫= ߣ ݏ݊݋ݏ݋݌‬

ߜ

ܶ

‫ ݑ = )ݐ(ݕ‬+ ‫ݖ‬଴݁ିఒ௧ ܿ‫ݐ߱ݏ݋‬, ߱ =

‫(ݕ‬0) = ‫ ݑ‬+ ‫ݖ‬଴ = 0

(ܲ‫)ܣݐ݊݅݋‬

‫ ݑ = )ܶ(ݕ‬+ ‫ݖ‬଴݁ିఋ

(ܲ‫)ܥݐ݊݅݋‬

‫(ݕ‬2ܶ) = ‫ ݑ‬+ ‫ݖ‬଴݁ିଶఋ

(ܲ‫)ܧݐ݊݅݋‬

ିఋ
ܶ
‫ݕ‬൬ ൰ = ‫ ݑ‬+ ‫ݖ‬଴݁ ଶ
2

ିଷఋ

‫ݕ‬൬ ൰ = ‫ ݑ‬+ ‫ݖ‬଴݁ ଶ
2

Soit :


ܶ

ିହఋ

‫ݕ‬൬ ൰ = ‫ ݑ‬+ ‫ݖ‬଴݁ ଶ
2

(ܲ‫)ܤݐ݊݅݋‬

(ܲ‫)ܦݐ݊݅݋‬

(ܲ‫)ܨݐ݊݅݋‬

1
‫ )ܶ݊(ݕ‬− ‫ ܶ݊(ݕ‬+ ܶ⁄2)
ߜ = − ݈݊ ቈ

݊
‫(ݕ‬0) − ‫ܶ(ݕ‬⁄2)

1. Calculer δ pour n = 1 ; 2 ; 3 en déduire δതmoyen

‫ )ܶ݊(ݕ‬− ‫ ܶ݊(ݕ‬+ ܶ)
|‫ݖ‬଴| = ቤ

൫1 − ݁ିఋഥ൯݁ି௡ఋഥ

2. Calculer ‫ݖ‬଴ pour n = 1 ; 2 et n =1/2 ; 3/2. En déduire ‫ݖ‬ҧ
଴ moyen, tracer alors
sur votre courbe l’axe réel des temps. Sa position vous semble-t-elle correcte ?
Commentez.
3. Déterminer la distance x qui correspond à la période T. Donner la valeur de T en
secondes. En déduire :

δ
ω=
et
λ=
T
T

_________________________________________________________________________
10

__________________________________________________________________
4. Calculer G sachant que :
߱ ଴ଶ = ߱ ଶ + ߣଶ

݁‫ݐ‬

‫ = ܦ‬1,8 ݉ è‫ݏ݁ݎݐ‬

La méthode que nous venons d’utiliser est dite d’oscillation. Nous allons maintenant
utiliser la méthode dite d’accélération. Celle-ci nécessite un temps d’observation très
court.
Il a été précisé dans le paragraphe « équation du mouvement » que la force qui agit sur
les petites sphères au début du mouvement est deux fois plus grande que la force
d’attraction seule.
Si on néglige, pendant les tous premiers instants (t < T/10), la diminution de torsion du
fil et on suppose qu’il n’ya pas d’amortissement. C’est à dire pour t très petit :

L’équation

devient :

‫ →ݐ‬0

ߚ(‫ߚ ≅ )ݐ‬଴



‫ = )ݐ(ߠܥ‬2‫ߚܥ‬଴ ,

‫ =ܬ‬0 ⇒ ߣ = 0

ߠ̈ + 2ߣߠ̇ + ߱ ଴ଶߠ = 0
ߠ̈ =

−2‫ߚܥ‬଴
‫ܫ‬

Compte tenu des conditions citées au paragraphe « préparation », l’intégration de
l’équation précédente donne θ(t) et donc z(t). A l’instant τ très petit z(t) s’écrit :
‫ݖ = )߬(ݖ‬଴ ቆ1 −

߱ ଶ߬ଶ

2

Soit donc une variation (comptée à partir de l’axe arbitraire Fig.3)
∆‫ݖ = )߬(ݖ‬଴ − ‫= )߬(ݖ‬

߱ ଶ߬ଶ
2∆‫)߬(ݖ‬
‫ݖ‬଴ → ‫ݖ‬଴ = ଶ ଶ
2
߱ ߬

En remplaçant z0 dans l’expression de ‫ ߱ܣ = ܩ( ܩ‬଴ଶ
‫ܣ=ܩ‬

∆‫)߬(ݖ‬
2‫߬ܦ‬ଶ

௓బ

ସ஽

) , on trouve :

Connaissant X (X correspond à T) on porte à partir du point de rencontre avec l’axe réel
des temps une quantité égale à X/4 (voir Fig.3). Ce qui permet de déterminer le deuxième
axe recherché et de compléter la courbe (partie entre le point A et la première mesure).
Pour les mesures on suppose un temps τ = T/10. A partir de l’axe récemment déterminé,
porter X/10 et déterminer la valeur de ∆‫)ݐ(ݖ‬. En déduire ‫ܩ‬, comparer cette valeur à celle
obtenue par la méthode d’oscillation.
Conclusion.

_________________________________________________________________________
11

__________________________________________________________________

1. compartiment fermé pour éviter les courants d'air
2. Petites masses de plomb
Grandes masses de plomb
Support tournant
Vis pour bloquer la balance
Anneau pour l'ajustement du support tournant
Support pour la fixation de la balance sur un support permanent
Miroir concave pour la réflexion de la lumière
Fil de torsion (bronze)
10. Tube protégeant le fil de torsion
11. Tête de torsion pour le réglage du zéro
12. Vis pour le blocage de la tête de torsion

Figure 2.1

Figure 2.2

Figure 2.3

_________________________________________________________________________
12

TP 3

OSCILLATEURS,LIBRE, AMORTI,
FORCÉ

Soit un ressort de raideur k, et une masse m accrochée à l’une de ses extrémités R. L’autre extrémité E peut être animée d’un mouvement sinusoïdal de fréquence f et d’amplitude Xm ( R).
Reprendre l’exercice 7 traité en séance de TD Afficher les valeurs suivantes :

1. Calculer la valeur théorique de ω0 en déduire T0
2. Quel est le déphasage entre x (t) et v(t) ?
3. A partir de la courbe de diagramme de phase mesurer Xmax et Vmax .

3.1

Régimes libres amortis

3.1.1

Régime pseudo-périodique

On écarte la masse M de x0 = Xm ( R) à partir de sa position d’équilibre et on la lâche avec
la vitesse initiale v0 = VRi .

1. A partir de la courbe de diagramme de phase :
(a) mesurer Xmax et la vitesse maximale atteinte par M, comparer Xmax et x0 . Comparer
aux valeurs théoriques.
(b) quelle est, à partir du 1er maximum l’amplitude à t = 10T ? calculer le décrément
logarithmique δ.
2. Montrer que le décrément logarithmique δ peut s’écrire δ = λT , mesurer T en déduire
λ puis α coefficient d’amortissement. Comparer à la valeur affichée (valeur affichée =
α ∗ 1000)

3.1.2

Régime apériodiqque

Afficher observer le régime apériodique et commenter.
13

3.1.3

Régime critique

En faisant varier les valeurs dans la case déterminer la valeur correspondant au régime

critique, comparer à la valeur α théorique.

3.2

Oscillations forcées

E est animé d’un mouvement sinusoïdal
x E (t) = XmE cos Ωt
La solution de l’équation différentielle dans le régime forcé est la somme de la solution à l’équation homogène et de la solution particulière :
x (t) = x H (t) + x p (t)

régime transitoire

Quand t augmente x H (t) → 0 il reste seulement la solution particulière :
x (t) = x p (t) = A(Ω) cos(Ωt + ψ)
A(Ω) = q

3.2.1

régime permanent

A0

(ω02 − Ω2 )2 + 4λ2 Ω2

Oscillation forcée non amorties (α = 0)

Fixer la valeur de la fréquence d’excitation f e à 3Hz et visualiser la courbe représentant
A( f ) (notée Xmax ).
1. Quelle est la valeur f 0 de f à la résonance ? calculer Ω0 correspondant et comparer à ω0 ?
2. Afficher f 0 dans la barre de Fréquence de l’excitateur et observer le mouvement de la masse.
Commenter votre observation.

14

3.2.2

Oscillation forcée non amorties (α 6= 0)

Prendre f e = 3Hz.
1. De la courbe x (t), relever la durée approximative du régime transitoire t RT
2. Quelle est l’amplitude d’oscillation en régime permanent pour la fréquence étudiée ?
3. De la courbe A( f ) (notée Xmax sur la courbe sinmulée du logiciel) relever les valeurs
suivantes :
(a) A0
(b) Amax
(c) f 0 correspondant à la résonce des amplitudes
(d) la bande passant ∆ω = 2π∆ f
(e) le coefficient de qualité Q
4. De la courbe V ( f ) (notée Vmax=amplitude des vitesses) relever les valeurs de la vitesse
et de la fréquence( V 0 max et f 00 ) à la résonance. Compare Ω00 = 2π f 00 à ω0 .

15

TP 4

Couplage de deux pendules
4.1

Pendule simple

Un pendule simple est constitué d’une masse m qui peut osciller librement sous l’effet de
son poids ~
P = m~g autour d’un axe. La distance entre le centre de masse du pendule et l’axe
de rotation est notée par l0 . L’équation du mouvement se détermine grâce au théorème du
moment cinétique :
d~L
~
=∑M
(4.1)
dt
~L = ~l0 ∧ ~p est le moment cinétique (~p est la quantité de mouvement )

~ = ~l0 ∧ ~P est le moment de force.
M
Le moment de la tension du fil est nul

F IGURE 4.1 – Pendule simple
En coordonnées cylindriques de bases (~eρ , ~eθ , ~ez )

~ = ~l0 ∧ ~P = −mgl0 sin θ ~ez
M

(4.2)

~L = ~l0 ∧ ~p = ~l0 ∧ m~v = ml02 θ˙ ~ez

(4.3)

Introduisons le moment d’inertie J = ml 2 et limitons notre étude aux petits angles.
L’équation (4.1) s’écrit :
J θ¨ = −mglθ

(4.4)

La résolution de cette équation donne :
s
θ (t) = A cos(ω0 t − ϕ)

avec

A et ϕ à déterminer à partir des conditions initiales.

1

ω0 =

mgl0
J

(4.5)

La période est donnée par

T=
= 2π
ω0

s

J
mgl0

(4.6)

Dans le cas du pendule simple
J = ml 2

4.2
4.2.1

r



ω0 =

g
l0

s



T = 2π

l0
g

(4.7)

Pendules couplés
Equations du mouvement

F IGURE 4.2 – Pendules couplés
Considéerons deux pendules qui sont couplés par un ressort horizontal de constante de
rappel k à une distance l de l’axe de rotation. Pour déterminer les équations du mouvement
pour les deux pendules, on utilise le théorème du moment cinétique. Pour le pendule simple
considéeré dans le paragraphe précédent, il y avait seulement un moment de force dû au poids
du pendule. Le ressort entre les deux pendules ajoute un moment de force supplémentaire.
Avant de calculer ce moment de force, on doit déterminer la force due au ressort. La force d’un
ressort est proportionnelle à l’allongement ∆x du ressort par rapport à sa longueur d’équilibre.
(
d cos α = l sin θ1 + (d0 − l sin θ2 )
∆x = d − d0
avec
(4.8)
d sin α = l cos θ2 − l cos θ1
On en déduit
d2 = (d0 + (l sin θ1 − l sin θ2 ))2 + (l cos θ2 − l cos θ1 )2

(4.9)

On calcule les moments du poids et de la tension du ressort pour chaque pendule
Pendule 1
π
J1 θ¨1 = −m1 gl1 sin θ1 − lk(d − d0 sin( + α − θ1 )
2

avec

J1 = m1 l12

(4.10)

avec

J2 = m2 l22

(4.11)

Pendule 2
J2 θ¨2 = −m2 gl2 sin θ2 + lk(d − d0 sin(

π
+ α − θ2 )
2

Pour les petits angles (cos θ ' 1 sin θ ' θ)
d ' d0 + l ( θ1 − θ2 )
2

Dans le cas de deux pendules identiques :
m1 = m2 = m

et

l1 = l2 = l0

On aura un système d’équation couplé relativement simple :
(
ml02 θ¨1 = −mgl0 θ1 − kl 2 (θ1 − θ2 )
ml02 θ¨2 = −mgl0 θ2 + kl 2 (θ1 − θ2 )
soit


k l2
g
k l2

¨

)
θ
+
θ2
θ
=
−(
+
 1
1
l0
m l02
m l02
k l2
g
k l2
¨

 θ2 =
+
θ

(
) θ2
1
m l02
l0
m l02

(4.12)

(4.13)

Pour résoudre ce système on utilise les coordonnées normales et on remplace dans le système
(4.13)pour découpler les équations :
(

ϕ1 = θ1 + θ2
ϕ2 = θ1 − θ2

posons


g

 ϕ1 = − l ϕ1
0
2

 ϕ2 = −( g + 2 k l ) ϕ2

l0
m l02


g
2

 ω1 = l
0
g
k l2
2

 ω2 = + 2 2
l0
m l0

(4.14)

(4.15)

les solutions ϕ1 et ϕ2 s’écrivent :
(

ϕ1 = C1 cos(ω1 t − ψ1 )
ϕ2 = C2 cos(ω2 t − ψ2 )

(4.16)

À partir du système(4.14)déduisons les expressions de θ1 et de θ2 :


θ1 (t) = 1 (C1 cos(ω1 t − ψ1 ) + C2 cos(ω2 t − ψ2 ))
2
1

θ2 (t) = (C1 cos(ω1 t − ψ1 ) − C2 cos(ω2 t − ψ2 ))
2

4.3

(4.17)

Conditions initiales

On distingue trois types fondamentaux d’oscillations.
Oscillations symétriques : avec les conditions initiales
θ1 (0) = θ2 (0) = θ0

et

θ˙1 = θ˙2 = 0

on obtient
θ1 (t) = θ2 (t) = θ0 cos ω1 t

(4.18)

Il s’agit d’une oscillation à une seule fréquence. Le couplage ne joue aucun rôle, puisque
le ressort reste toujours dans le même état de tension. Il est alors normal qu’on retrouve
la période du pendule simple.
s

l0
T1 =
= 2π
(4.19)
ω1
g

3

F IGURE 4.3 – Oscillations symétriques
Oscillations asymétriques Conditions initiales :
θ2 (0) = − θ0

θ1 (0) = θ0

et

θ˙1 = θ˙2 = 0

on obtient
θ1 (t) = −θ2 (t) = θ0 cos ω2 t

(4.20)

Il s’agit là aussi d’une oscillation à une seule fréquence, mais le couplage entre les deux
pendules conduit à une diminuation de la période (équivalent à une augmentation de la
fréquence).
1

= 2π s
(4.21)
T2 =
ω2
g
k l2
+2 2
l0
m l0

F IGURE 4.4 – Oscillations asymétriques
Oscillations avec battements : avec les conditions initiales
θ1 (0) = θ0

θ2 (0) = 0

on obtient

et

θ˙1 = θ˙2 = 0


θ1 (t) = θ0 cos( ω2 − ω1 t) cos( ω2 + ω1 t)
2
2
(4.22)
θ (t) = θ sin( ω2 − ω1 t) sin( ω2 + ω1 t)
2
0
2
2
Si le moment de force dû au couplage est faible vis-à-vis du moment de force dû au
poids, alors kl 2 l0 mg et on voit d’aprés le système 4.15 que ω1 ≈ ω2 ce qui veut dire
ω2 − ω1 ω2 + ω1 . Il s’ensuit que les fonctions cos(ω2 − ω1 )t et sin(ω2 − ω1 )t varient
lentement par rapport à cos(ω2 + ω1 )t et (sin(ω2 + ω1 )t
4

ω2 + ω1
On observe que l’amplitude de l’un des pendules, variant à la fréquence (
) est modulée
2
ω2 − ω1
par la faible fréquence (
).
2
π
Le déphasage de
entre le sinus et le cosinus traduit les battements entre les deux pen2
dules :
lorsqu’un pendule arrive à son amplitude maximale, l’autre pendule est arrêté. L’énergie mécanique passe progressivement à chaque oscillation de l’un des pendules sur l’autre par l’intermédiaire du ressort de couplage.

Période des battements
Posons
ω=

ω2 − ω1
2



Tω =


ω

La période des battements :
Tb =


π
=
2
ω

Tb =


ω2 − ω1

(4.23)

F IGURE 4.5 – Oscillations avec battements

Période des oscillations
Posons
Ω=

ω2 + ω1
2



TΩ =




La période des oscillations :
TΩ =


ω2 + ω1

5

(4.24)

4.4 Simulation
On considère un oscillateur symétrique
Longueurs L1=L2=l0

masses M1=M2=M

Les valeurs des longueurs L1=L2 utilisées dans la simulation nous paraissent erronées. On
cherchera à les corriger.
Prendre

ெభ
ெమ

=1 ;

௅భ
௅మ

=1

1 Oscillations en phase
ࣂ૚ = ૚૞°

ࣂ૛ = ૚૞°

Utiliser la touche ‘’fonction ‘’ dans le logiciel pour visualiser les courbes ߠଵ(‫)ݐ‬et ߠଶ(‫)ݐ‬.

Mesurer T1=T0 période du mouvement correspondant au mode ߱ ଵ = ߱ ଴, quelle est alors la
pulsation propre des ressorts ?
2 Oscillations en opposition de phase
ࣂ૚ = ૚૞°

ࣂ૛ = −૚૞°

Mesurer T2 période du mouvement correspondant au mode ߱ ଶ, quelle est la valeur de ߱ ଶ ?
3 Battement de l’oscillateur symétrique
ࣂ૚ = ૚૞°

ࣂ૛ = ૙

Mesurer la période des battements Tb et la période ܶఠ des oscillations, comparer aux valeurs
théoriques.
Déduire de ces mesures les valeurs l0 et l utilisées lors de ces simulations.
4 Observations
Observer et commenter les mouvements pour les cas suivants :
1) ࣂ૚ = ૚૞°

a) K=0,
b) k=15,
c) K=30

2)

ࣂ૛ = ૚૞°

k=0
a) ߠଵ = 15°
b) ߠଵ = 15°

ߠଶ = 0
ߠଶ = −15


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