DC1 4M 2014 2015 .pdf


Nom original: DC1-4M-2014-2015.pdfTitre: 4 Math Test d'évaluation n°:1 Mr ZemniAuteur: toshiba

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n° : 1

Durée : 2 h

4 Math1-2

Le 15/11/2014

1 :(4 points)
I) Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est correcte. Laquelle ?
L'élève indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune
justification n'est demandée.
1) Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct
, on donne les points A(1) , B(i) et M(z)
où z est un nombre complexe.
 z 1 
L'ensemble des points M tel que : 1  z 
 soit réel est :
 zi 
a) (AB)\{B}
b) [AB]\{B}
c)(C[AB])\{B}.

2) Soit n un entier un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Le nombre de racines dans

de l'équation :

a) n

est :

b) 2n

c) 2n

1.

II) La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d'une fonction
f . (C) admet trois asymptotes d'équations : y =
, x = 0 et y = 2.

1) a) Par lecture graphique et sans aucune justification donner lim

f(x)
, lim f(x) .
x
x

x 

b) Déterminer en justifiant lim f(f(x)+x) ; lim
x

x

x
2
et lim f(x)sin( ) .
x0
f(x)
f(x)  1

c) Donner en justifiant l'image de l'intervalle [1,+  [ par f.
x²  1
2) Soit g la fonction définie sur IR par g(x) =
.
x²  1
a) Quel est l'ensemble de définition de gof et de fog ?
b) Montrer que gof est prolongeable par continuité en 0 et donner son prolongement H.

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2:(4 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct
On désigne par A et B les points d'affixes respectives

.
et .

2z  i
.
z  2i
1) Déterminer les points invariants par f , on donnera leurs affixes sous formes algébrique et sous
forme exponentielle.
2) Déterminer et construire l'ensemble (C1) = {M(z) tel que z' soit imaginaire pur}.
3) a) Montrer que |z| = 1 si et seulement si |z'| = 1.
b) En déduire l’ensemble (C2) = {M(z) tel que |z'|= 1}, construire (C2).
4) Soit l’application :
où b est un nombre complexe donné.
a) Quelle est la nature de g ?
b) Peut-on déterminer b pour que g((C1)) = (C2) ?
Soit l'application f : P\{A} dans P qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que z' 

3:(6 points)
Le plan est orienté dans le sens direct . Soit ABC un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle
Soit I le symétrique de C par rapport à A , E

et F les points de

, diamétralement opposés

respectivement de B et C.
On pose R
a) Montrer que
En déduire que




[2π]
[2π]

b) Caractériser alors l’application R.
2) Soit t la translation de vecteur

.

a) Déterminer la droite ∆ telle que

o

.

b)Déduire que t R est une rotation dont on précisera le centre et une mesure de son angle.
II) Soit G le point du plan tel que

.

1) Montrer que le triangle IBG est équilatéral de centre A.
2) Soit f une isométrie du plan telle que f(I)=C et f(A)=B et g l’isométrie telle que
a) Déterminer g(A) et g(I).
b) Montrer alors que g est, soit la symétrie orthogonale d’axe (AB), soit une rotation à
caractériser.
c)Déduire toutes les isométries f qui transforment I en C et A en B
3) On pose
a) Déterminer les images de A et de I par
b) En déduire l’ensemble des points M tel que

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.

.

4 : (6 points)
On considère la suite définie par u 0 = 1 et pour tout n  , un1  1 

4
un  2

1) a) Montrer que pour tout n  , un  1 .
b) Calculer u1 et u2 . La suite (un) est-elle monotone ?
c) Montrer que si (u n ) converge vers un réel
2) a) Montrer que pour tout n de
b) En déduire que pour tout n de

alors = 2.

1
un  2 .
3
1
, un  2  ( )n .
3

: un1  2 

Calculer alors la limite de (u n ) .
1 n 1
1 n1
et
b
u

 2k
u2k 1 .
n
n k 0
n k 0
a) Montrer que pour tout k 
on a : u 2k  2  u 2k 1 .
3
1
b) Déduire que pour tout k 
on a : 2  k  u 2k  2 et que 2  u2k 1  2  k 1
9
9
3
1
9
1
c) En déduire pour tout n  * , on a : 2  (1  n )  an  2 et 2  bn  2  (1  n ) .
8n
8n
9
9
Calculer alors les limites de (an) et (bn).
1 n 1
4) Pour n  * , on pose S n  uk .
n k 0
a b

S2n  n n


2
a) Vérifier que pour tout n de * , on a : 
S2n1  n(an  bn )  u2n

2n  1
2n  1
b) Montrer alors que (Sn) est convergente et donner sa limite.

3) Pour n 

*

, on pose a n 

Bon Travail

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