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Titre: vecteurscolineaires
Auteur: Ngdm

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Seconde 1
2007 2008

Chapitre 13 : vecteurs colinéaires.

Page n ° 1

Dans le plan, Descartes a donné son nom au système " cartésien " de repérage, devenu un puissant outil qui,
associé au calcul vectoriel, permet de résoudre plus aisément bon nombre de problèmes géométriques.
Autrement dit, le calcul vectoriel permet de substituer aux raisonnements de géométrie pure des démarches
fondées sur des calculs.
Grassmann, mathématicien allemand du dix-neuvième siècle fut l'un des premiers à élaborer un calcul sur des
quantités géométriques à partir de l'addition de segments orientés qui conduisit à la notion de vecteurs.
Aujourd'hui, les applications des vecteurs sont nombreuses dans des domaines aussi divers que la Physique,
avec les forces et les vitesses, l'électricité, l'économie…
Dans ce deuxième chapitre sur les vecteurs, nous allons définir la multiplication d'un vecteur par un nombre réel,
puis nous énoncerons les règles de calcul vectoriel qui nous permettront de résoudre des problèmes d'alignement,
de parallélisme et de concours.
E1 Activité d'approche.
1)

Tracer un vecteur Å
u dans votre cahier d'exercices.

2)

Tracer le vecteur somme Å
u+Å
u . Comment, à votre avis, le note-t-on ?

3)

Tracer le vecteur somme Å
u+Å
u+Å
u . Comment, à votre avis, le note-t-on ?

4)

Tracer le vecteur - Å
u ; puis les vecteurs - Å
u −Å
u et -Å
u −Å
u−Å
u . Comment les note-t-on ?

1 Produit d’un vecteur par un réel.

Définitions :


Soit u un vecteur.
Soit k un réel non nul positif.








Le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur k u tel que k u et u ont la même direction.




k u et u ont le même sens.




La longueur de k u est le produit de k par la longueur de u .

Autrement dit : ku = k u .


Soit u un vecteur.
Soit k un réel non nul négatif.








Le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur k u tel que : k u et u ont la même direction.




k u et u ont des sens opposés.




La longueur de k u est le produit de l’opposé de k par la longueur de u .

Seconde 1
2007 2008

Chapitre 13 : vecteurs colinéaires.

Page n ° 2

Exemples : voir feuille annexe.

Règles de calculs :








k u = 0 équivaut à k = 0 ou u = 0 .








k(u +v)=k u +k v.






( k + k’ ) u = k u + k’ u .




k ( k’ u ) = ( k k’ ) u .




1. u = u .

Exemples : voir feuille annexe.

Å= 1 Ä
Exemple d'exercice important : w
AB − 4 Ä
CB . Exprimer le vecteur Å
w en fonction des vecteurs Ä
AB et Ä
AC
6

E2 Savoir utiliser le produit d'un vecteur par un réel.
N°1

Tracer un triangle ABC quelconque.
AB
Construire le point D tel que Ä
AD = 3 Ä
2
Construire le point E tel que Ä
BE = - 2 Ä
BC
Construire le point F tel que Ä
CF = 1 Ä
CA
2

N °2

Construire un triangle GHI quelconque.
GH − Ä
HI .
Construire le point K tel que Ä
GK = 3 Ä
GH − 2 Ä
GI et le point L tel que Ä
HL = 3 Ä
2

P 259 n ° 19
P 263 n ° 31
P 259 n ° 15.
2 Vecteurs colinéaires.

Définition :




Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Seconde 1
2007 2008

Chapitre 13 : vecteurs colinéaires.

Page n ° 3

Théorème 1 :








Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k non nul tel que u = k v .

Exemple : soient A, B et M trois points tels que 7 Ä
AB + 5 Ä
AM = Å
0.
Démontrer que les vecteurs Ä
AM et Ä
AB sont colinéaires puis placer le point M.

E3 Colinéarité.
P 264 n ° 48 ; n ° 50.
3 Colinéarité et points alignés.

Théorème 2 :





Les points A, B, et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Exemple d'exercice où l'on démontre l'alignement de trois points.
DEF est un triangle. Les points G et H sont des points placés tels que
Ä
DG = 2 Ä
DE − 3 Ä
DF et Ä
DH = 2 Ä
DE − Ä
DF . Démontrer que les points D, G et H sont alignés.
3

E4 Colinéarité et alignement.
P 265 n ° 53 ; n ° 54.
4 Droites parallèles.

Théorème 3 :





Les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

Exemple d'exercice où l'on démontre que deux droites sont parallèles.
Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que Ä
AD = 1 ( 5 Ä
AC + 3 Ä
CB ).
2
Démontrer que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles.

E5 Colinéarité et parallélisme.
P 265 n ° 55 ; n ° 56.

Seconde 1
2007 2008

Chapitre 13 : vecteurs colinéaires.

Page n ° 4

5 Milieu d'un segment et centre de gravité d'un triangle.

Théorème 4 :

→ →



Le point I est le milieu du segment [ AB ] si et seulement si IA + IB = 0 .

Théorème 5 :
Le point G est le centre de gravité du triangle ABC si et seulement si Ä
GA + Ä
GB + Ä
GC = Å
0.



On a : AG =



2 →
AA ' et Ä
BG = 2 BB' et Ä
CG = 2 CC' .
3
3
3

E6 Colinéarité et milieu d'un segment.
N°1

Soit ABC un triangle. Soient D et E les points du plan tels que Ä
AD = 3 Ä
AB + Ä
AC et Ä
CE = 3 Ä
BA .

1)

Faire une figure.

2)

Démontrer que Ä
CD = 3 Ä
AB

3)

En déduire que C est le milieu du segment [ DE ].

N°2

DEF est un triangle. Placer les points G et H tels que Ä
DG = Ä
DE + Ä
DF et Ä
EH = Ä
ED + Ä
EF

1)

Exprimer le vecteur Ä
FG en fonction des vecteurs Ä
DE et Ä
DF .

2)

Exprimer le vecteur Ä
FH en fonction des vecteurs Ä
DE et Ä
DF .

3)

En déduire que le point F est le milieu du segment [ GH ].

N°3

livre p 264 n ° 40.

Test de compréhension sur les vecteurs.
1. Que signifie " avoir la même direction " ?
2. Combien y a-t-il de sens de parcours sur une droite ?
3. Enoncer les trois caractéristiques d'un vecteur.
4. Qu'est-ce que le vecteur nul ?
5. Que signifie l'expression " deux vecteurs sont égaux " ?
6. Compléter Ä
EF = Ä
GH ⇔
7. Ecrire une relation de Chasles.
8. Qu'est-ce que la règle du parallélogramme.
9. Que signifie l'opposé d'un vecteur ?
10. Compléter - Ä
BC =
11. Compléter " Soustraire un vecteur,
12. Qu'est-ce que le produit d'un vecteur par un réel ?
13. Enoncer les 5 règles de calcul.
14. Que signifie " vecteurs colinéaires " ?
15. Enoncer le théorème sur deux vecteurs colinéaires.
16. Compléter : " Les points D, E, et F sont alignés si et
17. Compléter : " Les droites ( GH ) et ( IJ ) sont parallèles si et
18. Ecrire trois égalités vectorielles pour dire que J est le milieu du segment [ BC ].
19. Ecrire les trois égalités vectorielles pour dire que G est le centre de gravité du triangle ABC.


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