04.fonctios.gener .pdf



Nom original: 04.fonctios.gener.pdfTitre: <4D6963726F736F667420576F7264202D20DAE3E6E3EDC7CA20CDE6E120C7E1CFE6C7E120C7E1DACFCFEDC92E646F63>Auteur: ABDELLAH BELKHATIR

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‫‪abouzakariya@yahoo.fr‬‬

‫ﻋﻤﻮﻣﻴﺎت ﺣﻮل اﻟﺪوال اﻟﻌﺪدﻳﺔ‬
‫اﻟﺴﻨﺔ اﻷوﻟﻰ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ و ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻴﺔ‬
‫ذ ‪ :‬ﻋﺒﺪاﷲ ﺑﻦ ﻟﺨﺘﻴﺮ‬
‫„ ﺗﺬآﻴﺮ ‪ :‬إﺷﺎرة داﻟﺔ ﺗﺂﻟﻔﻴﺔ و ﺛﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود و ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ‬
‫‪ -I‬زوﺟﻴﺔ داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪:‬‬
‫„ ‪ -(1‬أﻧﺸﻄﺔ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:01‬‬
‫أدرس زوﺟﻴﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬

‫‪1‬‬
‫و‬
‫‪x3‬‬

‫‪(1) : f ( x ) = x 2 +‬‬

‫‪1‬‬
‫و‬
‫‪x2‬‬

‫‪( 2) : f ( x ) = x 3 −‬‬

‫‪( 3) : f ( x ) = x 3 −‬‬

‫‪( 5) : f ( x ) = 3.x + x − 2 − x + 2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 2 −9‬‬

‫= ) ‪(7) : f ( x‬‬

‫‪x3‬‬
‫و‬
‫‪x 2 − 2. x + 3‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬
‫و‬
‫‪x2‬‬

‫‪( 4) : f ( x ) = x 2 +‬‬

‫‪( 6 ) : f ( x ) = 2.x 2 − x + 3 − x − 3‬‬

‫= ) ‪(8) : f ( x‬‬

‫و ‪x 2 − 2. x + 3‬‬

‫= ) ‪(9) : f ( x‬‬

‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:02‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫أ‪ -‬أﻧﺸﻲء‬

‫)‬

‫‪f‬‬

‫ﺑﺤﻴﺚ ‪ f ( x ) = 3 − 2x :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫‪ (ζ‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬

‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ) ‪ f ( x‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫‪+‬‬

‫‪،‬‬

‫(‬

‫‪. O ,i , j‬‬
‫‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:03‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑﺤﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪⎧−2x ; −1 ≤ x ≤ 0‬‬
‫⎨ = ) ‪، g (x‬‬
‫‪⎩x + 3; x ≤ −1‬‬

‫أ‪ -‬أﻧﺸﻲء ) ‪ (ζ‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬
‫‪g‬‬

‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ) ‪ g ( x‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫(‬

‫‪. O ,i , j‬‬
‫‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫„ ‪ -(2‬ﻣﻠﺨﺺ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪، D f‬‬

‫‪ -‬ﻧﻘﻮل أن ‪ f‬داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ إذا آﺎن ‪ :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬

‫‪ −x ∈ D f‬و ) ‪. f ( −x ) = f ( x‬‬

‫‪Prof : ABDELLAH BEN ELKHATIR 1‬‬
‫‪Lycée ALFATH‬‬
‫‪KHEMISSET‬‬

‫‪abouzakariya@yahoo.fr‬‬
‫‪ -‬ﻧﻘﻮل أن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ إذا آﺎن ‪ :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬

‫‪ − x ∈ D f‬و ) ‪. f ( − x ) = −f ( x‬‬

‫„ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬
‫‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ و آﺎن ‪ 0 ∈ D f‬ﻓﺈن ‪. f ( 0 ) = 0 :‬‬

‫„ ﺧﺎﺻﻴﺔ‪:01‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫)‬

‫‪ (ζ f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ‬

‫ ﺗﻜﻮن ‪ f‬داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬‫‪ -‬ﺗﻜﻮن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫)‬

‫)‬

‫‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )‬

‫(‬

‫‪، O ,i , j‬‬

‫‪ (ζ f‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ) ‪. (Oy‬‬

‫‪ (ζ f‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬أﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪.‬‬

‫‪ -II‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫„ ‪ -(1‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ و اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻘﺪﻳﻢ ‪:‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪، f ( x ) = − x 3 + 2x + 1 :‬‬

‫ﺣﺪد ﺟﺬرا ﺑﺪﻳﻬﻴﺎ ﻟﻠﺤﺪودﻳﺔ ‪ f‬ﺛﻢ أﻧﺸﻲ ﺟﺪوﻻ ﺗﺤﺪد ﻓﻴﻪ إﺷﺎرة ) ‪ f ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫‪.‬‬

‫„ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫‪ -‬ﻧﻘﻮل إن داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﺟﺰء ‪ D‬ﻣﻦ ‪ D f‬و ﻧﻜﺘﺐ ‪0‬‬

‫إذا آﺎن ‪0 :‬‬

‫‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪D‬‬

‫) ‪ f ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. D f‬‬

‫ ﻧﻘﻮل إن داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﺟﺰء ‪ D‬ﻣﻦ ‪ D f‬و ﻧﻜﺘﺐ ‪ f ≺ 0‬ﻋﻠﻰ ‪D‬‬‫إذا آﺎن ‪ f ( x ) ≺ 0 :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. D f‬‬

‫„ ﺧﺎﺻﻴﺔ‪:02‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫)‬

‫‪ (ζ f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ‬

‫‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )‬

‫(‬

‫‪، O ,i , j‬‬

‫‪ -‬ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫)‬

‫‪ (ζ f‬ﻓﻮق ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ) ‪. (Ox‬‬

‫‪ -‬ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫)‬

‫‪ (ζ f‬ﺗﺤﺖ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ) ‪. (Ox‬‬

‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:04‬‬
‫‪x 2 − 6x + 5‬‬
‫= ) ‪، f (x‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪−x 2 + x + 6‬‬
‫أ‪ -‬ﺣﺪد ‪ D f‬ﺛﻢ أﻧﺸﻲء ﺟﺪوﻻ ﺗﺤﺪد ﻓﻴﻪ إﺷﺎرة ) ‪ f ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. D f‬‬
‫ب‪ -‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬

‫‪4x 2 − 12x + 5‬‬
‫اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ ‪≤ 0‬‬
‫‪−2x 2 + x + 3‬‬

‫‪(I ) :‬‬

‫‪.‬‬

‫„ ‪ -(2‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﻤﺎ ‪ D f‬و ‪ D g‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬

‫‪Prof : ABDELLAH BEN ELKHATIR 2‬‬
‫‪Lycée ALFATH‬‬
‫‪KHEMISSET‬‬

‫‪abouzakariya@yahoo.fr‬‬
‫و ‪، D ⊆ Df ∩ D g‬‬
‫ ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬أﺻﻐﺮ ﻣﻦ أو ﺗﺴﺎوي ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪ D‬و ﻧﻜﺘﺐ ‪ f ≤ g‬ﻋﻠﻰ ‪ D‬إذا آﺎن ‪:‬‬‫‪ ( f − g ) ≤ 0‬ﻋﻠﻰ ‪. D‬‬
‫ ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬أﺻﻐﺮ ﻗﻄﻌﺎ ﻣﻦ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪ D‬و ﻧﻜﺘﺐ ‪ f ≺ g‬ﻋﻠﻰ ‪ D‬إذا آﺎن ‪:‬‬‫‪ ( f − g ) ≤ 0‬ﻋﻠﻰ ‪. D‬‬

‫„ ﻣﺜﺎل ‪:‬‬

‫ﻗﺎرن اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪⎧⎪f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2x − 1‬‬
‫⎨ ‪(1) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎩ g ( x ) = −x + x − 1‬‬

‫⎧‬
‫‪x 3 + x 2 −1‬‬
‫=‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫(‬
‫)‬
‫⎪‬
‫‪x 2 −1‬‬
‫⎨ ‪( 2) :‬‬
‫‪⎪g ( x ) = x + 1‬‬
‫⎩‬

‫و‬

‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:05‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﻳﻦ اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ‪:‬‬

‫واﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪:‬‬

‫‪1, 0000004‬‬
‫‪2‬‬

‫) ‪(1, 0000006‬‬

‫=‪A‬‬

‫و‬

‫‪0,9999998‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 + 4.x‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f :x‬‬

‫) ‪(1 + 6.x‬‬

‫و‬

‫) ‪( 0,9999995‬‬
‫=‬

‫) ‪(1 − 5.x‬‬

‫‪، B‬‬

‫‪. g :x‬‬

‫‪1 − 2.x‬‬

‫أ‪ -‬ﺣﺪد ‪ ، D = D f ∩ D g‬ﺛﻢ ﻗﺎرن ﻋﻠﻰ ‪ D‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪. g‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ) ‪ f (10−7‬و ) ‪ ، g (10−7‬ﺛﻢ ﻗﺎرن اﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪ A‬و ‪. B‬‬

‫„ ﺧﺎﺻﻴﺔ‪:03‬‬

‫‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ D‬و‬

‫ﻣﻨﺤﻨﺎهﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ )‬

‫) ‪ (ζ‬و ) ‪(ζ‬‬
‫‪g‬‬

‫‪f‬‬

‫(‬

‫‪، O ,i , j‬‬

‫‪ -‬ﺗﻜﻮن ‪ f‬أﺻﻐﺮ ﻣﻦ أو ﺗﺴﺎوي ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪ D‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫)‬

‫‪ (ζ f‬ﺗﺤﺖ ) ‪. (ζ g‬‬

‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:06‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1+ x 2 −1‬‬
‫→ ‪ f : x‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫ﺣﺪد وﺿﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪(D ) : y‬‬

‫‪.‬‬

‫„ ‪ -(3‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻜﺒﻮرة واﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺼﻐﻮرة ‪:‬‬
‫„ ﺗﻘﺪﻳﻢ ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪x 2 − 3x‬‬
‫‪x 2 +1‬‬

‫= ) ‪، f (x‬‬

‫‪Prof : ABDELLAH BEN ELKHATIR 3‬‬
‫‪Lycée ALFATH‬‬
‫‪KHEMISSET‬‬

‫‪abouzakariya@yahoo.fr‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫≤ ) ‪≤ f (x‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ −‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫‪.‬‬

‫ب‪ -‬أول هﻨﺪﺳﻴﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬
‫„ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪ ، D f‬و ‪ M‬و ‪ m‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ‪.‬‬
‫ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻜﺒﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ M‬إذا آﺎن ‪ f ( x ) ≤ M‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. D f‬‬‫ و ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ m‬إذا آﺎن ‪ f ( x ) ≥ m‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. D f‬‬‫‪ -‬ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺤﺪودة إذا آﺎﻧﺖ ﻣﻜﺒﻮرة و ﻣﺼﻐﻮرة ‪.‬‬

‫„ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬
‫اﻟﺪوال اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ 0‬و اﻟﺪوال اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻣﻜﺒﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪. 0‬‬

‫„ ﺧﺎﺻﻴﺔ‪:04‬‬
‫ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻣﺤﺪودة إذا و ﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ‪ α‬ﻣﻦ [∞‪ ]0, +‬ﺑﺤﻴﺚ ‪:‬‬
‫‪ f ( x ) ≤ α‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. D f‬‬

‫)‬

‫„ ﺧﺎﺻﻴﺔ‪ :05‬ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪ (ζ f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ‬

‫‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )‬

‫(‬

‫‪، O ,i , j‬‬

‫‪ -‬ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻜﺒﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ M‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫)‬

‫‪ (ζ f‬ﺗﺤﺖ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪. ( D ) : y = M‬‬

‫‪ -‬ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ m‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫)‬

‫‪ (ζ f‬ﻓﻮق اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪. ( D ' ) : y = m‬‬

‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:07‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ‬

‫‪x‬‬
‫‪x +4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن‬
‫‪4‬‬

‫= ) ‪ f (x‬و‬

‫≤ ) ‪ f ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫‪x 2 − 4x‬‬
‫‪x 2 +4‬‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫= ) ‪. g (x‬‬

‫‪ ،‬ﺛﻢ أول هﻨﺪﺳﻴﺎ هﺬﻩ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪.‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g‬داﻟﺔ ﻣﺤﺪودة و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﻮازﻳﻴﻦ‬
‫ﻟﻤﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ‪.‬‬

‫‪ -III‬ﻣﻄﺎرف داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪:‬‬
‫„ ‪ -(1‬أﻧﺸﻄﺔ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ :08‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f : x → − x 2 + x + 6 :‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻣﻄﻠﻘﺔ ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪهﺎ‬
‫و اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g : x → 4x 2 − 12x + 5 :‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﻣﻄﻠﻘﺔ ‪.‬‬

‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:09‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪Prof : ABDELLAH BEN ELKHATIR 4‬‬
‫‪Lycée ALFATH‬‬
‫‪KHEMISSET‬‬

‫‪abouzakariya@yahoo.fr‬‬
‫‪⎧1 − x ; x ≤ −1‬‬
‫⎪‬
‫‪f ( x ) = ⎨x + 3; −1 ≤ x ≤ 2‬‬
‫‪⎪2x + 9; x ≥ 2‬‬
‫⎩‬

‫أﻧﺸﻲء‬

‫)‬

‫‪f‬‬

‫‪ (ζ‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬

‫(‬

‫‪ ، O , i , j‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻄﺎرف ‪ f‬و ﻃﺒﻴﻌﺘﻬﺎ ‪.‬‬

‫„ ‪ -(2‬ﻣﻠﺨﺺ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪ D f‬و ‪ x 0‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ‪. D f‬‬

‫ ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻨﺪ ‪ x 0‬أﻗﺼﻰ ﻧﺴﺒﻲ إذا وﺟﺪ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ I‬ﺑﺤﻴﺚ ‪x 0 ∈ I‬‬‫و ) ‪ f ( x ) ≤ f ( x 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. I‬‬

‫ ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻨﺪ ‪ x 0‬أدﻧﻰ ﻧﺴﺒﻲ إذا وﺟﺪ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ I‬ﺑﺤﻴﺚ ‪x 0 ∈ I‬‬‫و ) ‪ f ( x ) ≥ f ( x 0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. I‬‬

‫‪ -IV‬رﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪:‬‬
‫„ ‪ -(1‬أﻧﺸﻄﺔ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ :10‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫أ‪ -‬أﺣﺴﺐ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬
‫ب‪ -‬إﺳﺘﻨﺘﺞ رﺗﺎﺑﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪+‬‬
‫‪−‬‬

‫‪. f (x ) = x 2 − 3 x‬‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫ﺛﻢ أدرس رﺗﺎﺑﻬﺎ ﻋﻠﻰ هﺬا اﻟﻤﺠﺎل ‪.‬‬
‫ﺛﻢ اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪.‬‬

‫ج‪ -‬ﺣﺪد ﻣﻄﺎرف اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬و ﻃﺒﻴﻌﺘﻬﺎ ‪.‬‬
‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ :11‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ ﺛﻢ أدرس رﺗﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬
‫ب‪ -‬إﺳﺘﻨﺘﺞ رﺗﺎﺑﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪−‬‬

‫)‬
‫‪+‬‬

‫‪. g ( x ) = x (3 − x‬‬
‫‪.‬‬

‫ﺛﻢ اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪.‬‬

‫ج‪ -‬ﺣﺪد ﻣﻄﺎرف اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬و ﻃﺒﻴﻌﺘﻬﺎ ‪.‬‬

‫„ ‪ -(2‬ﻣﻠﺨﺺ ‪:‬‬
‫„ اﻟﺮﺗﺎﺑﺔ و ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﻴﺮ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪ D f‬و ‪ I‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ‪، D f‬‬
‫ ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪:‬‬‫‪0‬‬

‫) ‪f (x ) − f ( y‬‬
‫‪x −y‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬و ‪ y‬ﻣﻦ ‪ I‬ﺑﺤﻴﺚ ‪. x ≠ y‬‬

‫‪ -‬ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪:‬‬

‫‪Prof : ABDELLAH BEN ELKHATIR 5‬‬
‫‪Lycée ALFATH‬‬
‫‪KHEMISSET‬‬

‫‪abouzakariya@yahoo.fr‬‬
‫) ‪f (x ) − f ( y‬‬
‫‪≺0‬‬
‫‪x −y‬‬

‫„ أﻣﺜﻠﺔ ‪:‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬و ‪ y‬ﻣﻦ ‪ I‬ﺑﺤﻴﺚ ‪. x ≠ y‬‬

‫ رﺗﺎﺑﺔ ‪ ax 2 + bx + c‬ﺣﻴﺚ‬‫‪ax + b‬‬
‫ رﺗﺎﺑﺔ‬‫‪cx + d‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫∈‪: a‬‬

‫*‬

‫∈‪: c‬‬

‫*‬

‫‪ -V‬دراﺳﺔ دوال إﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ‪:‬‬
‫„ ‪ -(1‬دراﺳﺔ ﺣﺪودﻳﺎت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ و دوال ﻣﺘﺨﺎﻃﺔ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:12‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪f ( x ) = − x 2 − 2x + 3‬‬

‫و‬

‫أ‪ -‬ﺣﺪد أﻓﺎﺻﻴﻞ ﻧﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬
‫ب‪ -‬أرﺳﻢ‬

‫)‬

‫‪f‬‬

‫‪−x + 1‬‬
‫‪x +1‬‬

‫)‬

‫= ) ‪. g (x‬‬

‫‪ (ζ f‬و ) ‪. (ζ g‬‬

‫‪ (ζ‬و ) ‪ (ζ‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬
‫‪g‬‬

‫ج‪ -‬ﺣﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬

‫(‬

‫‪. O ,i , j‬‬

‫‪x 3 + 3x 2 − 2x − 2‬‬
‫اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ ‪≥ 0‬‬
‫‪x +1‬‬

‫„ ‪ -(3‬دراﺳﺔ دوال ﻣﻦ ﻧﻮع ‪ f : x → ax 3‬ﺣﻴﺚ‬

‫*‬

‫„ ‪ -(4‬دراﺳﺔ دوال ﻣﻦ ﻧﻮع ‪ f : x → x − a‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪(I ) :‬‬

‫‪.‬‬

‫∈ ‪:a‬‬
‫∈ ‪:a‬‬

‫„ ‪ -(5‬ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪:‬‬
‫„ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪ D f‬و ‪ I‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ‪، D f‬‬

‫ﻧﺴﻤﻲ ﺻﻮرة اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ } ‪ {f ( x ) / x ∈ I‬و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪f ( I‬‬

‫إذن } ‪. f ( I ) = {f ( x ) / x ∈ I‬‬

‫„ أﻣﺜﻠﺔ ‪:‬‬

‫ﻟﻨﺤﺪد ﺻﻮر اﻟﻤﺠﺎﻻت ]‪ I = [1,3‬و ]‪ J = [ −1,1‬و ]‪ K = [ 0, 2‬ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ‬
‫‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪. f ( x ) = x 2 − 2x‬‬

‫⎡‪⎤ 3 1‬‬
‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ :13‬ﺣﺪد ﺻﻮر اﻟﻤﺠﺎﻻت [‪ I = [ −4, −3‬و ]‪ J = ]0, 4‬و ⎢ ‪ K = ⎥ − , −‬ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ‬
‫⎣‪⎦ 2 2‬‬

‫‪x‬‬
‫اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x +2‬‬

‫= ) ‪. g (x‬‬

‫‪ -VI‬رﺗﺎﺑﺔ ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫„ ‪ -(1‬ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫‪Prof : ABDELLAH BEN ELKHATIR 6‬‬
‫‪Lycée ALFATH‬‬
‫‪KHEMISSET‬‬

‫‪abouzakariya@yahoo.fr‬‬
‫„ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﻴﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
‫ﺑﺤﻴﺚ ‪، f ( I ) ⊆ J‬‬
‫ﻣﺮآﺐ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬ﻓﻲ هﺬا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ h‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫) ) ‪ h ( x ) = g ( f ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ ، I‬ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ h‬ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪g ο f‬‬
‫‪g‬‬

‫‪f‬‬

‫→ ‪I →J‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫)) ‪x → f ( x ) → g (f ( x‬‬

‫‪. gοf :‬‬

‫„ ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ‬
‫‪ f ( x ) = x 2 + 2x‬و‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪. g ( x ) = x 2 − 2x‬‬

‫ﺣﺪد ‪ g ο f‬و ‪ f ο g‬ﺛﻢ ﻗﺎرﻧﻬﻤﺎ و ﺣﺪد أﻳﻀﺎ ‪ f ο f‬و ‪. g ο g‬‬
‫„ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪ :‬ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ ‪ g ο f ≠ f ο g‬هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ﺗﺮآﻴﺐ اﻟﺪوال ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﺗﺒﺎدﻟﻴﺔ ‪.‬‬

‫ ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ ‪ :‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪ D f‬و ‪D g‬‬‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫} ‪D g ο f = {x ∈ D f / f ( x ) ∈ D g‬‬
‫‪g‬‬

‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪f‬‬

‫→ ‪→D g‬‬

‫‪D g οf‬‬

‫)) ‪x → f ( x ) → g (f ( x‬‬

‫‪. gοf :‬‬

‫„ ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ f (x ) = x 2 + x‬و ‪g (x ) = x − 6‬‬
‫ﺣﺪد ‪ D g ο f‬و ‪ D f ο g‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﺻﻴﻐﺘﻲ ‪ g ο f‬و ‪f ο g‬‬

‫‪.‬‬

‫„ ‪ -(2‬رﺗﺎﺑﺔ ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫„ ﺧﺎﺻﻴﺔ‪ :06‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﻴﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
‫ﺑﺤﻴﺚ ‪، f ( I ) ⊆ J‬‬
‫ إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬ﻧﻔﺲ اﻟﺮﺗﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺈن‬‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g ο f‬ﺗﻜﻮن ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬
‫ إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬رﺗﺎﺑﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺈن‬‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g ο f‬ﺗﻜﻮن ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬

‫‪4x − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪ f (x‬و‬
‫„ ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ :14‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ h‬ﺑﺤﻴﺚ‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫= ) ‪. h (x‬‬

‫‪Prof : ABDELLAH BEN ELKHATIR 7‬‬
‫‪Lycée ALFATH‬‬
‫‪KHEMISSET‬‬

abouzakariya@yahoo.fr
. g ο f = h : ‫ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺗﺤﻘﻖ‬g ‫ ﺣﺪد ﺣﺪودﻳﺔ‬-‫أ‬

⎡1
⎡ ⎤ 1⎤
‫ ⎢ ﺛﻢ اﻋﻂ ﺟﺪول‬, +∞ ⎢ ‫ ⎥ و‬0, ⎥ ‫] و‬−∞, 0[ ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎﻻت‬h ‫ إﺳﺘﻨﺘﺞ رﺗﺎﺑﺔ اﻟﺪاﻟﺔ‬-‫ب‬
⎣2
⎣ ⎦ 2⎦
. ‫ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬

N.B : toutes vos remarques sont les biens venus,contactez moi
abouzakariya@yahoo.fr

Prof : ABDELLAH BEN ELKHATIR 8
Lycée ALFATH
KHEMISSET


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