Cramer2014 .pdf



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On suppose que le bilan de la banque s’écrit de la manière suivante :
Actif
Réserves
Prêts
Titres

Banque i
Ri = kDi Dépôts
Pi
Fonds empruntés sur les marchés
Ti
Fonds propres

Passif
Di
Ei
Ki = gPi

On suppose également que la gestion des prêts, des placements en titres,
des dépôts et des fonds levés sur les marchés occasionne pour la banque des
frais donnés par la fonction de coût suivante :
C (Pi ; Ti ; Di ; Ei )
0

@C
,
@Xi

admettant des coûts marginaux (Ci =

avec i = p; t; d; e et Xi =
0

@Ci
@Xi

0

Pi ; Ti ; Di ; Ei ) positifs (Ci > 0) et croissants (Ci" =
@
@Xj

rapport à tous ses arguments (Cij" =

@C
@Xi

> 0) et séparable par

= 0 tels que i; j = p; t; d; e et

0

i 6= j, ce qui implique que Ci ne dépend que de Xi ).
Le problème consiste pour la banque à maximiser son pro…t
à Pi ,Ti , Di et Ei :
i

= rp Pi + rt Ti

rd Di

re Ei

i

par rapport

C (Pi ; Ti ; Di ; Ei )

sous la contrainte de son bilan : kDi + Pi + Ti = Di + Ei + gPi , ce qui
est équivalent à maximiser par rapport à Pi , Di et Ei l’expression du pro…t
intégrant la contrainte du bilan : Ti = (1 k)Di + Ei (1 g) Pi , soit :
i

= rp Pi +rt [(1

k)Di + Ei

(1

g) Pi ] rd Di re Ei C [Pi ; Ti (Pi ; Di ; Ei ) ; Di ; Ei ]

Xi
Les conditions de premier ordre égalisent les recettes marginales Rm
aux
Xi
côuts marginaux Cm
.
La première condition de premier ordre est donnée par :

@ i
@Di

= 0 = (1
Di
) Rm
= (1

k)rt

rd

k) rt

0

Cd
0

0

Ct

@Ti
@Di
0

Di
Ct = Cm
= rd + Cd

A l’équilibre, la banque i détermine son volume optimal de dépôts Di de
0
Di
sorte à égaliser le coût marginal total des dépôts, soit : Cm
= rd + Cd (qui
est égal à la somme de leur coût marginal de rémunération rd et de leur côut
0
marginal de gestion Cd ) à la recette marginale liée à l’utilisation des dépôts,
1

0

Di
soit : Rm
= (1 k) rt Ct (sur chaque unité monétaire de dépôt collectée,
la banque doit se constituer des réserves au taux k, si bien que les fonds à sa
disposition pour être prêtés ou placés en titres sont égaux à (1 k) unités
monétaires qui lorsqu’elles sont placées en titres rapportent rt sur chaque
0
unité mais coûte Ct en frais de gestion, si bien que le revenu net sur chaque
0
unité rt Ct et par suite le revenu net rapporté par 1 k unités monétaires
0
est de (1 k) rt Ct ).
La deuxième condition de premier ordre est donnée par :

@ i
@Ei

= 0 = rt

0

re

0

Ce

Ct

0

Ei
) Rm
= rt

Ei
Ct = Cm

@Ti
@Ei
0
= re + Ce

A l’équilibre, la banque i détermine son volume optimal de fonds levés sur
les marchés Ei de sorte à égaliser le coût marginal total de ces fonds, soit :
0
Ei
Cm
= re +Ce (qui est égal à la somme de leur coût marginal de rémunération
0
re et de leur côut marginal de gestion Ce ) à leur recette marginale liée à
0
Ei
l’utilisation de ces fonds, soit : Rm
= rt Ct (qui est égale s’ils sont placés
en titres au taux d’intérêt rémunérant ces titres net du coût marginal de leur
gestion).
La troisième condition de premier ordre est donnée par :
@ i
@Pi

= 0 = rp

(1

g) rt

Pi
Pi
) Rm
= rp = Cm
= (1

0

Cp

0

Ct

g) rt

@Ti
@Pi
0

0

Ct + Cp

A l’équilibre, la banque i détermine son volume optimal de prêts Pi de
sorte à égaliser la recette marginale des prêts provenant de leur rémunération,
0
Pi
Pi
soit : Rm
= rp , à leur coût marginal total, soit : Cm
= (1 g) rt Ct +
0
0
Cp , qui est égal à la somme de leur côut marginal de gestion Cp et leur
0
coût marginal d’opportunité (1 g) rt Ct (sur chaque unité monétaire
disponible, la banque doit se constituer des fonds propres au taux g, si bien
que les fonds à sa disposition pour être prêtés sont égaux à (1 g) unités
monétaires dont le prêt fait renoncer la banque à leur placement en titres et
entraîne par suite une perte en intérêts de (1 g)rt mais une économie de
0
coûts de gestion des titres égale à (1 g)Ct ).
Si l’on ajoute à ces 3 équations l’expression de la contrainte du bilan :
Ti = (1 k)Di + Ei (1 g) Pi , on peut résoudre ce système de 4 équations
2

à 4 inconnues Pi , Ti , Di et Ei , comme étant des fonctions des taux d’intérêt
rp , rt , rd et re :
Pi
Ti
Di
Ei

=
=
=
=

Pi (rp ; rt ; rd ; re )
Ti (rp ; rt ; rd ; re )
Di (rp ; rt ; rd ; re )
Fi (rp ; rt ; rd ; re )

1) Le taux d’intérêt débiteur rp varie de drp .
a) E¤ets sur les di¤érents postes du bilan :
On peut réécrire les conditions d’optimalité et la contrainte de bilan de
sorte à mettre d’un côté les termes exprimés en fonction des coûts marginaux
0
Ci , i = p; t; d; e et qui dépendent dans l’ordre suivant de Pi , Ti , Di et Ei et
de l’autre côté les termes exprimés en fonction des taux d’intérêt qui n’en
dépendent pas :
8
0
0
Cp (1 g) Ct = rp (1 g) rt
>
>
0
0
<
(1 k)Ct + Cd = (1 k)rt rd
0
0
Ct + Ce = rt re
>
>
:
(1 g) Pi + Ti (1 k)Di Ei = 0

)

En di¤érenciant par rapport à rp , on obtient le système suivant :
8
00
00 @T
p
drt
i
i
i
i
Cp @P
(1 g) Ct @r
+ 0 @D
+ 0 @E
= dr
=1 0=1
>
@rp
@rp
@rp
drp
drp
>
p
>
00
00
drd
< 0 @Pi + (1 k)C @Ti + C @Di + 0 @Ei = (1 k) drt
=0 0=0
t @rp
00 @T
i
@rp

@rp

i
+ Ct
0 @P
@rp
(1

>
>
>
:

d @rp

00

=
1

00

g

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

1+1

= ( 1)

Cp

(1 k)Ct
00
Ct
1

h 00 00
00
= Cp Cd Ce + (1
h 00 00
00
= Cp Cd Ce + (1

00

00

Cd
0
(1
i
00

k)2 Ct Ce
2

drp
drp
dre
=
0
0
drp
@Ei
=0
@rp

si

=0

6= 0 où :

0
0
00
Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1
00

00

@rp

@Pi @Ti @Di @Ei
; ;
;
@rp @rp @rp @rp

qui admet une solution unique
Cp
0
0

00

drt
i
i
+ 0 @D
+ Ce @E
= dr
@rp
@rp
p
@Ti
@Di
i
g) @P
+
(1
k)
@rp
@rp
@rp

00

00

i

00

(1 g) Ct
0
00
00
4+1
Ce + ( 1) (1 g) (1 k)Ct
00
k)
1
Ct
h
i
00
00
00
(1 g)
(1 g) Ct Cd Ce

k) Ct Ce + (1
3

00

00

00

g)2 Ct Cd Ce

>0

0
00
Cd
0

0
0
00
Ce

car les coûts marginaux sont croissants.
Selon les formules de Cramer, cette solution unique est donnée par (Cf.
Annexe) :
00

1
0
0
0

@Pi
=
@rp

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

00

=

00

00

0
0
00
Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

00

00

00

Cp
0
0
@Ti
=
@rp

1

1
0
0
g 0

00

= ( 1)1+1 Cp
(1
00

1

g

Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

00

(1

g)

(1

g)

<0

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

= ( 1)1+1 Cp

+ ( 1)4+1 (1

1 0
0
00
0 Cd 0
00
0 0 Ce

00

Cd Ce

(1

= 0

>0

00

0
0
0

00

Cp
0
0
@Di
=
@rp

g)

00

Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

0
0
00
Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

00

= 0

= ( 1)1+1 1

00

k)Ct
00
Ct
1

00

k)2 Ct Ce

Cd Ce + Cd Ct + (1

(1

1 0
0 0
00
0 Ce
0
1
00

k)Ct
00
Ct
1

00

0 0
00
0 Ce
0
1
00

k)Ct Ce

>0

4

00

+ ( 1)4+1 (1

g)

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct

1 0
0 0
00
0 Ce

00

00

Cp
0
0
1

@Ei
=
@rp

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

g

00

(1
00
00

(1

g)

1
0
0
0
00

00

k)Ct
00
Ct
1

= ( 1)1+1 Cp
= 0

0
00
Cd
0
(1 k)

Cd
0
0
0
(1 k) 0

+ ( 1)4+1 (1

g)

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct

00

Cd Ct

>0

Puisque : Pi = 1 1 g [(1 k) Di + Ei
h
i
@Di
@Ei
@Ti
1
(1 k) @rp + @rp
.
1 g
@rp
00

00

00

Ti ], on véri…e bien que :

00

00

C C +C C +(1 k)2 C C

@Pi
@rp

=

00

e
t
i
= d e d t
L’expression : @P
> 0 traduit l’e¤et total qui
@rp
est la somme de deux e¤ets :
00 00
Cd C e
1 @Ti
i
–Un e¤et de substitution qui est donné par : @P
=
=
;
@rp
1 g @rp

ES

–Un e¤et de bilan qui est donné par :
00

00

(1 k)2 Ct Ce

+

00

00

C d Ct

@Pi
@rp

=
EB

1
1 g

(1

i
i
k) @D
+ 1 1 g @E
=
@rp
@rp

.

b) Mécanismes en jeu :
L’augmentation de rp toutes choses égales par ailleurs entraîne tout d’abord
celle de rrpt et par suite un e¤et de substitution des prêts aux titres (% Pi
et & Ti tel que Ri + Pi + Ti inchangé). Par ailleurs, l’augmentation de rp
entraîne la baisse de rrdp et de rrpe , ce qui incite la banque à la fois à collecter
davantage de dépôts (% Di ) et à lever plus de fonds sur les marchés …nanciers (% Ei ), qui seront utilisés pour augmenter les prêts (% Pi ). C’est l’e¤et
bilan, qui traduit une hausse des passifs en vue de …nancer celle des actifs.
L’e¤et total qui résulte de la somme des e¤ets de substitution et de bilan se
traduit par la hausse de Pi , Di et Ei et la baisse de Ti .
2) Le taux d’intérêt rémunérant les titres rt varie de drt .
a) E¤ets sur les di¤érents postes du bilan :
En di¤érentiant par rapport à rt les conditions d’optimalité et la contrainte
de bilan réarrangés dans l’ordre Pi , Ti , Di et Ei :

5

0 1
00
Cd 0
0 0

8
>
>
<

0

Cp
(1

>
>
:

(1

0

(1 g) Ct = rp (1 g) rt
0
0
k)Ct + Cd = (1 k)rt rd
0
0
Ct + Cf = rt re
g) Pi + Ti (1 k)Di Ei = 0

on obtient le système suivant :
8 00
00
p
drt
i
i
i
i
>
Cp @P
(1 g) Ct @T
+ 0 @D
+ 0 @E
= dr
(1 g) dr
= (1 g)
>
@rt
@rt
@rt
@rt
drt
t
>
00 @T
00 @D
<
drd
@Ei
drt
i
i
i
0 @P
+
(1
k)C
+
C
+
0
=
(1
k)
= (1 k)
t @rt
d @rt
@rt
@rt
drt
drt
)
00 @T
00 @E
@Pi
@Di
drt
dre
i
i
>
0 @rt + Ct @rt + 0 @rt + Cf @rt = drt drt = 1
>
>
:
@Ei
i
i
i
(1 g) @P
+ @T
(1 k) @D
=0
@rt
@rt
@rt
@rt

i @Ti @Di @Ei
qui admet une solution unique @P
; ;
;
si 6= 0 où > 0 (déjà
@rt @rt @rt @rt
calculé plus haut). Cette solution unique est donnée par (Cf. Annexe) :

@Pi
=
@rt

00

(1 g)
(1 k)
1
0

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

00

=

=

Ce

(1

(1

g) Ct Cd + (1
00

00

00

g) Cd
00

00

g) Ct Cd

00

g) Cd Ce

00

00

g) (1

<0

6

0
00
Cd
(1 k)

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct

k)2 Ct + (1

(1

00

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
1

(1 g)
(1 k)
1

+ ( 1)4+4 ( 1)
00

00

(1 g)
(1 k)
0

= ( 1)3+4 Ce

0
0
00
Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

(1

0
00
Cd
0
g) (1

k)2 Ct

00

00

Cp
0
0
@Ti
=
@rt

1

(1 g)
(1 k)
1
0

g

(1
00

= Cp
=

(1

k)2 Ce

00

Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

00

Cd + (1

+ (1

g)

g)2 Cd Ce + Cp Cd + (1
00

00

00

00

1

00

00

Cp
0
0
@Di
=
@rt

00

k)
1
0

= ( 1)1+1 Cp
00

0
0
00
0
Cd
00
0
Ce
(1 k)
1

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

g

00

00

= Cp

(1
=

(1

g)

(1

k)

0
00
Ce
1

1
0

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct

k) Ct + (1
(1

g)
00

(1 g) 0
(1 k)
0
00
1
Ce

00

k) Ce + (1
00

g) (1

00

>0

7

00

k) Ct

k) Ct Ce + (1

00

k) Cp Ce

>0

(1 g) 0
(1 k)
0
00
1
Ce
0
1

00

(1

00

00

00

+ ( 1)4+1 (1

g)

g) Cd Ce
00

k)Ct
00
Ct
1

= ( 1)1+1 Cp

00

(1

k)2 Cp Ce

00

(1

+ ( 1)4+1 (1

(1 g) 0
0
00
(1 k) Cd 0
00
1
0 Ce

g) (1

00

00

k) Ct Ce

00

00

Cp
0
0
1

@Ei
=
@rt

g

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1
(1
00

= ( 1)1+1 Cp

0
00
Cd
0
(1 k)
00

(1 g)
(1 k)
1
0

00

k)Ct
00
Ct
1

Cd
(1 k)
0
1
(1 k)
0
00

+ ( 1)4+1 (1
00

00

Cd

00

00

= Cp

Cp Cd

=

(1

g)

Ct
0
1
00
00
(1 k)Ct Cd (1 k)
00
Ct
0
1
00

00

k)2 Ct + (1

00

k)2 Ct

(1

k) Di + Ei
i
g) @P
.
@rt
00

00

(1
00

g) Pi , on véri…e bien que :

00

00

00

(1 g)2 C C +C C +(1 k)2 C Ce

p d
p
d e
i
L’expression : @T
=
@rt
est la somme de deux e¤ets :
– Un e¤et de substitution qui est donné par :

g)2

00

00

C d Ce

(1

+

00

@Ti
@rt

=

traduit l’e¤et total qui

@Ti
@rt

=
ES

(1

i
g) @P
=
@rt

;

– Un e¤et de bilan qui est donné par :
00 00
k)Cp Ce

00

>0

Puisque : Ti = (1
i
i
(1 k) @D
+ @E
(1
@rt
@rt

(1

g)

00

Ct Cd + Ct Cd

00 00
C p Cd

@Ti
@rt

= (1
EB

i
k) @D
+
@rt

@Ei
@rt

=

.

b) Mécanismes en jeu :
L’augmentation de rt toutes choses égales par ailleurs entraîne tout d’abord
celle de rrpt et par suite un e¤et de substitution des titres aux prêts (% Ti
et & Pi tel que Ri + Pi + Ti inchangé). Par ailleurs, l’augmentation de rt
entraîne celles de rrdt et de rrft , ce qui incite la banque à la fois à collecter davantage de dépôts (% Di ) et à lever plus de fonds sur les marchés …nanciers
(% Fi ) pour les utiliser à faire des placements en titres (% Ti ). C’est l’e¤et
bilan, qui traduit une hausse des passifs en vue de …nancer celle des actifs.
L’e¤et total qui résulte de la somme des e¤ets de substitution et de bilan se
traduit par la hausse de Ti , Di et Ei et la baisse de Pi .

8

3) Le taux d’intérêt créditeur rd varie de drd .
a) E¤ets sur les di¤érents postes du bilan :
En di¤érentiant par rapport à rd les conditions d’optimalité et la contrainte
de bilan réarrangés dans l’ordre Pi , Ti , Di et Ei :
8
0
0
Cp (1 g) Ct = rp (1 g) rt
>
>
0
0
<
(1 k)Ct + Cd = (1 k)rt rd
0
0
Ct + Ce = rt re
>
>
:
(1 g) Pi + Ti (1 k)Di Ei = 0
on obtient le système suivant :

8
00 @T
00
p
drt
i
i
i
i
>
Cp @P
(1
g)
C
+ 0 @D
+ 0 @E
= dr
=0
t
>
@r
@rd
@rd
@rd
drd
drd
d
>
00
00
< 0 @Pi + (1 k)C @Ti + C @Di + 0 @Ei = (1 k) drt
drd
=
t @rd
d @rd
@rd
@rd
drd
drd
)
00 @T
00 @E
@Pi
@Di
drt
dre
i
i
>
0 @rd + Ct @rd + 0 @rd + Cf @rd = drd drd = 0
>
>
:
(1 g) @Pi + @Ti (1 k) @Di @Ei = 0
@rd

@rd

@rd

1

@rd

i @Ti @Di @Ei
qui admet une solution unique @P
; ;
;
si
6= 0 où
> 0
@rd @rd @rd @rd
(déjà calculé plus haut). Cette solution unique est donnée par (Cf. Annexe) :

@Pi
=
@rd
=

00

0
1
0
0
(1

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

00

Cp
0
0
@Ti
=
@rd
=

1
(1

00

k) (1

g

g) Ct

Ct
1

= ( 1)2+1 ( 1)

00

Cp
0
= ( 1)2+2 ( 1)

00

<0

9

0
0

00

<0

0
0
00
Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

k)Cp Ce

00

(1

00

g) Ct Ce

0
1
0
0
00

0
0
00
Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

1

0
0
g

(1

0
00
Ce
k)
1

(1

0
00
Ce
k)
1

00

00

Cp
0
0
1

@Di
=
@rd

g
00

00

Cp Ct

=

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

g)2 Ct Ce
00

(1

00

1

00

00

00

Cp
0
= ( 1)2+4 ( 1)
(1

=

00

1

Puisque : (1 g) Pi = (1
h
i
@Pi
@Ti
@Ei
1
(1
g)
+
.
1 k
@rd
@rd
@rd
00

C C

00

g

00

(1

00

(1 g)2 Ct Ce

– Un e¤et de bilan donné par :
(1

00

Ct
1

g

0
1
0
0
00

g) Ct

0
0

Ct
1

–Un e¤et de substitution donné par :
00 00
Cp C e

0
00
Cd
0
(1 k)

00

=

g) Ct

<0

@Di
@rd

(1

00

k)

00

k)Cp Ct

>0
@Di
@rd

Ti , on véri…e bien que :

k) Di + Ei

p t
i
L’expression @D
=
@rd
donné par la somme de deux e¤ets :

00 00
g)2 Ct Ce

= ( 1)2+3 ( 1)

(1

00

k)Cp Ct

1

00

(1

00

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

g

00

Cp
0

Cp Ce

00

Cp
0
0
@Ei
=
@rd

0
0
1 0
00
0 Ce
0
1

00

00

C p Ce

@Di
@rd

traduit l’e¤et total qui est
=

ES

=
EB

=

1
1 k

@Ei
1 k @rd
1

(1

=

i
g) @P
+
@rd

00

00

Cp C t

> 0;

1 @Ti
1 k @rd

=

.

b) Mécanismes en jeu :
L’augmentation de rd toutes choses égales par ailleurs entraîne tout d’abord
celle de rrde et par suite un e¤et de substitution des fonds levés sur les marchés aux titres (% Ei et & Di pour Di + Ei + Ki inchangé). Par ailleurs,
l’augmentation de rd entraîne la baisse de rrpd et de rrdt , ce qui incite la banque
à collecter moins de dépôts (& Di ) pour accorder moins de prêts (& Pi ) et
faire moins de placements en titres (& Ti ). C’est l’e¤et bilan. L’e¤et total
qui résulte de la somme des e¤ets de substitution et de bilan se traduit par
la baisse de Di , Pi et Ti et la hausse de Ei .
10

0
00
Ce
1

4) Le taux d’intérêt sur les fonds levés sur les marchés re varie de dre .
a) E¤ets sur les di¤érents postes du bilan :
En di¤érentiant par rapport à re les conditions d’optimalité et la contrainte
de bilan réarrangés selon l’ordre Pi , Ti , Di et Ei :
8
0
0
>
> Cp (1 0 g) C0t = rp (1 g) rt
<
(1 k)Ct + Cd = (1 k)rt rd
0
0
Ct + Ce = rt re
>
>
:
(1 g) Pi + Ti (1 k)Di Ei = 0
on obtient le système suivant :

)

8
>
>
>
<
>
>
>
:

p
drt
i
i
i
i
Cp @P
(1 g) Ct @T
+ 0 @D
+ 0 @E
= dr
=0
@re
@re
@re
@re
dre
dre
00 @T
00 @D
@Pi
@E
dr
t
i
i
i
d
0 @re + (1 k)Ct @re + Cd @re + 0 @re = (1 k) dre dr
=0
dre
00 @T
00 @E
@Pi
@D
dr
dr
t
e
i
i
i
0 @re + Ct @re + 0 @re + Ce @re = dre dre = 1
@Ei
i
i
i
(1 g) @P
+ @T
(1 k) @D
=0
@re
@re
@re
@re
00

00

i @Ti @Di @Ei
qui admet une solution unique @P
; ;
;
si
6= 0 où
> 0
@re @re @re @re
(déjà calculé plus haut). Cette solution unique est donnée par (Cf. Annexe) :

@Pi
=
@re
=

00

0
0
1
0

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1
00

(1

00

@Ti
=
@re

1

g
00

=

0
0
1
0

= ( 1)3+1 ( 1)

<0

0
0
00
Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

00

Cp Cd

00

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
1

00

g) Ct Cd

Cp
0
0

0
0
00
Cd
0
00
0
Ce
(1 k)
1

<0

11

00

Cp
0
= ( 1)3+2 ( 1)

1

g

0
00
Cd
(1 k)

0
0
1

0
00
Cd
(1 k)

0
0
1

00

00

Cp
0
0
1

@Di
=
@re

g
(1

=

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1
00

00

k)Cp Ct

00

1

00

(1

00

g

00

Cp
0
= ( 1)3+3 ( 1)

1

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
1

g

00

k)Cp Ct

>0

00

Cp
0
0
@Ei
=
@re

=

0
0
0
0
00
1 Ce
0
1

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
00
Ct
1

0
00
Cd
0
(1 k)

00

0
0
1
0
00

Cp
0

g

(1 g) Ct
00
(1 k)Ct
1

k)2 Cp Ct

(1

g)2 Ct Cd

Puisque : Ei = (1 g) Pi + Ti
i
i
i
(1 g) @P
+ @T
(1 k) @D
.
@re
@re
@re

(1

k) Di , on véri…e bien que :

1

= ( 1)3+4 ( 1)
=

(1

00

00

(1 k)2 C C

00

00

00

00

–Un e¤et de substitution donné par :

@Ei
@re

0;
–Un e¤et de bilan donné par :
00 00
C p Cd

00

(1 g)2 Ct Cd

p t
i
L’expression @E
=
@re
est donné par la somme de deux e¤ets :

@Ei
@re

00

ES

00

Cp C d

=

= (1
EB

00

0
00
Cd
(1 k)
00

00

Cp Cd

<0
@Ei
@re

=

traduit l’e¤et total qui
(1

i
k) @D
=
@re

i
i
g) @P
+ @T
=
@re
@re

00

00

(1 k)2 Cp Ct

00

00

(1 g)2 Ct Cd

+

< 0.

b) Mécanismes en jeu :
L’augmentation de re toutes choses égales par ailleurs entraîne tout d’abord
re
celle de rd
et par suite un e¤et de substitution des dépôts aux fonds levés
sur les marchés (% Di et & Ei pour Di + Ei + Ki inchangé). Par ailleurs,
l’augmentation de re entraîne la baisse de rrpe et de rret , ce qui incite la banque
à lever moins de fonds sur les marchés (& Ei ) pour accorder moins de prêts
(& Pi ) et faire moins de placements (& Ti ). C’est l’e¤et bilan. L’e¤et total
qui résulte de la somme des e¤ets de substitution et de bilan se traduit par
la baisse de Ei , Pi et Ti et la hausse de Di .
12

<

0
0
1

Annexe : Formules de Cramer
Le système suivant :
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
admet une solution unique si le déterminant

a11
a21

=

a12
a22

6= 0. Cette

solution est donnée par :

x1 =

b1
b2

a12
a22

et x2 =

a11
a21

b1
b2

De même, le système suivant :
8
< a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
:
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
admet une solution unique si le déterminant

=

a11
a21
a31

a12
a22
a32

a13
a23
a33

6= 0.

Cette solution est donnée par :

x1 =

b1
b2
b3

a12
a22
a32

a13
a23
a33

et x2 =

a11
a21
a31

b1
b2
b3

a13
a23
a33

et x3 =

a11
a21
a31

a12
a22
a32

b1
b2
b3

De manière générale, pourP
un système à n équations, le déterminant prend
l’expression suivante :
= ni=1 ( 1)i+j aij ij , où ij est le déterminant
obtenu en supprimant la ième ligne et la jème colonne du tableau initial. Si
6= 0, le système a une solution unique, donnée par :
xj =

j

, 8j = 1; :::; n

où j est le déterminant obtenu en remplaçant la jème colonne de
le vecteur des membres à droite des équations.

13

par


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