Introduction a Algorithmique Cours et Exercice corigéé .pdf



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Introduction à l’algorithmique et à la programmation
Cours avec corrigés
1ère année

IUT de Villetaneuse.
Hanène Azzag,
Frédérique Bassino,
Pierre Gérard,
Bouchaïb Khafif,
Mathieu Lacroix,
Mustapha Lebbah,
Guillaume Santini.
11 septembre 2014

IUT de Villetaneuse

Intro à l’algorithmique et à la programmation


92

1er semestre

Chapitre 5

Nombres aléatoires en informatique
On peut se demander comment des machines prédictibles comme des ordinateurs peuvent
engendrer de l’aléa. En réalité, la plupart des nombres aléatoires utilisés en informatique sont des
nombres pseudo-aléatoires, au sens où ils sont engendrés de manière prédictible en utilisant une
formule mathématique.
La raison de ce phénomène vient de ce qu’un algorithme est une suite d’opérations prédéfinies
que l’on applique à des paramètres pour les modifier. Si l’on applique le même traitement aux
mêmes paramètres, les résultats sont donc identiques. En ce sens, un algorithme est donc déterministe, à l’opposé de ce que l’on veut obtenir. Pourtant certaines opérations sont suffisamment
imprévisibles pour donner des résultats qui semblent aléatoires. Les nombres obtenus sont alors
dits pseudo-aléatoires.
Cela suffit dans de nombreux cas, même si ces nombres ne ressemblent pas tout à fait à ce que
l’on obtient en lançant un dé ou effectuant des tirages des loterie. Pour "produire des nombres
au hasard", on utilise donc souvent en informatique une suite de nombres déterminée, appelée
séquence pseudo-aléatoire qui contient plusieurs centaines de milliers de nombres différents 1 et
satisfait plusieurs propriétés statistiques, ce qui donne à penser, en regardant une partie de ces
nombres, que ceux-ci sont des nombres complètement aléatoires. Par abus de langage, on dira que
ces nombres sont aléatoires (et non seulement pseudo-aléatoires).

5.1

Génération de nombres aléatoires

La fonction rand() permet d’engendrer un nombre aléatoire. Lors du premier appel, la fonction
retourne le premier nombre de la séquence pseudo-aléatoire. Ensuite, à chaque appel, elle retourne
le nombre suivant dans la séquence. Ainsi, l’exécution du code :


1
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6
7

1
2
3

int main()
{
cout << "Premier nombre aléatoire : " << rand() << endl;
cout << "Deuxième nombre aléatoire : " << rand() << endl;
cout << "Troisième nombre aléatoire : " << rand() << endl;
return 0;
}


affichera :





Premier nombre aléatoire : 1804289383
Deuxième nombre aléatoire : 846930886
Troisième nombre aléatoire : 1681692777





1. Cette séquence est une suite au sens mathématique du terme, c’est-à-dire que le (i+1)e terme est calculé en
fonction du ie terme.

93

IUT de Villetaneuse

Attention : Cette suite est déterminée et si l’on exécute plusieurs fois le programme, l’affichage
sera le même à chaque fois !
Remarque : La séquence pseudo-aléatoire de la fonction rand() peut varier selon les compilateurs.
Il est donc possible que lors de l’exécution du programme précédent, vous n’obteniez pas les mêmes
valeurs. En revanche, à chaque exécution, ces nombres seront identiques.
Remarque : Le principe des séquences pseudo-aléatoires est commune à tous les langages de
programmation. Cependant, les langages n’utilisent pas forcément tous la même séquence pseudoaléatoire.

5.1.1

Entiers aléatoires dans un intervalle

Par défaut, les nombres retournés par la fonction rand() sont compris entre 0 et RAND_MAX
(inclus), cette dernière étant une constante définie dans le langage correspondant à la plus grande
valeur entière pouvant être stockée par le type int. Pour avoir une valeur comprise entre 0 (inclus)
et N (exclus), on utilise alors l’opérateur modulo : rand()%N. Pour obtenir un nombre aléatoire
dans l’intervalle {a, . . . , b}, on engendre un nombre aléatoire entre 0 et b − a (inclus) auquel on
ajoute a. Ainsi, le code suivant permet d’afficher un nombre aléatoire entre 10 et 20 (inclus) :


1
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3
4
5

int main()
{
cout << "Nombre aléatoire : " << rand()%11 + 10 << endl;
return 0;
}





I Sur ce thème : Exercice 2, TD 5

5.1.2

Nombres flottants aléatoires

Pour engendrer un nombre flottant aléatoire dans l’intervalle [0,1], une solution simple consiste
à diviser le nombre retourné par la fonction rand() par la constante RAND_MAX. Si l’on souhaite
tirer un nombre dans un intervalle différent, il faut alors multiplier le résultat obtenu par la taille
de l’intervalle. Le code suivant affiche deux nombres flottants aléatoires, le premier compris entre
0 et 1 et le second compris entre 0 et 10.


1
2
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6

int main()
{
cout << "Nombre flottant aléatoire entre 0 et 1 : " << (double) rand()/RAND_MAX << endl;
cout << "Nombre flottant aléatoire entre 0 et 10 : " << 10.0 * rand()/RAND_MAX << endl;
return 0;
}



Attention : Comme RAND_MAX et la valeur retournée par la fonction rand() sont de type int,
il faut faire attention à ne pas avoir de division entière. Il faut donc transtyper l’un des deux
nombres en double, soit explicitement, soit en le multipliant par une valeur de type double.

5.2

Différentes générations de nombres aléatoires

Tous les programmes que nous avons écrits jusqu’à maintenant ont un défaut majeur. Même
s’ils génèrent des nombres qui paraissent aléatoires, les nombres sont les mêmes à chaque exécution
du programme ! Ils ne sont donc pas aléatoires puisque l’on peut les prédire !
Pour pallier à ce problème, on indique au programme de ne pas toujours commencer la séquence
par la même valeur. Pour cela, on utilise la fonction srand() prenant en paramètre une valeur de
type int appelée graine. Cette graine sert à déterminer le nombre de départ dans la séquence pour
Intro à l’algorithmique et à la programmation


94

1er semestre

Departement informatique

la fonction rand() 2 . Dans le programme suivant, on engendre deux nombres aléatoires. Comme
la graine utilisée est 12, les nombres aléatoires engendrés sont alors 1687063760 puis 945274514.


1
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5

int main()
{
srand(12);
cout << rand() << " " << rand() << endl;
}





À retenir : Il faut appeler la fonction srand() une seule fois dans le programme.
Si l’on exécute plusieurs fois ce programme, les nombres engendrés seront toujours 1687063760
puis 945274514 ! Il faut donc modifier la graine à chaque exécution du programme. Or, on ne peut
pas demander à l’ordinateur de choisir aléatoirement une graine différente !
Pour modifier la graine, on utilise la fonction time(NULL) retournant le nombre de secondes
écoulées depuis le 1er janvier 1970. L’initialisation du générateur est alors faite à l’aide de l’instruction srand(time(NULL)). Si le programme est exécuté plusieurs fois (avec une seconde d’intervalle
au minimum entre les exécutions), la graine est alors différente et les nombres retournés par la
fonction rand() le sont aussi.
I Sur ce thème : Exercices 1, 3 - 6, TD 5

2. En fait, le calcul du ie terme de la suite se fait en fonction de la graine et du terme précédent.

1er semestre


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Intro à l’algorithmique et à la programmation

IUT de Villetaneuse

TD5 : Nombres aléatoires (Corrigé)

X Exercice 1 : Test de compréhension*
Question 1.1 : [Fonction rand] À quoi sert la fonction rand() ? Quel paramètre prend-t-elle en
argument ?
Correction :
La fonction rand() retourne un entier (int). Cet entier est un élément de la séquence pseudo-aléatoire. C’est le
premier nombre de cette série ou le nombre suivant le dernier nombre retournée par rand(). La fonction rand() ne
prend aucun paramètre.
3

Question 1.2 : [Fonction srand] À quoi sert l’instruction srand(time(NULL)) ?
Correction :
Cette instruction sert à initialiser le générateur de nombres pseudo-aléatoires avec une valeur correspondant au
nombre de secondes écoulées depuis le 1er janvier 1970. À chaque exécution, le générateur est initialisé avec une
graine différente. Ceci permet à la fonction rand() d’engendrer des nombres différents à chaque exécution.

3

Question 1.3 : [Vérification de code] Le programme suivant génère-t-il correctement les nombres
aléatoires ? Pourquoi ?


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int main()
{
for(int i = 0 ; i < 10 ; i++)
{
srand(time(NULL));
cout << rand() << endl;
}
return 0;
}


Correction :



Tous les nombres engendrés par la fonction rand() sont les mêmes. En effet, la fonction srand() est appelée 10 fois
au lieu d’une. Comme le programme s’exécute en moins d’une seconde, le générateur est initialisé 10 fois avec la
même valeur. De plus, la fonction rand() retourne le premier terme de la série déterminé par la graine. Ces nombres
sont donc tous les mêmes.
3

X Exercice 2 : Somme de 10 nombres enters aléatoires entre 1 et 10*
Écrire un programme affichant 10 nombres aléatoires entre 1 et 10 inclus et calculant la somme
de ces nombres.
Correction :


1
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int main()
{
srand(time(NULL));
int somme = 0;
int nombre;
for (int i = 0 ; i < 10 ; i++)
{
nombre = rand()%10 + 1;
cout << nombre << endl;
Intro à l’algorithmique et à la programmation


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1er semestre

Departement informatique

somme += nombre;
}
cout << "Somme = " << somme << endl;
return 0;

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}



3

X Exercice 3 : Lancer de dés*
Le but de cet exercice est de créer des fonctions permettant de simuler des lancers de dés.
Lancer un dé correspond, d’un point de vue informatique, à tirer un entier aléatoire entre 1 et 6
inclus.
Question 3.1 : Créer une fonction qui simule le lancer d’un dé et renvoie le résultat.
Correction :

1
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4

int lancerDe()
{
return 1 + rand()%6;
}



3



Question 3.2 : Créer une fonction qui simule le lancer d’un nombre quelconque de dés donné en
paramètre et renvoie leur somme. Utiliser cette fonction pour afficher le résultat d’un lancer de
deux dés puis de trois dés.
Correction :


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int lancerPlusieursDes(int n)
{
int somme = 0 ;
int i = 0;
while (i<n)
{
somme += lancerDe();
i++;
}
return somme;
}

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int main()
{
srand(time(NULL));
cout << "Lancer de deux dés : " << lancerPlusieursDes(2) << endl;
cout << "Lancer de trois dés : " << lancerPlusieursDes(3) << endl;
return 0;
}



3

Question 3.3 : Certains dés ont un nombre de faces différent de 6, comme certains dés utilisés
pour les jeux de rôles. Écrire une fonction lancerDe2 prenant en paramètre le nombre de faces du
dé et simulant un lancer de ce dé.
Correction :


1
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int lancerDe2(int nbFaces)
{
return 1 + rand()% nbFaces;
}



1er semestre



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Intro à l’algorithmique et à la programmation

IUT de Villetaneuse

3
Question 3.4 : Écrire une fonction qui simule le lancer d’un nombre quelconque de dés donné
en paramètre, tous les dés ayant le même nombre de faces (également donné en paramètre), et
renvoie leur somme. Utiliser cette fonction pour afficher le résultat de dix lancers d’un dé à dix
faces.
Correction :


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int lancerPlusieursDes2(int n, int nbF)
{
int somme = 0 ;
int i = 0;
while (i<n)
{
somme += lancerDe2(nbF);
i++;
}
return somme;
}

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int main()
{
srand(time(NULL));
cout << "Lancer de dix dés à dix faces : " << lancerPlusieursDes2(10,10) << endl;
return 0;
}



3

X Exercice 4 : Soldes aléatoires**
Pour les soldes, un magasin propose une formule originale. Lors du paiement en caisse, une
réduction de 30, 50 ou 70% est appliquée sur le montant total. Le taux de réduction est choisi
aléatoirement.
Question 4.1 : Écrire une fonction taux() retournant 30, 50 ou 70, la valeur étant choisie
aléatoirement.
Correction :


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4

int taux()
{
return 30 + rand()%3 * 20;
}



3

Question 4.2 : Écrire le programme principal permettant de déterminer le prix à payer après la
réduction. Le prix sera saisi par l’utilisateur et la réduction choisie aléatoirement.
Correction :


1
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3

int main()
{
srand(time(NULL));

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double prix;
cout << "Prix ? ";
saisie(prix);

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int reduction = taux();

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Intro à l’algorithmique et à la programmation


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Departement informatique

cout << "Bravo, vous avez obtenu un taux de " << 100 - reduction
<< "%, le prix de votre commande est "
<< reduction / 100. * prix << " euros." << endl;
return 0;

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}



3

Exercice 5 : Nombre magique**
Le nombre magique est un jeu où l’utilisateur doit trouver un nombre entier aléatoire compris
entre 1 et 100 inclus en au plus 10 essais. À chaque essai, le programme répond en indiquant si le
nombre à déterminer est plus petit ou plus grand que la valeur saisie par l’utilisateur. Écrire un
programme permettant de jouer à ce jeu.
Correction :


1
2

int main ()
{

4

//Initialiser le générateur de nombres aléatoires
//Ne faire qu’une seule fois dans le programme!!!!

5

srand(time(NULL));

3

6

int nombreAleatoire = 1 + rand()%100;;

7
8

int nombre = -1;
int tentative = 0;

9
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11

while ( nombre!=nombreAleatoire && tentative < 10 )
{
tentative ++;
cout << "Saisissez un nombre : " ;
saisie(nombre);
if (nombre < nombreAleatoire)
cout << "Le nombre magique est plus grand" << endl;
else if (nombre > nombreAleatoire)
cout << "Le nombre magique est plus petit" << endl;
}

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if ( nombre==nombreAleatoire)
cout << "Vous avez trouvé le nombre magique en " << tentative << " coups" << endl;
else
cout << "Perdu" << endl;
return 0;

23
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28

}



3

Exercice 6 : Approximation de la valeur π à l’aide de la méthode de
Monte-Carlo***
Le terme méthode de Monte-Carlo, ou méthode Monte-Carlo, désigne toute méthode visant
à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, c’est-à-dire des techniques
probabilistes 3 .
Une des illustrations de la méthode de Monte-Carlo est la détermination de la surface d’un
lac. Supposons que l’on ait un lac dont on souhaite calculer la superficie. On détermine une zone
contenant le lac dont on connaît l’aire (On peut choisir un carré dont on connaît le côté). Pour
trouver la superficie du lac, on demande à une armée de tirer un certain nombre de boulets de
3. Définition de Wikipedia. L’exemple du calcul de l’aire du lac provient également de Wikipedia.

1er semestre


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Intro à l’algorithmique et à la programmation

IUT de Villetaneuse

canon et l’on regarde la proportion des projectiles tombés dans le lac. Si suffisamment de boulets
de canon ont été tirés et si l’on suppose que les missiles ont été tirés aléatoirement dans la zone,
alors cette proportion correspond à la proportion de l’aire du lac par rapport à celle de la zone.
Ainsi, si N projectiles ont été lancés et X sont tombés dans le lac, alors la surface du lac correspond
à X/N fois la surface de la zone.
On peut utiliser cette technique pour déterminer une valeur approchée de π. Considérons un
quart de cercle de rayon 1 contenu dans un carré de côté 1 (c.f. figure 5.1). On connaît cette fois-ci
l’aire du carré (1) représentant la zone et l’aire du quart de cercle (π/4) représentant le lac. À
l’aide de la méthode de Monte-Carlo, on peut donc déterminer une valeur approchée de l’aire du
quart de cercle. Cette valeur multipliée par 4 donne alors une valeur approchée de la valeur π.
1

(x, y)

y

0

1

x

Figure 5.1 – Approximation de la valeur π par la méthode de Monte-Carlo
L’algorithme est le suivant. On tire aléatoirement un grand nombre de points dans le carré
(des points (x, y) où x et y sont des valeurs aléatoires dans [0, 1]). On compte le nombre de fois
où les points appartiennent au quart de cercle, ce qui nous donne la proportion de l’aire du quart
de cercle par rapport à l’aire du carré. On en déduit ensuite une valeur approchée de π.
Question 6.1 : Écrire une fonction coordonnee() retournant une coordonnée aléatoire dans
l’intervalle [0, 1].
Correction :


1
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4

double coordonnee()
{
return 1. * rand() / RAND_MAX;
}



3

Question 6.2 : Écrire une fonction carre() prenant une valeur de type double en paramètre et
retournant le carré de cette valeur.
Correction :


1
2
3
4

double carre(double a)
{
return a * a;
}



3

Question 6.3 : Écrire une fonction estDansCercle() prenant en paramètre un point du carré
(donné par ses coordonnées en x et y) et retournant true si ce point est un point du cercle, ou
false sinon.
Remarque : Pour déterminer si le point (x, y) est dans le cercle, il faut calculer la longueur du
segment en pointillé sur la figure 5.1. Cela revient à calculer l’hypothénuse d’un triangle rectangle
Intro à l’algorithmique et à la programmation


100

1er semestre

Departement informatique

dont les segments adjacents
p à l’angle droit ont pour longueur respectives x et y (autrement dit, la
valeur est donnée par x2 + y 2 ). Si cette valeur est inférieure ou égale à 1, alors le point (x, y)
appartient au cercle.
Correction :


1
2
3
4

bool estDansCercle(double x, double y)
{
return carre(x) + carre(y) <= 1;
}



3

Question 6.4 : Écrire le programme permettant de déterminer une valeur approchée de π à l’aide
de la méthode de Monte-Carlo.
Correction :


1
2
3

int main()
{
srand(time(NULL));

4

int nbPoints = 100000000;
int nbPointsDansCercle = 0;

5
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7

for (int i = 0 ; i < nbPoints ; i++)
if (estDansCercle(coordonnee(),coordonnee()))
nbPointsDansCercle++;

8
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11

cout << "Valeur approchée de pi avec " << nbPoints << " : "
<< 4. * nbPointsDansCercle / nbPoints << endl;
return 0;

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}



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3


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Intro à l’algorithmique et à la programmation

IUT de Villetaneuse

TP5 : Nombres aléatoires (Corrigé)

Exercice 7 : Probabilité d’avoir 7 avec deux dés*
Question 7.1 : Écrire une fonction retournant le résultat d’un lancer de dés (à six faces).
Correction :

1
2
3
4

int de()
{
return rand() % 6 + 1;
}





3

Question 7.2 : Écrire une fonction retournant la somme de deux lancers de dés.
Correction :

1
2
3
4

int somme2des()
{
return de() + de();
}





3

Question 7.3 : On sait théoriquement que la probilité de faire 7 avec deux dés est de 1/6. Écrire
un programme simulant 100 de lancers de deux dés et calculant la fréquence (pourcentage) où le
résultat d’un lancer est 7. Le résultat calculé est-il proche du résultat théorique ? Qu’en est-il en
simulant maintenant non pas 100 mais 1 milion de lancers ?
Correction :


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int main()
{
srand(time(NULL));
int N = 100;
int nbFois7 = 0;
for (int i = 0 ; i < N ; i++)
{
if (somme2des()==7)
nbFois7++;
}
cout << 100. * nbFois7 / N << "%" << endl;
return 0;
}





Pour simuler 1 milion de lancers, il suffit de modifier la valeur de N à 1 milion. Plus le nombre de lancers simulés
est grand, plus le résultat expérimental trouvé se rapproche de la valeur théorique.
3

Exercice 8 : Jeu du 7**
Le jeu du 7 se joue à deux joueurs avec deux dés. Le jeu se joue en 5 manches. Pour chaque
manche, les deux joueurs jouent à tour de rôle. Lors de son tour, le joueur lance les deux dés.
S’il fait 7, il marque 7 points puis s’arrête. Autrement, le joueur peut relancer les dés. À chaque
relance, si le joueur fait 7, son tour est terminé et il marque 0 points. Autrement, il additionne le
résultat du lancer de dés à son total. S’il décide de s’arrêter, il marque le total des points qu’il a
obtenu avec ses différents lancers (s’il n’a pas fait 7 auparavent).
Intro à l’algorithmique et à la programmation


102

1er semestre

Departement informatique

On reprendra les fonctions de() et somme2des() de l’exercice précédent ainsi que la fonction
confirmation() donnée dans le cours sur les fonctions.
Question 8.1 : Écrire la fonction tour() simulant le tour d’un joueur.
Correction :


1
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int tour()
{
int total = 0;
bool rejoue = true;
int lance = 0;

6

while (rejoue)
{
lance = somme2des();
cout << "LANCER : " << lance << endl;
if (lance == 7)
{
cout << "Vous venez de faire 7, c’est perdu !" << endl;
if (total==0)//Si c’est le premier lancer
return 7;
return 0; //Ce n’est pas le premier lancer, on retourne donc 0
}
total += lance;
cout << "Voulez-vous rejouer ? " << endl;
rejoue = confirmation();
}
return total;

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}



3

Question 8.2 : Écrire la fonction jouer() permettant de jouer à une partie de 7. Cette fonction
affichera uniquement le total réalisé par les deux joueurs à la fin des 5 manches et retournera 1 si
le joueur 1 a réalisé un score plus grand que le joueur 2, 0 en cas d’égalité, ou -1 sinon.
Correction :


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20
21
22
23

int jouer()
{
int j1 = 0;
int j2 = 0;
for (int i = 0 ; i < 5 ; i++)
{
cout << "===================" << endl;
cout << "TOUR DU JOUEUR 1 : " << endl;
cout << "===================" << endl;
j1 += tour();
cout << "===================" << endl;
cout << "TOUR DU JOUEUR 2 : " << endl;
cout << "===================" << endl;
j2 += tour();
}
cout << endl << "TOTAL : " << endl;
cout << "\t JOUEUR 1 : " << j1 << endl;
cout << "\t JOUEUR 2 : " << j2 << endl;
if (j1==j2)
return 0;
if (j1 > j2)
return 1;
return -1;
1er semestre


103

Intro à l’algorithmique et à la programmation

IUT de Villetaneuse

24

}



3

Question 8.3 : Écrire le programme principal. Il devra permettre de jouer au jeu du 7 et devra
afficher le gagant.
Correction :


1
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12

int main()
{
srand(time(NULL));
int res = jouer();
if (res==1)
cout << "JOUEUR 1 a gagné" << endl;
else if (res==0)
cout << "EGALITE" << endl;
else
cout << "JOUEUR 2 a gagné" << endl;
return 0;
}



Intro à l’algorithmique et à la programmation

3


104

1er semestre



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