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Espace Vectoriel .pdf



Nom original: Espace Vectoriel.pdf

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Espace vectoriels

efinition g´
en´
erale
| ou un sousConsid´erons un corps commutatif K qui sera dans la pratique IR ou C
corps (par exemple Q). Les ´el´ements de K (ici des nombres r´eels ou complexes)
seront appel´es scalaires. Ainsi K est le corps des scalaires.

Un espace vectoriel sur K est un ensemble E dont les ´el´ements sont appel´es vecteurs,
satisfaisant aux axiomes (r`egles) suivants :
1) on peut ajouter les vecteurs, et l’addition fait de E un groupe ab´elien (c’est-`adire commutatif), d’´el´ement neutre not´e 0 (parfois 0E ). 2) on peut multiplier un
vecteur par un scalaire, cette multiplication satisfaisant aux propri´et´es
a) λ(x + y) = λx + λy pour λ ∈ K, x, y ∈ E (distributivit´e par rapport aux
vecteurs)
b) (λ + µ)x = λx + µx pour λ, µ ∈ K, x ∈ E (distributivit´e par rapport aux
scalaires)
c) λ(µx) = (λµ)x pour λ, µ ∈ K, x ∈ E (associativit´e)
d) 1.x = x pour x ∈ E
Exemples
1o . Le produit K n , ensemble des n-uples de scalaires (t1 , . . . , tn ) avec l’addition
(t1 , . . . , tn )+(s1 , . . . , sn ) = (t1 +s1 , . . . , tn +sn ) et la multiplication λ(t1 , . . . , tn ) =
(λt1 , . . . , λtn ).
|
| .
2o . C
est un espace vectoriel sur IR et aussi sur C

3o . L’ensemble not´e K T de toutes les fonctions d´efinies sur un ensemble quelconque
T et `a valeurs dans K. L’addition est d´efinie par (ϕ + ψ)(t) = ϕ(t) + ψ(t) et la
multiplication par (λϕ)(t) = λϕ(t).
Propri´
et´
es
On a toujours 0.x = 0E , (−x) = (−1).x. Le produit λx ne peut s’annuler que si
l’un des deux facteurs au moins est nul.
1 Proposition : Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K, leur produit E ×F
a une structure naturelle d’espace vectoriel sur K d´efinie par
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ),

1

λ(x, y) = (λx, λy)

2 Proposition : Si E est un espace vectoriel sur K, l’ensemble E T de toutes les
fonctions d´efinies sur un ensemble quelconque T `a valeurs dans E a une structure
naturelle d’espace vectoriel sur K d´efinie comme dans l’exemple 3o .
Combinaisons lin´
eaires
Si x1 , . . . , xn sont des vecteurs, une combinaison lin´eaire de ces vecteurs est une
expression
n
X
x=
λi xi
i=1

o`
u les coefficients λi sont des scalaires. Le r´esultat x est ´evidemment un vecteur.
Sous-espaces vectoriels, syst`
emes g´
en´
erateurs
Si E est un espace vectoriel sur K, un sous-espace vectoriel de E est un sousensemble de E contenant 0E , stable par additions, et par les multiplications par
les scalaires.
Par exemple, le sous-ensemble des (t, t) ∈ K 2 est un sous-espace vectoriel de K 2 .
Autre exemple : l’ensemble C[0, 1] des fonctions r´eelles continues sur le segment
[0, 1] est un sous-espace vectoriel de IR[0,1] .
Un syst`eme g´en´erateur G de E est une sous-ensemble de E tel que tout vecteur
x ∈ E puisse s’exprimer comme combinaison lin´eaire (finie) d’´el´ements de E.
3 D´
efinition : On dit que E est de dimension finie s’ il a un syst`eme fini de
g´en´erateurs.
Par exemple K n est de dimension finie sur K, mais si T est un ensemble infini, on
montre que K T n’est pas de dimension finie.
De mˆeme, l’espace des polynˆomes `a coefficients dans K (not´e K[X]) est de
dimension infinie, mais le sous-espace constitu´e des polynˆomes de degr´e ≤ n est
de dimension finie.
Syst`
emes libres, bases
Un sous-ensemble L de E est un syst`eme libre si 0 ne peut pas s’exprimer en
combinaison lin´eaire d’´el´ements de E `a coefficients non tous nuls :
0=

n
X

λi xi avec xi ∈ E, λi ∈ K ⇒ tous les λi sont nuls

i=1

Exemple : dans K n , les n-vecteurs ei = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0) forment un syst`eme libre.
(Remarquer que le syst`eme est aussi g´en´erateur).
2

Une base de E est un syst`eme `a la fois libre et g´en´erateur.
4 Th´
eor`
eme de l’´
echange : Soient L un syst`eme libre ayant p ´el´ements et G
un syst`eme g´en´erateur ayant q ´el´ements. Alors p ≤ q, et l’on peut remplacer p
´el´ements de G par les p ´el´ements de L de mani`ere que le syst`eme G0 obtenu soit
toujours g´en´erateur.
5 Corollaire : Tout espace vectoriel de dimension finie poss`ede une base finie, et
toutes les bases ont le mˆeme nombre d’´el´ements. Ce nombre s’appelle la dimension
de E.
Rang d’un syst`
eme de vecteurs
C’est la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e par ces vecteurs.
Coordonn´
ees
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, et soit e = {e1 , . . . , en } une
base de E. Tout vecteur x ∈ E s’exprime de mani`ere unique sous la forme
x=

n
X

xi ei

i=1

Les scalaires xi s’appellent les coordonn´ees de x dans la base e.

3

Applications lin´
eaires
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f : E → F
est K-lin´eaire (ou plus simplement lin´eaire) si l’on a
a) f (x + y) = f (x) + f (y) pour x, y ∈ E (additivit´e)
b) f (λx) = λf (x) pour λ ∈ K, x ∈ E (homog´en´eit´e)
Exemples :
1) L’application de IR2 dans IR3 d´efinie par f (s, t) = (s, s + t, s − 2t)
2) Si e = {e1 , . . . , en } est une base de E, alors les coordonn´ees sont des fonctions
lin´eaires de x ∈ E.
Une application lin´eaire est parfois appel´ee homomorphisme. Si F = E, on dit aussi
endomorphisme de E.
Si F = K, on dit aussi forme lin´eaire. L’exemple 2) montre que les coordonn´ees
sont des formes lin´eaires sur E.
L’ensemble des applications lin´eaires de E dans F sera not´e L(E, F ). C’est un
sous-espace vectoriel de F E .
• Une application lin´eaire est enti`erement d´etermin´ee par les valeurs qu’elle prend
sur une base e de E. On a en effet
f (x) =

n
X

xi f (ei )

i=1

• Le noyau d’une application lin´eaire f est un sous-espace vectoriel de E, not´e
ker(f ).
• L’ image f (E) est un sous-espace vectoriel de F . La dimension de f (E) s’appelle
le rang de f .
6 Proposition : Une application lin´eaire f est injective si et seulement si son
noyau ker(f ) est r´eduit `a {0}. Elle est surjective si et seulement si son rang est
´egal `a la dimension de F .
7 Th´
eor`
eme : Si f : E → F est lin´eaire, on a
dim(E) = dim(ker(f )) + Rang(f )
8 Corollaire : Pour que f soit bijective, il est n´ecessaire (mais non suffisant) que
dim(E) = dim(F ).

4

Composition des applications lin´
eaires
9 Proposition : Si f : E → F et g : F → G sont lin´eaires, alors g◦f : E → G
est lin´eaire.

Isomorphismes
10 Proposition : Soit f : E → F une application lin´eaire bijective. Alors E et
F ont mˆeme dimension, et l’application inverse f −1 : F → E est lin´eaire.
• On dit que f est un isomorphisme de E sur F . Evidemment f −1 est un
isomorphisme de F sur E.

Endomorphismes
Un endomorphisme de E est une application lin´eaire f : E → E.
L’application identique de E est un endomorphisme.
Un endomorphisme bijectif de E (donc isomorphisme) s’appelle aussi un automorphisme de E.
11 Proposition : Les automorphismes de E forment un groupe pour la
composition. Ce groupe n’est pas commutatif (en dimension > 1). L’ identit´e de
E est l’´el´ement neutre.

5


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