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Universit´e Paris Diderot

MM1 – Ann´ee 2010/11

Feuille de TD no 3 Ensembles et Applications

Exercice 1 Montrer les assertions suivantes, E ´etant un ensemble :
1. ∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B,
2. ∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C.
Exercice 2 A et B ´etant des parties d’un ensemble E, d´emontrer les lois de Morgan :
Ac ∪ B c = (A ∩ B)c

et Ac ∩ B c = (A ∪ B)c .

Exercice 3 Donner la liste des ´el´ements de P(P({1, 2})).
Exercice 4 Soient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1. A-t-on
f ◦g =g◦f?
Exercice 5 Soient a, b, c, d quatre ”objets” distincts. Soit X = {a, b, c, d}. Soit f : X −→ X
d´efinie par : f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = a.
1. f est-elle injective, surjective, bijective ?
2. Quels sont les ensembles f ({a, b, c}), f ({b, d}) etf ({a, d})
3. Quels sont les ensembles f −1 ({a}), f −1 ({b}) et f −1 ({a, c, d})
Exercice 6 Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
f : Z → Z, n 7→ 2n ;

f : Z → Z, n 7→ −n

f : R → R, x 7→ x2

f : R → R+ , x 7→ x2

;

Exercice 7 Soit f : E −→ F . Pour toute partie A de E, on pose f (A) = {f (x)|x ∈ A},
autrement dit f (A) est l’ensemble des images par f de A.
1, Montrer que pour toutes parties A et B de E, on a f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B);
2,On suppose de plus que f est injective. Montrer qu’alors f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Exercice 8 Soit f : E −→ F . Pour toute partie A de F , on pose f −1 (A) = {x ∈ E|f (x) ∈ A},
autrement dit f −1 (A) est l’ensemble des ant´ec´edents par f des ´el´ements de A.
1, Montrer que pour toutes parties A et B de F , on a f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) ;
2, Montrer que pour toutes parties A et B de F , on a f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) ;
3, Montrer que pour toute partie A de F , on a CE f −1 (A) = f −1 (CF A).
Exercice 9 Montrer :
n
X
n(n + 1)
1.
k=
2
k=1
2.

n
X
k=1

k2 =

∀n ∈ N∗ .

n(n + 1)(2n + 1)
6

∀n ∈ N∗ .

1


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