Ex Ensembles, Relations, Appliction .pdf


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Universit´e Henri Poincar´e, Nancy 1
capes, pr´eparation `
a l’´ecrit

D´epartement de math´ematiques
2006 – 2007

Ensembles, relations, applications
1. A,B,C,D ´etant des parties d’un ensemble E, Montrer
1. A 4 B = A 4 B.
2. A = B ⇐⇒ A ∩ B = A ∪ B ⇐⇒ A 4 B = ∅
3. A \ B = A ⇐⇒ B \ A = B.
4. A 4 B = A ∩ B ⇐⇒ A = B = ∅.
5. (A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C.
6. (A \ C) ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C.
7. (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C).
8. (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A).
9. A 4 B = A 4 C =⇒ B = C.
10. A ∩ B = A ∩ C ⇐⇒ A ∩ B = A ∩ C.
11. [(A ∪ B) ⊂ (A ∪ C) et (A ∩ B) ⊂ (A ∩ C)] =⇒ B ⊂ C.
2.
Soient E un ensemble et B une partie non vide de P(E). Montrer que les
trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1. ∀(A,B) ∈ B 2 , (A 4 B ∈ B et A ∩ B ∈ B),
2. ∀(A,B) ∈ B 2 , (A 4 B ∈ B et A ∪ B ∈ B),
3. ∀(A,B) ∈ B 2 , (A ∪ B ∈ B et A \ B ∈ B).
3.
Soient I, E un ensembles,
(Ai )i∈I , (Bi )i∈I deux familles de parties de E.
S


T
S
S
¯ est le
Montrer que X∈P(I)
A
= i∈I Ai ∩ Bi , o`
u X
¯ Bj
i∈X i ∪
j∈X
compl´ementaire de X dans I.
4.
Soit E un ensemble. A chaque partie A ∈ P(E) on associe sa fonction caract´eristique χA d´efinie sur E par χA (x) = 0 si x 6∈ A et χA (x) = 1 si x ∈ A.
1. Soient A,B ∈ P(E). Montrer que
(a) χA∩B = χA χB .
(b) χA\B = χA − χA χB , χA4B = χA + χB − 2χA χB .
V´erifier que l’on a aussi
χA\B = sup{0,χA − χB }, χA4B = |χA − χB |.
2. Montrer que (P(E),4) est un groupe ab´elien.
3. En d´eduire la loi de Poretsky : pour que A = ∅ il faut, et il suffit, qu’il
existe une partie B telle que A4B = B.

1

5.
Soit (Ai )i∈I une famille de parties d’un ensemble E.
S
T
1. Montrer que E \ i∈I Ai = i∈I (E \ Ai ).
2. Soit
application de E dans un autre
T F . Montrer que
T ensemble
S f est une S
f i∈I Ai = i∈I f (Ai ). Montrer que f i∈I Ai ⊂ i∈I f (Ai ), et que
si f est injective, on a l’´egalit´e.
3. Soit g est une application de E dans un autre ensemble G. Montrer que
S
T
−1 S
−1
−1 T
−1
g
g (Ai ), puis g
g (Ai ).
i∈I Ai =
i∈I
i∈I Ai =
i∈I
6.
Sot E un ensemble et A,B ∈ P(E). Soit
f : P(E) → P(A) × P(B)
X 7→ (X ∩ A,X ∩ B).
Montrer
1. f injective ⇔ A ∪ B = E
2. f surjective ⇔ A ∩ B = ∅
7.
Sot E un ensemble et A,B ∈ P(E). Soit
f : P(E) → P(E) × P(E)
X 7→ (X ∪ A,X ∪ B).
Montrer
1. f est-elle surjective?
2. f injective ⇔ A ∩ B = ∅
8.
Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G.
Montrer que
1. (g ◦ f ) injective =⇒ f injective,
2. (g ◦ f ) injective et f surjective =⇒ g injective,
3. (g ◦ f ) surjective =⇒ g surjective,
4. (g ◦ f ) surjective et g injective =⇒ f surjective.
9.
Soient E un ensemble et f une application de E dans E
1. On suppose que f ◦ f = f . Montrer que, si f est injective ou surjective,
alors f = idE .
2. On suppose que f ◦ f ◦ f = f . Montrer que f est injective si, et seulement
si f est surjective.
telle que
10.
1. D´eterminer la relation d’´equivalence sur un ensemble E associ´e `a une
application injective f de E dans un autre ensemble F .
2

2. D´eterminer la relation d’´equivalence sur R associ´e `a la fonction f : R → R
d´efinie par f (x) = 2x5 + x3 + 3x + 1.
11.
Soit E un ensemble totalement ordonn´e par une relation d’ordre ≺. Montrer
que, si A et B sont deux parties non vides de E admettant chacune un ´el´ement
minimum (resp. maximum), alors il en est de mˆeme de A ∪ B, et on a min(A ∪
B) = min{minA,minB} (resp. max(A ∪ B) = max{maxA,maxB}).
12.
Soient E et F deux ensembles, f : E → F une application et ∼ la relation
d’´equivalence sur E associ´ee `a f .
−1

1. Montrer que la classe d’´equivalence de x ∈ E suivant ∼ est x
¯ = f (f (x)).
−1

En d´eduire que E/ ∼= { f (z) | z ∈ f (E)}.
2. Montrer qu’il existe une application g : E/ ∼→ F , et une seule, telle que
g(¯
x) = f (x). pour tout x ∈ E, qu’elle est injective et que g(E/ ∼) = f (E).
−1

Montrer que l’unique ant´ec´edent par g de z ∈ g(E/ ∼) est g (z).
3. Montrer que f est surjective ⇔ g est surjective ⇔ g est bijective; dans ce
cas donner la d´efinition explicite de g −1 .
4. Application. Soient a,b ∈ R∗ et f : R2 → R d´efinie par f (x,y) = ax + by.
On note ∼ la relation d’´equivalence sur R2 associ´ee `a f , et p la projection
canonique de R2 → R2 / ∼.
(a) Montrer que, pour tout (x,y) ∈ R2 , la classe d’´equivalence de (x,y)
suivant ∼ est (x,y) = {(x + α,y + β) | (α,β) ∈ (0,0)}.
−1

(b) Montrer que f est surjective et d´eterminer f (c) pour tout c ∈ R.
(c) Montrer qu’il existe une application g : R2 / ∼→ R et une seule, qui
v´erifie g ◦ p = f . Monter que g est bijective et donner la d´efinition
explicite de g −1 .
13.
´
1. Etant
donn´e deux ensembles finis A et B, d´emontrer la formule des quatre
cardinaux
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B).
2. Montrer la formule analogue pour trois ensembles finis
card(A ∪ B ∪ C) = card(A) + card(B) + card(C)
−card(A ∩ B) − card(A ∩ C) − card(B ∩ C)
+card(A ∩ B ∩ C).
3. Montre qu’en g´en´eral pour n ensembles finis Ai ,i ∈ I := {1, . . . ,n}, on a

P
P
card ∪i∈I Ai =
i,j∈I card(Ai ∩ Aj )
i∈I card(Ai ) −
i<j

P
+ i,j,k∈I card(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) + . . . + (−1)n−1 card ∩i∈I Ai
i<j<k

3

14.
Soit E de cardinal n, A ⊂ E de cardinal n1 et B ⊂ E de cardinal n2 . On
suppose A ∩ B = ∅.
1. D´eterminer le nombre de parties de E, ayant p ´el´ements dont un commun
avec A et un commun avec B.
2. Calculer le nombre de partie `a p ´el´ements dont les intersections avec A et
avec B comportent au moins un ´el´ement.
15.
Soient n,p ∈ N∗ et Sp,n le nombre de surjections d’un ensemble `a p ´el´ements
dans un ensemble `
a n ´el´ements.
1. On suppose p < n. Que veut Sp,n ?
2. Calculer Sn+1,n et Sp,2 .
Pn
3. Montrer que ∀n,p ∈ N∗ np = i=1 Cni Sp,i .
16.
1. Calculer la somme des cardinaux de toutes les parties d un ensemble E
fini `
a n ´el´ements.
2. Soit F une partie de E de cardinal k.
Trouver le nombre de couples (X,Y ) de P(E)2 n v´erifiant X ∩ Y = F . En
d´eduire
X
card(X ∩ Y ).
(X,Y )∈P(E)2

17.
Une permutation s ∈ Sn de l’ensemble I = {1,2, . . . ,n} est dite un d´erangement
si pour tout i ∈ I : s(i) 6= i. Soit Dn l’ensemble des d´erangements.
1. D´efinir l’ensemble compl´ementaire Sn \ Dn de Dn dans Sn et calculer son
cardinal.
2. En d´eduire le nombre dn de d´erangements.
Quelle est la limite de dn!n quand n tend vers l’infini?

Contact :
Khalid Koufany
Institut ´
Elie Cartan, bureau 226
Tel : 03 83 68 40 00 poste 84556
E-mail : koufany@iecn.u-nancy.fr

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