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Les Suites Numériques .pdf



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Facult´
e Polytechnique de Mons
Service de Math´
ematiques et Recherche
Op´
erationnelle

CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL
1`
ere Bachelier
Notes de cours

Fascicule 1 : calcul diff´erentiel

Jacques TEGHEM

2005 – 2006

• Ces notes sont principalement inspir´ees par les cours de calcul diff´erentiel et int´egral
des professeurs J.P. Gossez et L. Lemaire du D´epartement de Math´ematique de
l’Universit´e Libre de Bruxelles.
Les ouvrages principaux de r´ef´erence conseill´es aux ´etudiants sont
-DOUCHET J. ; ZWAHLEN B.
Calcul diff´erentiel et int´egral
(tomes 1 et 2 : th´eorie ; tomes 3 et 4 :exercices)
Presses polytechniques et universitaires romandes (1983-1989)
(dont sont extraites les annexes A et B).
-CHATTERJI S.D.
Cours d’analyse
(tome 1 : Analyse vectorielle)
Presses polytechniques et universitaires romandes (1997)
D’autres r´ef´erences utiles sont reprises ci-apr`es.
• Ces notes correspondent `a l’ensemble de la mati`ere vue au cours, `a l’exception de
diverses illustrations.
Les parties en petits caract`eres correspondent `a des d´emonstrations –voire `a l’une ou
l’autre notion– soit non vues au cours et fournies `a titre d’information, soit abord´ees
au cours mais dont la lecture peut ˆetre pass´ee.
En fin de volume, l’index reprend la plupart des notions d´efinies, avec indication des
pages correspondantes.
• Je tiens `a vivement remercier Madame Nicole VAST pour ses nombreux commentaires : ses remarques pr´ecises et judicieuses ont contribu´e `a am´eliorer le contenu de
ce volume. Qu’elle soit aussi remerci´ee, ainsi que Monsieur Berthold ULUNGU, pour
avoir assur´e la lourde et ingrate tˆache de la dactylographie.
Jacques Teghem
(Juin 2001)
Les notices bibliographiques sont bas´ees sur le livre de
HAUCHECORNE B. ; SURATTEAU D.
Des Math´ematiciens de A `a Z
Editions Ellipses (1996).

1


ef´
erences
• CHATTERJI S.D.
Cours d’analyse. Tome 1 : Analyse vectorielle
Presses polytechniques et universitaires romandes (1997)
• DOUCHET J. ; ZWAHLEN B.
Calcul diff´erentiel et int´egral (4 tomes)
Presses polytechniques et universitaires romandes (1983-1989)
• JORDAN D.W. ; SMITH P.
Mathematical techniques ; An introduction for the engineering physical and mathematical science
Oxford (1994)
• KRASNOV M. ; KISSELEV A. ; MAKARENKO G. ; CHIKINE E.
Math´ematiques sup´erieures, pour ing´enieurs et polytechniciens
De Boeck Universit´e (1993)
• PISOT C. ; ZAMANSKY M.
Math´ematiques g´en´erales
Dunod (1959)
• SWOKOWSKI
Analyse
De Boeck Universit´e (1993)

2

Table des Mati`
eres
I
I

LES REELS

8

Les nombres r´
eels
I.1 Construction des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.1 Le champ ordonn´e des rationnels . . . . . . . . . . . . .
I.1.2 D´efinition axiomatique des r´eels . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3 Principe de la construction de R `a partir de Q . . . . . .
I.2 Propri´et´es de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1 Th´eor`eme de la borne sup´erieure (inf´erieure) . . . . . . .
I.2.2 Valeur absolue d’un r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.3 Partie enti`ere et partie d´ecimale d’un r´eel . . . . . . . .
I.2.4 Propri´et´e d’Archim`ede . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.5 Densit´e de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3 El´ements de topologie dans l’espace vectoriel Rn . . . . . . . . .
I.3.1 L’espace vectoriel Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.2 Int´erieur, adh´erence et fronti`ere d’une partie de Rn . . .
I.3.3 Point isol´e et point d’accumulation d’une partie A de Rn
I.3.4 Ensembles ouverts ; ensembles ferm´es . . . . . . . . . . .
I.3.5 Recouvrement d’une partie A de Rn . . . . . . . . . . .
I.3.6 Partie connexe et partie connexe par arc de Rn . . . . .

II Les suites
II.1 Suites dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.2 Suite born´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.3 Sous-suite (ou suite partielle) . . . . . . . . . . .
II.1.4 Retour `a la topologie de Rn . . . . . . . . . . . .
II.1.5 Suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.6 Lien entre convergence dans Rn et dans R . . . .
II.2 Suites dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.1 Op´erations sur les suites convergentes . . . . . . .
II.2.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.3 Suites monotones ; limites sup´erieure et inf´erieure

3

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36

II.3 Crit`eres de convergence d’une suite (dans R)
II.3.1 Crit`ere de Cauchy . . . . . . . . . . .
II.3.2 Crit`ere de l’´etau (ou des pincettes) .
II.3.3 Crit`ere de d’Alembert . . . . . . . .
II.4 Quelques suites importantes (dans R) . . . .
II.4.1 Le nombre irrationnel e . . . . . . . .
II.4.2 Suite (1/k p ) (p > 0) . . . . . . . . . .

II.4.3 Suite (k p) (p > 0) . . . . . . . . . .

II.4.4 Suite (k k) . . . . . . . . . . . . . .
II.4.5 Suite (xk ) (|x| < 1) . . . . . . . . . .
II.4.6 La suite de Fibonacci . . . . . . . . .

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III Les s´
eries
III.1 D´efinitions et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.1 S´eries ; convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.2 Condition de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Crit`eres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.1 Crit`ere de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.2 Crit`ere de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.3 Crit`ere du quotient (ou de d’Alembert) . . . . . . . . . .
III.2.4 Crit`ere de la racine (ou de la limite sup´erieure) . . . . .
III.2.5 Crit`ere des s´eries altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.6 Convergence d’une s´erie de puissances . . . . . . . . . .
III.3 Op´erations sur les s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.1 R´earrangement d’une s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.2 Produit de deux s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.3 Produit au sens de Cauchy de deux s´eries . . . . . . . .
III.4 Quelques s´eries ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.4.1 La s´erie harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.4.2 La s´erie harmonique altern´ee . . . . . . . . . . . . . . . .
III.4.3 La s´erie g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.4.4 La s´erie de
Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P
1
III.4.5 La s´erie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k=1 k(k + 1)
∞ 1
P
III.4.6 La s´erie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k=0 k!
III.5 Fonctions d´efinies par des s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5.1 La fonction exponentielle (en base e) . . . . . . . . . . .
III.5.2 La fonction logarithme (en base e) : logarithme n´ep´erien
III.5.3 La fonction exponentielle en base a (a > 0) . . . . . . . .
III.5.4 La fonction logarithme en base a (a > 0) . . . . . . . . .
III.5.5 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
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III.5.6 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5.7 Fonctions hyperboliques r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5.8 Fonctions hyperboliques (r´eelles) r´eciproques . . . . . . . . . . . . .

II

LA CONTINUITE

65
67
69

73

IV Continuit´
e d’une fonction en un point
IV.1 D´efinition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.1 D´efinition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.2 Fonction r´eelle (m = 1) . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.3 Fonction r´eelle d’une variable r´eelle (m = n = 1) .
IV.2 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . .
IV.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.2 Caract´erisation de la limite en termes de suites .
IV.2.3 Crit`ere de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.4 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.5 Limites infinies et limites pour x → ±∞ . . . . .
IV.2.6 Limites `a gauche et `a droite . . . . . . . . . . . .
IV.2.7 Notations ”o” et ”O” (de Landau) . . . . . . . .
IV.3 Continuit´e d’une fonction en un point . . . . . . . . . . .
IV.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3.2 Continuit´e `a gauche et `a droite
Discontinuit´es de 1re et 2e esp`eces . . . . . . . . .
IV.3.3 Op´erations sur les fonctions continues en un point
IV.3.4 Fonctions monotones sur un intervalle . . . . . . .

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V Propri´
et´
es des fonctions continues
V.1 Continuit´e d’une fonction et topologie de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1.1 Caract´erisation d’une fonction continue en termes d’ouverts (ferm´es)
V.1.2 Cas particulier de A ouvert (ferm´e) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Connexit´e et th´eor`eme de la valeur interm´ediaire . . . . . . . . . . . . . . .
V.2.1 Image d’un ensemble connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2.2 Cas particulier m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2.3 Cas particulier m = n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.3 Fonction continue strictement monotone de R dans R . . . . . . . . . . . .
V.4 Fonction continue sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4.1 Image d’un compact par une fonction continue . . . . . . . . . . . .
V.4.2 Continuit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.5 Contraction et th´eor`eme du point fixe de Banach . . . . . . . . . . . . . .
V.5.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.5.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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V.6 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
V.6.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
V.6.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

III

LA DERIVABILITE

105

VI D´
erivabilit´
e d’une fonction en un point
VI.1 Fonction r´eelle d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . .
VI.1.1 D´eriv´ee d’une fonction en un point . . . . . . . . .
VI.1.2 Diff´erentielle d’une fonction en un point . . . . . .
VI.1.3 D´erivabilit´e et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 Fonction vectorielle d’une variable r´eelle . . . . . . . . . .
VI.3 Fonction vectorielle de plusieurs variables r´eelles . . . . . .
VI.3.1 D´eriv´ees directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.3.2 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.3.3 Insuffisance de la notion de la d´eriv´ee directionnelle
VI.3.4 Diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.3.5 Matrice Jacobienne de f en a . . . . . . . . . . . .
VI.4 R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.4.1 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.4.2 Formules de d´erivation . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.5 Vecteur gradient et hyperplan tangent . . . . . . . . . . .
VI.5.1 Vecteur gradient et direction de plus grande pente .
VI.5.2 Hyperplan tangent `a une hypersurface de Rn . . . .
VI.5.3 Hyperplan tangent au graphe de f . . . . . . . . .
VI.6 D´eriv´ees et diff´erentielles d’ordre sup´erieur . . . . . . . . .
VI.6.1 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . .
VI.6.2 Diff´erentielles d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . .
VI.7 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.7.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.7.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.7.3 Caract´erisation d’un extrema . . . . . . . . . . . .
VII Propri´
et´
es des fonctions d´
erivables
VII.1Formule des accroissement finis . . . . . . . . . . . . .
VII.1.1 Fonction r´eelle d’une variable r´eelle . . . . . . .
VII.1.2 Fonction r´eelle de plusieurs variables r´eelles . .
VII.1.3 Fonction vectorielle de plusieurs variables r´eelles
VII.2La r`egle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

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137
137
139
140
140

VII.3Propri´et´es des fonctions de C k (A, Rm ) . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.3.1 Espace vectoriel C k (A, Rm ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.3.2 Condition suffisante de diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . .
VII.3.3 Th´eor`eme de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.4D´eveloppement limit´e et formule de Taylor . . . . . . . . . . . . .
VII.4.1 Fonction r´eelle d’une variable r´eelle (m = n = 1) . . . . . .
VII.4.2 Fonction r´eelle de plusieurs variables r´eelles (n > 1 ; m = 1)
VII.4.3 M´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.5Caract´erisation de certains types de fonctions `a l’aide des d´eriv´ees
VII.5.1 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.5.2 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

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153

Partie I
LES REELS
Chapitre I

Les nombres r´
eels

Chapitre II

Les suites

Chapitre III

Les s´
eries

8

Chapitre I
Les nombres r´
eels
I.1
I.1.1

Construction des nombres r´
eels
Le champ ordonn´
e des rationnels

a) La notion de nombres sert de base `a l’analyse math´ematique.
En partant de l’ensemble des nombres naturels,
N = {0, 1, 2, . . .},
il est ais´e de construire l’ensemble des nombres entiers
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .},
et l’ensemble des rationnels
Q={

p
| p, q ∈ Z; q 6= 0}.
q

Rappelons les notations N0 = N \ {0} et de mˆeme Z0 , Q0 ;
ainsi que
Z+ = {z ∈ Z | z ≥ 0},
Q+ = {x ∈ Q | x ≥ 0}
Z− = {z ∈ Z | z ≤ 0},

Q− = {x ∈ Q | x ≤ 0}.

G´en´eralement, nous supposerons que p et q sont premiers entre eux, de sorte que la
fraction pq est irr´eductible.

9

b) • Un ensemble E est dit
– d´enombrable, s’il existe une bijection de N0 sur E ;
– au plus d´enombrable, s’il est fini ou d´enombrable.
Exemple : l’ensemble Z est d´enombrable, comme l’indique la bijection N0 −→ Z :

2n
7→ −n
(image des naturels pairs)
2n − 1 7→ n − 1 (image des naturels impairs)
• Propri´et´es ´el´ementaires des ensembles d´enombrables
1. Toute partie d’un ensemble d´enombrable est au plus d´enombrable.
2. L’image, par une fonction, d’un ensemble d´enombrable est au plus d´enombrable.
3. Le produit de deux ensembles d´enombrables est un ensemble d´enombrable.
4. La r´eunion d’une famille au plus d´enombrable d’ensembles au plus d´enombrables
est un ensemble au plus d´enombrable.
Il d´ecoule de ces propri´et´es que Q est d´enombrable puisque la fonction
p
−→ (p, q)
q

Q −→ Z × Z0 :

cr´ee une bijection entre Q et une partie de l’ensemble d´enombrable Z × Z0 .
c) D´
efinitions
c.1. Un ensemble E est dit ordonn´e s’il est muni d’un ordre, c’est-`a-dire d’une relation
binaire, not´ee ≤,
– r´eflexive : x ≤ x

∀ x ∈ E.

– transitive : x ≤ y, y ≤ z → x ≤ z

∀ x, y, z ∈ E.

– antisym´etrique : x ≤ y, y ≤ x → x = y

∀x, y ∈ E.

c.2. Soit A une partie d’un ensemble ordonn´e E, ≤.
x est un ´el´ement maximum (minimum) de A si
x ∈ A et y ≤ x ∀ y ∈ A

(x ∈ A et x ≤ y

Si un ´el´ement maximum (minimum) existe, il est unique.

10

∀ y ∈ A) .

c.3. • x ∈ E est un majorant (minorant) de A si
y≤x ∀y∈A

(x ≤ y

∀ y ∈ A) .

• x ∈ E est appel´e supremum (infimum) de A s’il est l’´el´ement minimum (maximum)
de l’ensemble des majorants (minorants) de A.
• Si un supremum (infimum) de A existe, il est unique.
• Si x est maximum (minimum) de A, alors x est supremum (infimum) de A.
• Si x est supremum (infimum) de A et x ∈ A, alors x est maximum (minimum)
de A.
c.4. Un ordre est dit total si
x ≤ y ou y ≤ x

∀ x, y ∈ E.

c.5. Un champ1 est dit ordonn´e s’il est muni d’un ordre total qui, de plus, v´erifie les deux
propri´et´es
• x≤y

→ x + z ≤ y + z ∀ x, y, z

• 0 ≤ x, 0 ≤ y →

0 ≤ x.y

∀ x, y.

Propri´et´e : Q, +, .; ≤ est un champ ordonn´e.
Remarque
Malgr´e que Q soit d´enombrable, entre deux rationnels distincts il existe toujours une infinit´e
de rationnels.

Par exemple, si pq < 1 < pq′ , on a
p
p+1
p+2
p′ + 2
p′ + 1
p′
<
<
< ··· < 1 < ··· < ′
< ′
< ′.
q
q+1
q+2
q +2
q +1
q
d)“Inad´
equation” de Q
L’ensemble des rationnels s’av`ere insuffisant pour r´epondre aux deux situations simples
suivantes.

d.1.

Certaines ´equations tr`es simples ne sont v´erifi´ees par aucun nombre rationnel;
par exemple,
6 ∃x ∈ Q | x2 = 2.

1

cf. cours d’Alg`ebre.

11


emonstration (par l’absurde).
Soit x = p
∈ Q – et fraction irr´
eductible – v´
erifiant x2 = 2. Il vient successivement
q



p2 = 2q 2 ⇒ p2 est pair ⇒ p est pair; soit p = 2r,
p2 = 4r 2 et donc q 2 = 2r 2 et d`
es lors q est pair.



p et q pairs contredit l’irr´
eductibilit´
e de la fraction p
.
q

Soient deux parties A et B de Q v´erifiant
a≤b
d.2.

∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B.

Il peut n’exister aucun rationnel y qui s´epare les parties A et B :
Pour certaines parties A et B,
6 ∃y ∈ Q | x ≤ y ∀ x ∈ A et y ≤ x ∀ x ∈ B.
Par exemple, c’est le cas pour
A = {x ∈ Q+ | x2 < 2} et B = {x ∈ Q+ | x2 > 2}.

emonstration (par l’absurde).

.

Soit un y ∈ Q r´
epondant a
` la question. En vertu de d.1., y 2 < 2 ou bien y 2 > 2
2



1 o`
=y+ k
u k ∈ N0 .

– Si y < 2, consid´
erons y
Il vient
2y

2
2
(y ) = y + k + 12 < y 2 + 2y+1
k
k


et il suffit de prendre k > 2y+1
2 pour avoir y ∈ A.
2−y

Or y < y ′ ; d`
es lors y ne r´
epond pas a
` la question.



– Si y 2 > 2, raisonnement similaire.

Cons´equence
Malgr´e le fait qu’entre deux rationnels distincts il existe toujours une infinit´e d’autres
nombres rationnels. . . il y a donc des “trous” dans Q.
Ainsi, si l’on repr´esente les rationnels sur une droite - munie de 0 et de 1 -, il existe
des points de la droite qui ne correspondent `a aucun rationnel.
L’objectif de la construction de l’ensemble des r´eels vise `
a “combler ces trous”.

12

I.1.2


efinition axiomatique des r´
eels

Soit un ensemble R, muni de deux lois internes + et ., auquel on impose les trois axiomes
suivants :

Axiome 1 R, +, . est un champ.
Axiome 2 Il existe une relation d’ordre total (≤) telle que
R, +, .; ≤ est un champ ordonn´e.
Axiome 3
Axiome de Dedekind
Soient A et B deux parties non vides de R v´erifiant
a≤b

∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B.

Il existe y ∈ R tel que
x≤y

∀x∈A

et

y≤x

∀ x ∈ B.

L’axiome 3 n’est donc pas v´erifi´e par Q : il impose de “combler les trous”.
Le champ des r´eels est le seul `a v´erifier simultan´ement ces trois axiomes, en ce sens que
tout champ qui les v´erifie est isomorphe `a R (avec respect, outre des lois + et ., de l’ordre
≤).
Cette fois, il existe une bijection entre l’ensemble R et les points de la droite (il s’agit du
postulat de Cantor2 -Dedekind3) : `a chaque r´eel correspond un et un seul point de la droite
(appel´ee d`es lors droite num´erique).
Remarque
L’axiome 3 peut ˆ
etre remplac´
e par l’axiome 3’ suivant4 .
Axiome 3’ : Soit A une partie non vide de R+
eel x ∈ R+ tel que
0 . Il existe un nombre r´






x≤a
∀ a∈A
∀ ǫ > 0, ∃aǫ ∈ A | aǫ ≤ x + ǫ

(D’apr`
es la caract´
erisation I.2.1.c.: x est un infimum de A).

2

CANTOR Georg (1845-1918), math´ematicien allemand n´e a` St Petersbourg de parents danois. Il fit
ses ´etudes a` Z¨
urich, a` Berlin et a` G¨
ottigen o`
u il soutint sa th`ese de doctorat (´ecrite en latin !). Il mourut
dans l’hˆ
opital psychiatrique de Halle. Th`emes de ses principaux travaux : th´eorie des ensembles; nombres
r´eels; topologie.
3
DEDEKIND Richard (1831-1916), math´ematicien allemand (n´e et mort a` Brunswick). Il enseigna a`

ottingen et a` l’Ecole Polytechnique de Zurich. Th`emes de ses principaux travaux: th´eorie des nombres
alg´ebriques; th´eorie des ensembles.
4
cf. Douchet et Zwahlen, p.2.

13

I.1.3

Principe de la construction de R `
a partir de Q

N.B. : Nous omettons volontairement les d´etails et v´erifications de cette construction, pour
nous en tenir `a son principe.

efinition d’une coupure
Soit A une partie non vide propre de Q (∅ =
6 A
A est une coupure si

Q).

• x ∈ A, y ∈ Q avec y ≤ x −→ y ∈ A ;
• A ne poss`ede pas de maximum.
Soit A l’ensemble de toutes les coupures. Au sein de A, il existe un sous-ensemble de
coupures particuli`eres:
Ar = {x ∈ Q | x < r}
∀ r ∈ Q.
Il existe une bijection entre l’ensemble de ces coupures particuli`eres et Q ; une coupure Ar
est appel´ee coupure rationnelle.

Il existe cependant d’autres coupures que les coupures rationnelles ; par exemple,
A = Q− ∪ {x ∈ Q+ | x2 < 2}.
Ces autres coupures sont appel´ees coupures irrationnelles.
a)

L’ensemble A peut ˆ
etre muni d’une loi interne + d´
efinie par
C = A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B}

∀ A, B ∈ A

o`
u Q−
u le sym´
etrique d’une coupure A est la coupure
O est le neutre de cette loi et o`
−A = {−x | x ∈ Q \ A, x 6= ´
el´
ement minimal (´
eventuel) de Q \ A}.

b)

L’ensemble A peut ˆ
etre ordonn´
e; par d´
efinition
A ≤ B si et seulement si A ⊂ B

c)

L’ensemble A peut ˆ
etre muni d’une loi interne . d´
efinie par


– si A > Q−
0 et B > Q0 : A.B = Q

S

{x.y|x ∈ A

T

Q+ , y ∈ B

T

Q+ }


– si A < Q−
0 et B > Q0 : A.B = −(−A).B

– si A > Q−
0 et B < Q0 : A.B = −A.(−B)

– si A < Q−
0 et B < Q0 : A.B = −(−A).(−B)


– si A = Q−
0 ou B = Q0 : A.B = Q0

14

∀ A, B ∈ A

Propri´
et´
es
1. L’ensemble A, +, .; ≤ est un champ ordonn´e.
2. Le champ A, +, .; ≤ v´erifie l’axiome de Dedekind.

emonstration

Soient A1 et A2 deux parties non vides de A v´
erifiant
A1 ≤ A2


efinissons C =

S
A1 ∈A1

∀ A1 ∈ A1 , ∀ A2 ∈ A2 .

A1 .

• C est une coupure.
• C v´
erifie A1 ≤ C ≤ A2

∀ A1 ∈ A1 , ∀ A2 ∈ A2



(cela d´
ecoule de la d´
efinition de C).

Le champ A, +, .; ≤ peut donc ˆetre identifi´e `a R, +, .; ≤ :
– `a un rationnel r, est associ´e la coupure rationnelle Ar ;
– `a un “trou” dans Q est associ´e la coupure irrationnelle form´ee de tous les rationnels
strictement inf´erieurs au “trou”. Ces nombres r´eels sont appel´es irrationnels.
N.B. : Si de la mˆeme mani`ere, on essaye de prolonger R en d´efinissant des coupures dans
R, on n’obtient rien de nouveau ´etant donn´e que toutes les coupures dans R sont de la
forme {x ∈ R|x < r} avec r ∈ R. Il n’y a donc pas de “trous” dans R.

I.2
I.2.1

Propri´
et´
es de R
Th´
eor`
eme de la borne sup´
erieure (inf´
erieure)

a)Intervalles born´
es
• Une partie de R qui est `a la fois major´ee et minor´ee est dite born´ee.
• D´efinissons, avec a < b,
– l’intervalle ferm´e : [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} ;

– l’intervalle ouvert : ]a, b[= {x ∈ R|a < x < b} ;
– les intervalles semi-ouverts :

]a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} et [a, b[= {x ∈ R|a ≤ x < b}.
• L’intervalle ouvert ]a−δ, a+δ[ est not´e B(a, δ) et appel´e boule ouverte de centre a et
de rayon δ (cf. I.3.2.a)).

15

b)Th´
eor`
eme
Dans R, toute partie non vide et major´ee (minor´ee) admet un supremum (infimum).
Dans R, les termes bornes sup´erieure et inf´erieure sont souvent utilis´es en lieu et place de
supremum et infimum.
D´emonstration :
Soit A ⊂ R, A 6= ∅ et major´ee. Consid´erons B = {majorants deA} =
6 ∅.
L’axiome de Dedekind indique
∃x ∈ R | a ≤ x ≤ b

∀ a ∈ A,

∀ b ∈ B.

La premi`ere in´egalit´e implique x ∈ B ; la seconde implique que x est le supremum de A.

c)Propri´
et´
e de caract´
erisation des bornes sup´
erieure et inf´
erieure
Soit A une partie non vide et born´ee de R.

x borne sup´erieure de A ⇐⇒



• y≤x
∀y∈A
• ∀ ε > 0 ∃y ∈ A | y > x − ε

⇐⇒



• x≤y
∀y∈A
• ∀ ε > 0 ∃y ∈ A | y < x + ε

x borne inf´erieure de A

D´emonstration : (pour la borne sup´erieure)
Condition n´ecessaire (⇒) :
x doit ´evidemment ˆetre un majorant de A.
Si ∃ ε > 0 | ∀ y ∈ A, y ≤ x − ε, alors x − ε serait un majorant plus petit que x, ce
qui est contradictoire avec l’hypoth`ese.
Condition suffisante (⇐) :
x est un majorant de A.
Si x n’est pas la borne sup´erieure de A, celle-ci serait de la forme x′ = x − ε et
v´erifierait x′ ≥ y ∀ y ∈ A, ce qui est contradictoire avec l’hypoth`ese.


16

d)La droite num´
erique achev´
ee
Elle est d´efinie par R = R∪{−∞, +∞} o`
u +∞ et −∞ sont deux ´el´ements suppl´ementaires
distincts et diff´erents des ´el´ements de R v´erifiant
−∞ < x < +∞

∀ x ∈ R.

Dans R, toute partie non vide A poss`ede des bornes sup´erieure et inf´erieure.
On peut alors noter les ensembles {x ∈ R | x > a} et {x ∈ R | x ≥ a} respectivement
par ]a, +∞[ et [a, +∞[. Ce sont les intervalles non born´es de R commen¸cant en a et
respectivement ouvert et ferm´e en a.
De mˆeme, on note
{x ∈ R | x < b} =] − ∞, b[

et

{x ∈ R | x ≤ b} =] − ∞, b].

Ce sont les intervalles non born´es de R finissant en b, et respectivement ouvert et ferm´e
en b .
L’ensemble R des r´eels est alors l’intervalle non born´e ] − ∞, +∞[.

I.2.2

Valeur absolue d’un r´
eel

Soit x ∈ R. La valeur absolue

5

de x est d´efinie par

−x si x < 0
|x| =
x si x ≥ 0.

La valeur absolue d’un r´eel v´erifie les propri´et´es suivantes

• |x| ≥0
 • | x | = | −x |

 • | x | ≤ r ⇐⇒ −r ≤ x ≤ r

 • | x − y | < ε ⇐⇒ x ∈ B(y, ε)

 • | x.y | = | x | . | y |

 • | x+y | ≤ | x | + | y |
(in´egalit´e triangulaire)
• | | x | − | y | | ≤ | x − y | (in´egalit´e triangulaire inverse)

5

cf. cours d’Alg`ebre pour une d´efinition g´en´erale de la valeur absolue sur un corps K.

17

I.2.3

Partie enti`
ere et partie d´
ecimale d’un r´
eel

• La partie enti`ere – not´ee [x] – de x ∈ R est le plus grand entier no ∈ Z v´erifiant
no ≤ x.
Il vient [x] ≤ x < [x] + 1 ∀ x ∈ R.
• D´efinissons
no = [x]
n1
le plus grand entier tel que no +
···
nk
le plus grand entier tel que no +

n1
10

≤x

n1
10

+

n2
102

+···+

nk
10k

≤x

p(x) = (0, n1 n2 . . . nk . . .) est la partie d´ecimale de x.
On a x = [x] + p(x) avec 0 < p(x) < 1.
Remarquons que ni ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} ∀ i ≥ 1 et x = sup{no +
k≥1

N.B. : 6 ∃ indice l | nk = 9

I.2.4

∀ k ≥ l.

k
P

l=1

nl
}.
(10)l

Propri´
et´
e d’Archim`
ede6
∀ x ∈ R, ∃ n ∈ N | n > x


emonstration : (par l’absurde)
Supposons qu’il existe x ∈ R | n ≤ x
n. Mais si n ≤ n

∀ n ∈ N. D`
es lors N est une partie major´
ee de R et en vertu du §I.2.1. elle poss`
ede une borne sup´
erieure

∀ n ∈ N, on a aussi n + 1 ≤ n c’est-`
a-dire n ≤ n − 1

∀ n ∈ N. Ceci est en contradiction avec le fait que n serait une borne



sup´
erieure de N.

N.B. : La propri´et´e s’´enonce de mani`ere ´equivalente :
∀ x, y ∈ R+
0 , ∃ n ∈ N | nx > y.
Un champ archim´edien est un champ ordonn´e qui v´erifie la propri´et´e d’Archim`ede.
R – mais aussi Q – est un champ archim´edien.

6

ARCHIMEDE (287-212 av. J.C.), n´e et mort a` Syracuse. Il s´ejourna notamment a` Alexandrie.
Outre ses inventions techniques et ses d´ecouvertes en physique, ses travaux math´ematiques rel`event de
l’arithm´etique et de la g´eom´etrie.

18

I.2.5

Densit´
e de Q dans R

Propri´
et´
e
Entre deux nombres r´eels distincts, il existe une infinit´e de nombres rationnels.
D´emonstration :
Soient x et y ∈ R avec x < y.
2
Consid´erons y−x
∈ R. En vertu de la propri´et´e d’Archim`ede,
2
<n
y−x
i
h
n(x+y)
; on a z ≤
Posons z =
2
∃n ∈ N |

y−x
1
> .
2
n

c’est-`a-dire
n(x+y)
2

(1)

(2)

< z + 1.

(3)

De (2) et de la premi`ere in´egalit´e de (3), il vient

z
1
x+y y−x
+ <
+
=y
n n
2
2
De (1) et de la deuxi`eme in´egalit´e de (3), il vient
x+y
z
1
< + .
2
n n
z
1
Ainsi le rationnel r1 = n + n appartient `a l’intervalle ]x, y[.
La d´emonstration se poursuit en r´ep´etant successivement le raisonnement avec x et r1 ,
x et r2 , . . .

x<

Corollaire

Q est dense dans R.

c’est-`a-dire qu’un nombre r´eel peut ˆetre approch´e d’aussi pr`es qu’on veut par des nombres
rationnels ; en effet, puisque ∀ x ∈ R, ∀ ε > 0, ∃ y ∈ Q | x ∈ B(y, ε).
Propri´
et´
e

R n’est pas un ensemble d´enombrable.

D´emonstration : (par l’absurde)
Il suffit de d´emontrer que l’intervalle [0, 1[ n’est pas d´enombrable.
Supposons que l’on puisse d´enombrer les ´el´ements x ∈ [0, 1[ en une suite (x1 , x2 , . . .).
Soit (0, ni1 , ni2 , . . .) le d´eveloppement d´ecimal de xi . Posons
m1 = 1
m2 = 1

si
si
..
.

n11 6= 1 ;
n22 6= 1 ;

m1 = 2
m2 = 2

si
si
..
.

n11 = 1;
n22 = 1;

mk = 1

si

nkk 6= 1 ;

mk = 2

si

nkk = 1.

(0, m1 , m2 , . . . , mk , . . .) est d´eveloppement d´ecimal d’un r´eel x ∈ [0, 1[ avec x 6= xi
19

∀ i. ♦

Corollaire

Q est strictement inclus dans R.

Les nombres de R \ Q sont appel´es irrationnels.
L’ensemble des irrationnels est donc non d´enombrable. Dans Q, il y a donc plus de “trous”
que de nombres !
NOTE
Nous renvoyons au cours d’Alg`ebre pour la d´efinition des nombres complexes. Rappelons
qu’un nombre complexe peut ˆetre consid´er´e comme un couple de r´eels; la diff´erence entre
C et R2 provient de l’introduction de l’op´eration de multiplication qui est diff´erente dans
les deux cas.
Le champ C ne peut pas ˆetre ordonn´e.

El´
ements de topologie dans l’espace vectoriel Rn

I.3
I.3.1

L’espace vectoriel Rn

• Rn est, par d´efinition, l’ensemble des n-uples de nombres r´eels :
xi ∈ R ∀ i.

x = (x1 , . . . , xn )

• Sur le corps R, Rn forme un espace vectoriel. Il peut ˆetre muni7
– d’une distance d(x, y) (espace m´etrique) ;
– d’une norme ||x|| (espace norm´e) ;

– d’un produit scalaire < x | y > (espace euclidien8 ).

A un produit scalaire, on peut associer une norme : ||x|| =

p

< x | x >.

A une norme, on peut associer une distance : d(x, y) = ||x − y||.
• Le produit scalaire le plus usuel – appel´e euclidien – est
< x | y >=

et donc ||x|| =



n
P

i=1

x2i

12

et d(x, y) =

n
X
i=1

n
X

xi yi

i=1

(xi − yi )2

! 21

• Une partie A de Rn est born´ee si ∃ M > 0 | ||x|| < M
7

.
∀ x ∈ A.

cf. cours d’Alg`ebre
EUCLIDE (300-275 av. J.C.). Sans doute d’origine grecque, probablement ´eduqu´e a` Ath`enes, il
s’installe a` Alexandrie. Son ouvrage fondamental “Les ´el´ements”, compos´e de 13 livres, regroupe toutes
les connaissances math´ematiques de l’´epoque, en g´eom´etrie m´etrique et en th´eorie des nombres.
8

20

I.3.2

Int´
erieur, adh´
erence et fronti`
ere d’une partie de Rn

a) Voisinage
La boule ouverte de centre a et de rayon r est d´efinie par
B(a, r) = {x ∈ Rn | ||x − a|| < r}.
On l’appelle encore voisinage de a : Vr (a).
La boule ferm´ee de centre a et de rayon r est d´efinie par
B(a, r) = {x ∈ Rn | ||x − a|| ≤ r}.
Dans R, les boules sont des intervalles :
B(a, r) =]a − r, a + r[

B(a, r) = [a − r, a + r].

et

b) Int´
erieur d’une partie de Rn
Soit A une partie de Rn .
• a est un point int´erieur de A si ∃ ε > 0 | B(a, ε) ⊂ A.
• L’int´erieur de A – not´e intA (ou ˚
A) – est l’ensemble de ses points int´erieurs ;
bien ´evidemment : intA ⊂ A.
L’int´erieur de B(a, r) est B(a, r).
L’int´erieur d’une partie non vide peut ˆetre vide (par exemple pour un segment de
droite dans R2 ).
• Il est ais´e de v´erifier

int(A ∪ B) ⊃ intA ∪ intB,
int(A ∩ B) = intA ∩ intB

(`a faire comme exercice) .

N.B. : Pour l’union, on ne peut ´ecrire l’´egalit´e comme le montre l’exemple suivant
dans R :
Si A = [a, c] et B = [c, b], alors
int (A ∪ B) =]a, b[

et

int(A) ∪ int(B) =]a, b[\{c}.

c) Adh´
erence d’une partie de Rn
• a est un point adh´erent `a A si
∀ ε > 0,

B(a, ε) ∩ A 6= ∅.
21

• L’adh´erence – ou fermeture – de A – not´ee adhA (ou A) – est l’ensemble de ses points
adh´erents ; bien ´evidemment, A ⊂ adh(A).
L’adh´erence de B(a, r) est B(a, r).
• Il est ais´e de v´erifier

adh(A ∪ B) = adhA ∪ adhB
adh(A ∩ B) ⊂ adhA ∩ adhB.

(`a faire comme exercice) ,

N.B. : Pour l’intersection, on ne peut ´ecrire l’´egalit´e comme le montre l’exemple
suivant dans R :
Si A =]a, c[ et B =]c, b[, alors
adh (A ∩ B) = ∅

et

adh(A) ∩ adh (B) = {c}.

• Propri´et´e :
intA = Co(adh(Co(A))) ;

adhA = Co(int(Co(A)))

o`
u Co(A) d´esigne le compl´ementaire de A dans Rn .

emonstration

a ∈ int(A)



int(Co(A))
⇒Co(int(Co(A)))

←→
←→
←→
←→
=
=
=

∃ ε > 0 | B(a, ε) ⊂ A
∃ ε > 0 | B(a, ε)∩ Co(A)= ∅
a∈
/ adh(Co(A))
a ∈ Co(adh(Co(A)))
Co(adh(Co(Co(A)))) (par la premi`
ere ´
egalit´
e)
Co(adh(A))
adh(A).

d) Lien entre supremum et adh´
erence dans R
Propri´et´e :

Soit A une partie non vide et major´ee de R :
sup A ∈ adhA

et

infA ∈ adhA.


emonstration : (par l’absurde; cas du supremum)
Si x = sup A ∈
/ adh(A), ∃ ε > 0 | ]x − ε, x + ε[∩A = ∅. Donc x − ε est un majorant de A, ce qui contredit le fait que x est le plus petit majorant



de A.

e) Fronti`
ere d’une partie de Rn
La fronti`ere de A – not´ee ∂A – est l’ensemble des points de Rn qui sont adh´erents simultan´ement `a A et `a Co(A).Un point de ∂A est appel´e point fronti`ere. Donc
x ∈ ∂A ⇐⇒ ∀ r > 0,



22

B(x, r) ∩ A 6= ∅
B(x, r) ∩ Co(A) 6= ∅.

On a donc aussi
∂A = adhA \ intA
puisque



x ∈ adhA
x ∈ adh(Co(A))=Co(intA)
x ∈ adhA
⇐⇒
x∈
/ intA.

x ∈ ∂A ⇐⇒

Les trois ensembles int(A), ∂A et int(Co(A)) forment une partition9 de Rn .

I.3.3

Point isol´
e et point d’accumulation d’une partie A de Rn

• a est un point isol´e de A si ∃ ε > 0 | B(a, ε) ∩ A = {a}.
• a est un point d’accumulation de A si ∀ ε > 0, B(a, ε) contient une infinit´e de points
de A; autrement dit tout voisinage de a contient une infinit´e de points de A.
L’ensemble des points d’accumulation est appel´e ensemble d´eriv´e.
• Pour que a soit un point d’accumulation de A, il faut et il suffit que tout voisinage
de a contienne un point de A distinct de a.
• Un point d’accumulation est un point adh´erent, mais la r´eciproque n’est pas vraie.
Les seuls points de adh(A) qui ne sont pas des points d’accumulation sont les points
isol´es de A.

I.3.4

Ensembles ouverts ; ensembles ferm´
es

a) D´
efinitions
• Une partie A de Rn constitue un ensemble ouvert si intA = A c’est-`a-dire si
∀ x ∈ A, ∃ r ∈ R | B(x, r) ⊂ A.
• A est un ensemble ferm´e si adhA = A.
• L’union, finie ou d´enombrable, d’ensembles ouverts est un ouvert.
L’intersection finie d’ensembles ouverts est un ouvert.
N.B. Il n’est pas vrai que l’intersection d´enombrable d’ensembles ouverts est toujours
un ouvert comme le montre l’exemple suivant dans R :
An =] −
9


\
1
1
, + [ n = 1, 2, . . . ⇒
An = {0} qui est un ferm´e
n n
n=1

cf. cours d’Alg`ebre.

23

• L’union finie d’ensembles ferm´es est un ferm´e.
L’intersection, finie ou d´enombrable, d’ensembles ferm´es est un ferm´e.
N.B. Il n’est pas vrai que l’union d´enombrable d’ensembles ferm´es est toujours un
ferm´e comme le montre l’exemple suivant dans R :

[
1
1
An = [−1 + , 1 − ] n = 1, 2, . . . ⇒
An =] − 1, +1[.
n
n
n=1

b) Propri´
et´
es
b.1. A ouvert ⇐⇒ Co(A) ferm´e.

emonstration :
A ouvert ⇐⇒ A = int(A) ⇐⇒ Co(A) = Co(int(A)) ⇐⇒ Co(A) = Co(intCo(Co(A)))=adh(Co(A)) ⇐⇒ Co(A) ferm´
e.



b.2. A est ferm´e ⇐⇒ Co(A) ouvert.
b.3. intA est le plus grand ouvert contenu dans A : c’est l’union de tous les ouverts
contenus dans A.
b.4. adhA est le plus petit ferm´e contenant A : c’est l’intersection de tous les ferm´es
contenant A.
c) Ensemble ouvert (ferm´
e) relativement `
a une partie A de Rn
Soient B ⊂ A ⊂ Rn
• B est ouvert relativement a
` A s’il existe un ouvert C de Rn tel que B = A ∩ C.
• B est ferm´
e relativement a
` A s’il existe un ferm´
e C de Rn tel que B = A ∩ C.
• Si B est un ensemble ouvert (ferm´
e), B est alors ouvert (ferm´
e) relativement a
` A.
• Si A est un ensemble ouvert (ferm´
e), B est alors ouvert (ferm´
e) relativement a
` A si et seulement si B est un ouvert (ferm´
e).
• B est ouvert relativement a
` A si et seulement si A \ B est ferm´
e relativement a
` A.

I.3.5

Recouvrement d’une partie A de Rn

Une famille Ai , i ∈ I de parties de Rn est un recouvrement de A si A ⊂
Si I est de cardinalit´e finie, le recouvrement est dit fini.

24

S

i∈I

Ai .

I.3.6

Partie connexe et partie connexe par arc de Rn

a) Partie connexe
D´efinition formelle
Une partie A de Rn est connexe, s’il n’existe pas d’ensembles ouverts B et C v´erifiant
simultan´ement

A ∩ B 6= ∅
 A ∩ C 6= ∅

 (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = ∅
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = A.
Autrement dit, A est connexe s’il n’est pas possible d’´
ecrire A sous la forme A = A1 ∪ A2 o`
u



A1 , A2 sont ouverts relativement a
` A
A1 6= ∅, A2 6= ∅ et A1 ∩ A2 = ∅.

D´efinition intuitive
Une partie A de Rn est connexe si celle-ci est “d’un seul morceau”.
Par exemple, l’ensemble A = A1 ∪ A2 de R2 d´ecrit par la figure suivante, n’est pas connexe.

Dans R, l’ensemble A =]0, 31 [∪] 23 , 1[ n’est pas connexe.

25

b) Chemin et partie connexe par arc
• Un chemin joignant x et y ∈ Rn est par d´efinition une application continue10
ϕ : [a, b] ⊂ R −→ Rn v´erifiant ϕ(a) = x et ϕ(b) = y.
• Une partie A de Rn est connexe par arc si, ∀ x, y ∈ A, il existe un chemin, enti`erement
contenu dans A (ϕ(t) ∈ A ∀ t ∈ [a, b]), joignant x et y.

c) Propri´
et´
es
(sans d´emonstration)
1. Dans R (n = 1), les notions de partie connexe et partie connexe par arc sont
´equivalentes. Elles correspondent aux intervalles de R.
2. Si une partie A de Rn est connexe par arc, alors A est connexe.
N.B. La r´eciproque n’est pas vraie : par exemple, dans R2 , la partie
1
A = {(x, sin ), x > 0} ∪ {(0, y), y ∈ [−1, 1]}
x
est connexe mais pas connexe par arc, car il n’y a pas de chemin allant d’un point x
du premier sous ensemble `a un point y du second; et pourtant on ne peut s´eparer A
en “deux morceaux disjoints”.
3.

10

Si A ⊂ Rn est ouvert et connexe, alors A est connexe par arc.

cf. chapitre IV

26

Chapitre II
Les suites
II.1
II.1.1

Suites dans Rn

efinitions

• Une suite de vecteurs de Rn est une application de N0 dans Rn :
k ∈ N0 7→ xk ∈ Rn .
xk est appel´e le terme g´en´eral (le k e terme) de la suite : il est d´efini explicitement ou
implicitement, par exemple par une formule de r´ecurrence donnant xk en fonction de
xk−1 .
• La suite (x1 , x2 , . . . , xk , . . .) ou (xk ) de vecteurs de Rn est dite convergente si


∃ x ∈ Rn | ∀ ε > 0 ∃ K ∈ N0 ||xk − x|| < ε

∀ k ≥ K.

De mani`ere ´equivalente, ||xk − x|| < ε peut s’´ecrire d(xk , x) < ε ou xk ∈ B(x, ε).
On dit que la suite (xk ) converge vers x ou que x est la limite de la suite :
x = lim xk ou encore xk → x.
k→∞

Une suite divergente est une suite non convergente.


– Si elle existe, la limite est unique (d´emonstration par l’absurde).
– La limite est un point d’accumulation de l’ensemble {xk , k ∈ N0 } si celui-ci
contient une infinit´e d’´el´ements diff´erents.
– S’il existe un certain k tel que deux suites (xk ) et (yk ) v´erifient xk = yk
alors (xk ) converge vers x si et seulement si (yk ) converge vers x.

∀ k ≥ k,

– Dans une suite convergente, on peut modifier l’ordre des vecteurs sans changer
ni le caract`ere convergent, ni la limite.
27

Remarques
• Le rang K d´epend du ε consid´er´e : K = K(ε).
d’´ecriture

C’est uniquement par facilit´e

que nous ne mentionnerons pas la d´ependance en ε.
• Les notions de suite et de convergence peuvent se g´en´eraliser `a n’importe quel espace
m´etrique1 .
• Dans R, la norme ||x|| est la valeur absolue |x|.
Dans C, la norme ||z|| est le module |z|.

II.1.2

Suite born´
ee


efinition
• Une suite (xk ) dans Rn est born´ee si l’ensemble {xk , k ∈ N0 } est born´e, c’est-`a-dire
si

+
∃ M ∈ R ||xk || ≤ M ∀ k ∈ N0 .
• Dans R, une suite (xk ) est major´ee (minor´ee) si

∃ M(M ) ∈ R | xk ≤ M (xk ≥ M) ∀ k ∈ N0 .
Une suite born´ee est alors une suite `a la fois major´ee et minor´ee : M = max(|M|, |M|).
Propri´
et´
e
Toute suite convergente est born´ee
D´emonstration :
Soit ε = 1. Vu le caract`ere convergent de (xk ), ∃ x, ∃K | {xk ; k ≥ K} ⊂ B(x, 1).
L’ensemble {xk ; k ≥ K} est donc born´e.
La propri´et´e d´ecoule du fait que {x1 , . . . , xK−1 } est aussi born´e (puisque fini).
La r´eciproque n’est ´evidemment pas vraie (cf. la suite (1, −1, 1, −1, . . .)).

II.1.3

Sous-suite (ou suite partielle)


efinition
Soit k1 < k2 < · · · < kl < · · · avec kl ∈ N0 , l ∈ N0 .
La suite (xkl , l ∈ N0 ) est une sous-suite de la suite (xk ; k ∈ N0 ).
1

Voir cours d’Alg`ebre.

28



Propri´
et´
e
Une sous-suite d’une suite convergente est elle-mˆeme convergente et
converge vers la mˆeme limite :
lim xk = x =⇒ lim xkl = x.

k→∞

l→∞

D´emonstration :
Pour ε > 0, ∃ K | ||xk − x|| < ε ∀ k ≥ K. Etant donn´e kl ≥ K ∀ l ≥ K, il vient
||xkl − x|| < ε ∀ l ≥ K, ce qui indique la convergence de la sous-suite (xkl ) vers x.

Notons qu’une suite divergente peut cependant poss´eder des sous-suites convergentes (cf.
la suite (1, −1, 1, −1, . . .)).

II.1.4

Retour `
a la topologie de Rn

Propri´
et´
e1
Soit A ⊂ Rn ; a ∈ adh A si et seulement s’il existe une suite d’´el´ements
de A qui converge vers a.
D´emonstration
Condition n´ecessaire (=⇒) :
Soit a ∈ adh A et posons εk = k1 , k ∈ N0 . Par d´efinition d’un point d’adh´erence, on a
B(a, εk ) ∩ A 6= ∅.
Soit xk ∈ B(a, εk ) ∩ A ; on a donc ||xk − a|| < εk . Il s’ensuit que la suite (xk ), avec
xk ∈ A, converge vers a.
Condition suffisante (⇐=) :
Soit lim xk = a, avec xk ∈ A ∀ k. D`es lors,
k→∞

∀ ε > 0, ∃ K | xk ∈ B(a, ε) ∀ k ≥ K
c’est-`a-dire
∀ ε > 0, B(a, ε) ∩ A 6= ∅.
Par cons´equent, a ∈ adh A.



29

Propri´
et´
e2
(sans d´emonstration)
Soit A ⊂ Rn . Les trois propositions suivantes sont ´equivalentes.
α) De toute suite de vecteurs de A, on peut extraire une sous-suite qui
converge vers un ´el´ement de A.
β) Toute partie infinie de A poss`ede un point d’accumulation dans A.
γ) De tout recouvrement de A par des ensembles ouverts, on peut extraire
un recouvrement fini.

efinition
Une partie A de Rn v´erifiant les conditions de la propri´et´e 2 est appel´ee compact.
Propri´
et´
e3
(sans d´emonstration)
Dans Rn , A compact si et seulement si A est born´ee et ferm´ee.
Remarque
La propri´et´e 2, et donc la d´efinition d’un compact, est valable dans un espace m´etrique
quelconque. Dans un tel espace, un compact A est n´ecessairement une partie born´ee et
ferm´ee ; toutefois, la r´eciproque n’est pas toujours v´erifi´ee.
Cependant dans Rn – et donc dans R – la r´eciproque est v´erifi´ee ce qui assure l’´equivalence
entre les notions de “compact” et de “partie born´ee et ferm´ee”.
Des propri´et´es 2 et 3 d´ecoulent les deux importants th´eor`emes suivants.
Th´
eor`
eme de Bolzano2 -Weierstrass3
Dans Rn ,
a) Toute partie A infinie et born´ee poss`ede un point d’accumulation.
b) Toute suite born´ee poss`ede une suite partielle convergente.
2

BOLZANO Bernhard (1781-1848), math´ematicien et philosophe tch`eque (n´e et mort a` Prague) mais
de langue et culture allemande. Th´eologien, il consacre son temps libre a` l’´etude des math´ematiques. Ses
travaux portent sur la logique, les fonctions continues et les ensembles infinis.
3
WEIERSTRASS Karl (1815-1897) math´ematicien allemand. D’abord professeur dans l’enseignement
secondaire, il devient ensuite professeur a` l’Universit´e de Berlin. Surnomm´e parfois le p`ere de l’analyse
moderne, il s’int´eresse a` de nombreux domaines : les s´eries, les fonctions continues, la convergence uniforme,
l’approximation polynˆ
omiale et l’alg`ebre lin´eaire (d´eterminant).

30

Th´
eor`
eme de Borel4 -Lebesgue5
Soit A une partie born´ee et ferm´ee de Rn .
De tout recouvrement de A par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini.

emonstration :
a) Toute partie A infinie et born´
ee poss`
ede un point d’accumulation dans adh A

• A est contenue dans adh A qui est une partie born´
ee et ferm´
ee et donc, en vertu de la propri´
et´
e 3, un compact.
• A est donc une partie infinie d’un compact.
• Par application de la propri´
et´
e 2 β) de la d´
efinition d’un compact, A poss`
ede un point d’accumulation.
b) Toute suite born´
ee poss`
ede une suite partielle convergente

• Soit A les ´
el´
ements de la suite ;
• A est contenue dans adh A qui est un compact ;
• A est donc une suite dans un compact ;
• Par application de la propri´
et´
e 2 α), on peut extraire une sous-suite de A qui converge vers un ´
el´
ement de adh A.
c) (Borel-Lebesgue)
• A est une partie born´
ee et ferm´
ee de Rn et donc un compact ;
• Par application de la propri´
et´
e 2 γ), on a le th´
eor`
eme.



II.1.5

Suite de Cauchy6


efinition
Une suite (xk ) de Rn est dite de Cauchy si

4



∀ ε > 0, ∃ K ∈ N0 ||xk − xl || < ε ∀ k, l ≥ K.

BOREL Emile (1871-1956) math´ematicien fran¸cais, fait ses ´etudes a` l’Ecole Polytechnique et a` l’Ecole
Normale Sup´erieure; il enseigne d’abord dans cette ´ecole, puis a` la Sorbonne. Emprisonn´e par le r´egime
de Vichy, puis r´esistant. Ses travaux concernent les fonctions r´eelles, les s´eries, la th´eorie de la mesure et
les probabilit´es.
5
LEBESGUE Henri (1875-1941), fils d’un ouvrier typographe, il fait des ´etudes a` l’Ecole Normale
Sup´erieure. Il enseigne dans diff´erentes universit´es avant d’ˆetre nomm´e au Coll`ege de France et a` l’Acad´emie
des Sciences. Ses travaux portent sur la th´eorie de la mesure : il d´efinit une nouvelle th´eorie de l’int´egrale,
ouvrant notamment la voie a` l’axiomatisation de la th´eorie des probabilit´es de Kolmogorov.
6
CAUCHY Augustin Louis (1789-1857), math´ematicien fran¸cais. Entr´e a` 16 ans a` l’Ecole Polytechnique, il devient ing´enieur militaire avant de se consacrer aux math´ematiques. A 27 ans il est nomm´e a`
la Facult´e des Sciences de Paris, a` l’Ecole Polytechnique; au Coll`ege de France et membre de l’Acad´emie
des Sciences. Ses travaux concernent tous les domaines des math´ematiques, en particulier les fonctions
holomorphes, les ´equations diff´erentielles, la th´eorie des groupes et l’alg`ebre lin´eaire. On lui doit aussi des
travaux en physique (th´eorie de l’´elasticit´e) et en astronomie.

31

Propri´
et´
e
Une suite (xk ) de Rn est une suite de Cauchy si et seulement si elle est convergente.
D´emonstration :
1. Une suite convergente est une suite de Cauchy.
Supposons qu’il existe un x tel que

ε
ε

∀ k ≥ K.
∀ > 0, ∃ K ||xk − x|| <
2
2
De la d´efinition d’une norme, on d´eduit
ε ε
||xk − xl || ≤ ||xk − x|| + ||x − xl || < + = ε ∀ k, l ≥ K.
2 2
2. Dans Rn , toute suite de Cauchy est convergente.
• Cas n = 1
Dans ce cas, la norme est ´equivalente `a la valeur absolue. Ainsi, pour ε = 1,


∃ K ∈ N0 |xk − xK | < 1 ∀ k ≥ K ;
par cons´equent,

|xk | ≤ max{1 + |xK | , |xK−1 | , |xK−2 |, . . . , |x1 |} ∀ k ∈ N0
et la suite (xk ) est born´ee.
Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass indique qu’il existe une sous-suite
(xkl ; l ∈ N0 ) convergente; si x est sa limite, on a

ε
ε

∀ > 0, ∃ L ∈ N0 |xkl − x| <
∀ kl ≥ L.
2
2
De plus, par d´efinition de la suite de Cauchy,

ε

∀ p, q ≥ K.
∃K |xp − xq | <
2
D`es lors, il vient, ´etant donn´e kl ≥ l,
ε ε
|xl − x| ≤ |xl − xkl | + |xkl − x| < + = ε ∀ l ≥ max(K, L).
2 2
Ce qui prouve la convergence de la suite (xk ).
• Cas n > 1
Le raisonnement ci-dessus peut ˆetre refait pour chaque coordonn´ee des vecteurs
de Rn ; la d´emonstration utilise alors la propri´et´e du paragraphe suivant.

Remarque
Le point a) de cette d´emonstration est valable quel que soit l’espace m´etrique ; il n’en est
pas de mˆeme pour le point b).
32


efinition
Un espace dans lequel toute suite de Cauchy est convergente est dit complet.
L’espace Rn est complet ; et donc, R et C sont aussi des espaces complets.

Lien entre convergence dans Rn et dans R

II.1.6

Propri´
et´
e
La convergence dans Rn ´equivaut `a la convergence dans R pour chaque composante.
Notons (xk )i , i = 1, . . . , n les composantes du vecteur xk . L’´enonc´e s’´ecrit donc
lim xk = x dans Rn ⇐⇒ lim (xk )i = (x)i

k→∞

k→∞

∀ i.


emonstration :
• ⇒ : La propri´
et´
e d´
ecoule de l’in´
egalit´
e

0
|(xk )i − (x)i | ≤

n
X

(xk )j − (x)j

2

11
A

2

= ||xk − x||

j=1

• ⇐ : La propri´
et´
e d´
ecoule de l’in´
egalit´
e
||xk − x|| ≤

n
X

| (xk )j − (x)j ) |

j=1



(et de la propri´
et´
e 1.α) du §II.2.1 ci-dessous).

II.2

Suites dans R

II.2.1

Op´
erations sur les suites convergentes

Propri´
et´
e1

Somme ; Produit ; Division

Soient deux suites convergentes dans R telles que lim xk = x et lim yk = y.
k→∞

Alors
(α)
(β)

k→∞

lim (xk + yk ) = x + y

k→∞

lim (xk yk ) = x.y

k→∞

xk
k→∞ yk

(γ) Si y 6= 0(et donc yk 6= 0 pour k suffisamment grand), lim

emonstration :

α) Pour ε > 0,

8
>
∃ K1 ∈ N0
>
>
<






|xk − x| < ε
2

k ≥ K1

>
>
>
: ∃ K2 ∈ N0






|yk − y| < ε
2

k ≥ K2 ;

d`
es lors,
|xk + yk − (x + y)| ≤ |xk − x| + |yk − y| <

33

ε
2

+

ε
2



∀ k ≥ max(K1 , K2 ).

=

x
y

β)
|xk yk − x.y|

|xk (yk − y) + y(xk − x)|
|xk ||yk − y| + |y||xk − x|

=


En vertu de la propri´
et´
e II.1.2., on a




∃ M > 0 |xk | ≤ M
Par ailleurs, pour



|yk − y| < ε

2M


> 0, ∃ K2 |xk − x| <

8
>

>
>
< ε =

ε > 0, ∃ K
1
2M

>
>
>
: ε′ =

ε
2(1+|y|)

Il en d´
ecoule
|xk yk − xy| < M

∀k ∈ N0 ;

ε
2M

+

|y|

ε

(1 + |y|) 2

ε

<

2

+

ε
2

∀ k ≥ K1
ε
2(1+|y|)

∀ k ≥ max(K1 , K2 ).





γ)


|y|
|y|
Comme |y| =
6 0, pour ε = 2 > 0, ∃ K1 |yk − y| < 2


ε |y|2 , ∃ K |y − y| <
Par ailleurs, pour ε′ = 2
2
k

ε |y|2
2

|y|

∀ k ≥ K1 et donc |yk | > 2

1
yk



1
y

|=

2
ou |y1 | < |y|
k

∀ k ≥ K1 .

∀ k ≥ K2 .

On en d´
eduit
|

∀ k ≥ K2 .

|y − yk |
|yk ||y|

<

2
|y|

.

ε|y|2
2|y|

∀ k ≥ max(K1 , K2 ) ;



ce qui montre que
lim

1

=

k→∞ yk

1
y

.

La propri´
et´
e d´
ecoule alors du point β).



Bien sˆ
ur, il est possible que les suites (xk + yk ), (xk yk ) et
(xk ) et (yk ) convergent.
Propri´
et´
e2

convergent, sans que les suites

Quotient de deux suites polynomiales
p

Soient xk =

xk
yk

X
i=0

q
X

i

αi k , avec αp 6= 0 et yk =

• Si p > q , la suite
• Si p ≤ q , la suite


xk
yk


xk
yk

j=0

diverge.
converge :




 ∗ p=q
D´emonstration :
On peut ´ecrire

xk
yk

x′

:



 ∗ p<q

= k p−q . y′k avec x′k =
k

La propri´et´e d´ecoule de

x′
• lim y′k
= αβqp
k→∞ k





1 si p = q
p−q
• lim k
=
0 si p < q,
k→∞

βj k j , avec βq 6= 0.

p
P

i=0

:

αi

k p−i

lim

k→∞

lim

k→∞


xk
yk



et yk′ =

xk
yk

q
P

j=0

=

αp
βq

= 0.

βj
.
k q−j

mais (k p−q ) diverge si p > q.

34

Remarques
• On dit que deux suites (xk ) et (yk ) ont le mˆeme comportement asymptotique si et
seulement si
xk
lim
= 1.
k→∞ yk
On note cette ´equivalence asymptotique
xk ∼ yk .
• On utilise aussi les notations (cf. §IV.2.7)
xk = o(yk )

ssi

lim xk
k→∞ yk

=0

xk = O(yk ) ssi ∃ c ∈ R, ∃ K | |xk | ≤ c|yk | ∀ k ≥ K
En particulier (cf. §IV.2.7)
Propri´
et´
e3

k α = o(ek )

∀ α ∈ R+ .

Conservation de la lin´
earit´
e et de l’ordre

Soient lim xk = x et lim yk = y.
k→∞

k→∞

∀ α, β ∈ R ;

(α) lim (αxk + βyk ) = αx + βy
k→∞

(β) Si xk ≤ yk

∀ k ≥ K , alors x ≤ y.


emonstration :
(α). Imm´
ediat.
:
(β). Par l’absurde : supposons x > y. Pour ε = x−y
4
∃K1 | xk ∈ B(x, ε) ∀ k ≥ K1 ce qui implique xk > x − ε > x − x−y
= x+y
.
2
2
∃K2 | yk ∈ B(y, ε) ce qui implique yk < y + ε < y +

x−y
x+y
= 2 .
2



Ces deux in´
egalit´
es contredisent l’hypoth`
ese.

Remarque
On ne peut affirmer que xk < yk

∀k ≥ K implique x < y.

Propri´
et´
e4
Si lim (xk − yk ) = 0, alors
k→∞

– soit les deux suites (xk ) et (yk ) convergent vers la mˆeme limite ;
– soit ces deux suites divergent.
D´emonstration :
Il suffit de montrer que si lim xk = x, alors lim yk = x.
k→∞

k→∞

Puisque yk = xk − (xk − yk ), ceci d´ecoule de l’hypoth`ese et de la propri´et´e 1, point (α). ♦
35

Propri´
et´
e5
lim xk = x =⇒ lim |xk | = |x|

k→∞

k→∞

D´emonstration : D´ecoule de | | xk | − | x | | ≤ | xk − x | .

II.2.2



Limites infinies

• Nous dirons qu’une suite divergente tend vers +∞ (ou −∞) si
∀r > 0, ∃ K ∈ N0 | xk ≥ r (ou xk ≤ −r) ∀ k ≥ K.
On ´ecrit alors lim xk = +∞ (ou − ∞).
k→∞

• Relations ´el´ementaires
(
)
lim xk = +∞(−∞)
k→∞

(yk ) born´ee


(

k→∞



(

(xk ) born´ee
lim yk = +∞(−∞)

lim xk = +∞(−∞)

yk ≥ xk (yk ≤ xk ) ∀ k ≥ K

k→∞

)

)



k→∞



k→∞



lim xk
k→∞ yk

lim (xk + yk ) = +∞(−∞).

lim yk = +∞(−∞).

= 0.

Par contre, on ne peut rien dire
– de la suite (xk + yk ) si lim xk = +∞ et lim yk = −∞.
k→∞

k→∞

– de la suite (xk yk ) si lim xk = 0 et lim yk = +∞(−∞).
k→∞

II.2.3

k→∞

Suites monotones ; limites sup´
erieure et inf´
erieure

a) Suites monotones
• D´efinition : Une suite (strictement) monotone est une suite (strictement) croissante
c’est-`a-dire telle que xk ≤ (<)xk+1 ou (strictement) d´ecroissante c’est-`a-dire telle que
xk ≥ (>)xk+1 .
N.B. La notion de suite monotone perd son sens dans Rn .

36

• Propri´et´e

Convergence des suites monotones

α) Toute suite croissante (d´ecroissante) et major´ee(minor´ee) est convergente.
β) Toute suite croissante (d´ecroissante) et non-major´ee (minor´ee) est divergente
mais tend vers +∞(−∞).
D´emonstration : (cas suite croissante)
α) Puisque l’ensemble {xk ; k ∈ N0 } est non vide et major´e, il poss`ede un supremum :
Par d´efinition du supremum,

soit x = sup{xk ; k ∈ N0 }.

∀ ε > 0, ∃ K | xK > x − ε ;

comme la suite est croissante, il vient

xk > x − ε

c’est-`a-dire, comme xk ≤ x ∀ k,

xk ∈ B(x, ε)

c’est-`a-dire

∀k≥K
∀ k ≥ K,

lim xk = x.

k→∞

β) D´ecoule imm´ediatement du fait que
∀ r > 0, ∃ K | xk ≥ r

∀ k ≥ K.



b) Limites sup´
erieure et inf´
erieure d’une suite
• D´efinition : Soit xk une suite born´ee et consid´erons
"
ak = sup{xl ; l ≥ k}
bk = inf{xl ; l ≥ k}.

Les suites (ak ) et (bk ) sont respectivement d´ecroissante et croissante, et toutes deux
born´ees ; elles sont donc convergentes en vertu de la propri´et´e du point a) de cette
section.
Soit a et b leurs limites ; par d´efinition, ce sont respectivement les limites sup´erieure
et inf´erieure de la suite (xk ). Autrement dit
li m sup xk = lim (sup{xl ; l ≥ k})
k→∞

k→∞

li m inf xk = lim (inf{xl ; l ≥ k}) .
k→∞

k→∞

Bien ´evidemment, li m inf xk ≤ li m sup xk .
k→∞

k→∞

37

• Propri´et´e

Caract´erisation des limites sup´erieure et inf´erieure

li m sup xk (li m inf xk ) est le plus grand (plus petit) nombre x tel qu’il
k→∞
k→∞
existe une sous-suite de la suite (xk ) qui converge vers x.
D´emonstration :
– Soit x = lim ak = li m sup xk . Construisons une sous-suite (xkl ) qui converge
k→∞
k→∞
vers x.
Par d´efinition des supremum ak ,


∃ k1 ≥ 1 | a1 − xk1 | < 1


∃ k2 > k1 | ak1 +1 − xk2 | <



∃ k3 > k2 | ak2 +1 − xk3 | <

1
2
1
3

···

La suite partielle (xkl , l ∈ N0 ) ainsi construite converge vers la mˆeme limite que
la suite partielle (a1 ; akl +1 , l ≥ 1), c’est-`a-dire vers x en vertu de la propri´et´e du
§II.1.3.

– Montrons `a pr´esent qu’il n’existe aucune sous-suite de (xk ) qui converge vers un
nombre x′ > x.
Pour ε v´erifiant 0 < ε < x′ − x, on a
∃ K | ak < x + ε < x′

∀ k ≥ K (puisque lim ak = x).
k→∞

Ceci implique que
xk < x + ε < x′

∀ k ≥ K.

Il est donc impossible de trouver une sous-suite de (xk ) qui converge vers x′ . ♦
c) Propri´
et´
e de caract´
erisation d’une suite convergente
La suite (xk ) converge vers x si et seulement si
li m sup xk = li m inf xk = x.
k→∞

k→∞

D´emonstration :
Condition suffisante (⇐) :
Puisque lim ak = lim bk = x, on a
k→∞

k→∞

∀ ε > 0, ∃K | x − ε ≤ bk ≤ ak ≤ x + ε
38

∀ k ≥K;

par cons´equent,
x − ε ≤ xk ≤ x + ε

c’est-`a-dire

∀k≥K

lim xk = x.

k→∞

Condition n´ecessaire (⇒) :
Puisque lim xk = x, on a
k→∞

par cons´equent,

∀ ε > 0, ∃ K | x − ε ≤ xl ≤ x + ε

et
c’est-`a-dire

∀ l≥K;

x − ε ≤ ak ≤ x + ε

∀k≥K

x − ε ≤ bk ≤ x + ε

∀k≥K

lim ak = x = lim bk .

k→∞

k→∞



II.3
II.3.1

Crit`
eres de convergence d’une suite (dans R)
Crit`
ere de Cauchy
Si la suite (xk ) est de Cauchy, elle converge.

(cf.§II.1.5.)

II.3.2

Crit`
ere de l’´
etau (ou des pincettes)

Si
alors

(

⋆ ∃K | lk ≤ xk ≤ uk ∀ k ≥ K
⋆ lim lk = lim uk = x,
k→∞

k→∞

lim xk = x.

k→∞

D´emonstration :
∀ ε > 0,
d`es lors,
c’est-`a-dire



∃K1 | uk < x + ε
∃K2 | lk > x − ε

−ε < lk − x ≤ xk − x ≤ uk − x < ε

∀ k ≥ K1
∀ k ≥ K2 ;
∀ k ≥ max(K1 , K2 )

lim xk = x.

k→∞


39

Corollaire
Si (xk ) est une suite born´ee et lim yk = 0, alors lim (xk yk ) = 0.
k→∞


emonstration :

k→∞




Puisque (xk ) est born´
ee, ∃M > 0 0 ≤ |xk yk | ≤ M |yk | ; il suffit alors d’appliquer le crit`
ere pr´
ec´
edent

.



Crit`
ere de d’Alembert7 (ou du quotient)

II.3.3



xk+1
= α.
Soit lim
k→∞
xk

• Si α < 1, la suite (xk ) converge vers z´ero.

• Si α > 1, la suite (xk ) diverge.
D´emonstration :
• Cas α < 1 :
Soit β = α + ε | α < β < 1. De l’hypoth`ese, on d´eduit


xk+1
<β ∀ k ≥K;
∃ K |
xk
d’o`
u

Consid´erons la suite




∃ K |xk | ≤ β k−K |xK |

uk = | xk |
uk = β k−K | xK |

∀ k ≥ K.

k = 1, . . . , K − 1,
∀ k ≥ K;

on a lim uk = 0.
k→∞

Etant donn´e 0 ≤ |xk | ≤ uk , il d´ecoule du crit`ere pr´ec´edent que lim |xk | = 0 et donc
k→∞

que lim xk = 0.
k→∞

• Cas α > 1 :
Soit β = α − ε | 1 < β < α. De l’hypoth`ese, on d´eduit (comme ci-haut)


∃K | xk | ≥ β k−K | xK | ∀ k ≥ K.

Comme la suite (uk ) – d´efinie pr´ec´edemment – n’est pas born´ee, il en r´esulte que la
suite (xk ) non plus et qu’elle est divergente.


7

d’ALEMBERT Jean (1717-1783), n´e et mort a` Paris, fils ill´egitime d’un chevalier et d’une marquise
qui l’abandonne sur le parvis d’une ´eglise. Il suit des ´etudes de droit et de m´edecine avant de s’int´eresser
aux math´ematiques ; philosophe, il participe aussi a` la r´edaction de l’Encyclop´edie. Ses principales contributions math´ematiques concernent les polynˆ
omes, les nombres complexes, l’analyse et la th´eorie des
probabilit´es.

40

II.4
II.4.1

Quelques suites importantes (dans R)
Le nombre irrationnel e
lim

k→∞



1
1+
k

k

=e

Soit xk = (1 + k1 )k
• La suite (xk ) est major´ee (par 3)
En vertu du binˆome de Newton (Ckl =

k!
,
l!(k−l)!

k ≥ l),

(1 + k1 )k = 1 + Ck1 ( k1 ) + Ck2 ( k1 )2 + · · · + Ckl ( k1 )l + · · · + Ckk ( k1 )k
= 1 + 1 + 2!1 1(1 − k1 ) + · · · + l!1 1(1 − k1 ) . . . (1 −
+ k!1 1(1 − k1 ) . . . (1 −
< 1+1+

1
2!

+···+

< 1 + 1 + 12 + · · · +
= 1+
< 3

1
l!

l−1
)
k

+···

k−1
)
k

+···+

1
2l−1

1
k!

+···+

1
2k−1

(car

1
l!



1
2l−1

pour l ≥ 2)

1−( 21 )k
1− 12

• La suite (xk ) est croissante
(1 + k1 )k < 1 + 1 + 2!1 1(1 −
+ k!1 1(1 −
=

1+

1
)
k+1

1
) . . . (1
k+1

+ · · · + l!1 1(1 −



k−1
)
k+1

+

1
) . . . (1
k+1

1
1(1
(k+1)!





l−1
)
k+1

1
) . . . (1
k+1



+···
k
)
k+1

k+1
1
k+1

• Il r´esulte du point a) du §II.2.3, que la suite (xk ) est convergente.

Nous posons

k

1
lim 1 +
= e;
k→∞
k

e est un nombre r´eel (irrationnel) appel´e nombre neperien8 ;
e = 2, 71828....
8

NAPIER John (1550-1617), math´ematicien et th´eologien protestant ´ecossais, plus connu sous son nom
francis´e NEPER. Connu a` son ´epoque, par un ouvrage condamnant le catholicisme et mettant en garde
le roi d’Ecosse contre tout rapprochement avec le roi catholique d’Espagne, Philippe II. Inventeur du
logarithme, on lui doit aussi des r´esultats en trigonom´etrie sph´erique.

41

II.4.2
1
= 0.
k→∞ k p

Si p > 0, lim

II.4.3
Si p > 0, lim

k→∞


k

p = 1.

II.4.4
lim

k→∞


k

k = 1.

II.4.5
Si |x| < 1, lim xk = 0.
k→∞

II.4.6

La suite de Fibonacci9

Elle est d´efinie de mani`ere r´ecurrente par

= 0;
 x0
x1
= 1;

xn+2 = xn + xn+1 .



xn+1
Le quotient xn converge vers le nombre 1+2 5 appel´e nombre d’or.
(D´emonstration de ces 5 r´esultats : cf. exercices)

9

FIBONACCI L´eonardo (1180-1250), math´ematicien italien. Il s’int´eresse aux math´ematiques arabe
et grecque, et contribue a` l’introduction des nombres arabes en Occident. Ces ouvrages concernent la
g´eom´etrie et la r´esolution d’´equations.

42

Chapitre III
Les s´
eries
III.1


efinitions et propri´
et´
es g´
en´
erales

III.1.1


eries ; convergence

• On appelle s´erie une “somme infinie” du type

X

xk .

k=1

xk est le terme g´en´eral de la s´erie.
Une s´erie est donc d´efinie `a partir d’une suite (xk ; k ∈ N0 ).
• On appelle suite des sommes partielles, la suite (sk ; k ∈ N0 ) d´efinie par
sk =

k
X

xl .

l=1

• La s´erie


P

xk est dite convergente si la suite des sommes partielles (sk ) est conver-

k=1

gente. La limite de cette suite
s = lim sk
k→∞

est alors appel´ee la somme de la s´erie
s=


X

xk .

k=1

• La s´erie est dite divergente si elle ne converge pas.

43

Remarques
1. Sauf sp´ecification, nous supposerons g´en´eralement que xk ∈ C. Les r´esultats
couvrent donc aussi le cas xk ∈ R.


P
P
2. La s´erie
xk converge dans C si et seulement si les s´eries
Re(xk ) et

P

k=1

k=1

k=1

Im(xk ) convergent dans R.

3. Tout r´esultat relatif aux s´eries peut s’´enoncer en termes de suite et r´eciproquement,
´etant donn´e les ´equivalences
 ∞
P


xk converge ⇔ (sk ) converge


 k=1




 (xk ) converge

4. Si la s´erie


P




P

k=1

yk converge avec y1 = x1 ; yk = xk − xk−1 ∀ k ≥ 2

xk converge, on a lim


P

l→∞ k=l

k=1

xk = 0

5. S’il existe k tel que xk = yk ∀ k ≥ k, alors les deux s´eries
toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.

III.1.2


P

k=1

xk et


P

yk sont

k=1

Condition de convergence

• De la d´efinition de la convergence, et du fait que l’espace C est complet (cf. §II.1.5),
on d´eduit que
la s´erie


P

xk converge si et seulement si la suite sk est de Cauchy

k=1

c’est-`a-dire

∀ ε > 0, ∃ K | | sk − sl | < ε ∀ k > l ≥ K.

Il en d´ecoule imm´ediatement les deux propri´et´es suivantes.
Propri´
et´
e1

Crit`
ere de Cauchy

(condition n´ecessaire et suffisante de convergence)

La s´erie


P

xk converge si et seulement si

k=1

P
k

∀ ε > 0, ∃K |
xm | < ε
m=l+1

44

∀ k > l ≥ K.

Propri´
et´
e2

Condition n´
ecessaire de convergence
Si la s´erie


P

xk converge, alors lim xk = 0.
k→∞

k=1

N.B Ceci n’est pas une condition suffisante (cf. s´erie harmonique §III.4.1).
• Supposons xk ∈ R+ (R− ) ∀ k. Dans ce cas, la suite (sk ) est monotone croissante
(d´ecroissante); la propri´et´e ci-dessous d´ecoule alors du §II.2.3.
Propri´
et´
e3
La s´erie

Condition n´
ecessaire et suffisante de convergence

P

xk `a termes r´eels positifs (n´egatifs) est convergente

k=1

si et seulement si la suite (sk ) est major´ee (minor´ee).
• Remarque : sommation par tranche
Soit kl ; l = 1, 2, 3, · · · une suite croissante de naturels, avec k1 = 0 ; on suppose qu’il
existe M > 0 tel que (kl+1 − kl ) ≤ M ∀ l.
Consid´erons la s´erie


X

yl

o`
u

yl =

l=1

La s´erie


X

kl+1
X

xk .

k=kl +1

yl consiste donc `a consid´erer la s´erie

l=1


X

xk en groupant les termes, pris

k=1

dans le mˆeme ordre, mais par tranches contenant un nombre born´e de (kl+1 − kl )
termes.
On peut montrer la propri´et´e suivante
Si lim xk = 0,
k→∞

alors les deux s´eries


X
k=1

xk et


X

yl sont soit simultan´ement convergentes,

l=1

soit simultan´ement divergentes.

(les sommes partielles des deux s´eries ne diff`erent que par un nombre tendant vers 0).

45

Il en d´ecoule en particulier que
– si


X

xk converge, alors

k=1

– si


X
l=1


X

yl converge ;

l=1

yl converge et xk > 0 ∀ k, alors


X

xk converge.

k=1

(sans X
la restriction xk > 0, cette derni`ere implication n’est pas vraie : cf. la
s´erie
xk = 1 + (−1) + 1 + (−1) + · · · qui donnerait en regroupant les termes
deux `a deux, yl = 0 ∀l).

III.1.3

Convergence absolue


efinition
La s´erie


P

xk est dite absolument convergente si la s´erie

k=1


P

k=1

(`a termes r´eels positifs)1 est convergente.

|xk |

Propri´
et´
e4
Une s´erie absolument convergente est convergente.
D´emonstration :
La propri´et´e d´ecoule du crit`ere de Cauchy (propri´et´e 1) et de l’in´egalit´e


k
k
X

X


xm ≤
|xm |.



m=l+1

m=l+1


N.B.
• La r´eciproque de la propri´et´e 4 n’est pas v´erifi´ee (cf. la s´erie harmonique
altern´ee §III.4.2.)
• Une s´erie convergente mais pas absolument convergente est parfois appel´ee
conditionnellement convergente.

III.2

Crit`
eres de convergence

III.2.1

Crit`
ere de Cauchy

Voir propri´et´e 1 §III.1.2.
1

Rappel : | | repr´esente le module dans C, et la valeur absolue dans R

46

III.2.2

Crit`
ere de comparaison

Soient deux s´eries


P

xk et

k=1

Si


P


P

k=1

yk avec xk ∈ C (ou R) ; yk ∈ R ; |xk | < yk ∀ k ≥ K.

yk converge, alors

k=1


P

xk converge absolument.

k=1

D´emonstration :
Le crit`ere de Cauchy implique

k
X

∀ ε > 0, ∃ L ∈ N0 |
De l’hypoth`ese, on d´eduit alors
convergence absolue de la s´erie

k
P

m=l+1

ym < ε ∀ k > l ≥ L.

|xm | < ε

m=l+1

P

∀k > l ≥ max(K, L) c’est-`a-dire la

xk .



k=1

Corollaire 1
Si xk , yk ∈ R et 0 ≤ xk ≤ yk ∀ k ≥ K:
 P

yk converge
 k=1

 P

xk diverge

=⇒


P

xk converge.

k=1

=⇒

k=1


P

yk diverge.

k=1

(Cons´equence imm´ediate puisque | xk | = xk ∀ k ≥ K).
Corollaire 2

Crit`
ere d’´
equivalence de deux s´
eries
xk
k→∞ yk

Soient xk ∈ R+ , yk ∈ R+
0 et lim
a) Si 0 < α < ∞ :
b) Si α = 0 :


P

xk

k=1

P

k=1

(ou
c) Si α = ∞ :

= α (la limite est donc suppos´ee exister).


P

k=1

(ou

yk

P

converge ⇐⇒
(diverge)
converge
xk diverge

=⇒
=⇒

k=1

yk


P

diverge
xk converge

k=1

=⇒
=⇒


P

k=1

P

k=1

P
k=1

P

k=1

P
k=1

47

yk converge
(diverge)
xk converge
yk diverge)
xk diverge
yk converge)

D´emonstration :
a) ∃ β = α − ε et γ = α + ε, tel que 0 < β < α < γ < ∞
et donc
0 ≤ xk < γyk
(1)
0 ≤ βyk <

xk

(2)

L’´equivalence des deux s´eries d´ecoule des relations (1) et (2) et du crit`ere de comparaison.
b) La relation (1) reste vraie et le r´esultat d´ecoule du crit`ere de comparaison.
xk
xk
= ∞, il vient ∃ K |
≥ 1 ∀ k ≥ K et donc xk ≥ yk > 0
k→∞ yk
yk

c) Etant donn´e lim

∀ k ≥ K.
Le r´esultat d´ecoule du crit`ere de comparaison.

III.2.3



Crit`
ere du quotient (ou de d’Alembert)

a) Premi`
ere formulation
Soit xk 6= 0 ∀ k.



xk+1
P
= α < 1, la s´erie
xk converge absolument.
1. Si li m sup

k→∞
xk
k=1



P


2. Si ∃ K | xxk+1

1

k

K,
la

e
rie
xk diverge.

k
k=1

D´emonstration :



1. Soit α < β < 1 ; ∃K |
Par cons´equent,



xk+1
xk

<β

∀ k ≥ K.

|xk | < β k−K |xK | ∀ k ≥ K.

| P k
Etant donn´e que la s´erie |xβK
β converge (cf. la s´erie g´eom´etrique §III.4.3.), la
K
k=1

propri´et´e d´ecoule du crit`ere de comparaison.

2. De l’hypoth`ese, on d´eduit |xk | ≥ |xK | > 0, ce qui montre que la condition n´ecessaire
de convergence n’est pas satisfaite.


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