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Université Saâd Dahlab de BLIDA
Faculté des Sciences, Département de mathématiques
MI, 1ère année, algèbre 1.
Série d'exercices n° 1
Exo1 : Soit E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } un ensemble. A = { 1, 2, 3, 5, 7 }, B = { 0, 2, 4,5,6 }
deux sous ensembles de E. Déterminer A ∪ A, A ∩ A, A ∪ B, B ∪ A; A ∩ B, B ∩ A;
Soit

CE A que l'on note par A , le complémentaire de A dans E.

Déterminer A , A , B , A ∪ B , A ∩ B , A ∪ B , A ∩ B .
Déterminer E / A, E / B ( la différence de E moins A), A / B, B / A,

C E (E ∩ A) , C B A ,

CB (B ∩ A) , A ∆ B = (A / B ) ∪ ( B / A) ( la différence symétrique), A ∆ A, A ∆ ∅.
Déterminer (B), l'ensemble des parties de B. Quelle est sa cardinalité?
Expliciter (∅), ((∅)) et (((∅))).
Donner une famille de parties de B indexée par un ensemble I = { 1, 2} ( I = {1, 2, 3, 4, 5, 6}).

Exo2 : Soit E un ensemble, A, B et C des sous ensembles de E et

CE A = A ,

complémentaire de A dans E. Vérifier les propositions suivantes.
A = A; A ∪ A = A; A ∩ A = A; A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A;
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C; A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) ; A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
A∪B = A∩ B; A∩B = A∪ B;
A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A; A ∩ B = B ⇔ B ⊆ A;
Exo3 : Montrer que A ∆ B = (A ∪ B ) / ( A ∩ B) =

CA ∪ B (A ∩ B)

Exo 4 : Soient A et B deux sous ensembles d'un ensemble E.
Montrer que:

(A∪B)\B=A⇔A∩B=∅

1

le

Exo5 : soit B ⊆ E, ϕB : E → {0, 1 }

est appelée " fonction caractéristique de B" ou

 1 si x ∈ B
x 
 0 si x ∉ B
"fonction indicatrice de B". Elle est aussi notée ϕB = 1B.
Soit A un ensemble, E et F deux sous ensembles de A, E ⊆ A, F ⊆ A. 1A est noté par 1.
Montrer que 1E = 1F ⇔ E = F.
Quels sont les ensembles dont les fonctions caractéristiques sont 1 - 1E, 1E1F, 1E + 1F - 1E1F ?
Exo 6 : soit f : + → , qui a x  x2. Déterminer ou représenter graphiquement une fonction
" restriction de f à A ", A = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Déterminer une fonction " prolongement de
f à  ". Est-elle unique?
Exo7 : Soient f : E → F, g : F → G et h : G → H trois applications.
a) Montrer que si f et g sont injectives ( respectivement surjectives ou bijectives) gοf est
injective ( respectivement surjective ou bijectives)
b) Montrer que si gοf est injective, f l'est aussi.
c) Montrer que si gοf est surjective, g l'est aussi.
d) Montrer que si gοf et hοg sont des bijections alors f, g et h sont des bijections.
Exo 8 : étudier la nature de f:  → , ( l'injection, la surjection et la bijection).
x  x2
Exo9 : A et B étant deux sous ensembles de E.
f : (E) → (A) x (B) une application
X  ( X ∩ A, X ∩ B )
A quelle condition f est une injection ? une surjection ?
Exo10 : Soit E un ensemble et A un sous ensemble fixé de E ( que l'on a choisi ).
f : (E) →(E)
X 

A∩X

et g : (E) →(E),
X A∪X

Calculer f((E) ), g((E) ), f -1 ( Y) et g-1(Y), Y∈ (E).

2

Exo11 : par un exemple, montrer que f( C E A ) est différente de

C E f (A)

A quelle condition a - t - on l'égalité?
Exo12 : soit f : E → F une application, A ⊂ E, A' ⊂ E, B ⊂ F et B' ⊂ F.
Montrer que l'on a les propriétés suivantes :
i)

A ⊂ A' ⇒ f(A) ⊂ f(A')

ii)

f(A ∪ A') = f (A) ∪ f(A')

iii)

f(A ∩ A') ⊂ f (A) ∩ f(A'). A quelle condition a t-on l'égalité?

iv)

B ⊂ B' ⇒ f -1(B) ⊂ f -1(B')

v)

f -1(B ∪ B') = f -1 (B) ∪ f -1(B') et que f -1(B ∩ B') ⊂ f -1(B) ∩ f -1(B').

vi)

f -1( B ) = f -1 ( C F B ) = f −1 (B) =

vii)

A ⊂ f -1(B) ⇔ f(A) ⊂ B

viii)

A ⊂ f -1( f(A)) et que f (f -1(B)) ⊂ B. A quelle conditions a t-on les égalités?

CE f

−1 (B)

Exo 13: Montrer que les relations suivantes sont d'équivalence.
a) l'égalité dans E : x ℜ y ⇔ x = y
b) dans  et pour n fixé, la relation "congruance modulo n" définie par :
x ℜ y ⇔ x - y est divisible par n ⇔ ∃ k ∈ * / x - y = n k.
c) dans ² x ² : ( p, q ) ℜ ( p', q' ) ⇔ p + q' = p' + q.
L'ensemble quotient (² x ² / ℜ) représente l'ensemble .
d) dans  x * : ( p, q ) ℜ ( p', q' ) ⇔ p q' = p' q.
Les classes d'équivalences sont appelées nombres rationnels et notés par p / q.
L'ensemble quotient ( x * / ℜ) représente l'ensemble 4.
e) soit f : E → E une application, ℜ définie par :
∀ ( x, y) ∈ E x E, x ℜ y ⇔ f(x) = f(y).
Exo14 : Dans l'ensemble *, on définit une relation binaire " S " par : ∀ ( x, y) ∈ ( *)2 ,
x S x' ⇔ x2 +

1
1
= x' 2 + .
x
x'

Montrer que S est d'équivalence. Déterminer la classe d'équivalence de x, notée x .

3

Exo 15 : Soit ℜ la relation définie sur  par : ∀ ( x, y) ∈  2 ,
x ℜ y ⇔ x - y est divisible par 4.
Montrer que ℜ est d'équivalence. Déterminer l'ensemble quotient  / ℜ.
Exo 16 : Soit A un sous ensemble de E, A ⊆ E. Dans l'ensemble des parties de E, ℘(E) on
définit ℜ' par : ∀ ( X, Y) ∈ ℘(E) 2, X ℜ' Y ⇔ A ∩ X = A ∩ Y.
Montrer que ℜ' est d'équivalence. Déterminer X , la classe d'équivalence de X.
Que devient ℜ' si A = ∅ ou A = E ?
Exo 17 : Soit ℜ la relation binaire définie sur  par : ∀ ( a, b) ∈ ()2 , a ℜ b ⇔ a2 - b2 = a - b
Montrer qu'elle est une relation d'équivalence. Ecrire et discuter le nombre d'éléments de la
classe d'un élément a.
Exo 18 : Soit f : E → F une application.
On définit sur E une relation binaire ℜ par : ∀ ( x, y) ∈ E 2 , x ℜ y ⇔ f(x) = f(y).
Vérifier que ℜ est d'équivalence. Ecrire la classe x de l'ensemble quotient E/ ℜ.
On définit la correspondance s :

E → E/ℜ
. Montrer que "s" est une application surjective.
xa x

A quelle condition " s " est aussi injective?
Soit i :

f (E) → F
l'injection canonique.
f (x) a f (x)

Montrer qu'il existe une unique application bijective f : E / ℜ → f (E) telle que i o f o s = f.

Exo 19 : Montrer que :
i)

dans ², , 4 et , " ≤ " est un ordre total.

ii)

Dans ²*, "a / b, a divise b " est un ordre partiel.

iii)

Dans (E) , l'ensemble des parties de E, " ⊂ , l'inclusion " définit un ordre partiel dés
que E a plus d'un élément.

iv)

Soit ( E, < ) un ensemble ordonné, la relation " << " définie sur E par :
x << y ⇔ ( x < y et x ≠ y) n'est pas une relation d'ordre. On l'appelle "ordre stricte".

4

Exo 20 : Dans l'ensemble des polynômes [x], on définit une relation ℜ par :
∀ ( p, q ) ∈ 2[x], p ℜ q ⇔ deg p ≤ deg q. Est-elle une relation d'ordre?
Exo 21 : Dans 2 on définit la relation " ≤ 1 " par : ∀ ( x, y ) ∈ 2 , ∀ ( x', y' ) ∈ 2
( x, y ) ≤ 1 ( x', y' ) ⇔ ( x ≤ x' et y ≤ y' ).
Montrer que " ≤ 1 " est une relation d'ordre appelé " ordre produit". Est-il total ?
Représenter les couples tels que ( x, y) ≤ 1 ( 6, 3).
Soit M0 = ( x0, y0 ) un point du plan. Déterminer les ensembles
D = { M' /

M' ≤ 1 M0} et E = { M' /

M'1 ≥ M0}.

Exo 22 :
Le but de cet exercice est de montrer qu'à partir d'un pré-ordre(relation réflexive et transitive )
sur un ensemble E, on peut construire une relation d'ordre sur un ensemble F qu'on définira.
Soit  la relation définie sur * par : a ℑ b ⇔ " a divise b" . ℑ est-elle une relation d'ordre?
Soit la relation ℜ définie par a ℜ b ⇔ " a ℑ b et b ℑ a". Montrer que ℜ est d'équivalence.
Calculer x , la classe d'équivalence de x ∈ * .
On considère la relation "Ö" définie sur l'ensemble quotient */ ℜ par: a Ö b ⇔ a ℑ b
Montrer que " Ö" est une relation d'ordre partiel sur ( */ ℜ ).

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