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Université Saâd Dahlab de BLIDA
Faculté des Sciences, Département de mathématiques
MI, 1ère année, algèbre 1.
Série d'exercices n° 4
Exo 54 : Faire la division Euclidienne des polynômes suivants :
A = x4 + x 3 - 2 x + 1

B = x2 + x + 1

Effectuer la division de A par B suivant les puissances croissantes à l'ordre 8.
Trouver l'ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme de [x],
A = x 2n - n x n+2 + n x n-1 - 1 ( n ≥ 2 )
Exo 55 : Démontrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.
Exo 56 : Trouver a et b tel que x4 + 3 x2 + a x + b soit divisible par x2 - 2 a x + 2
Exo 57 : a) Chercher le PGCD et le PPCM des polynômes suivants.
i) x5 + x3 - x2 - 1 et x4 - 2 x3 - x + 2
ii) x4 + x3 - 3 x2 - 4 x -1 et x3 + x2 - x - 1
iii) xm + am

et

x n + an , a ∈ 

iv) x6 - x4 - x2 - 2 et x3 - ( 1 + 2 ) x2 + ( 1 + 2 ) x - 2
b) Donner un PGCD des polynômes
3 x3 + x + 1 et 3 x2 + 2 x + 1 dans 4[x], dans  / 3 [x] et dans [x].
Exo 58 : Décomposer dans [x] les fractions suivantes :
4x 6 + x 4 − 3
x 4 + x3 − 7
,
,
x ( x + 2)( x − 3) 3
( x 2 − 4) 3
( x + 1) 3 ( x − 2) 2
2

Décomposer dans [x], puis dans [x] les fractions suivantes :
1
( x 4 − 1) 3

,

x5
( x 2 + 1)( x 2 + 4)

,

x 6 + 3x 2 + 2
et
3
n
( x − 1)

x2n -

1.

Résolution des équations du troisième degré : Méthode de Cardan.
Une équation du troisième degré est de la forme
a3 u3 + a2 u2 + a1 u + a0 = a3 ( u3 + (a2 / a3)u 2 + (a1 / a3)u + (a0 / a3 ) ) = 0

si a3 ≠0

Soit l'équation u3 + a u2 + b u + c = 0 ( a, b et c ∈ ) (1)
Posons u = x + h alors l'équation (1) devient
x3 + 3 hx2 + 3 h2 x + h3 + a ( x2 + 2h x + h2 ) + b ( x + h) + c = 0.
Déterminons h pour que le coefficient de x2 soit nul, soit 3 h + a = 0. D'où u = x - a/3.
L'équation (1) se transforme et devient de la forme : x3 + p x + q = 0 (2)
avec p = 3 h2 + 2 ah + b et q = h3 + a h2 + b h + c.
Exposons la méthode de Cardan pour la résolution de l'équation (2).
Posons une autre fois, x = y + z
L'équation (2) devient : y3 + z3 + ( 3 yz + p) ( y + z ) + q = 0

(3)

Choisissons la condition que ( 3 y z + p ) = 0 (4)
Alors l'équation (3) devient : y3 + z3 + q = 0

(5)

Si ( y, z) est une solution des équations (4) et (5) alors ( y, z ) est une solution de (2)
Des deux nombres y3 et z3 nous connaissons la somme -q et le produit −
Ces deux nombres sont solutions de l'équation t2 + q t −

p3
.
27

p3
= 0 (6), qui a deux racines t' et t"
27

dans . y3 = t' et z3 = t".
Soit α une racine cubique de t', les deux autres racines sont jα et j2α ( avec j = cos
On obtient y1 = α, y2 = jα et y3 = j2α et donc à partir de l'équation (4)
z1 = −

p
p
p
et z3 = −
, z2 = −

3αj
3αj2

( Remarquons que z1, z2 = j2 z1 et z3 = j z1 sont racines de x3 = t" )
On obtient les trois racines de l'équation (2) par :



+ i sin
)
3
3

p

=
α

x
1



p 2
j
 x 2 = jα −
α
3

 x = j2 α − p j
 3


(7)

où α est une racine cubique d'une solution de (6).

Cas particulier
4p 3
p3
Si q 2 +
= 0 alors l'équation (6) a une racine double t' = t" tel que t'2 = −
, d'où
27
27
α6 = −

p3
p
p
. On peut choisir α2 = − ou α = −
.
27
3


Les formules (7) montrent que l'équation (2) a une racine double x2 = x3 = α ( j + j2) = - α
L'autre racine x1 = 2 α.
Récapitulons :
4p 3
f 0 , l'équation (6) a deux racines t' et t". On peut prendre pour α, la racine
a) si Si q 2 +
27
cubique réelle de t'. Les formules (7) montrent que x1est réel, x2 et x3 sont complexes
conjuguées.
4p 3
b) si q 2 +
p 0 ( si p < 0 ) alors (6) a deux racines complexes conjuguées t' et t" , α ∈/
27
Les racines t' et t" de (6) sont α3 et α 3 et donc α3. α 3 = −
α. α = −

p3
27

p
p
,α= −
⇒ y1 = z1 , y2 = z 2 et y3 = z 3
3


⇒ x1, x2 et x3 de l'équation (1) sont réels.
4p 3
q
c) si q 2 +
= 0 , on prend α la racine cubique de −
puisque (6) a une racine double
27
2

q
 x1 = 2α = 2 3 −
q
2
t' = t" = −
⇒ 
2
 x = x = −α 3 − q
3
 2
2

est réelle
sont réelles

Application: déterminer les racines de *) x3 + 15x - 4 = 0 et **) x3 + 9 x - 3 = 0


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