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CHAPITRE 1 :

Séries statistiques à
une variable.

OBJECTIFS







Découvrir les méthodes de représentation des données
économiques,
Etudier les différentes caractéristiques des séries
statistiques à une seule variable,
Analyser des séries statistiques à deux dimensions :
présentation, caractéristiques de forme et de liaison
entre deux variables.
Interpréter les séries économiques temporelles à l’aide
des pourcentages d’évolution et d’indice.

OUVRAGES (listes non exhaustive)


Lucien Leboucher, Marie-José Voisin Introduction à la statistique
descriptive Cépaduès, 2013



Bernard Py, Statistique descriptive Economica, 2007



Agnès Hamon, Nicolas Jégou, Statistique descriptive, Presses
Universitaires de Rennes (PUR);Coll. : Pratique de la statistique,
2008

SOMMAIRE

1. Méthodes de représentation.

2. Caractéristiques de position.
3. Caractéristiques de dispersion.
4. Paramètres de concentration.

1. Méthodes de représentation
1.1 Vocabulaire

Définition 1.1
La population est l’ensemble que l’on
observe et dont chaque élément est
appelé individu ou unité statistique.

Définition 1.2
Un échantillon (ou lot) est une partie
(ou sous-ensemble) de la population
considérée.

Exemples de populations:
 Les habitants d’une ville,
 Les voitures fabriquées par une marque,
 Les étudiants d’une université.
Echantillons:
 150 habitants,
 Les voitures fabriquées dans une seule
journée,
 30 étudiants de S2 et 10 étudiants de S4.

Définition 1.3
Le caractère étudié est la propriété
observée dans la population ou
l’échantillon considéré.

Classification des caractères
Exemple 1:

• Le nombre d’enfants par famille observé lors
d’un recensement.
• La taille des élèves d’un lycée.

Dans ces deux exemples, le caractère est dit
quantitatif car il est mesurable.

Classification des caractères (suite)
Exemple 2:

• La région de résidence de chaque marocain

observé lors d’un recensement,

• Le pays de fabrication d’une voiture de
marque.

Dans ces deux exemples, le caractère est dit
qualitatif car il n’est pas mesurable.

Classification des caractères quantitatifs
Caractère quantitatif discret
Un caractère quantitatif est dit discret s’il ne
peut prendre que des valeurs numériques
isolées.
Exemples:
• nombre d’enfants par famille,
• nombre de modules validés pour un étudiant
en S1,
• nombre d’accidents sur la route en 2005, …

Classification des caractères quantitatifs
Caractère quantitatif continu
Un caractère quantitatif est dit continu s’il peut
prendre, au moins théoriquement, n’importe
quelle valeur d’un intervalle de nombre réels.

Exemples:
• Les revenus d’un foyer au Maroc,
• La poids d’une orange produite au Maroc,
• La valeur d’une action boursière,
• Le montant d’une facture de téléphone.

Exercice:
• citez des exemples d’échantillons dans une
population que vous préciserez.
• Précisez le type des caractères suivants :
i. Le code postal d’une ville marocaine
ii. Le nombre de go de mémoire d’une
clé USB,
iii.Le numéro de téléphone personnel
d’un habitant du Maroc
iv.La pointure de chaussure
v.La couleur des yeux
vi.Le taux d’émission de CO2 d’une
voiture

Les tableaux

la population : semaine
d’opération de vente
échantillon: 40semaines

le caractère:
Nombre de
voiture vendue
par semaine

Exemple :
Un concessionnaire d’automobiles a enregistré au
cours de ses 40 premières semaines d’opération le
nombre X d’automobiles qu’il a vendu
hebdomadairement. Il a obtenu les résultats suivants:

5,7,2,6,3,4,8,5,4,3,9,6,5,7,6,8,3,4,4,0,
8,6,7,1,5,5,4,6,6,10,9,8,1,5,5,6,7,8,5,5

Question: Comment résumer cette série ?

On va noter par
X = Nombre d’automobiles vendues
{X} = {xk | k=1,…,40} (ensemble de valeur de X)
= { 5,7,2,6,3,4,8,5,4,3,9,6,5,7,6,8,3,4,4,0,8,
6,7,1,5,5,4,6,6,10,9,8,1,5,5,6,7,8,5,5}
On peut présenter de manière synthétique ces
résultats à l’aide du tableau ci-dessous :
classe n°i de
valeurs de X

Nombre de
vente
Nombre de
semaines
relatives à xi

i

1

2

3

4

5

6 7 8 9 10 11

xi

0

1

2

3

4

5 6 7 8

9

10 Total

ni

1

2

1

3

5

9 7 4 5

2

1

L’effectif total de l’échantillon

40

Les classes (ou les modalités)

Définition 1.4
Une classe (ou modalité) est un sousensemble de la population correspondant
à une même valeur ou à des valeurs
voisines prises par le caractère.

L’effectif
Définition 1.5

L’effectif d’une classe est son nombre
d’éléments.

Remarque:

Ces classes peuvent être :
des valeurs ponctuelles,

Exp.: nombre d’enfants par
famille,
« 2 enfants » est une classe.
des intervalles,
Exp.: salaire en dirhams des
employés d’une entreprise,
[2000, 6000[ est une classe.

Une série statistique à une variable peut être définie
par un tableau de la forme :
i

1

2





p

Valeurs prises par le
caractère (ou classes) xi

x1

x2





xp

Effectifs correspondants ni n1

n2





np

p : le nombre de classes (ou modalités)
ni : l’effectif de la ième classe.

L’effectif total de l’échantillon n est tel que
p

n = n1+n2+⋯+np=

n

i

i 1

avec nin, 1  i  p

La fréquence

Définition 1.6

La fréquence d’une classe est la proportion
d’individus de la population (ou de
l’échantillon) appartenant à cette classe.

La ième classe a pour fréquence

ni
fi 
n

Propriété 1.1

Les fréquences d’une série statistique
vérifiant les propriétés suivantes :
1)

p

f

i

1

i 1

2)

0 fi  1 , 1  i  p

Exercice : reprenons l’exemple de ventes
hebdomadaires de voitures.
Calculer les fréquences de chacune des modalités de
la série statistique
i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Total

xi
ni
fi

0
1

1
2

2
1

3
3

4
5

5
9

6
7

7
4

8
5

9
2

10
1

1/40

2/40

1/40

3/40

5/40

9/40

7/40

4/40

5/40

2/40

1/40

-40
1

1.2 Les graphiques

1.2.1 Caractère qualitatif
Exemple : On s’intéresse aux étudiants de S5
sciences économiques option Finance d’Entreprise.
Nous pouvons classer les étudiants de cette année
selon 4 catégories (classes):
Catégorie

Descriptif

Nombre
d’étudiants

CAT 1

S1 ET S3 validés

47

CAT 2

S1 validé + au moins deux modules validés en S3

9

CAT 3

Etudiant(e)s n'ayant pas suivi les cours de S1 et S2
(Redoublants ou tranferts) + au moins deux modules
validés en S3

11

CAT 4

Etudiant(e)s de 3ème année Eco reversés dans le
Semestre 5

18

Fréquences et pourcentages
Nombre
Pourcentage Fréquence i
d’étudiants

i

Catégorie

1

CAT 1

47

55,3%

0,553

2

CAT 2

9

10,6%

0,106

3

CAT 3

11

12,9%

0,129

4

CAT 4

18

21,2%

0,212

5

Total

85

100,00%

1

Diagramme en tuyaux d’orgue
Etudiants de S5 Eco. option Finance d'Entreprise
60,0%

55,3%

50,0%
40,0%
30,0%

21,2%

20,0%

10,6%

12,9%

CAT 2

CAT 3

10,0%
0,0%
CAT 1

CAT 4

Diagramme à secteurs circulaires
Etudiants de S5 Eco. option Finance d'Entreprise

CAT 4
21,2%
CAT 3
12,9%
CAT 2
10,6%

CAT 1
55,3%

Angles des secteurs circulaires
Nombre
Pourcentage
d’étudiants

Angle i

i

Catégorie

1

CAT 1

47

55,3%

199,08

2

CAT 2

9

10,6%

38,16

3

CAT 3

11

12,9%

46,44

4

CAT 4

18

21,2%

76,32

5

Total

85

100,00%

360 °

Diagramme en bandes
Etudiants de S5 Eco. option Finance d'Entreprise
CAT 3

21,2%

CAT 3

12,9%

CAT 2

10,6%

CAT 1 55,3%

1.2 Les graphiques

1.2.2 Caractère quantitatif discret
Exemple :
Le responsable des ventes d’un magasin a noté le
niveau de la demande journalière
pour un produit pendant cent jours ouvrables
consécutifs en 1992 :

Nombre xi d’unités
demandées par
jours

Nombre ni de
jours où l’on a
vendu xi

0

5

1

15

2

23

3

22

5

16

6

9

7

5

7 et plus

5

TOTAL

100

Effectifs
cumulés
croissant Ni

Fréquences
i

Fréquences
cumulées
croissantes i

Diagramme des effectifs, en bâtons
On obtient le diagramme en
bâtons des fréquence par
simple changement d’échelle

25

23

Titre du
graphique ?

22

Effectifs

20
16

15
15

9

10
5

5

5

6

7 et plus

5
0
0

1

2

3

4

5

Nombre d'unités demandées xi

Diagramme des frequences, en bâtons
On obtient le diagramme en
bâtons des fréquence par
simple changement d’échelle
0,25

0,23

0,22

Fréquences

0,2
0,16

0,15
0,15

0,09

0,1
0,05

0,05

0,05

6

7 et
plus

0,05
0
0

1

2

3

4

5

Nombre d'unités de mandée s xi

Diagramme des effectifs cumulés croissants, en escalier

Le cumul des journées de ventes en fonction de nombre d'unités
demandés

Effectifs cumulés
croissants

120
100

81

80

100

6

7

8

65

60

43

40
20

90

95

20
5

0
1

2

3

4

5

Nombre d'unités demandés

Remarque :
Comme précédemment, on obtient le diagramme
des fréquences cumulées croissants par simple
changement d’échelle.

1.2 Les graphiques

1.2.3 Caractère quantitatif continu
Exemple :
On relève dans une banque à une date donnée les
montants des économies de 1000 clients en
dirhams. Les résultats obtenus sont les suivants :

Nombre des
économies
(en milliers de DH)
xi

Nombre ni de
clients

Effectifs
cumulés
croissant Ni

Fréquences
i

Fréquences
cumulées
croissantes i

[0,5[

5

5

5/1000

5/1000

[5,10[

12

17

12/1000

17/1000

[10,15[

33

[15,20[

71

[20,25[

119

[25,30[

175

[30,35[

185

[35,40[

158

[40,45[

122

[45,50[

69

[50,55[

35

[55,60[

11

60 et plus

5

TOTAL

1000

Quelles représentation graphique des données
relatives à un caractère quantitatif continu?

Le graphique utilisé pour
ce type de données est
appelé
Histogramme des effectifs
( ou de fréquence)

Diagramme des effectifs, histogramme

Remarque :
Comme précédemment, on obtient l’histogramme
des fréquences par simple changement d’échelle.

Diagramme des effectifs cumulés croissants,
courbe polygonale

Effectifs cumulés croissants
Ni

Le cumul des clients selon le montant d'économies
1200
1000
800
600
400
200
0
0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Montant en m illiers de DH

Remarque :
On note que le diagramme des fréquences
cumulées croissantes est obtenu à l’aide d’un
simple changement d’échelle sur l’axe des
ordonnées.

2. Caractéristique de position

2.1 Le mode (ou la dominante)
2.2 La moyenne
2.3 La médiane

Introduction
On a vu dans la première partie (méthodes de
présentation) comment :
condenser les informations pour rendre plus
lisibles et utilisables.
Une liste de plusieurs
dizaines, centaines,
éventuellement
milliers de données

Tableau reposant sur
un regroupement
des données en quelques classes

Graphiques

Notre but est de synthétiser davantage
l’information pour les caractères.
La première idée concerne naturellement
la tendance centrale de la population

Cela peut signifier :
 Calculer une moyenne,
 Chercher un nombre séparent la
population en deux parties représentant
chacune 50% de l’effectif total.

 Choisir la (ou une) classe de plus grand
effectif.
Ces trois points de vue présentent de
l’intérêt et conduisent à définir
des caractéristiques de position

2.1 Le mode (ou la dominante)
Définition 2.1
On appelle mode d’une série statistique la
ou les valeurs du caractère dont l’effectif est
le plus élevé.
Dans le cas d’une répartition à l’aide de
classes, la classe dont l’effectif est le plus
élevé est appelée classe modale, le mode
étant le centre de la classe.

Remarques
• Le mode correspond à un sommet sur
l’histogramme ou le diagramme en bâtons.
• Il peut exister des séries unimodales ou
plurimodales (dans le cas ou plusieurs
classes de même effectif maximal).
• Le mode est une caractéristique peu
utilisée en pratique car elle ne fait pas
intervenir l’ensemble des valeurs.

Exemple 1 : reprenons l’exemple de la section
S5 Sciences Economiques option Finance
d’entreprise.
i

Catégorie Pourcentage Fréquence i

1

CAT 1

55,3%

0,553

2

CAT 2

10,6%

0,106

3

CAT 3

12,9%

0,129

4

CAT 4

21,2%

0,212

5

Total

100,00%

1

Question 1 : déterminer le mode de cette série ?
Mo= CAT1

Exemple 2 : reprenons l’exemple de ventes de
hebdomadaires de voitures.
i
xi
ni

1
0
1

2
1
2

3
2
1

4
3
3

5
4
5

6
5
9

7
6
7

8
7
4

9
8
5

10
9
2

11
10
1

Total
-40

Question: déterminer le mode de cette série?
mo=5

Exemple 3 : On relève dans une banque à une
date donnée les montants des économies de 1000
clients en dirhams :
montant des
économies
(en milliers de DH) xi

Nombre ni de clients

[0,5[

5

[5,10[

12

[10,15[

33

[15,20[

71

[20,25[

119

[25,30[

175

[30,35[

185

[35,40[

158

[40,45[

122

[45,50[

69

[50,55[

35

[55,60[

11

60 et plus

5

TOTAL

1000

Question 1 :
Quelle est la classe modale ?
[30,35[
Question 2 :
déterminer le mode
de cette série ?
Mo=(30+35)/2=32,5
Inter: le montant des
économies le plus important
est 32500 dh

2.2 La moyenne ( caractère quantitatif)
Les séries statistiques (à une variable
quantitative) peuvent se présenter
directement ou indirectement sous les trois
formes suivantes:
1. Une liste de « brute » de n valeurs x1, x2 ,
… , xn .
2. Un tableau des effectifs ni des p classes xi .
3. Un tableau des effectifs ni des p classes
[ai , bi [.



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