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Séance  5  :  Théorie  des  tests  
Partie  I  :  Tests  de  position  et  de  comparaison  
Cours  
Un  Test  d’hypothèse  est  une  démarche  qui  a  pour  but  de  fournir  une  règle  de  décision  par  laquelle,  sur  la  
base  de  l'échantillon  observé,  on  va  décider  de  rejeter  ou  non  une  hypothèse  H0  relative  à  la  population  et  
appelée  hypothèse  nulle.  
Une  hypothèse  statistique  est  un  énoncé  (une  affirmation)  concernant  des  caractéristiques  (valeurs  des  
paramètres,  forme  de  la  distribution)  d’une  population.  
à  H0  =  hypothèse  nulle  :  il  n’y  a  pas  de  liaison  entre  les  variables  DANS  LA  POPULATION  CIBLEE.  Ex  :  les  
dépenses  de  deux  échantillons  sont  identiques  ≠  H1  =  hypothèse  alternative  :  il  y  a  liaison  au  sein  de  la  
population  ciblée.  Ex  :  les  dépenses  des  ménages  d’employés  sont  supérieures  à  celles  des  ménages  d’ouvriers.    
Rq  :  C’est  l’hypothèse  nulle  qui  est  soumise  au  test  et  toute  la  démarche  du  test  s’effectue  en  considérant  cette  
hypothèse  comme  vraie.  
La  règle  de  décision  décrit  la  façon  dont  le  résultat  de  l’expérience  (=  les  données  observées)  nous  amène  à  
conclure  entre  l’hypothèse  H0  ou  H1.  Elle  se  fonde  sur  une  statistique  de  test  (T)  et  une  région  de  rejet  ou  
critique  R.  
On  ne  rejette  pas  H0  si  les  données  observées  ne  sont  pas  en  contradiction  avec  l’hypothèse  nulle,  i.e.  si  on  n’a  
pas  de  preuve  qu’elle  est  inexacte.  On  rejette  H0  au  profit  de  H1  si  les  données  sont  en  contradiction  avec  
l’hypothèse,  i.e.  s’il  existe  une  faible  probabilité  d’obtenir  les  résultats  observés  sous  l’hypothèse  nulle.  
àConcrètement  :  Si  la  valeur  calculée  par  statistique  test  est  inférieure  à  la  valeur  seuil  on  ne  pourra  rien  
conclure,  on  ne  peut  pas  rejeter  H0  mais  si  elle  est  supérieure  à  la  valeur  seuil  on  rejette  H0.    

Exercice  type-­‐  Exemple  d’application  

 
Cf  Pièce  jointe  «  Exercice  Type  Test  moyenne  »  

Partie  II  :  Comparaison  de  deux  moyennes  
Échantillons  indépendants  vs  échantillons  appariés  
On  parle  d’échantillons  indépendants  lorsque  les  variables  de  ces  échantillons  n’ont  pas  les  mêmes  qualités  
≠Les  échantillons  sont  dépendants  ou  appariés  quand  il  s'agit  par  exemple  des  mêmes  observations  qui  sont  
étudiées  à  des  instants  différents  àles  variables  observées  ont  les  mêmes  qualités.  
 
 
Moyennes  dans  la  population  
Distributions  
Taille  de  l’échantillon  
Réalisations-­‐Données  observées  
Estimateur  de  la  moyenne  

ère

ème

1  population  

2

µ1  
{X1,  X2,  …,  Xn}  i.i.d  Xi  ~  N(µ1,  σ1²)  
n1  
X1,  X2,  …,  Xn1  

µ2  
{Y1,  Y2,  …,  Yn}  i.i.d  Yi  ~  N(µ2,  σ2²)  
n2  
Y1,  Y2,  …,  Yn1  

𝑋 =  

!!
!!! !"

!!

 

 population  

𝑌 =  

!!
!!! !"

!!

 

 

 

Estimateur  de  la  variance  

S1²  =  

 

!
!!!!

 

!!
!!!(𝑋 i  -­‐  

X)  

S2²  =  

!
!!!!

 

!!
!!!(𝑌 j  -­‐  

X)  

à Echantillons  indépendants-­‐  Variances  inconnues    
Étapes  dans  la  construction  d’un  test  d'hypothèse  :  
1.

Hypothèses  :  H0  :  µ1  -­‐  µ2  =  0  

                                                 H1  :  µ1  -­‐  µ2  ≠  0  
En  sachant  que  sous  H0  :  {X1,  X2,  …,  Xn}  i.i.d  Xi  ~  N(µ1,  σ1²)  à  avec  σ1²  inconnue,  on  doit  l’estimer    
                                                                                         {Y1,  Y2,  …,  Yn}  i.i.d  Yi  ~  N(µ2,  σ2²)  à  avec  σ2²  inconnue,  on  doit  l’estimer  
2.

𝑆1²  

!!

+

!!²
!!

 

On  calcule  la  valeur  de  la  Statistique  seuil  :  on  parle  de  z1-­‐  
α

Avec  α  le  niveau  de  risque,  souvent  α  =  0.05  à    1-­‐α  =  0.95  on  cherche  dans  la  colonne  des  ordonnées  la  case  
correspondant  à  la  valeur  0.9  et  sur  la  ligne  des  abscisses  celle  correspondant  à  la  valeur  0.05  (la  somme  
formant  1-­‐α).On  trouvera  la  valeur  de  z1-­‐    au  croisement  de  ces  deux  lignes.    
α

3.

Calcul  de  la  valeur  statistique  test  :    

Z  =  

( !!   !)
!!²   !!²
!
!! !!

 àIci  il  s’agira  seulement  de  remplacer  les  moyennes,  variances,  tailles  d’échantillon…par        

leur  valeur  dans  la  formule  .  

   

4.

Comparaison  de  la  valeur  du  z1-­‐  (statistique  seuil)  à  celle  du  zcalculé  (statistique  test)  

5.

Règle  de  décision  :  On  rejette  H0  si  Z  >  z1-­‐  ou  Z  <  -­‐z1-­‐ .  .  

α

α

α


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