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Nom original: quation_onde_longitudinal.pdfTitre: Cours général 1 : Propagation des ondes acoustiques et électromagnétiquesAuteur: P.Simard

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Universit´e de Technologie de Compi`egne

Cours g´
en´
eral 1 :
Propagation des ondes acoustiques et
´electromagn´etiques
P.Simard
Universit´
e de Technologie de Compi`
egne
m`
aj 2014

P.Simard
m`
aj 2014
1

Ce que nous allons voir :

Ondes : g´
en´
eralit´
es
Les ondes acoustiques
Mod`
eles et ´
equations des ondes :
Les types d’ondes acoustiques
Comportement d’une onde sur un r´
eflecteur
Action d’un r´
eflecteur plan
Comportement physique

P.Simard
m`
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2

Qu’est ce qu’une onde ? :
Un concept math´ematique unificateur
pour d´ecrire la propagation
d’une perturbation
dans un milieu physique
dont certaines propri´et´es
sont alors temporairement modifi´ees
avant de revenir `a leur valeur initiale
Un concept math´ematique unificateur
P.Simard

pour d´ecrire la propagation

m`
aj 2014



choc,3 vent, diff´
erence de potentiel,

dans un milieu physique

→vide, gaz, liquides, solides,

d’une perturbation
´
eclairage,...

Exemple :

plasmas...

Cas d’une corde de piano :
dont certaines propri´et´es →pression, vitesse particulaire, ...
sont alors temporairement modifi´ees
avant de revenir `a leur valeur initiale

P.Simard

Choc du marteau → transfert d’´energie → d´eformation
locale
→ propagation et dissipation → retour `a la situation
initiale.
I La corde ne change pas de place :
I Propagation d’´
energie sans d´eplacement global de
mati`ere

m`
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4

Exemples d’application du concept d’onde :
I Vagues : perturbations qui se propagent dans l’eau.
I Ondes radio, micro-ondes, ondes infrarouges, lumi`
ere visible,

I
I
I

I

lumi`ere ultraviolette, rayons X , rayons gamma qui font partie du
rayonnement ´electromagn´etique. Dans ce cas, la propagation est
possible sans un support, `
a travers le vide.
Les ondes ´electromagn´etiques se propagent `
a 299792458m/s
dans le vide.
Sons : onde m´ecanique qui se propage dans l’air, liquides ou
solides
Ondes sismiques dans les tremblements de terre.
Vagues de trafic (c’est `
a dire, la propagation de diff´erentes
densit´es de v´ehicules, etc) Ceux-ci peuvent ˆetre mod´elis´es
comme des ondes cin´ematiques
Ondes gravitationnelles fluctuations de la courbure de
l’espace-temps pr´edites par la relativit´e g´en´erale. Ces vagues
n’ont pas ´et´e observ´ees empiriquement.

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5

Deux classes principales d’ondes :

Ondes

Acoustiques

Electromagn´etiques

Besoin d’un support de mati`ere peut se propager dans le vide
mode L en g´en´eral (sauf plasma)
Modes L ou T
Exemple : Son, vibration, chocs,... Ex : optique, induction, radio...

P.Simard
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6

Les ondes en CND :

I

Les ondes acoustiques :
I
I
I

I

r´eponse audible
´emission acoustique
ultrasons

Les ondes ´electromagn´etiques
I
I
I

magn´etoscopie (ligne de fuite de champ magn´etique)
courants de Foucault (r´eaction `a une induction)
micro-ondes et t´erahertz

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7

Le spectre ´electromagn´etique en CND :

P.Simard
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8

Ondes acoustiques
I

Des ondes de mati`eres :
I
I

I

Produites par vibration m´ecanique du support.
I
I

I

besoin d’un support mat´eriel.
diff´erent des ondes ´electromagn´etiques

gaz, liquide (fluides)
solide

La propagation d´epend de l’´elasticit´e du milieu
I
I

de proche en proche
Transfert d’´energie `a travers le medium.

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9

Ondes acoustiques (mode longitudinal)

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10

Ondes acoustiques (mode transversal)

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11

Les ondes dans un solide :
cas des ondes longitudinales

Tube de section S, ´el´ement de longueur dx, de masse
m = ρ.S.dx
I Loi de Hooke σ = E. du
dx
I

d2 u
dσ = E
dx
I Relation fondamentale de la dynamique

P.Simard

d2 u
d2 u
m. 2 = E.S.
dt
dx



m`
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12

∂ u2 ρ ∂ 2 u
− .
=0
∂ x2 E ∂ t 2

Equation des ondes longitudinales :
On pose

ρ
E

=

1
c2

∂ 2 u(x, t) 1 ∂ 2 u(x, t)
− 2.
=0
∂ x2
c
∂ t2
Rappel : u(x, t) : repr´esente la grandeur qui varie au passage de l’onde
ici il s’agit d’un d´eplacement.

Comment r´esoudre cette ´equation ?

p = x − ct
Changement de variables : x, t →
q = x + ct
∂ 2u
=0
∂ p∂ q
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donc
u(p, q) = u1 (p) + u2 (q) = u1 (x − ct) + u2 (x + ct)

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13

Equation des ondes longitudinales :
Solution g´en´erale :
u(x, t) = u1 (x − ct) + u2 (x + ct)

u(x, t) =
sin(ωt − kx)

u(x, t) =
sin(ωt + kx)

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14

Principales caract´eristiques d’une onde acoustique
Exemple simple 1D :
D(x, t) = A sin(ωt − kx)
I

I

`a x = x0 fix´e, on observe une variation temporelle
sinuso¨ıdale
I

p´eriode : T =


ω

I

fr´equence f =

1
T

⇒ ω = 2πf

`a t = t0 fix´e, on observe une variation sinuso¨ıdale
spatiale

k

I

p´eriode λ =

I

fr´equence spatiale

k


: k est appel´e nombre d’onde

P.Simard
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15

Principales caract´eristiques d’une onde acoustique
Vitesse de propagation :
I Soit 2 couples (instant, localisation) tr`
es proches :
(x, t) et (x + dx, t + dt),
tels que :
D(x, t) = D(x + dx, t + dt)


ωt − kx = ω(t + dt) − k(x + dx)

L’´egalit´e des arguments conduit `a :
dx ω
=
dt
k
(Relation de dispersion pour un milieu non dispersif)
c=

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Comportement d’une onde plane sur un r´eflecteur
plan : r´efraction par un dioptre.

θ1

x1

Milieu 1
c´el´erit´e c1

x2

Milieu 2
c´el´erit´e c2

θ2
Maintien de l’onde plane : ∆t1 = ∆t2



x1
c1

=

sin θ1 sin θ2
=
c1
c2

P.Simard
m`
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17

Comportement d’une onde plane
sur un r´eflecteur plan (dioptre)
x2
Milieu 1

Milieu 2

θR

θT
x1

θi

sin θi sin θR sin θT
=
=
ci
cR
cT
P.Simard
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x2
c2

D´emonstration :
Continuit´e des d´eplacements `
a l’interface (x1 = 0) :
U0 .ei(ωi t−ki,2 x2 ) + Ur .ei(ωR t−kR,2 x2 ) = UT .ei(ωT t−kT,2 x2 )
` l’origine, (x2 = 0), on devra avoir pour ce point, `
A
a tout instant t
U0 .eiωi t + Ur .eiωR t = UT .eiωT t
Ce qui impose que la fr´equence reste la mˆeme :
ωi = ωR = ωT = ω
´
Mˆeme raisonnement sur l’espace. Egalit´
e des nombre d’ondes sur l’axe
x2 :
ki,2 = kR,2 = kT,2
k∗,2 est la projection du nombre d’onde de l’onde dans sa direction de
propagation sur l’axe x2 , k∗,2 = k∗ . sin θ∗ :
ki sin θi = kR sin θR = kT sin θT
avec c =

ω
k

→k=

ω. sin θi
ci

ω
c

=

ω. sin θR
cR

=

ω. sin θT
cT

On retrouve la loi de Snell-Descartes :
sin θi
ci

P.Simard

=

sin θR
cR

=

sin θT
cT

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Angles critiques :
sin θ2 =


c2
sin θ1
c1

Si c2 > c1 → θ2 > θ1




θ2 = 90deg

c1
pour θ1 = arcsin
c2



Exemple : Interface eau/acier
- Acier inox 303 : VL = 5660m/s (ondes longitudinales)
- Eau : Ve = 1483m/s



1483
θcrit. = arcsin
5660
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= 15.1896

Angles critiques :

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21

Conversion de mode :
Exemple : Eau/Acier
- dans l’eau : mode longitudinal seulement
- dans l’acier : mode longitudinal (cL ) et transversal (cT )

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Comportement physique d’une onde
Diff´erents ph´enom`enes sont li´es `a la propagation d’une onde

P.Simard

I

R´eflexion : une onde arrive sur un nouveau m´edia, ne peut
pas traverser, et change de direction.

I

Refraction : une onde change de direction en p´en´etrant un
nouveau milieu dans lequel elle se d´eplace `a une vitesse
diff´erente.

I

Diffraction : se produit quand une entre en contact avec le
bord d’un obstacle et cesse d’aller en ligne droite pour
entourer.

I

Interf´erence : Se produit lorsque deux ondes se combinent
pour ˆetre au mˆeme point dans l’espace.

I

Effet Doppler : effet dˆ
u `a un mouvement relatif entre la
source d’´emission des ondes et le destinataire de celle-ci.

I

...

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Diffraction d’une onde acoustique (ex : ultrasons)
L’onde est r´e´emise dans pratiquement toutes les directions
en pratique.

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