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Thean Alexandre Pilotage d'une centrale hydroélectrique .pdf



Nom original: Thean Alexandre - Pilotage d'une centrale hydroélectrique.pdf
Titre: assignment_2.dvi

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SyDyn: Pilotage d’une ”centrale hydro´
electrique”
Mercredi, 11 Novembre, 2013

M.Yagoubi

Alexandre Thean

1

Alexandre Thean

Table des mati`
eres
Analyse du syst`
eme
Question 1 . . . .
Question 2 . . . .
Question 3 . . . .
Question 4 . . . .

en
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boucle ouverte
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3
3
4
5
6

Analyse du syst`
eme
Question 1 . . . .
Question 2 . . . .
Question 3 . . . .
Question 4 . . . .
Question 5 . . . .

en
. .
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boucle ferm´
ee
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7
7
7
9
10
11

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13
13
13
13
14
14
15
15
15

Conception d’un
Question 1 . .
Question 2 . .
Question 3 . .
Question 4 . .
Question 5 . .
Question 6 . .
Question 7 . .
Question 8 . .
Conclusion


egulateur
. . . . . . .
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16

Page 2 sur 16

Alexandre Thean

Analyse du syst`
eme en boucle ouverte
Question 1
Les z´eros, les pˆoles et le gain du syst`eme G sont obtenus de la mani`ere suivante :
>> zpk(G)

5

Zero/pole/gain:
0.33333 (sˆ2 - 3s + 3)
---------------------------s (s+3.333) (sˆ2 + 1.5s + 3)
zero(G)

10

ans =
1.0000 + 1.0000i
1.0000 - 1.0000i

15

>> pole(G)
ans =

20

0
-3.3333
-0.5000 + 1.3229i
-0.5000 - 1.3229i
>> dcgain(G)

25

ans =
Inf

On remarque que le gain du syst`eme est infini. En effet, ce r´esultat s’explique par le comportement int´egrateur
du syst`eme en basse fr´equence.

Page 3 sur 16

Alexandre Thean

Question 2
La r´eponse indicielle du syst`eme est la suivante :

Step Response
3000

2500

Amplitude

2000

1500

1000

500

0

0

0.5

1

1.5
Time (seconds)

2

2.5

3
4

x 10

Figure 1 – R´eponse indicielle du syst`eme en fonction du temps
L’int´egration d’une entr´ee constante entraine en effet une telle r´eponse indicielle car seul le comportement
int´egrateur est pris en compte.

Page 4 sur 16

Alexandre Thean

Question 3
La r´eponse de la puissance hydraulique wM est :
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4

0

2

4

6

8

10

Figure 2 – R´eponse de la puissance hydraulique wM (vert) en fonction d’un ´echelon de charge (bleu), en
fonction du temps
On remarque ainsi qu’avant la date t = 8, wM a un comportement oscillatoire. Le temps de r´eponse du
` t = 8, on impose un ´echelon de charge d’amplitude 1. La diff´erence entre
syst`eme est d’environ 5 secondes. A
la commande et la r´eponse atteint 0 apr`es une demie-oscillation.
La fr´equence de y est donc la suivante :

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1

0

2

4

6

8

10

Figure 3 – Fr´equence y de sortie en fonction du temps
L’´echelon de charge va ainsi perturber le syst`eme et va entrainer la saturation de y `a 62Hz environ.

Page 5 sur 16

Alexandre Thean

Question 4
Le diagramme de Bode du syt`eme est le suivant :

Bode Diagram
20

Magnitude (dB)

0
−20
−40
−60
−80
−100
270

Phase (deg)

180
90
0
−90
−180
−1

10

0

1

10

10

2

10

Frequency (rad/s)

Figure 4 – Diagramme de Bode du syst`eme
En basse fr´equence, le diagramme de Bode a une pente de -20dB/d´ec, ce qui exprime bien le comportement
int´egrateur du syst`eme. Puis, le diagramme de Bode exprime bien un second ordre faiblement amorti avec
une pente de -40db/d´ec.

Page 6 sur 16

Alexandre Thean

Analyse du syst`
eme en boucle ferm´
ee
Question 1

Figure 5 – Sch´ema de principe de l’asservissement

Question 2
>> K

5

Transfer function:
68.41 sˆ4 + 346.7 sˆ3 + 625.9 sˆ2 + 808.7 s + 137.5
--------------------------------------------------sˆ5 + 9.5 sˆ4 + 38.19 sˆ3 + 59.35 sˆ2 + 159.1 s

Ainsi, l’ordre de K(p) est 1 (5 - 4 = 1).
La fonction de sensibilit´e Syb (p), de sensibilit´e compl´ementaire 1 − Syb (p) ainsi que de la commande Sub (p)
s’obtiennent de la mani`ere suivante :
>> Syb = 1 / (1 + K*G)
Transfer function:
5

sˆ9 + 14.33 sˆ8 + 92.1 sˆ7 + 329.9 sˆ6 + 846.5 sˆ5 + 1626 sˆ4 + 1866 sˆ3 + 1591 sˆ2
------------------------------------------------------------------------------------sˆ9 + 14.33 sˆ8 + 92.1 sˆ7 + 352.7 sˆ6 + 893.7 sˆ5 + 1556 sˆ4 + 1857 sˆ3 + 1454 sˆ2
+ 671.2 s + 137.5

10

>> Syyb = 1-Syb
Transfer function:
15

22.8 sˆ6 + 47.17 sˆ5 - 69.67 sˆ4 - 9.632 sˆ3 - 137 sˆ2 + 671.2 s + 137.5
----------------------------------------------------------------------------------sˆ9 + 14.33 sˆ8 + 92.1 sˆ7 + 352.7 sˆ6 + 893.7 sˆ5 + 1556 sˆ4 + 1857 sˆ3
20

+ 1454 sˆ2 + 671.2 s + 137.5

Page 7 sur 16

Alexandre Thean

>> Sub = K / (1 + K*G)
25

Transfer function:

68.41 sˆ13 + 1327 sˆ12 + 1.19e004 sˆ11 + 6.428e004 sˆ10 + 2.417e005 sˆ9+6.877e005sˆ8
30

+ 1.501e006 sˆ7 + 2.504e006 sˆ6 + 3.151e006 sˆ5 + 2.729e006 sˆ4+1.544e006sˆ3
+ 2.188e005 sˆ2
----------------------------------------------------------------------------------------

35

sˆ14 + 23.83 sˆ13 + 266.5 sˆ12 + 1834 sˆ11 + 8772 sˆ10 + 3.126e004 sˆ9 +8.636e004sˆ8
+ 1.877e005 sˆ7 + 3.2e005 sˆ6 + 4.199e005 sˆ5 + 4.087e005 sˆ4 + 2.765e005 sˆ3
40

+ 1.15e005 sˆ2 + 2.188e004 s

Ainsi les pˆ
oles de la fonction de sensibilit´e Syb (p) sont :
>> pole(Syb)
ans =
5

10

-3.3333
-1.0000
-1.0000
-1.5000
-1.5000
-2.0000
-2.0000
-1.0000
-1.0000

+
+
+
+
-

1.5612i
1.5612i
0.8660i
0.8660i
0.0000i
0.0000i
0.0000i
0.0000i

On remarque que tous les pˆoles sont a` parties r´eelles n´egatives, donc l’asservissement est stable.

Page 8 sur 16

Alexandre Thean

Question 3
Le diagramme de Bode de la fonction de sensibilit´e Syb (p) est le suivant :
Bode Diagram
10

5

Magnitude (dB)

0

−5

−10

−15

−20
180

Phase (deg)

90

0

−90
−1

0

10

1

10
Frequency (rad/s)

10

Figure 6 – Diagramme de Bode de la fonction de sensibilit´e
La fonction de sensibilit´e Syb exprime l’effet du bruit sur la sortie. Ainsi, plus on l’att´enue en basse fr´equences,
plus le syst`eme est performant mais moins il est robuste.
Comme on peut le voir sur le diagramme de Bode, on remarque que Syb est faible en basse fr´equence. Cela
montre donc que l’effet du bruit sur notre syst`eme est tout aussi faible.
Cela s’explique naturellement par la nature de notre syst`eme. En effet, le bruit empˆecherait notre syst`eme
d’obtenir en sortie une fr´equence toujours ´egale a` 50Hz et ainsi cela entrainerait une ouverture et une
fermeture successive de la vanne afin d’atteindre les 50Hz demand´e. Une grande sensibilit´e aux bruits
abˆımerait ainsi fortement les actionneurs.
Le diagramme de Bode de la fonction de sensibilit´e de la commande Sub (p) est le suivant :
Bode Diagram
30

20

Magnitude (dB)

10

0

−10

−20

−30
135

Phase (deg)

90

45

0

−45

−90
−2

10

−1

10

0

10
Frequency (rad/s)

1

10

2

10

Figure 7 – Diagramme de Bode de la fonction de sensibilit´e de la commande
Si Sub est faible en haute fr´equence, cela entraine une sollicitation moins importante de la commande, et on
m´enage ainsi nos actionneurs. Cette att´enuation en haute fr´equence est donc extrˆemement importante.
C’est le cas ici.

Page 9 sur 16

Alexandre Thean

Question 4
Le diagramme de Bode de l’asservissement est :
Bode Diagram
Gm = 3.68 dB (at 1 rad/s) , Pm = 28.5 deg (at 0.517 rad/s)
100
80
60

Magnitude (dB)

40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
360

Phase (deg)

180

0

−180

−360
−2

−1

10

0

10

1

10
Frequency (rad/s)

2

10

10

Figure 8 – Diagramme de Bode de l’asservissement
Il vient :
MGain = 3.68dB

(1)

MP hase = 28.5˚

(2)

Or, pour pr´etendre qu’un asservissement est robuste, on doit avoir une marge de gain et de phase sup´erieures
a 6dB et `
`
a 45˚ respectivement. Force est de constater que ce r´egulateur n’est pas robuste, bien qu’il soit
stable comme vu pr´ec´edemment.
On peut retrouver ce r´esultat en analysant le diagramme de Nyquist suivant, car le diagramme ne tourne
jamais autour du point 1 :
Nyquist Diagram
2

1.5

Imaginary Axis

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2
−2

−1.5

−1

−0.5

0
Real Axis

0.5

1

1.5

2

Figure 9 – Diagramme de Nyquist de l’asservissement

Page 10 sur 16

Alexandre Thean

Question 5

1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

0

5

10

15

20

25

30

Figure 10 – Diff´erence entre la commande et la r´eponse de la puissance hydraulique en fonction du temps

0.05

0

−0.05

−0.1

−0.15

−0.2

−0.25

−0.3

0

5

10

15

20

25

30

Figure 11 – Diff´erence entre la commande et la r´eponse en fr´equence en fonction du temps
On remarque qu’avant t = 15s, la diff´erence entre la sortie la commande vaut 0. Rien ne se passe, le
syst`eme fonctionne. Mais `a t = 15s, le r´eseau demande au syst`eme d’absorber toute la puissance produite
ce qui perturbe l’alternateur et donc la fr´equence de sortie. Donc, le comportement de la commande vient
contrecarrer la perturbation et donc asservir le syst`eme. Graphiquement, cela se remarque par le pic et
le puits des deux graphes. Cependant, nous d´esirerons moins d’oscillations, ce qui explique notre ´etude en
troisi`eme partie.
La sensibilit´e aux bruits est quasiment nulle. Afin de v´erifier la robustesse de l’asservissement `a une r´egulation
param´etrique, nous observons sa r´eponse pour une modification de Ta de ± 10%.
Page 11 sur 16

Alexandre Thean

Prenons T a = 9. On obtient :
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

0

5

10

15

20

25

30

Figure 12 – Diff´erence entre la commande et la r´eponse de la puissance hydraulique en fonction du temps

0.05

0

−0.05

−0.1

−0.15

−0.2

−0.25

−0.3

0

5

10

15

20

25

30

Figure 13 – Diff´erence entre la commande et la r´eponse en fr´equence en fonction du temps
On constate que le syst`eme oscille encore plus. Ainsi, le syst`eme et tr`es sensible `a une r´egulation de ± 10%.

Page 12 sur 16

Alexandre Thean

Conception d’un r´
egulateur
Question 1
Afin de contrer la perturbation et d’obtenir un ´ecart statique nul, on doit retrouver un int´egrateur avant
celle-ci car une int´egration apr`es la perturbation n’aura aucune incidence sur celle-ci et ne permettra donc
pas de la contrer.
De plus, nous d´esirons un syst`eme propre afin de pouvoir pallier `a une commande inattendue en entr´ee.

Question 2
L’horizon de commande Tc r`egle la rapidit´e du syst`eme et l’horizon de filtrage Ta est introduit pour la
robustesse du syst`eme. Ainsi, notre choix de la valeur de Tc s’est port´e sur 0.5s afin d’avoir une syst`eme 10
fois plus rapide, le temps de r´eponse pr´ec´edent ´etant de 5s. Puis, Tf devant ˆetre 3 a` 4 fois plus grand que
Tc , la valeur est convenablement choisie.

Question 3
La r´esolution de l’´equation de B´ezout se fait par le script suivant :
cl e ar all
cl ose all
clc
5

10

initchydr
%Mise en place d’un regulateur
[B,A] = tfdata(G, ’v’);
Tc = 0.5;
Tf = 2;
C = ppcom(B,A,Tc,1);
F = ppfil(B,conv(A,[1 0]),Tf,2);

15

Pbf = conv(C,F);
[Sp,R] = bezout(B,conv(A,[1 0]),Pbf);
20

S = conv(Sp, [1 0 ]);
T = (polyval(C,0)/polyval(B,0))*F;

On obtient ainsi :

Puis, puisque T (p) =

S(p) = p5 + 8p4 + 26.25p3 + 37.75p2 + 60.75p

(3)

R(p) = 21p4 + 104.5p3 + 182.5p2 + 234p + 30

(4)

C(0)
.F (p) comme d´efini dans le script ci-dessus, on a :
B(0)
T (p) = 12p5 + 70p4 + 157p3 + 230.5p2 + 144p + 30

(5)

Page 13 sur 16

Alexandre Thean

Question 4
Dans la figure 3, la saturation valant 1 en r´egime lin´eaire, il suffit d’appliquer la formule de Black. Le bloc
F (s)
central vaut alors
et ainsi par simplification de F (s) dans les trois blocs, on obtient la figure 2.
S(s)

Question 5
Pour une consigne en ´echelon de 0 a` 50Hz et un ´echelon de charge d’amplitude 10 a` t = 15, on obtient pour
u:
16
14
12
10
8
6
4
2
0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Figure 14 – Comportement de u en fonction du temps
Soit, la diff´erence entre la sortie et la commande telle que :

0

−0.5

−1

−1.5

−2

−2.5

−3

−3.5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Figure 15 – Diff´erence entre la sortie et la commande en fonction du temps
Page 14 sur 16

Alexandre Thean
On obtient donc des courbes similaires au cas avec le correcteur K, avec cependant moins d’oscillations.

Question 6
La saturation de la commande entraine un emballement de l’int´egrateur pour des saturations d’amplitude
faible. Afin d’y rem´edier, on se propose d’utiliser le sch´ema suivant :

Figure 16 – Sch´ema d’anti-emballement de l’int´egrateur

Question 7
Prenons comme auparavant Ta ± 10%. Pour Ta = 11, le syst`eme reste stable. Ainsi, une impr´ecision sur la
valeur de Ta n’a aucune influence sur le syst`eme.

Question 8
La diminution de l’horizon de commande Tc entraine une diminution du temps de r´eponse, comme ´evoqu´e
pr´ec´edemment. Cependant, si celui-ci est trop diminu´e, la stabilit´e du syst`eme est remise en cause et des
oscillations apparaissent. Le mˆeme comportement est constat´e pour Tf , tout en respectant la condition sur
Tf en fonction de Tc .
J’estime donc avoir un bon r´eglage pour :
(6)
Tc = 0.3s
Tf = 1.2s

(7)

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Alexandre Thean

Conclusion
Ce TP m’a permis de mettre en œuvre mes connaissances sur le r´egulateur RST afin d’en mod´eliser un en
r´esolvant l’´equation de B´ezout. Je suis donc en mesure de r´ealiser mon propre correcteur RST, bien plus
performant qu’un simple correcteur K. De plus, ce TP m’a appris a` analyser les r´eponses d’un syst`eme quant
a juger sur la performance d’un correcteur.
`
Ainsi, les ´etapes cl´es pour la conception d’un asservissement sont, selon moi :
´
– Etude
de la stabilit´e en boucle ouverte
– Recherche des polynˆomes F, C, R, S, T par la r´esolution de l’´equation de B´ezout
– Ajustement des param`etres afin d’am´eliorer la performance du correcteur

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