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Nom original: prérequis-2013-2014.pdf
Titre: prérequis-2013-2014
Auteur: Abdou Kouider Ben-Naoum

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1° Bac en Informatique de Gestion
1° Bac en Informatique et systèmes
Finalité : Automatique
Finalité : Technologie de l’Informatique
Examen de : Mathématiques et Statistiques
Juin 2012

Notions Fondamentales de Mathématique
M.Soblet

1

PREMIERE PARTIE : NOTIONS FONDAMENTALES
D’ARITHMETIQUE ET D’ALGEBRE

Table des matières

Chapitre 1 : Les nombres

page 3

Chapitre 2 : Puissances et radicaux

page 9

Chapitre 3 : Le plan cartésien, équation de la droite cartésienne

page 19

Chapitre 4 : Les fonctions polynômes, racines et signe

page 32

A : Définitions

page 32

B : Recherche des racines et factorisation
(y compris Horner)

page 35

C : Etude du signe d’une fonction polynôme

page 48

2

1° Les nombres
A) L’ensemble N des nombres naturels
Les nombres entiers positifs sont les seuls à être connus par une partie de l’humanité. Ils
répondent au besoin que l’homme a de « compter » le nombre d’habitants dans un village, de
bêtes dans un troupeau….C’est probablement pour cette raison qu’on qualifie ces nombres de
naturels. L’ensemble des naturels ( c’est-à-dire les entiers positifs ) est noté N
Donc
Cet ensemble contient un nombre infini d’éléments, car il n’existe pas « un
dernier naturel » ; quel que soit le naturel choisi, il y a toujours moyen d’en
trouver un plus grand. (tout simplement en ajoutant 1 au naturel initialement
choisi)
Représentation graphique :
0-----1-----2-----3-----4-----5--------------------------------------→
Remarque : En mathématiques, on distingue « 0 » des autres naturels, l’ensemble des naturels
privé de « 0 » est noté N0
Donc
Cet ensemble contient les nombres entiers strictement positifs

B) L’ensemble Z des nombres entiers relatifs
Parce qu’il y a une différence entre avant et après, entre la gauche et la droite, entre avoir de
l’argent et en devoir….et qu’il faut pouvoir montrer cette différence, est apparue la notion de
signe. Chacun sait ce que signifie la mention : solde (crédit) : 234,55 – sur un extrait de
compte !!!
Remarque : en mathématiques, on préfère la notation – 234,55
Les naturels, auxquels on ajoute une notion de signe (+ ou -), sont appelés entiers relatifs et
forment l’ensemble Z
Donc
=
Cet ensemble contient un nombre infini d’éléments, car il n’existe pas de « dernier
entier relatif » pas plus qu’il n’existe de « premier entier relatif »

3

Les entiers précédés d’un signe « + » sont qualifiés de positifs
Les entiers précédés d’un signe «- » sont qualifiés de négatifs.
Cette convention (« + » ≡ positif, « - » ≡ négatif) restera valable pour les éléments des
ensembles Q et R qui seront définis ultérieurement.
Représentation graphique :
←---------------=4----=3----=2----=1-----0-----1-----2-----3-----4-----------------------→
On a également que
=
Remarque : En pratique le signe « + » est facultatif, on écrira souvent 3 pour +3. Mais le
signe « - » est nécessaire si on veut préciser qu’il s’agit d’un entier relatif négatif. Cela
correspond d’ailleurs à notre comportement dans la vie courante : une température de 8° sousentend une température positive de 8° ; si on veut indiquer qu’il s’agit d’une température
négative, on parlera d’une température de –8°

C) L’ensemble Q des nombres rationnels
A l’époque du troc, l’unité de troc était le bœuf. Imaginons qu’on peut échanger 5 ânes contre
2 bœufs, ou 26 moutons contre 3 bœufs. Quelle est la valeur d’un âne par rapport à un bœuf
ou par rapport à un mouton ? On se rend aisément compte que les nombres entiers ne
permettront pas de répondre à cette question et qu’il faut envisager la notion de fractions ou
de rationnels. L’ensemble des rationnels (ou des fractions) est l’ensemble Q.
Donc

Cet ensemble contient un nombre infini d'éléments

Remarques
1°) un nombre entier peut être considéré comme une fraction dont le dénominateur est
égal à 1

4

2°) on sait que les fractions :
Q est la fraction élémentaire

sont équivalentes, leur « représentant officiel » dans
dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre

eux.
Rappel : 2 naturels sont premiers entre eux si 1 est leur seul diviseur commun.
8 et 15 sont premiers entre eux
car les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, 8
et les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15
1 est donc le seul diviseur commun.
12 et 15 ne sont pas premiers entre eux
car les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
et les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15
3 est donc un diviseur commun à 12 et à 15.
3°) il y a équivalence entre

et

Les rationnels sont donc des fractions, positives ou négatives (précédées d’un signe
« + » ou d’un signe « - ») dont le numérateur et le dénominateur (toujours différent de
0) sont des naturels premiers entre eux.
4°) comme dans Z, les « + » sont facultatifs.
5°) les rationnels sont « plus vieux » que le troc !
On a également que

Représentation graphique:
On situe les points de l’ensemble Q également sur une droite, remarquons qu’entre 1 et 2, il
faudra représenter

et j’en passe !

Opérations dans Q
Alors que dans les naturels, seules l’addition et la multiplication sont envisageables (et la
division dans certains cas), on peut dans l’ensemble des rationnels définir les 4 opérations de
base
L’addition et la soustraction
On ne sait additionner ou soustraire que des fractions ayant même dénominateur. Si ce n’est
pas le cas, il faut procéder à une réduction au même dénominateur.
5

ou encore

Mais :
ou encore

La multiplication
Lorsqu’on multiplie 2 fractions l’une par l’autre, on obtient une fraction dont le numérateur
est le produit des numérateurs de départ et dont le dénominateur est le produit des
dénominateurs de départ.

on a bien entendu tenu compte de la règle des signes, à savoir :

Remarque :

, ceci est évident puisque 2 est équivalent à
Donc

La division
Pour diviser une fraction par une autre, il suffit de multiplier la première par l’inverse de la
deuxième.
L’inverse d’une fraction s’obtient en remplaçant le numérateur par le dénominateur et
réciproquement.
L’inverse de

est

6

Remarques :1)

, ceci et évident, puisque 4 est équivalent à
Donc

2)

ceci est évident puisque 3 est équivalent à
Donc

D) L’ensemble R des nombres réels
Imaginons un champ carré donc le côté mesure 1Km. On souhaite partager ce champ en deux
parties de même aire. La manière « sûre à 100% » consiste à couper le champ suivant une
diagonale, cette méthode ne nécessite aucun instrument de mesure et fournira 2 parcelles de
même aire. Pour séparer ces 2 parcelles, il faudra bien entendu dresser une clôture
mitoyenne, quelle sera la longueur de cette clôture ?
Le théorème de Pythagore (dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse – le grand
côté- est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés) permet de dire que
Le carré de la longueur de cette clôture vaut 1² + 1² = 2 (Km²)
Or, même en cherchant bien, on ne parvient à trouver aucun rationnel, qui multiplié par luimême donne la valeur 2. Cela veut donc dire que Q, l’ensemble des rationnels, n’est pas
complet, qu’il contient des « vides » qu’il faut combler. Lorsque ces vides seront comblés, on
aura par la même occasion construit l’ensemble de réels, noté R.
R contient donc en plus de tous les rationnels, ces éléments qu’on a dû ajouter pour combler
les vides, ces derniers éléments sont appelés irrationnels.
On a donc la relation :

N⊂ Z⊂ Q⊂ R
Rappel le symbole « ⊂ » se lit « est inclus dans » ; un ensemble est inclus dans un
autre ssi (si et seulement si) tous les éléments du premier ensemble appartiennent au
deuxième ensemble.
Dans la pratique, R est l’ensemble de tous les nombres décimaux, limités ou non limités
périodiques ou non périodiques.
Rappel : un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous une forme du genre :
-2.154 ; 0.678 ; 145.1313131313131…. ; 1456.12547896251231484……
la partie située à droite du point s’appelle la partie décimale, si cette partie
n’apparaît pas dans l’écriture du nombre, c’est que ce nombre est un entier
(positif ou négatif) .

7

Un nombre décimal est limité, si à partir d’un certain moment, les chiffres qui
composent sa partie décimale sont tous nuls ; dans ce cas on ne les recopie pas.
Exemples : -2.35700000000……. est noté –2.357
3.460650000000…. est noté 3.46065
Un nombre décimal est périodique, si à partir d’un certain moment, les chiffres qui
composent sa partie décimale se répètent régulièrement et dans le même ordre.
Exemples : 2.12456666666666…..
-3.123989898989…….
45.12364587458745874587……..
Représentation graphique
On représente les réels sur une droite, appelée droite réelle. Pour que cette représentation ait
un sens, il ne faut bien sûr pas placer les points au hasard, il faut respecter certaines
conventions :
1) choisir sur la droite réelle un point où sera situé 0, ce point est appelé
origine
-----------------0-------------------------------------------------------------------------→
2) choisir sur cette même droite réelle, généralement à droite de 0, un 2° point
où sera situé le point 1.
-----------------0----------1-------------------------------------------------------------→
la distance entre le point 0 et 1 sera considérée comme distance unité.
3) pour placer un point x positif sur la droite réelle, il suffit de le placer à
droite de 0, à une distance de 0 égale à x fois la distance unité.
-----------------0----------1--------------------------x---------------------------------→
4) pour placer un point x négatif sur la droite réelle, il suffit de le placer
à gauche de 0, à une distance de 0 égale à –x fois la distance unité
(si x est négatif, -x est positif)
---x--------------0------------------------------------------------------------------→
Moyennant ces conventions, on peut montrer que tout nombre réel a sa place sur la droite
réelle, et qu’inversement, tout point de la droite correspond à un nombre réel.
Remarque : Les exemples choisis pour introduire les différents ensembles de nombres ont été
volontairement choisis dans le domaine de la vie courante. Un des buts est de montrer que la
construction des nombres n’est pas une « bête » inventée par les mathématiciens pour se faire
peur, mais un outil répondant à un besoin ; c’est le cas pour la plupart des théories
mathématiques, même si pour certains, cela paraît difficile à croire !!!!!!!!
8

2° Puissances et radicaux
Ce chapitre sera d’une très grande importance en Opérations financières notamment.
Imaginons qu’on place une somme de 100 000,00 Euros à un taux d’intérêts fixe de 5% l’an .
A la fin de la première année, on « récupère » 100 000,00 + 5% de 100 000,00
C’est-à-dire : 100 000,00 *(1.05) , soit € 105 000,00
Si on laisse capitaliser cette somme, à la fin de la 2° année, on « récupère »
105 000,00 + 5% de 105 000,00
c’est-à-dire : 105 000,00*(1.05)
ou encore100 000,00*(105)*(1.05)
soit € 110 250,00
Si on laisse capitaliser cette somme, à la fin de la 3° année, on « récupère »
110 250,00 + 5% de 110 250,00
ou encore 100 000,00*(1.05)*(1.05)*(1.05)
soit € 115 762,50
Si on laisse…..

A) Définition de am (m ∈ N0), appelée puissance mième de a (a ∈ R)
(« ∈ » si lit appartient à)
am désigne le produit de m facteurs égaux à a
Donc : 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32

(-4)6 = -4 * -4 * -4 * -4 * -4 * -4 = 4096
(1.05)3 = 1.05 * 1.05 * 1.05 = 1.157625
Cette définition n’a du sens que si m est un naturel strictement positif, que serait en effet
le produit de –2 facteurs égaux à a, ou encore le produit de 2/3 de facteurs égaux à a ?
Par contre, cette définition est valable pour n’importe quel réel a.
am est donc une notation qui permet d’alléger l’écriture ; c’est en effet « moins fatigant »
d’écrire am que d’écrire a * a * a *…….a (m fois).
a est appelé base et m est appelé exposant, am est appelé puissance mième de a.
Lorsqu’on calcule am , on dit qu’on élève a à la puissance m
Attention à la rigueur de l’écriture :
(-2)4 = -2*-2*-2*-2 = 16
mais -24 = - 2 *2 *2 *2 = -16
Si on veut que l’exposant porte aussi sur le signe, il FAUT mettre des parenthèses.

9

Propriétés
a) soit m et n deux naturels non nuls, alors am+n = am * an
Illustration :
42 = 4 * 4 = 16,
43 = 4 * 4 * 4 = 64 42 * 43 = 16 * 64 = 1024
42+3 = 45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 , le compte est bon !
on a donc bien que 42+3 = 42 * 43
b) soit m et n deux naturels non nuls tels que m > n, alors am-n = am / an
Illustration :
(-2)7 = -2*-2*-2*-2*-2*-2*-2 = -128
(-2)4 = -2*-2*-2*-2 = 16
7
4
(-2) / (-2) = -128 / 16 = -8
7-4
3
(-2) = (-2) = –2*-2*-2 = -8, le compte est encore bon !
on a donc bien que (-2)7-4 = (-2)7 / (-2)4
c) soit m et n deux naturels non nuls, alors am*n = (am)n
Illustration :
(3²)4 = (3 * 3)4 = 94 = 9 * 9 * 9 * 9 = 6561
32*4 = 38 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 6561
le compte est toujours bon !
on a donc bien que 32*4 = (32)4
d) soit m un naturel non nul, alors (1/a)m = 1/ am
Illustration :
(1/2)5 = 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/32
1/ 25 = 1/ (2*2*2*2*2) = 1/32 le compte reste bon !
on a donc bien que (1/2)5 = 1/ 25
e) soit m un naturel non nul, alors (a*b)m = am *bm
Illustration (2*3)4 = 64 = 6*6*6*6 = 1296
24 = 2*2*2*2 = 16
34 = 3*3*3*3 = 81
le compte est….
On a donc bien que (2*3)4 = 24 *34

10

24*34 = 16*81=1296

Remarques : 1°) Pour illustrer les différentes propriétés, nous avons choisi des bases (a)
naturelles, c’est uniquement pour la facilité des calculs. Les courageux auront à cœur de
vérifier par exemple que (0.2354)5+7 = (0.2354)5 * (0.2354)7 !!!!!!
2°) toutes ces propriétés se démontrent très facilement en utilisant la définition
de am, mais ce n’est pas le but poursuivi ici.

B) Définition de la racine mième de a ( m ∈ N0)
Une racine mième de a est un nombre, qui, élevé à la puissance m restitue a
Exemples : 2 est racine cinquième de 32 car 25 = 32
3 est racine quatrième de 81 car 34 = 81
-3 est racine quatrième de 81 car (-3)4 = 81
Plusieurs cas sont à distinguer :
*) 0 admet une seule racine mième, quelle que soit la valeur de m, cette racine est 0.
en effet 0m = 0 quelle que soit la valeur de m, et 0 est le seul nombre qui élevé à une
puissance m donne 0.
*) si m est impair, tout nombre a ≠ 0 admet une seule racine mième réelle, cette racine est
notée
Exemples :

car 25 = 32
car (-3)3 = -27

*) si m est pair,
tout nombre a > 0 admet deux racines réelles, une est positive et l’autre est son
opposé, elles sont notées respectivement
et
Exemple :
car 24 = 16 et
car (-2)4 = 16
Tout nombre a < 0 n’admet aucune racine mième réelle, en effet, il n’existe
aucun nombre réel, qui élevé à une puissance paire donne un nombre négatif (à
cause de la règle des signes).

On a donc : pour m impair :
Pour m pair et a > 0,

Remarques : 1°)

se note simplement

et

et se lit : racine carrée de a

2°)

existent, mais il n’est pas évident de les

calculer (sans machine !).

11

C) Définition de am, (m ∈ Q)
Ceci sera entre autre utilisé en opérations financières, lorsqu’on place, par exemple, un capital
à un taux annuel pour une période qui ne constitue pas exactement un nombre entier d’années
(exemple : 2 ans et 7 mois).
Nous savons que si m ∈ N0, am désigne le produit de m facteurs égaux à a ; la notation am
existe cependant également pour m ∈ Q, nous allons expliquer ce qu’elle désigne alors :
1) Donnons un sens à a1/m (m∈ N0)
a1/m désigne la racine mième de a, si m est impair.
a1/m désigne, lorsqu’elle existe, la racine mième positive de a, si m est pair.
Donc :
Exemples : 81/3 =
= 2,
1/4
81 =
= 3,

(-8)1/3 =
= -2
1/4
- 81 = = -3 ,
alors que
n’existe pas puisque
–81 n’a pas de racine quatrième

Attention donc à la rigueur de l’écriture !
2) Donnons un sens à a-m (m∈ N0)
a-m désigne l’inverse de am
Donc :

ceci suppose bien sûr que a ≠ 0

Exemples : 2-3 = 1/ 23 = 1/ 8
1/ 3-2 =

= 3²

(1/5)-3 =
3) Donnons un sens à am/n, (m, n ∈ N0)
am/n désigne la racine nième de am si n est impair
am/n désigne, lorsqu’elle existe, la racine nième positive de am si n est pair
Donc
Exemples: 82/3 =
(-8)5/3 =
(-8)5/2 =

= - 32
(on peut vérifier que (-32)5 = - 32768)
, qui n’existe pas dans R !

12

Propriété : lorsqu’elles existent toutes les 2,
(on peut vérifier que 93 = 729)

Illustration :
.
4) Donnons un sens à a-m/n , (m, n ∈ N0)
a-m/n désigne lorsqu’il existe, l’inverse de am/n
Donc :

ceci suppose bien sûr que a ≠ 0

Exemples : 125-2/3 =
(-8)-3/2 =

qui n’existe pas dans R.

5) Posons a0 = 1 (avec a ≠ 0)
En se souvenant qu’un rationnel q est une fraction positive ou négative (précédée d’un signe
« + » ou d’un signe « - ») dont le numérateur est un naturel et le dénominateur
un naturel non nul, on peut donner un sens à aq pour un rationnel q quelconque ; on peut
montrer que les propriétés vues pour les exposants naturels à savoir :
a) soit m et n deux naturels non nuls, alors am+n = am * an
b) soit m et n deux naturels non nuls tels que m > n, alors am-n = am / an
c) soit m et n deux naturels non nuls, alors am*n = (am)n
d) soit m un naturel non nuls, alors (1/a)m = 1/ am
e) soit m un naturel non nul, alors (a*b)m = am *bm
se généralisent sans problème lorsque l’exposant est rationnel, on a donc :
a) soit p et q deux rationnels non nuls, alors ap+q = ap * aq
b) soit p et q deux rationnels non nuls, alors ap-q = ap / aq
c) soit p et q deux rationnels non nuls , alors ap*q = (ap)q
d) soit q un rationnel non nul , alors (1/a)q = 1/ aq
e) soit q un rationnel non nul, alors (a*b)q = aq *bq
Remarque : certaines de ces propriétés sont également valables pour un exposant nul
(lesquelles ?). Il faudra alors préciser que la base est non nulle
Illustrations :
a)
en effet :
et

13

b)
en effet :
et

c)
en effet :
et

d)
en effet :
et

e)
en effet :
et

Toutes ces propriétés permettent de simplifier des expressions en apparence compliquées :
Exemples :

ou encore

(Puisque

, on a forcément que

14

)

=

ou encore
ou encore

D) La mise en évidence
Chacun sait que 6 + 8 = 2 * (3 + 4)
Ou encore que

.

Plus généralement : a*b + a*c = a * (b + c)
Dans une somme, lorsqu’un facteur est commun à tous les termes, ce
facteur peut être mis en évidence.
Exemples :

(car

et

(car
et

)

Remarque : en mathématique, le signe « * » entre 2 lettres , entre une lettre et un nombre, ou
entre 2 expressions entre parenthèses, est facultatif.
Ainsi
peut s’écrire ab
peut s’écrire 2a
(3+a)*(6+b) peut s’écrire (3+a)(6+b)
Mais
ne peut s’écrire 23
En général, le signe « * » est utilisé lorsqu’on veut souligner l’existence d’un produit.

15

La mise en évidence n’est pas uniquement un outil permettant d’écrire « moins » dans certains
cas, c’est aussi un outil permettant des simplifications :
Exemples

(En effet,
avec le temps, ceci deviendra évident !!!!!!)

(En effet,
avec le temps……et du travail……....)
Remarque Dans une expression fractionnaire, il est vivement conseillé de mettre en
évidence avant d’entreprendre une simplification. Certains, pour « gagner du temps »
effectuent des simplifications à la « Ramboo » et se retrouvent souvent KO !
La mise en évidence est également une des bases de la factorisation, nous verrons la
pleine utilité de cette dernière dans le chapitre intitulé « les fonctions polynômes »
(La factorisation est l’ensemble des méthodes permettant de transformer les sommes en
produits)

E) Les produits remarquables
Certaines sommes sont remarquables en ce sens qu’il est facile de les transformer en un
produit ; inversement, certains produits sont remarquables en ce sens qu’ils correspondent
à une somme bien particulière
Exemple :

on retient que de façon générale : (a + b)² = a² + 2ab + b²
Lorsqu’on rencontre une expression du type a² + 2ab + b²,
on peut la remplacer par (a + b)²
16

Donc,
=

= (a +3)²
=

= (2a + 5)²

Autres formules de produits remarquables :
(a – b)² = a² - 2ab + b²
Donc,

(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3
Donc ,

(a - b)3 = a3 - 3a²b + 3ab² - b3
Donc,

Et aussi:
a² - b² = (a + b) * (a – b)
Donc,

17

a3 - b3 = (a - b) * (a² + ab + b²)
Donc,

a3 + b3 = (a + b) * (a² - ab + b²)
Donc,

Remarque: il n’existe pas de produit remarquable relatif à la somme de 2 carrés. En clair cela
signifie que l’expression a² + b² ne peut s’exprimer sous forme d’un produit.
Comme la mise en évidence, les produits remarquables sont des outils de base de la
factorisation ; les deux outils sont parfois utilisés de manière conjointe.
Exemples :

18

3° Le plan cartésien
Equation cartésienne de la droite
A) Le plan cartésien
Parce que notre environnement est plus étendu que la droite réelle et qu’habituellement on se
déplace sur une surface plane (à première vue), on a ressenti le besoin de trouver un « système
de repérage » dans le plan. Il existe plusieurs façons de se repérer dans le plan ; nous allons
présenter ici le principe utilisé notamment dans les cartes routières, les mots croisés, le
combat naval (le jeu, pas la vraie bataille en mer qui elle utilise un autre système de
repérage !)…
Munissons le plan (= tableau, une feuille de papier…) de 2 axes notés généralement X et Y
X est appelé « axe des abscisses » et est en général un axe horizontal
Y est appelé « axe des ordonnées » et est en général un axe vertical
Dans ce qui suit, nous supposerons
que X est un axe horizontal et que Y est un axe vertical.
Appelons origine l’intersection des axes X et Y.
Sur chacun des axes, fixons une unité de longueur

Nous avons ainsi défini le plan cartésien, noté R²dans lequel nous pouvons définir
pour chaque point P, 2 coordonnées cartésiennes en utilisant le procédé suivant :
Projetons le point P sur l’axe des X, perpendiculairement à cet axe, nous obtenons
ainsi sur l’axe des X un point situé à droite de l’origine, à une distance de l’origine
égale à 3 fois l’unité de longueur choisie sur l’axe des X, la première coordonnée
cartésienne de P est la valeur 3.
Projetons le point P sur l’axe des Y, perpendiculairement à cet axe, nous obtenons
ainsi sur l’axe des Y un point situé au -dessus de l’origine, à une distance de l’origine
égale à 2 fois l’unité de longueur choisie sur l’axe des Y, la deuxième coordonnée
cartésienne de P est la valeur 2.
Les coordonnées cartésiennes de P sont donc 3 et 2.
Notation : P(3,2)
19

De façon générale, les coordonnées cartésiennes d’un point sont notées (x,y). Si on est amené
à considérer plusieurs points, on notera leurs coordonnées ( x1,y1), (x2,y2),(x3,y3)….
Les points situés à droite de l’axe des Y ont leur première coordonnée cartésienne positive.
Les points situés à gauche de l’axe des Y ont leur première coordonnée cartésienne négative.
Les points situés au-dessus de l’axe des X ont leur seconde coordonnée cartésienne positive.
Les points situés en-dessous de l’axe des X ont leur seconde coordonnée cartésienne
négative.
Les coordonnées cartésiennes de l’origine sont données par le couple (0,0).
Les coordonnées cartésiennes d’un point situé sur l’axe des abscisses sont de la forme (x,0),
tandis que les coordonnées cartésiennes d’un point situé sur l’axe des ordonnées sont de la
forme (0,y).

Remarques : 1°) Par convention, la première coordonnée est celle relative à l’axe des X,
la deuxième étant relative à l’axe des Y.
2°) Il n’est pas nécessaire de choisir la même unité de longueur sur les 2 axes.
3°) Chaque point P admet un et un seul couple de coordonnées cartésiennes.
Inversement, tout couple de coordonnées cartésiennes détermine un et un seul
point P.
Attention : dans un couple de coordonnées cartésiennes, l’ordre a de l’importance ainsi, les
couples ( -1,2) et (2,-1) ne représentent pas les mêmes points (voir ci-dessus).

B) Equation cartésienne de la droite
Géométriquement, la droite est un trait rectiligne de longueur infinie. Cette définition, si elle
n’est pas mieux exploitée, est un peu trop vague pour permettre de dégager les propriétés dont
jouit la droite.
Une équation est un renseignement qui s’exprime sous forme d’une égalité. L’équation
cartésienne d’une droite (ou de toute autre courbe) exprime une relation entre les
coordonnées cartésiennes x et y d’un point quelconque de cette droite (ou de cette courbe).

20

Un point P(x,y) appartient à la droite (à la courbe) ssi (si et seulement si) ses coordonnées
cartésiennes x et y vérifient l’équation cartésienne de cette droite (de cette courbe)
Pour déterminer l’équation cartésienne d’une droite D, il faut évidemment connaître certains
renseignements sur cette droite ; il faut connaître :
Soit 2 points de passage de cette droite,
Soit 1 point de passage et le coefficient angulaire de cette droite.
B1) équation cartésienne d’une droite dont on connaît 2 points de passage
Un axiome de la géométrie du plan affirme que par 2 points différents passe une et une seule
droite. Il devrait donc être possible, à l’aide de 2 points de passage donnés d’une droite,
d’exprimer l’équation cartésienne de cette droite.
Soient (x1,y1) et (x2,,y2) 2 points de passage donnés d’une droite D et (x,y) un point
quelconque de cette droite, il faut donc essayer de trouver un renseignement liant x et
y, qui permette de définir la droite de manière univoque.
Géométriquement :

Si les coordonnées cartésiennes de A sont (x1,y1), que celles de B sont (x2,y2) et que
celles de C sont (x,y), les coordonnées cartésiennes de D sont (x2,y1) et celles de E sont
données par (x, y1)

On remarque que les triangles ADB et AEC sont semblables, par conséquent,
or

21

Donc :

ou encore :
qui est l’équation cartésienne « primaire »
de la droite D passant par les points (x1,y1) et (x2,y2)

On écrira :
Exemples
 1°) Equation cartésienne de la droite D passant par les points (2,3) et (4,1)
On a donc que (x1,y1) = (2,3) et (x2,y2) = (4,1)
Géométriquement, on constate qu’il s’agit d’une droite oblique ne passant pas par l’origine

On peut écrire :
(a)
Ou bien :
C.-à-d. :

(b)
Remarque : il y a bien entendu équivalence entre (a) et (b) , mais on a une préférence pour
l’expression (b), et c’est en général cette dernière qu’on retient et à laquelle on donne le nom
d’équation cartésienne ; notons toutefois que le passage par l’expression (a) est nécessaire

22

pour obtenir l’expression finale. Exprimée sous sa forme (b) avec le coefficient de y égal à 1,
l’équation cartésienne est unique.
Les « esprits de contradiction développés » auraient pu dire : choisissons (x1,y1) = (4,1) et
(x2,y2) = (2,3)
On aurait alors :
Ou bien :
C.-à-d. :

,

Et finalement :
On obtient heureusement le même résultat !!!! En effet l’équation cartésienne d’une droite
étant unique, il ne saurait en être autrement.
 2°) Equation cartésienne de la droite D passant par (1,2) et (2,4).
Géométriquement, on constate qu’il s’agit d’une droite oblique passant par l’origine
On a donc que (x1,y1) = (1,2) et (x2,y2) = (2,4)

On peut écrire :
Ce qui donne :
Ou encore :
C.-à-d.

23

 3°) Equation cartésienne de la droite D passant par (4,3) et (-2,3)
Géométriquement, on constate qu’il s’agit d’une droite horizontale :
On a donc que (x1,y1) = (4,3) et (x2,y2) = (-2,3)

On peut écrire :
Ce qui donne :
Ou encore :
C.-à-d. :

 4°) Equation cartésienne de la droite D passant par (4,3) et (4,1)
Géométriquement, on constate qu’il s’agit d’une droite verticale :
On a donc que (x1,y1) = (4,3) et (x2,y2) = (4,1)

24

Lorsqu’on veut écrire l’équation cartésienne de la droite, on obtient :

Ce qui donne :

;

Ceci est bien entendu impossible, puisqu’on constate l’existence d’un dénominateur nul !
On pourrait montrer que l’équation cartésienne de la droite est :

(On peut en effet remarquer que tous les points de la droite D ont leur première
coordonnée cartésienne égale à 4)
En résumé :
L’équation cartésienne d’une droite quelconque (oblique, ne passant pas par l’origine)
est de la forme :
L’équation cartésienne d’une droite oblique passant par l’origine est de la forme :

(c’est donc l’équation «

», dans laquelle b = 0 )

L’équation cartésienne d’une droite horizontale est de la forme :

(c’est donc l’équation «

», dans laquelle a = 0 )

L’équation cartésienne d’une droite verticale est de la forme :

On constate que seule l’équation cartésienne d’une droite verticale « fait bande à part », elle
est la seule à ne pas pouvoir s’exprimer sous la forme
On remarque également grâce aux exemples développés ci-dessus que

La valeur de a est donnée par la quantité

Lorsqu’on connaît l’équation cartésienne d’une droite, il est facile de tracer cette droite :

25

Exemples :
 1°)

Il s’agit d’une droite oblique ne passant pas par

l’origine

Il suffit de déterminer 2 points de passage de cette droite c-à-d de trouver 2 couples (x1,y1) et
(x2,y2) qui vérifient l’équation cartésienne de cette droite
Prenons x1 = 0, alors y1 = 2 (car y1 = 3*0+2)
1° point de passage : (0,2)
Prenons y2 = 0, alors x2 = -2/3 (car 3x2 = 0 – 2, donc x2 = -2/3)
2° point de passage : (-2/3,0)

 2°)

Il s’agit d’une droite oblique passant par l’origine

Il suffit de déterminer 2 points de passage de cette droite .
(0,0) est forcément un point de passage de cette droite, il suffit donc d’en trouver un
deuxième.
Prenons x1 =1, alors y1 =3 (car y1 = 3*1)
2° point de passage : (1,3)

26

 3°)

Il s’agit d’une droite horizontale

Il suffit donc de connaître un seul point de passage de la droite.
La seule condition à vérifier est d’avoir une ordonnée égale à 3. Le point (0,3)
convient donc.

 4°)

Il s’agit d’une droite verticale

Il suffit donc de connaître un seul point de passage de la droite.
La seule condition à vérifier est d’avoir une abscisse égale à 3. Le point (3,0) convient
donc.

B2) Equation cartésienne d’une droite dont on connaît le coefficient angulaire et un
point de passage.
Rappelons que l’équation cartésienne d’une droite D est un renseignement qui s’exprime sous
forme d’égalité et qui lie les coordonnées x et y d’un point quelconque de cette droite. Un
point (x,y) appartient à D ssi x et y vérifient l’équation cartésienne de D. Cette équation
cartésienne est bien entendu unique, mais peut être obtenue de différentes façons. Nous avons

27

vu comment obtenir cette équation à partir de 2 points de passage, nous allons voir comment
faire si on dispose d’un point de passage de la droite et de son coefficient angulaire.
Nous avons vu précédemment que l’équation cartésienne d’une droite non verticale était

(où b = 0 si la droite passe par l’origine, où a = 0 si la droite est horizontale)

Le coefficient angulaire de la droite D est donné par la valeur a

Exemples
Si

, le coefficient angulaire de D est 3.
On constate que (0,2), (1,5), (2,8), (3,11)…. D
Lorsque x augmente de 1, y augmente de 3.

Si

, le coefficient angulaire de D est –2.

On constate que (0,5), (1,3), (2, 1), (3, -1)…. D
Lorsque x augmente de 1, y diminue de 2
ou augmente de –2.
(En langage mathématique, diminuer de 2 revient à augmenter de-2)

Si

, le coefficient angulaire de D est 5.
On constate que (0,0), (1,5), (2,10), (3,15)….. D
Lorsque x augmente de 1, y augmente de 5.

Si

, le coefficient angulaire de D est 0.
On constate que (0,5), (1,5), (2,5), (3,5)…… D
Lorsque x augmente de 1, y ne bouge pas
ou augmente de 0.

Le coefficient angulaire d’une droite non verticale représente donc
la quantité dont y augmente lorsque x augmente de 1
Un coefficient angulaire positif annonce une droite « montante ».
Un coefficient angulaire négatif annonce une droite « descendante ».
28

La connaissance du coefficient angulaire d’une droite et d’un point de passage de cette droite
permet de déterminer l’équation cartésienne de cette droite.
L’équation cartésienne d’une droite D passant par les points (x1,y1) et (x2,,y2) était :

Si on se souvient que la valeur de a est donnée par la quantité

, on a de manière

évidente que l’équation cartésienne de la droite D passant par le point (x1,y1) et de coefficient
angulaire a est :

Exemples
 1°) Equation cartésienne de la droite D passant par (3,1) et dont le coefficient a la
valeur 2

On peut écrire :

Ce qui donne :
Ou encore :
C.-à-d. :

29

 2°) Equation cartésienne de la droite D passant par (1,-2) et dont le coefficient a la
valeur –2

On peut écrire :

Ce qui donne :
Ou encore :
C.-à-d. :

A son équation, on constate que D est une droite passant
par l’origine, ce qui est confirmé par le graphique.

 3°) Equation cartésienne de la droite D passant par (1,2) et dont le coefficient a la
valeur 0

On peut écrire :

30

Ce qui donne :
C.-à-d. :

Il s’agit bien entendu d’une droite horizontale, puisque son coefficient angulaire est nul.

Remarque : une droite verticale n’a pas de coefficient angulaire ; parfois alors on dit que ce
coefficient est infini. Pour déterminer l’équation cartésienne de la droite verticale D passant,
par exemple, par le point (2,3), il suffit d’écrire :

31

4°Les fonctions polynômes
racines et signe
A) Définitions
Une fonction réelle f d’une variable réelle est un outil mathématique que permet d’associer à
certains réels x un autre réel y (dépendant de x), appelé image de x par f et noté f(x)
Exemples
, donc
, donc

,
mais f(-9) n’existe pas car la racine carrée d’un réel négatif
n’existe pas

, donc
mais f(-2) n’existe pas car la racine carrée d’un réel négatif
n’existe pas
, donc
mais f(2) n’existe pas, car on ne peut pas diviser par 0

Le domaine de définition d’une telle fonction est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x)
existe ; ce domaine est en général noté Dom f.
Exemples
: on sait que le carré de n’importe quel réel existe, on en conclut que Dom f = R
: on sait que

n’existe que si

, on en conclut que Dom f =

: cette expression n’existe que si
on en conclut que Dom f =

32

(à cause de

),

: cette expression existe pourvu que

, on en conclut que Dom f =

Pour définir correctement une fonction, il convient non seulement d’exprimer f(x), mais
également Dom f.
Notation : f : Dom f

Exemples
f:

,

f:

,

f:

,

f:

,

Pour n’importe quelle fonction f, on peut dire qu’à chaque point x Dom f, correspond un
point f(x) ; à chaque point x Dom f, on peut donc faire correspondre un couple (x¸f(x))
qu’on pourrait représenter dans le plan cartésien en utilisant la méthode vue au chapitre
précédent.
Pour représenter graphiquement une fonction, il « suffit » de représenter, dans le plan
cartésien, tous les couples (x¸f(x)) existants. On obtient généralement un trait presque partout
continu, appelé graphique de f
Exemples
f:

:

a pour graphique :

33

f:

, :

a pour graphique

Remarque : il n’est pas toujours évident de tracer le graphique d’une fonction, cela nécessite
souvent la maîtrise d’outils mathématiques puissants tels que les dérivées.
Les racines d’une fonction f sont les valeurs x pour lesquelles f(x) = 0. Géométriquement, cela
correspond aux endroits où le graphique coupe l’axe des x. Les 2 fonctions dont le graphique
est tracé ci-dessus ont une seule racine, dans les 2 cas, cette racine vaut 0. Les racines sont un
outil capital pour la recherche du signe d’une fonction, elles jouent également un rôle
fondamental en recherche opérationnelle (= branche qui essaye de déterminer la meilleure
solution d’un problème ).
Un polynôme (réel) de degré n est une expression de la forme :

où an, an-1, an-2, ....,a2, a1, a0 sont des nombres constants réels appelés coefficients.
Exemples
5x4 – 3x3 + 7x² + 2x –15 est un polynôme de degré 4.
8x7 – 3x² + 13 est un polynôme de degré 7, vu qu’il contient 3 termes, on parlera de trinôme.
7x6 + 5 est un polynôme de degré 6, vu qu’il contient 2 termes, on parlera de binôme.
3x + 2 est un polynôme de degré 1, vu qu’il contient 2 termes, on parlera de binôme.
15x2 est un polynôme de degré 2, vu qu’il ne contient qu’un seul terme, on parlera de
monôme.
7 est un polynôme de degré 0, vu qu’il ne contient qu’un seul terme, on parlera de monôme.

34

Remarque : de telles expressions existent quelle que soit la valeur de x
0 est le polynôme nul, il est le seul à ne pas avoir de degré.
Une fonction polynôme est une fonction f telle que f(x) est un polynôme
Exemple

est une fonction polynôme
De telles fonctions ont toujours un domaine de définition égal à R. Dans la suite de ce
chapitre, nous allons nous intéresser à la recherche des racines, à la factorisation, et à l’étude
du signe des fonctions polynômes.

B) Recherche des racines et factorisation d’une fonction polynôme
Comme nous l’avons vu précédemment, une racine d’une fonction f est un point x tel que
f(x) = 0. La factorisation consiste à exprimer le polynôme (qui au départ est une somme),
sous forme d’un produit ; plus l’expression contient de facteurs, plus elle est factorisée. La
factorisation est terminée lorsqu’il n’est plus possible de faire apparaître de nouveaux facteurs
Certaines expressions sont factorisables, d’autres ne le sont pas.
Exemples
On peut montrer que
que
Mais que

n’est pas factorisable.

Souvent, il n’est pas possible de dire à première vue qu’un polynôme est factorisable et
encore moins de donner le résultat de la factorisation. Il existe pour cela des méthodes qui
fonctionnent dans certains cas, nous allons les présenter.
Il existe un lien étroit entre recherche des racines et factorisation : on peut montrer que :
Si r est racine d’une fonction polynôme f,
alors et seulement alors,
le facteur (x – r) apparaît dans la factorisation de f(x)
Illustration
Soit f(x) = 3x3 – 11x² + 12x – 4
On a que f(2) = 0
On peut vérifier que f(x) = (x – 2)(3x² -5x + 2)
B1) Le polynôme nul
Il s’agit donc de la fonction

Quelle que soit la valeur de x, f(x) = 0, quel que soit x, x est racine de f .
35

B2) Les polynômes de degré 0
Il s’agit donc des fonctions du type :

Quelle que soit la valeur de x,
, aucune valeur x n’est donc racine de f.
Les fonctions polynômes de degré 0 ne sont pas factorisables.
B3) Les polynômes de degré 1
Il s’agit donc des fonctions du type :
avec
Pour que x soit racine, il faut que ax + b = 0
c-à-d :
ax = -b
ou :
Ces fonctions admettent donc une seule racine.
Exemples
,

la racine de f vaut

,

la racine de f vaut

La seule factorisation éventuellement possible pour les fonctions polynômes de degré 1 est la
mise en évidence d’un facteur réel constant.
Exemple : f(x) = 4x + 6 = 2*(2x + 3)
B4) Les polynômes de degré 2
Il s’agit donc des fonctions du type :
avec

36

Nous allons présenter la façon de procéder pour déterminer les racines de f et factoriser f(x)
sans pour autant justifier :
a) Calcul du réalisant noté
Si f(x) = 2x² + 3x – 7,

= (3)² - 4*2*(-7) = 9 + 56 = 65

b) 3 cas sont possibles :
 1)

> 0 : dans ce cas, f admet 2 racines réelles distinctes,

Ces racines sont données par
Exemples :
o Si f(x) = x² - 5x + 6
Les racines sont donc données par :

=

Ce qui fournit les valeurs : 3 et 2
On vérifie aisément que f(x) = (x – 2)(x – 3)
o Si f(x) = 2x² + 5x -3
Les racines sont donc données par :

=

Ce qui fournit les valeurs : 1/2 et -3
On vérifie aisément que f(x) = 2(x – 1/2)(x –(- 3)) = 2(x – ½)(x + 3)
De façon générale, lorsqu’une fonction f(x), polynôme de degré 2, admet 2 racines
réelles distinctes r1 et r2 (c-à-d lorsque le réalisant est strictement positif), f(x) est
factorisable et

 2)

= 0, dans ce cas f admet 2 racines réelles confondues
(on dit alors que f admet une racine double)

La valeur de la racine est donnée par :
Exemples
o Si

37

La racine double vaut

(produit remarquable !)

On vérifie facilement que
o Si

La racine double est donnée par
On vérifie facilement que
De façon générale, lorsqu’une fonction f(x),polynôme de degré 2, admet une racine
double r, (c-à-d lorsque le réalisant est nul), f(x) est factorisable et :

 3)
, dans ce cas f n’admet aucune racine réelle et f n’est
pas factorisable
Exemple
o Si

,

f(x) n’est pas factorisable, il n’est donc pas possible d’exprimer f(x)
sous forme d’un produit.
B5) les polynômes de degré strictement supérieur à 2
Il existe une méthode de factorisation pour les polynômes de degré 3 et 4, mais cette méthode
est très compliquée et peu utilisée. La méthode que nous allons présenter ne fonctionne pas
toujours, mais quand elle fonctionne, elle a le mérite d’être simple ! Elle est basée sur le fait,
« qu’avec un peu de chance », certaines racines de f(x) sont des diviseurs entiers du terme
indépendant supposé non nul. Et dans la pratique, on constate qu’on a souvent de la chance !
Exemples
 1°) Si
Les diviseurs de –24 sont :
On remarque que f (2) = 8-36+52-24 = 0, 2 est donc racine de f(x)
Si on se rappelle la propriété énoncée en début de paragraphe, à savoir :
Si r est racine d’une fonction polynôme f,
alors et seulement alors,
38

le facteur (x – r) apparaît dans la factorisation de f(x)
On en conclut que ( x – 2) apparaît dans la factorisation de f(x),
ou encore
que f(x) = (x – 2) * q(x)
q(x) étant le polynôme quotient obtenu en divisant f(x) par x – 2
Pour connaître l’expression de q(x) , il faudrait donc effectuer la division de f(x) par x – 2.
Plutôt que d’utiliser la division euclidienne (méthode générale pour diviser un polynôme par
un polynôme), on va utiliser le schéma d’Horner, méthode beaucoup plus simple, qui n’est
valable que pour la division d’un polynôme par un polynôme du type x – a
Le schéma d’Horner repose sur un tableau comprenant 3 lignes :
La première ligne contient dans l’ordre décroissant du degré, les coefficients du polynôme à
diviser (= le dividende). Cette ligne est donc donnée et ne nécessite aucun calcul.
Pour l’exemple ci-dessus, cette première ligne sera donc constituée des éléments :
1

-9

26

-24

Remarque : Un polynôme de degré n ne contient pas nécessairement tous les termes de
puissance 0,1,2…n. Dans ce cas, les termes « manquants » ont leur place dans la première
ligne du schéma et sont signalés par « 0 »
Le polynôme
donnerait une première ligne constituée des
nombres :3, 0, -3, 2, -7
La troisième ligne contient dans l’ordre décroissant du degré, les coefficients du polynôme
quotient ( = q(x), celui qu’on cherche). Cette ligne s’obtient donc après calculs. Le premier
élément de cette troisième ligne est le premier élément de la première ligne, on a donc :
1
-9
26 -24
1
Les éléments suivants sont la somme des éléments correspondants sur les 2 lignes supérieures.
Cette 3° ligne se « remplit » de gauche à droite, en même temps que la deuxième ligne.
La deuxième ligne est un outil, cette ligne est décalée par rapport aux 2 autres : son premier
élément se situe entre le 2° élément de la première ligne et le 2° élément de la
troisième ligne. Le premier élément de cette 2° ligne est le produit du premier élément de la
3° ligne par le racine (ici 2) , on a donc :
1

-9
2

26

-24

1

39

Et puisque les éléments de la 3° ligne s’obtiennent en faisant la somme des éléments
correspondants sur les 2 lignes supérieures, on a donc :
1
1

-9
2
-7

26

-24

Le 2° élément de cette 2° ligne est le produit du 2° élément de la 3° ligne par le racine (ici 2)
On a donc :
1
1

-9
2
-7

26
-14

-24

Et puisque les éléments de la 3° ligne s’obtiennent en faisant la somme des éléments
correspondants sur les 2 lignes supérieures, on a donc :
1
1

-9
2
-7

26
-14
12

-24

Le 3° élément de cette 2° ligne est le produit du 3° élément de la 3° ligne par le racine (ici 2)
On a donc :
1
1

-9
2
-7

26
-14
12

-24
24

Et puisque les éléments de la 3° ligne s’obtiennent en faisant la somme des éléments
correspondants sur les 2 lignes supérieures, on a donc :
1

-9
26 -24
2
-14 24
1
-7
12 0
Les valeurs 1, -7, 12 sont les coefficients du polynôme quotient, le polynôme quotient est
donc :
On a donc que :
est un polynôme de degré 2

40

les racines sont données par
On sait donc que :

, ce qui fournit les valeurs 3 et 4
= (x – 3 )*(x – 4)

Et finalement :
Remarque : le dernier élément de la 3° ligne est le reste de la division ; un reste = à 0 signifie
que la division est exacte, à l’inverse un reste ≠ de 0 indique une division non exacte. Nous
sommes partis du fait que 2 était racine du polynôme et que de ce fait ce polynôme était
divisible par x – 2, un reste ≠ de 0 aurait été synonyme d’erreur.

 2°) Si
Les diviseurs de -30 sont :
On remarque que f (3) = 81-234+183-30 = 0, 3 est donc racine de f(x)
Si on se rappelle la propriété énoncée en début de paragraphe, à savoir :
Si r est racine d’une fonction polynôme f,
alors et seulement alors,
le facteur (x – r) apparaît dans la factorisation de f(x)
on en conclut que ( x – 3) apparaît dans la factorisation de f(x),
ou encore
que f(x) = (x – 3) * q(x)
q(x) étant le polynôme quotient obtenu en divisant f(x) par x – 3
Pour connaître l’expression de q(x), il faudrait donc effectuer la division de f(x) par x -3.
Rappelons que le schéma d’Horner repose sur un tableau comprenant 3 lignes :
La première ligne contient dans l’ordre décroissant du degré, les coefficients du polynôme à
diviser (= le dividende). Cette ligne est donc donnée et ne nécessite aucun calcul.
Pour l’exemple ci-dessus, cette première ligne sera donc constituée des éléments :
3

-26

61

-30

La troisième ligne contient dans l’ordre décroissant du degré, les coefficients du polynôme
quotient ( = q(x), celui qu’on cherche). Cette ligne s’obtient donc après calculs. Le premier
élément de cette troisième ligne est le premier élément de la première ligne, on a donc :
3

-26

61

-30

3
41

Les éléments suivants sont la somme des éléments correspondants sur les 2 lignes supérieures.
Cette 3° ligne se « remplit » de gauche à droite, en même temps que la deuxième ligne.
La deuxième ligne est un outil, cette ligne est décalée par rapport aux 2 autres : son premier
élément se situe entre le 2° élément de la première ligne et le 2° élément de la
troisième ligne. Le premier élément de cette 2° ligne est le produit du premier élément de la
3° ligne par le racine (ici 3)
On a donc :
3

-26
9

61

-30

3
Et puisque les éléments de la 3° ligne s’obtiennent en faisant la somme des éléments
correspondants sur les 2 lignes supérieures, on a donc :
3
3

-26
9
-17

61

-30

Le 2° élément de cette 2° ligne est le produit du 2° élément de la 3° ligne par le racine (ici 3)
On a donc :
3
1

-26
9
-17

61
-51

-30

Et puisque les éléments de la 3° ligne s’obtiennent en faisant la somme des éléments
correspondants sur les 2 lignes supérieures, on a donc :

3
3

-26
9
-17

61
-51
10

-30

Le 3° élément de cette 2° ligne est le produit du 3° élément de la 3° ligne par le racine (ici 3)
On a donc :
3
3

-26
9
-17

61
-51
10

-30
30

Et puisque les éléments de la 3° ligne s’obtiennent en faisant la somme des éléments
correspondants sur les 2 lignes supérieures, on a donc :
42

3

-26
9
-17

3

61
-51
10

-30
30
0

Les valeurs 3, -17, 10 sont les coefficients du polynôme quotient, le polynôme quotient est
donc : 3
On a donc que :
est un polynôme de degré 2

les racines sont données par

, ce qui fournit les

valeurs 5 et 2/3
On sait donc que :
= 3*
Et finalement :

 3°) Si
Les diviseurs de +1 sont :
On remarque que f (-1) = -3+4 - 2+1 = 0, 1est donc racine de f(x)
Si on se rappelle la propriété énoncée en début de paragraphe, à savoir…..:
On a que f(x) = (x + 1) * q(x)
q(x) étant le polynôme quotient obtenu en divisant f(x) par x +1
Le « remplissage » du tableau d’Horner se fera donc de la façon suivante :
a)
3

4

2

1

3

4

2

1

4
-3

2

1

b)

3
c)
3
3
43

d)
3
3

4
-3
1

2

1

4
-3
1

2
-1

1

4
-3
1

2
-1
1

1

4
-3
1

2
-1
1

1
-1

4
-3
1

2
-1
1

1
-1
0

e)
3
3
f)
3
3
g)
3
3
h)
3
3

Les valeurs 3, 1, 1 sont les coefficients du polynôme quotient, le polynôme quotient est donc :
3
On a donc que :
est un polynôme de degré 2

est donc indécomposable,
On a donc que :

Stop !!!!!

44

 4°) Si

Les diviseurs de –24 sont :
On remarque que f (2) = 16-40+8+40-24=0,

2 est donc racine de f(x)

Si on se rappelle la propriété énoncée en début de paragraphe, à savoir …..
On a que f(x) = (x – 2 ) * q(x)
q(x) étant le polynôme quotient obtenu en divisant f(x) par x - 2
Le « remplissage » du tableau d’Horner se fera donc de la façon suivante :
a)
1

-5

2

20

-24

1

-5

2

20

-24

-5
2

2

20

-24

-5
2
-3

2

20

-24

-5
2
-3

2
-6

20

-24

-5
2
-3

2
-6
-4

20

-24

b)

1
c)
1
1
d)
1
1
e)
1
1
f)
1
1

45

g)
1
1

-5
2
-3

2
-6
-4

20
-8

-24

-5
2
-3

2
-6
-4

20
-8
12

-24

-5
2
-3

2
-6
-4

20
-8
12

-24
24

-5
2
-3

2
-6
-4

20
-8
12

-24
24
0

h)
1
1
i)
1
1
j)
1
1

Les valeurs 1, -3, -4, 12 sont les coefficients du polynôme quotient, le polynôme quotient est
donc
On a donc que :

= (x – 2)*(

)

est un polynôme de degré 3, ses éventuelles racines ne
sont pas « détectables » directement, il faut donc entreprendre la
décomposition de g(x) =
Les diviseurs de 12 sont :
On remarque que g(2) = 8 – 12 – 8 + 12 =0, 2 est donc racine de g(x)
Si on se rappelle la propriété énoncée en début de paragraphe, à savoir …..
On a que g(x) = (x – 2 ) * q(x)
q(x) étant le polynôme quotient obtenu en divisant g(x) par x – 2
Le « remplissage » du tableau d’Horner se fera donc de la façon suivante :
a)
1

-3

-4

12

46

b)
1

-3

-4

12

-3
2

-4

12

-3
2
-1

-4

12

-3
2
-1

-4
-2

12

-3
2
-1

-4
-2
-6

12

-3
2
-1

-4
-2
-6

12
-12

-3
2
-1

-4
-2
-6

12
-12
0

1
c)
1
1
d)
1
1
e)
1
1

f)
1
1
h)
1
1
i)
1
1

Les valeurs 3,-1, -6 sont les coefficients du polynôme quotient, le polynôme
quotient est donc :
On a donc que :
47

est un polynôme de degré 2

les racines sont données par

, ce qui fournit les valeurs

3 et -2
On sait donc que :

par conséquent,
et finalement :
= (x – 2) *
=

REMARQUE IMPORTANTE lorsque le terme indépendant du polynôme est nul il est
obligatoire de mettre x en évidence
Exemple :
Et on obtient finalement que :

= x*(x-2)²*(x-3)*(x +2)

48

C) étude du signe d’une fonction polynôme
On dit qu’une fonction est strictement positive (négative) en un point x si f(x) > 0 (< 0)
Exemple
Soit
f est strictement positive en 3 car f(3) = 81 – 45 + 6 – 5 = 37 > 0
f est strictement négative en 1 car f(1) = 3 – 5 + 2 –5 = -5 < 0
Graphiquement, lorsque f est strictement positive (négative) en un point x, le point (x,f (x)) est
situé au-dessus (en-dessous) de l’axe des x.

Exemple

La fonction ci-dessus est telle que
f(x) > 0 pour x situé entre 1 et 3 ou pour x après 5
Mathématiquement : f(x) > 0 pour
f(x) < 0 pour x situé avant 1 ou entre 3 et 5
Mathématiquement : f(x) < 0 pour
se lit : union
se lit intervalle ouvert 3, 5
Cet intervalle contient tous les points compris entre 3 et 5,
3 et 5 non compris
A l’inverse,
se lit intervalle fermé 3, Cet intervalle contient tous
les points compris entre 3 et 5, 3 et 5 compris.

49



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