Fichier PDF

‫التاريخ ‪2014/11/30‬‬
‫المستوى ‪ 3:‬ثانوي رياضيات‬

‫ثانوية بلحاج قاسم نور الدين‬
‫الشلف‬

‫‪ ‬اختبار في مادة الرياضيات‬
‫التصحيح‬
‫‪ ‬التمرين األول‪ 08 ( : ‬نقاط)‬
‫‪.I‬‬

‫اضغط هنا لمشاهدة التصحيح‬

‫‪ n‬عدد طبيعي غير معدوم ‪.‬‬
‫نضع ‪   n  3‬و ‪   2n  1‬ونسمي ‪  PGCD  ;  ‬‬
‫أ‪ .‬عين القيم الممكنة لـ ‪. ‬‬
‫ب‪ .‬برهن أنَ ‪ ‬و ‪ ‬من مضاعفات العدد ‪ 5‬إذا وفقط إذا كان ‪. n  25 ،‬‬
‫ج‪ .‬استنتج قيم ‪ PGCD  ;  ‬حسب قيم العدد الطبيعي‬

‫‪.II‬‬

‫السنة الدراسية ‪2015 -2014 :‬‬
‫اختبار الثالثي األول‬

‫‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫نعتبر العددين ‪ a‬و ‪ b‬المعرفين بـ ‪ a  n2  2n  3 :‬و ‪b  2n2  n  1‬‬
‫أن العدد ‪ n 1‬يقسم كال من العددين ‪ a‬و ‪. b‬‬
‫أ‪ .‬بين َ‬
‫ب‪ .‬نضع ‪ . d  PGCD  a; b ‬عين قيم ‪ d‬حسب قيم العدد الطبيعي ‪. n‬‬

‫ج‪ .‬عين قيمة ‪ d‬من أجل ‪. n  2015‬‬

‫التصحيح‬
‫‪ ‬التمرين الثاني‪ 12 ( : ‬نقطة)‬
‫‪2e  x‬‬
‫‪g  x ‬‬
‫‪ .I‬نعتبر الدالة العددية ‪ g‬المعرفة على المجال ‪ 0;‬بـ ‪ ln  x  :‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ -1‬أدرس تغيرات الدالة ‪. g‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ g  e‬ث َم استنتج إشارة ‪ g  x ‬على المجال ‪. 0;‬‬
‫‪.II‬‬

‫نعتبر الدالة العددية ‪ f‬المعرفة على ‪ R‬بـ ‪f  x    2e  x   ln x :‬‬

‫‪ C f ‬المنحني الممثل للدالة ‪ f‬في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس ‪.  O, i, j ‬‬
‫‪ -1‬برهن أنَ الدالة ‪ f‬زوجية ‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أنه من أجل كل عدد حقيقي ‪ x‬من المجال ‪. f '  x   g  x  ، 0;‬‬
‫‪ -3‬استنتج اتجاه تغير الدالة ‪ f‬وشكل جدول تغيراتها ‪.‬‬
‫‪ -4‬أ) عين نقط تقاطع المنحني ‪ C f ‬مع حامل محور الفواصل ‪.‬‬
‫ب) أحسب ‪ f  e2 ‬ثم أرسم المنحني ‪. C f ‬‬
‫‪.III‬‬

‫نعتبر الدالة العددية ‪ h‬المعرفة على المجال ‪ 0;‬بـ ‪h  x    2e  x   ln x :‬‬

‫‪ -1‬أكتب ‪ h  x ‬دون رمز القيمة المطلقة ‪.‬‬
‫‪ -2‬بيَن كيفية الحصول على ‪ Ch ‬ث َم أرسمه ‪.‬‬
‫‪‬مع تمنياتي لكم بالتوفيق والنجاح ‪ ‬أستاذ المادة‬

‫ثانوية بلحاج قاسم نورالدين – الشارة – الشلف‬

‫‪2015 – 2014‬‬

‫تصحيح االختبار األول‬

‫السنة الدراسية ‪2015 – 2014 :‬‬
‫التصحيح‬

‫الشعبة ‪ :‬رياضيات‬
‫العالمات‬
‫مجزأة‬

‫النص‬
‫الرجوع الى نص التمرين‬

‫التمرين األول ‪ 08 ( :‬نقاط)‬
‫‪ .I‬لدينا ‪   n  3 :‬و ‪   2n  1‬ونسمي ‪  PGCD  ;  ‬‬
‫أ) تعيين القيم الممكنة لـ ‪: ‬‬
‫ومنه ‪ / 2  ‬‬
‫ لدينا ‪  /  :‬و ‪ / ‬‬‫وبالتالي ‪  / 5 :‬أي ‪  D5‬‬
‫أي ‪ / 2  n  3   2n 1‬‬
‫إذن ‪ 1;5 :‬‬
‫ب) البرهان أنَ ‪ ‬و ‪ ‬من مضاعفات العدد ‪ 5‬إذا وفقط إذا كان ‪: n  25 ،‬‬
‫ ‪ )1‬إذا كان ‪ ‬و ‪ ‬من مضاعفات العدد ‪ 5‬فإنَ ‪ 5 / ‬و ‪5 / ‬‬‫‪  0  5‬‬
‫ومنه‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫أي ‪3n  45‬‬

‫إذن ‪3n  15‬‬

‫‪ -‬وبالتالي‬

‫‪n  25‬‬

‫‪ n  3  0 5‬‬
‫أي‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫وبالتالي ‪3n  5  45‬‬

‫‪01.5‬‬

‫ومنه ‪3n  4  05‬‬

‫أي أنَ ‪2  3n  2 15 :‬‬

‫‪01.5‬‬
‫‪  0  5‬‬
‫ومنه‬
‫‪‬‬
‫‪   0  5‬‬

‫‪ n  3  2  3 5‬‬
‫فإن‬
‫‪ )2‬إذا كان ‪n  25‬‬
‫َ‬
‫‪‬‬
‫‪ 2n  1  2  2  15‬‬
‫أي ‪ ‬و ‪ ‬من مضاعفات العدد ‪5‬‬

‫‪ ‬و ‪ ‬من مضاعفات العدد ‪ 5‬إذا وفقط إذا كان ‪n  25 ،‬‬

‫ج) استنتاج قيم ‪ PGCD  ;  ‬حسب قيم العدد الطبيعي‬
‫‪ ‬إذا كان ‪ n  25‬أي ‪ n  5k  2  k  ‬فإنَ ‪PGCD  ;    5‬‬
‫‪n‬‬

‫‪:‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪ n  5k  2  k  ‬فإنَ‬
‫‪ .II‬لدينا ‪ a  n2  2n  3 :‬و ‪b  2n2  n  1‬‬
‫أ) تبيان أنَ العدد ‪ n 1‬قاسم للعددين ‪ a‬و ‪: b‬‬
‫و ‪b   n 1 2n  1‬‬
‫‪ ‬لدينا ‪a   n 1 n  3 :‬‬
‫اي أنَ ‪  n 1 / a‬و ‪ n 1 / b‬‬
‫ب) تعيين قيم ‪ d‬حسب قيم العدد الطبيعي ‪: n‬‬
‫‪ ‬لدينا ‪d  PGCD  a; b  PGCD  n 1 n  3 ;  n 1 2n 1 :‬‬
‫أي ‪d   n 1  PGDC  n  3;2n  1   n 1  PGCD  ;  ‬‬
‫وبالتالي ‪d   n 1   :‬‬
‫ إذا كان ‪ n  5k  2  k  ‬فإنَ ‪d  5  n 1‬‬‫النَ ‪  5‬‬
‫ أما إذا كان ‪ n  5k  2  k  ‬فإنَ ‪d  n 1 :‬‬‫الن ‪ََ   1‬‬
‫ج) تعيين قيمة ‪ d‬من أجل ‪: n  2015‬‬
‫‪ ‬لدينا ‪ 2015  05 :‬أي ‪ 2015  25‬وبالتالي ‪d  2015 1  2014‬‬

‫‪01‬‬

‫‪PGCD  ;    1‬‬

‫‪01‬‬

‫‪01‬‬

‫‪01‬‬

‫‪01‬‬

‫ثانوية بلحاج قاسم نورالدين – الشارة – الشلف‬

‫‪2015 – 2014‬‬

‫الرجوع الى نص التمرين‬

) ‫ نقطة‬12 ( : ‫التمرين الثاني‬

Dg  0; 

g  x 

2e  x
 ln x : ‫ لدينا‬
x

‫ دراسة تغيرات الدالة‬-1
: ‫ حساب النهايات‬

: g

2e  x

 
 xlim

 2e  x

x
lim g  x   lim 
 ln x   
‫الن‬
 0
x 0
x 0 
x

 lim   ln x   
 x 0
2e  x

 1
 xlim
 2e  x


x
g  x   lim 
 ln x   
‫ الن‬xlim


x 
 x

 lim   ln x   
 x 

2  0.25

: ‫ حساب المشتقة‬

g ' x 

0.75

 x   2e  x  1  x  2e  x  x  x  2e
 

x2
x
x2
x2
 x  2e
g ' x 
x2

: ‫ دراسة إشارة المشتقة‬
g '  x  0
x  2e  0 ‫يعني‬
 2e  0;  ‫ لكن‬x  2e ‫ومنه‬
g '  x   0 ، x 0;  ‫وبالتالي من أجل‬

0.5


:g



e

0

x
g ' x



0

x
g ' x

‫ جدول تغيرات الدالة‬



0.5



g  x

0


: 0; ‫ على المجال‬g  x  ‫ ثم استنتاج إشارة‬g  e ‫ حساب‬-2

0.25
0.5

x
g  x



Df  ;0

x  x ‫الن‬
َ



0; 

2e  e
 ln e  1  1  0 
e
: g  x  ‫ جدول إشارة‬

f  x    2e  x   ln x

: ‫لدينا‬

: ‫ زوجية‬f ‫ البرهان على أن الدالة‬-1
 x   R َ‫ فإن‬x  R ‫ أي من أجل‬0 ‫ متناظرة بالنسبة إلى‬D f ‫ لدينا‬
f   x    2e   x   ln   x    2e  x   ln  x   f  x  : ‫و لدينا‬


0.5



e
0

0

g e 



‫ دالة زوجية‬f ‫ومنه‬

2015 – 2014

‫ثانوية بلحاج قاسم نورالدين – الشارة – الشلف‬

.II

: f '  x   g  x  ، 0; ‫ من المجال‬x ‫ تبيان أنَه من أجل كل عدد حقيقي‬-2
f  x    2e  x   ln x : ‫ لدينا‬x 0;  ‫ من أجل‬
f '  x    ln x   2e  x  

0.75

1 2e  x

 ln x  g  x  ‫ومنه‬
x
x

f '  x   g  x  ‫أي‬

: R ‫ على‬f ‫ استنتاج اتجاه تغير الدالة‬-3
g  x  ‫ من نفس إشارة‬x 0;  ‫ من أجل‬f '  x  ‫ إشارة‬
01

x
f ' x

0




e
0



. ‫ زوجية‬f ‫الن‬
َ 0 ‫ بالتناظر بالنسبة إلى‬f '  x  ‫ ثم نكمل جدول إشارة‬
x
f ' x





e
0







e
0

0



‫ جدول تغيرات الدالة‬
: ‫ حساب النهايات عند أطراف مجموعة التعريف‬
: f

lim f  x   lim  2e  x   ln x  

x 0

x 0

lim f  x   lim  2e    x    ln   x   

4  0.25

x 0

x 0

lim f  x   lim  2e  x   ln x   
x 

x 

lim f  x   lim  2e    x    ln   x    
x 
e
e

0



0
0
x 

0.5

x
f ' x





e

e

f  x








: ‫ مع حامل محور الفواصل‬C f  ‫ أ) تعيين نقط تقاطع‬-4

 2e  x   ln x  0

01

‫يعني‬

f  x  0

x  2e ‫أو‬

x  2e ‫أي‬

x  2e ‫ومنه‬

2e  x  0 ‫إما‬

x  1 ‫أو‬

x  1 ‫أي‬

x  1 ‫ومنه‬

ln x  0 ‫أو‬

C   x ' x    2e;0 ,  1;0 , 1;0 ,  2e;0 : ‫وبالتالي‬
f

f  e2  ‫ب) حساب‬

0.25

f  e2    2e  e2   ln e2  4e  2e2

3.9

h  x    2e  x   ln x : ‫لدينا‬
0.5

2015 – 2014

: ‫ بدون رمز القيمة المطلقة‬h  x  ‫ كتابة‬-1
ln x ‫إشارة‬
‫ثانوية بلحاج قاسم نورالدين – الشارة – الشلف‬

.III

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪ x 0;1‬فإنَ ‪h  x    2e  x     ln x    f  x ‬‬

‫‪01‬‬

‫إذا كان ‪ x 1; ‬فإنَ ‪h  x    2e  x   ln x‬‬

‫‪‬‬
‫‪ ‬كيفية الحصول على ‪ Ch ‬باستعمال ‪: C f ‬‬
‫‪ -‬إذا كان ‪ x 0;1‬فإنَ ‪ Ch ‬هو نظير ‪ C f ‬بالنسبة إلى حامل محور الفواصل ‪.‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪ -‬إذا كان ‪ x 1; ‬فإنَ ‪ Ch ‬منطبق على ‪. C f ‬‬

‫‪ ‬الرسم ‪:‬‬

‫‪02‬‬

‫‪ ‬انتهى تصحيح االختبار األول ‪2015 – 2014‬‬
‫‪ ‬بالتوفيق في البكالوريا ‪ 2015‬‬

‫من أجل رياضيات حية اضغط هنا‬

‫ثانوية بلحاج قاسم نورالدين – الشارة – الشلف‬

‫‪2015 – 2014‬‬