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Nom original: série d'exercices bac sc-exp.pdfAuteur: AmouLa

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Série d’exercices (révision)

Mr :Khammour.K

4èmeSc-exp

Décembre 2014

Exercice n°1 :
Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v ) on appelle A et B d’affixes i et –i. On
considère l’application f de P\{A} vers P qui a tout point d’affixe z on associe le point M’ d’affixe z’ tel que
1  iz
.
z'
z i
1) a) Déterminer l’antécédent de i par f.
b) Déterminer f (O).
c) Montrer que f admet deux points fixes que l’on précisera.
i  z  i 
2) a) Montrer que pour tout z  i . On a : z ' 
.
z i
BM
b) Vérifier que pour tout z  i on a : z ' 
En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tel que z '  1 .
AM









3) a) Vérifier que pour tout z  i et z  i u, OM '    AM , BM
2

  2  .

b) En déduire l’ensemble des points M d’affixes z tel que z’ soit réel.
Exercice n°2 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v) d’unité graphique 4 cm. On note A et B les
points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le point M’ d’affixe Z
définie par : Z 

 1  i  z  i 
z 1

.

1) a) Calculer l’affixe du point C’ associé au point C d’affixe −i.
b) Placer les points A, B et C.
2) Soit z = x +iy où x et y désignent deux nombres réels.
 x  1 2   y  1 2  1
x 2  y2  1
a) Montrer l’égalité : Z 
.

i
 x  1 2  y2
 x  1 2  y2
b) Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z telle que Z soit réel.
c) Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z telle que Z soit imaginaire pur.
3) a) Écrire le nombre complexe (1 − i) sous forme trigonométrique.
b) Soit M un point d’affixe z, distinct de A et de B. Montrer que Z est un réel non nul si et seulement

 MA, MB   4    .
Exercice n°3 :





Le plan P est muni d’un repère orthonormé O, u, v . A tout z  C * , on considère les points A,B et C

z i
i
d’affixes respectives : z, zB  ; zC 
z
z
2

1) a) Ecrire zB et zC sous forme algébrique lorsque z  1  i .
b) Placer dans ce cas les points A,B et C dans le plan P et préciser la nature du triangle ABC.
2) a) Montrer que pour tout z  C * , on a : OABC est un rectangle.
b) En déduire que OABC est un carré si et seulement si z  1 .
3) On pose z  ei ;  IR .

a) Ecrire zB et zC sous forme exponentielle .
b) Déterminer l’ensemble  décrit par C lorsque A décrit le cercle trigonométrique.
Exercice n°4 :
 
A) On considère l’équation  E  : 2 z 2  2 z  i sin  2  e 2i  0 où    0,  .
 2
 
1) a) Résoudre dans C, l’équation  E   .
 4
b) En déduire les solutions de l’équation  E  : 2z 2  2iz  1  0 .

2) a) Vérifier que 1  2i sin  2  e2i  e4i .
b) Résoudre dans C ; l’équation  E  . Mettre les solutions sous forme exponentielle.
 
i  
2


B) Soit M’ et M’’ les points d’affixes respectives z '  cos   e et z ''  sin   e
.
1) a) Montrer que OM’M’’ est un triangle rectangle en O.
b) Pour quelle valeur de  le triangle OM’M’’ est isocèle.
2) a) Vérifier que l’affixe du point I = M’ * M’’ est indépendant de  .
b) Ecrire z’ – z’’ sous forme exponentielle. En déduire M’M’’.
c) Montrer que les points M’ et M’’ varies sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
i

Exercice n°5 :
5
1
1) Soit la suite Un  définie sur IN par U 0  1 ; U1  2 et U n  2  U n 1  U n
4
4
Vn  sur IN par : Vn  U n1  U n .

n  IN .On définie la suite

a) Montrer que la suite Vn  est une suite géométrique convergente.

b) Calculer Un  en fonction de n. En déduire que Un  est convergente et calculer sa limite.
2) On définit la suite Wn  définie sur IN par Wn   2n  1Vn .
a) Montrer que la suite Wn  est décroissante et qu’elle est convergente.
1
1
b) Montrer que n  IN , Wn 1  Wn  Vn , puis calculer lim Wn .
n + 
4
2
n

3) Soit la suite  Sn  définie sur IN par : S n   Wk .
k 0

n 1

1
1
1
a) Montrer que Sn  Sn  1  Wn   Vk .
4
4
2 k 0

b) En déduire que la suite  Sn  est convergente et calculer sa limite.





1
Tn  Tn 2  Wn .
2
a) Montrer que la suite Tn  est minorée par 1 et strictement croissante.

4) On définit la suite Tn  sur IN par : T0  1 et Tn1 

1
b) Montrer que n  IN ;0  Tn1  Tn  Wn . En déduire que la suite Tn  est convergente et que sa limite l
4
14
vérifie 1 l  .
9

Exercice n°6 :
1) Montrer que l’équation : x3  x  1  0 admet une unique solution  sur 1, 2 .
2) Montrer que pour tout x 0,  on a : x 3  x  1  0  x 
3) Soit f la fonction définie sur 0,  par : f ( x ) 

x 1
.
x

x 1
.
x

a) Etudier les variations de f .
b) Tracer la courbe  C f  et la droite  : y  x dans le repère orthonormé .
c) Déduire graphiquement que  est l’unique solution de l’équation x3  x  1  0 dans 0,  .
4) a) Montrer que pour tout x  1, on a f '( x) 

1
.
2

b) En déduire que pour tout x  1, on a f ( x)  f ( ) 

1
x  .
2

5) Soit Un nIN définie par : U0>0 et Un1  f  Un  .
a) Montrer que n  IN* ; U n  1
b) Montrer que pour tout n  IN* U n 1   

1
Un   .
2
n

1
U n      U1  
2

c) Montrer que pour tout n  IN

*

d) En déduire que Un nIN est convergente vers une limite que l’on déterminera.
Exercice n°7 :

sin 2 x
 
On considère la fonction f définie sur  0,  par : f  x  
.
sin x
 2

1) Etudier la dérivabilité à gauche en
.
2
 
 
2) Montrer que f dérivable sur  0,  et calculer f’(x) pour tout x   0,  .
 2
 2
 
3) Montrer que f réalise une bijection de  0,  à un intervalle J à préciser.
 2
4 x
4) Montrer que f-1 dérivable sur J et que pour tout x  J f 1  x  
.
4  x4
 1 
5) Pour tout x>0 on pose g ( x)  f 1 2 x  f 1 
.
 x



a) Calculer f 1



 2 .

b) Montrer que g est dérivable sur J et calculer g’(x).

c) Montrer que pour tout x  J g ( x)  .
2


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