12 Dynmqptmat EXO EnoncÃé Fr.pdf


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160

Dynamique du point matériel

F " 3

visqueux du type f = k .v :
1. Isoler le point matériel et lui appliquer le principe
fondamental de la dynamique.

dv
2. En remplaçant a par
, montrer que l’on
dt
obtient l’équation différentielle suivante :

dv k
+ v=g.
dt m
3. En déduire l’expression vectorielle de la vitesse
instantanée v ( t ) . Montrer que celle-ci tend vers une
valeur limite vL

=g

m
.
k

4. En déduire la position OM

(t ) .

Ecrire les

expressions des composantes de ce vecteur.
5. Calculer l’instant ts pour lequel le projectile

J

*

8

&

" &

L %

dv
>
dt

"

' F /1
.
"

aD -

/2

dv k
+ v = g :& " " & 6 " &" - "
dt m
. v (t ) & A " &
" & -!" 2 -" M F /3
m
& & 5 "F N 2
G$7 * L
k
) * . OM ( t ) ?6 " M F /4
.B -!" $7
S 2 $" & $ " 3 O
" ts &A " ) * /5

. vL = g

. zs
.t

xs

"

;

atteint le sommet S de la trajectoire et en déduire les

H M
:

" P

coordonnées xs et zs correspondants.
6/ Démontrer que la trajectoire a une asymptote
lorsque t
.
III. Synthèse graphique :
Tracer qualitativement sur un même graphique la
trajectoire dans les deux cas suivants :
1. le tir a lieu dans le vide (pas de frottement).
2.le tir a lieu dans l’air (frottement visqueux).

"

.(
.(.'"

-"

)Q "
)E 3"

7
"
" * 7 /6
/III
!"
*
: " "
"
/1
"
/2

v0

X

O
Exercice 5.10
Une demi sphère de rayon R = 2m et de centre O
repose sur un plan horizontal. Une particule de
masse m , partant du repos du point M 0 situé en haut

10.5
O 7'
R = 2m 7 5 KJ 2 ?6
"
m 3 &
8"' . * 0
KJ
*
&-5 " M 0 & "
3 ; ;1 :
de la demi sphère, glisse sous l’action de son poids.
.2 "
1/ Ecrire l’équation différentielle du mouvement de
la particule au cours de son glissement, sachant que le E ;* &
" G$7 & " & 6 " &" - " ) /1
coefficient de glissement sur la surface de la sphère
54' H
4
- *
354'
est µ .
.µ 7 2 "
2/ En négligeant les frottements :
:
! /2
a/ démontrer que la vitesse acquise au point M
& -" M & "
&
" &
" *
/
défini par l’angle = MOM 0 est donnée par
&5/-"
= MOM 0
& '"
l’expression v = 2 Rg (1 cos ) ,
% v = 2 Rg (1 cos )
b/ en déduire alors l’angle

0

sous lequel la particule

quitte la surface de la sphère, discuter le résultat,
c/ calculer la vitesse v0 correspondante.
3/ Au moment où la particule quitte le point M avec

3 *

"

& '"
$=
%& " R5 %2 "
.&
" v0 &
0

M F /)
&
"
I
" ) * /.