9 MvmtPlan EXO Enoncés .pdf


Nom original: 9_MvmtPlan_EXO_Enoncés.pdfTitre: (Microsoft Word - Mvmt Plan_EXO_Enonc\351s.doc)Auteur: FIZAZI@PRIVEE-EBB6C4AF

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81

Mouvement dans le plan

**

EXERCICES
Exercice 4.14
Une particule se déplace dans un plan XY selon la

:14.4
XY

loi : vx = 4t + 4t et v y = 4t .
3

Si le mobile se trouvait au point

(1, 2 )

. v y = 4t

à l’instant

(1, 2 )

!t = 0

t = 0 , trouver l’équation de la trajectoire en

. "

coordonnées cartésiennes.

Exercice 4.15
Une particule se déplace dans un plan
loi :

vx = 4

t = 0 on ait x = 0 ! y = 3 ! ! v = 0
y

XY
) . a y = 3cos t

(

1/ l’équation de la trajectoire, quelle est son allure ?

t=

4

,( #-

s.

.t =

Exercice 4.16
Soit le mouvement défini par sa trajectoire

y = 3( x + 2)

y = 3 ( x + 2 ) et son équation horaire s ( t ) = 2t 2 .

Sachant que
que

x = 2 et y = 0 quand s ( 0 ) = 0 et

s croit avec la croissance de y :

1/ trouver les équations paramétriques

y ( t ) du mouvement,

x ( t ) et

2/ déterminer l’accélération normale et l’accélération
tangentielle du mouvement.

x= 2

:y

xOy d'origine O et de base ( i , j ). Les coordonnées

x et y d'un point M mobile dans le plan ( O, i , j )

t=0
:
/1

!

s

4

. /2

)

'

:16.4
#

). s ( t ) = 2t 2

"

/

" s

x (t )

.#

2

# ! s ( 0) = 0

#
0

'

y=0

/1
!#
/2

2

:17.4
4

3
. y = 4t 4t x = 2t :1
' '
,( #!
/1
!
) 5 /2
!$' % ()
/ ' /3
2
'#
/4
!$
.7 8
. 9: ;
/5
2

2

Exercice 4.18
Le plan est rapporté à un repère orthonormé

" 1

y (t )

Exercice 4.17
On donne les équations paramétriques de la
trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un
référentiel : x = 2t et y = 4t
4t
1/ Déterminer l'équation de la trajectoire, Quelle est
son allure ?
2/Calculer la vitesse du mobile,
3/Montrer que son accélération est constante,
4/Déterminer les composantes normale et
tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
5/En déduire le rayon de courbure.

&'

ax = 4sin t

vx = 4 ! y = 3 ! x = 0

v y = 0 ! trouver :

2/ la valeur de la vitesse à l’instant

# $ %
:15.4

XY selon la

ax = 4sin t et a y = 3cos t .

Sachant que pour

vx = 4t 3 + 4t

6

:18.4
xOy 6789:; < =;8>:; ?@>; ABC DE:FGBH IFJK

y < x S8:TUH=VWH XTY:P . ( i , j ) OP=Q8R < O LM=N;

varient avec le temps suivant la loi:

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

82

Mouvement dans le plan

x = 2 cos

d;eBH f; ( O, i , j ) DE:FGBH `a ]bXc:; M ]^_JB

t
t
et y = 2sin .
2
2

1/ Déterminer la nature de la trajectoire,
2/ Déterminer les composantes du vecteur vitesse v ,

ds
, ainsi
dt
que celle de l'abscisse curviligne s du point M à
l'instant
t , en prenant comme condition
initiale s = 0 quand t = 0 ,
3/ Déterminer l'expression de la vitesse

4/ déterminer les composantes normale et
tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet,
5/ en déduire le rayon de courbure de la trajectoire.
6/ La trajectoire reste la même, mais maintenant le
point M
subit une accélération angulaire

d2
=
dt 2

= 0, 2t . A quelle date le point M
1

atteindra-t-il une vitesse de 10ms , sachant qu'il est
parti du repos. Quelle distance a-t-il alors parcourue ?

t
t
< x = 2 cos : SE78_BH IFV
2
2
.g8FGBH ]>TNh i=V /1
l v ]QXFBH j8>k `:NbX; i=V /2
ds
s ]TUH=VWH mg8NQ Hnb <
]QXFBH mg8NQ i=V /3
dt
`pH=:qWH rXsBH ntuq l t ]oc@BH `a M ]^_JB ]TJcJGBH
l t = 0 8GB s = 0
?@>; `a jg8F:@B ]TGv8JBH < ]Tw8GGBH dT:NbXGBH i=V /4
lxJKXa
.y8Jc7zH X^R {|7 }:J:wC /5
jg8F:q M ]^_JBH XUu:P dTV `a OB8V A@Q •8q g8FGBH /6
d2
M ]^_JBH ‚@NP ]ocB €M `a .
= = 0, 2t €<H•
dt 2
`… 8; .SEƒFBH d; x_@^7H 8„7M 8G@Q l 10ms 1 ]QXw
†8„:>^R `:BH ]a8FGBH

. y = 2sin

Exercice 4.19
Une particule soumise à des champs électriques et
magnétiques complexes est en mouvement dans un
référentiel galiléen. Les équations horaires sont, en

:19.4
m=_>; ]TFTh8JY; < ]Tp8qX„b ‹E_cB ]>Œ8t ]GTF• Ž_:JP
]TN^_BH •8TUH=VW8q S8:TJ;eBH S8:Bi8>GBH .`@T@• f•X; `a
t
t
t
t
b
b
.S8N•E; S8:q8U b < 0 l = < r = r0 e 8G…
coordonnées polaires : r = r0 e
et
= , 0 et
b
b
l]bXc@B ]QXFBH j8>k IFVM /1
b sont des constantes positives.
1/ Calculer le vecteur vitesse de la particule,
†]K<HeBH Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( v , u ) ]K<HeBH SM d‘Tq /2
2/ Montrer que l’angle ( v , u ) est constant. Que
l]bXc@B jg8F:BH j8>k IFVM /3
vaut cet angle ?
Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( a , uN ) ]K<HeBH SM d‘Tq /4
3/ Calculer le vecteur accélération de la particule,
l(2‹H’FB8q dT>:F7)†]K<HeBH
4/ Montrer que l’angle ( a , u N ) est constant. Que
.g8FGBH y8Jc7H X^R {|7 IFVM /5
vaut cet angle ? (On se servira de la question2),
5/ Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.

uT

u
M

u

uN
O

Exercice 4.20
Un bras OA tournant avec une vitesse

A.FIZAZI

x

autour

Univ-BECHAR

'%

" )

'

:20.4
OA

LMD1/SM_ST

83

Mouvement dans le plan

d’un axe O , est articulé en A avec une tige AB .
La tige AB est solidaire d’un curseur B pouvant
coulisser le long de l’axe Ox . le bras et la tige
peuvent se croiser lorsque la tige passe par derrière

. AB 5 =. 1 A ) :<
'
- !O
' . .8"
' B ) :<
AB 5 =
OA ' =
# . Ox
3 ) 8" >
:< 9 ? .8"
AB
l’articulation en O .
Sachant que
AB = L
: OA = R
AB = L # . O
et OA = R :
A
) B #
"
/1
1/ trouver l’équation horaire du mouvement de B ,
! t = 0 " ) A0
sachant que B passe en A0 au temps t = 0 ,
,)
6
$
4
/2
2/ à quel instants la vitesse s’annule-t-elle ?

Y

A
L

R

t
O

Exercice 4.21
Dans le plan

( XOY ) d’un repère

X

( O, i , j , k ) , un

P se déplace sur un cercle de rayon R et de
centre I ( R, 0, 0 ) .
point

A l’instant t = 0 ,

B

A0

(

! O, i , j , k
. I ( R, 0, 0 ) /"#

possède la vitesse positive

v0 ( 0, v0 , 0 ) .

On désigne par et les coordonnées polaires de P .
1/ Former l’équation polaire du cercle, en déduire son
équation cartésienne.

repère

;

( ur , u )

( O, u , u , k ) .
r

3/ Soit s l’abscisse curviligne de P (l’origine est en
A).
• Donner l’expression de s en fonction de
.
• Représenter sur la figure la base intrinsèque

(u

T,

u N ) de P .

• Calculer en fonction de
et de ses dérivées
successives par rapport au temps les composantes de
v0 et a dans cette base.
• Calculer les composantes polaires de

. P B

(u

"

'

'

'

uT et de u N .

4/ On désigne par
la vitesse angulaire de P , dont
on suppose dans tout ce qui suit qu’elle est constante.

A.FIZAZI

T,

uN )

'

Univ-BECHAR

)
5 #
& 3 "
# /1
.
#
@)
#- 3 ) C% /2
0 8' 5
v )
) - $ %

(

. O, u r , u , k

. uN
'#

- F/

.
)

)6

:<
# /3
!
8 ' s @ ') ) •
@)
#- 3 ) C% •

0 .6
/
uT
'

!P B

Retrouver dans ces conditions les composantes
polaires de v0 et a .

lt = 0

' ) PB s

:( A

. 9: @ A 3 ) P

P

. P B ( ur , u ) '
" ' '
de P . Calculer en fonction de
et de ses dérivées
P B a 2
successives par rapport au temps les composantes
polaires des vecteurs vitesse v et a de P dans le
2/ Représenter sur la figure la base polaire

( XOY )

6

. v0 ( 0, v0 , 0 ) '
B' P B '
$ %
!@ A
'

.
0

)

R /

A ( 2 R, 0, 0 )

P se trouve en A ( 2 R, 0, 0 ) et

:21.4

8' 5 •
a v0 $ %
'#
5



. a
v0 B
" ]QXF@B
B' "
/4
. ' % 1'
#
/ '
6%
') ! t 8 ' ) •
a
v
') ;


LMD1/SM_ST

84

Mouvement dans le plan

• Donner en fonction de t , les expressions de
puis
de .
• En déduire les expressions de v et a en fonction
de t de

.$

@ ).

v0 et a dans les bases polaire et de Frenet.

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST


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