Chap II Suites et Limites .pdf

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Chapitre 2

Suites et limites
2.1

Exercices

1. Calcul des limites I.
n
.
n→+∞ n+2

(a) Calculer lim

n2 +1
.
2
n→+∞ 4n +5
√
2
lim n +2 .
n→+∞ 2n
√
lim cosn n .
n→+∞

(b) Calculer lim
(c) Calculer
(d) Calculer

(e) Calculer lim n sin n12 .
n→+∞

(f) Calculer lim n2 cos n12 sin n13 .
n→+∞

(g) Calculer lim

sin(n+1)−sin(n−1)

n→+∞ cos(n+1)+cos(n−1)

.

sin(n+1)+sin(n−1)
.
sin n
√
3
2 +1
.
lim sin 3 n +n
2
n→+∞ n +n +1
√
√
2
n2 +4
lim n +1−
.
2
n→+∞

(h) Calculer lim

n→+∞

(i) Calculer
(j) Calculer

p
√
(k) Calculer lim ( n2 + 7 − (n + 3)(n + 6)).
n→+∞
√
(l) Calculer lim n( n4 + 4n + 5 − n2 ).
n→+∞
√
√ √
(m) Calculer lim n( n3 + n − n3 + 1).
n→+∞
√
3
(n) Calculer lim 7nn cos n.
n→+∞

2n
.
n→+∞ n!

(o) Calculer lim

(p) Calculer lim 3n e−3n .
n→+∞

(q) Calculer lim (1 + n2 )n .
n→+∞

(r) Calculer lim (1 − n1 )n .
n→+∞

21

CHAPITRE 2. SUITES ET LIMITES

(s) Calculer lim (1 −
n→+∞

22

1 n
n2 ) .

(t) Calculer lim n3 (1 − cos n1 ) sin n1 .
n→+∞

2. Calcul des limites II.
1
2 2.
n→+∞ 1+n x

(a) Calculer en fonction de x ∈ R : lim

1−n2 x3
2 2.
n→+∞ 1+n x

(b) Calculer en fonction de x ∈ R : lim



xn −1
xn +1

(c) Calculer en fonction de x ∈ R, x 6= −1 : lim
n→+∞
√ √
(d) Calculer en fonction de x > 0 : lim
n( n x − 1).

2
.

n→+∞

3. Convergence I*. Soit (xn ) une suite convergente et (yn ) la suite d´efinie
par yn = xn+1 − xn . Montrer `a l’aide de la d´efinition d’une suite convergente que la suite (yn ) converge et donner sa limite.
4. Convergence II*. Donner un exemple d’une suite (xn ) telle que la suite
(yn ) d´efinie par yn = xn+1 − xn converge vers 0 mais la suite (xn ) est
divergente.
5. Nonexistence d’une limite*. Montrer que lim sin n n’existe pas.
n→+∞

6. Suite g´
eom´
etrique. Soit (xn ) la suite d´efinie par la xn+1 = qxn et x0 = a
o`
u a et q sont r´eels. Montrer que xn = aq n pour tout n ∈ N.
7. Une suite major´
ee par une suite g´
eom´
etrique. Soit (xn )n∈N une
suite telle que pour tout entier naturel n
|xn+1 | ≤ q|xn |
pour une constante q ∈]0, 1[. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier
naturel n
|xn | ≤ q n |x0 |.
En d´eduire que (xn ) converge et donner sa limite.
8. Suites r´
ecurrentes nonlin´
eaires I.
(a) Calculer la limite de la suite (xn ) d´efinie par
xn+1 =

1
(3xn + 1),
4

x0 = 0

(b) Calculer la limite de la suite (xn ) d´efinie par
xn+1 =

1
(xn + 4),
4

x0 = 0

CHAPITRE 2. SUITES ET LIMITES

23

(c) Calculer la limite de la suite (xn ) d´efinie par
xn + 1
,
3xn + 1

xn+1 =

x0 = 1

(d) Calculer la limite de la suite (xn ) d´efinie par
xn+1 =

1
,
1 + xn

x0 = 0

(e) Calculer la limite de la suite (xn ) d´efinie par
√
xn+1 = 3xn , x0 = 1

9. Suites r´
ecurrentes lin´
eaires d’ordre 2.
(a) Calculer la limite de la suite (xn ) d´efinie par
xn+1 =

1
(xn + xn−1 ),
2

x0 = 0,

x1 = 1

(b) Calculer la limite de la suite (xn ) d´efinie par
xn+1 =

1
(5xn − xn−1 ),
4

x0 = 0,

x1 = 1

(c) Montrer que la suite (xn ) d´efinie par
xn+1 = 5xn − 4xn−1 ,

x0 = 0,

x1 = 1

est divergente.
10. R´
ecurrence logistique - la route vers le chaos. On consid`ere la suite
(xn ) d´efinie par
xn+1 = µxn (1 − xn ),

x0 ∈ [0, 1]

pour un param`etre µ ∈]0, 4]. Montrer que xn ∈ [0, 1] pour tout n ∈ N.
(a) Exemple µ = 1. Montrer que pour tout x0 ∈ [0, 1]
lim xn = 0.

n→+∞

(b) Exemple µ = 2. Montrer que pour tout x0 ∈ [0, 1] la suite (xn ) est
donn´ee par
n
1 1
xn = − (1 − 2x0 )2 .
2 2
Montrer ensuite que pour tout x0 ∈]0, 1[
lim xn =

n→+∞

1
.
2

CHAPITRE 2. SUITES ET LIMITES

24

(c) Exemple µ = 4. On d´efinit θ0 par x0 = sin2 θ0 . Montrer que pour
tout x0 ∈ [0, 1]
xn = sin2 (2n θ0 ).
Calculer lim xn pour tout θ0 de la forme θ0 =
n→+∞

Calculer lim xn pour tout θ0 de la forme θ0 =
n→+∞

π
et k ∈ N.
2k
π
et k ∈ N.
3·2k

Donner la suite (xn ) si x0 = sin2 π5 , i.e. θ0 = π5 .
Facultatif pour voir plus : Etudier num´eriquement le comportement
de xn pour d’autres conditions initiales x0 .

2.2

Corrig´
es

1. Calcul des limites.
n
= 1.
(a) lim n+2
n→+∞

(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)

2
lim n 2+1 = 41 .
n→+∞ 4n +5
√
√
2
n 2+2/n2
lim n2n+2 = lim
2n
n→+∞
n→+∞
√
cos n
lim
= 0.
n
n→+∞

= 12 .

lim n sin n12 = 0 car 0 ≤ sin n1 ≤

n→+∞

1
n.

lim n2 cos n12 sin n13 = 0.

n→+∞

cos n sin 1
lim sin(n+1)−sin(n−1) = lim 22 cos
n cos 1 = tan 1.
n→+∞
n→+∞ cos(n+1)+cos(n−1)
lim sin(n+1)+sin(n−1)
= lim 2 sinsinn ncos 1 = 2 cos 1.
sin n
n→+∞
n→+∞
√
sin n3 +n2 +1
lim
= 0.
3
2
n→+∞ n +n +1
√
√
2
n2 +4
−3√
= lim 2(√n2 +1+
lim n +1−
= 0.
2
n2 +4)
n→+∞
n→+∞

p
√
lim ( n2 + 7 − (n + 3)(n + 6)) = − 92 .
n→+∞
√
(l) lim n( n4 + 4n + 5 − n2 ) = 2.
n→+∞
√
√ √
(m) lim n( n3 + n − n3 + 1) = 12 .
n→+∞
√
3
(n) lim 7nn cos n = 0.
(k)

n→+∞

(o)
(p)
(q)
(r)
(s)
(t)

n
lim 2 = 0.
n→+∞ n!
lim 3n e−3n = 0.
n→+∞
1
n+1
lim (1 + n2 )n = lim (1 + n1 )n (1 + n+1
)n+1 n+2
n→+∞
n→+∞
1
1
lim (1 − n1 )n = lim n−1
1
n−1 = e .
n→+∞
n→+∞ n (1+ n−1 )
lim (1 − n12 )n = lim (1 − n1 )n (1 + n1 )n = 1.
n→+∞
n→+∞
lim n3 (1 − cos n1 ) sin n1 = 12 .
n→+∞

= e2 .



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