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M EA REE JMF 01 .pdf



Nom original: M-EA-REE-JMF-01.pdf
Auteur: Jean-Michel Ferrard

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´matiques
Exercices de Mathe
Rationnels et irrationnels
´
Enonc´
es

´
Enonc´
es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
p
p


3
3
Montrer que 45 + 29 2 + 45 − 29 2 est un entier.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soient m et n des entiers naturels.
1. Montrer que si n n’est pas un carr´e parfait, alors



n est irrationnnel.


2. Montrer que si m et n ne sont pas des carr´es, alors m + n n’est pas rationnel.

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]

1. Montrer que pour tous a, b dans Q,
l a + b 2 = 0 ⇔ a = b = 0.



2. Montrer que : ∀ (a, b, c) ∈ Ql 3 , a 2 + b 3 + c 5 = 0 ⇔ a = b = c = 0.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]


Montrer que 3 5 + 2 est un irrationnel.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soit A l’ensemble des r´eels de [0, 1] dont le d´eveloppement d´ecimal r´eduit ne contient pas 9.
Montrer que A est un ensemble ferm´e.

c
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Jean-Michel Ferrard
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S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres r´
eserv´
es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites.

´matiques
Exercices de Mathe
Rationnels et irrationnels
Indications, r´esultats

Indications ou r´
esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
p
p


3
3
Posons a = 45 + 29 2, b = 45 − 29 2.
Utiliser a3 + b3 = 90 et v´erifier que ab = 7.
En d´eduire que x = a + b est racine d’un polynˆome de degr´e 3. On trouve x = 6.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Supposer par l’absurde que n n’est pas un carr´e et que



n est rationnel ab .

Raisonner sur les facteurs premiers de n, a et b.


2. Par l’absurde, supposer que r = m + n est rationnel.

En d´eduire que mn est rationnel et utiliser la question pr´ec´edente.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Facile en utilisant la premi`ere question de l’exercice pr´ec´edent.

2. Chercher `a isoler 6 par exemple. On utilise encore la question 1 de l’exercice pr´ec´edent.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]



Supposer que x = 3 5 + 2 ∈ Ql et utiliser 5 = (x − 2)3 .
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Soit (vn ) une suite de A, convergente vers `. Il faut montrer ` ∈ A.
Pour cela v´erifier que pour tout entier k, la suite an,k des k-i`emes d´ecimales des vn successifs
est stationnaire en une valeur bk .
+∞
P
Montrer que ` =
bk 10−k , qui est bien un ´el´ement de A.
k=1

c
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´matiques
Exercices de Mathe
Rationnels et irrationnels
Corrig´es

Corrig´
es des exercices
´ de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
p
p


3
3
Posons a = 45 + 29 2, b = 45 − 29 2 et x = a + b.
On constate que a3 + b3 = 90.


D’autre part, ab = 3 452 − 2 · 292 = 3 343 = 7.
Ainsi 90 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) = (a + b)((a + b)2 − 3ab) = x(x2 − 21).
Le r´eel x est donc une racine de P (x) = x3 − 21x − 90 = (x − 6)(x2 + 6x + 15).
On en d´eduit x = 6 (seule racine r´eelle de P .)
´ de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
1. On suppose que n n’est pas un carr´e parfait.

Par l’absurde on suppose aussi que n est rationnel.
Il existe donc deux entiers positifs a et b (que l’on peut supposer sans facteur premier

a
commun) tels que n = , donc tels que a2 = nb2 .
b
Puisque n n’est pas un carr´e parfait, l’un de ses facteurs premiers p est pr´esent dans la
d´ecomposition de n avec un exposant impair.
Puisque l’entier premier p divise n, il divise nb2 = a2 : il divise donc a.
Mais l’exposant de p dans la d´ecomposition de a2 (donc dans la d´ecomposition de nb2 )
est pair. On en d´eduit que p figure dans la d´ecomposition de b ce qui est absurde car a et
b sont cens´es ˆetre sans facteur premier commun.

Conclusion : si n n’est pas un carr´e parfait, alors n est irrationnel.


2. On suppose que r = m + n est rationnel.

Il en alors de mˆeme de son carr´e r2 = m + n + mn.

Mais cel`a implique que mn est rationnel.
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, l’entier mn est un carr´e parfait a2 , avec a ∈ IN∗ .



a+n
a2
a
On peut donc ´ecrire m =
et r = m + n = √ + n = √ .
n
n
n

a+n
On constate alors que n =
est un rationnel.
r
On en d´eduit que n est un carr´e parfait.
En ´echangeant les rˆoles, on a le mˆeme r´esultat pour m.
Conclusion : si m et n ne sont pas des carr´es parfaits, alors



m+



n est irrationnel.

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´matiques
Exercices de Mathe
Rationnels et irrationnels
Corrig´es

´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige


1. √
Si a = b = 0, alors a + b 2 = 0. R´eciproquement si a + b 2 = 0 alors b = 0 (sans quoi
2 serait ´egal au rationnel − ab .) puis a = 0.



2. Si a = b = c = 0, alors a 2 + b 3 + c 5 = 0.



R´eciproquement, supposons a 2 + b 3 + c 5 = 0.



Alors 5c2 = (a 2 + b 3)2 = 2a2 + 3b2 + 2ab 6.

On en d´eduit a = 0 ou b = 0 sinon 6 serait rationnel (cf exercice pr´ec´edent)
– Si a = 0, alors 5c2 = 3b2 puis (5c)2 = 15b2 .

On en d´eduit b = 0 (sinon 15 serait rationnel) puis c = 0.
– Si b = 0, alors 5c2 = 2a2 puis (5c)2 = 10a2 .

On en d´eduit a = 0 (sinon 10 serait rationnel) puis c = 0.
´ de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige


Supposons par l’absurde que x = 3 5 + 2 est rationnel.




Alors 5 = (x − 2)3 = x3 − 3x2 2 + 6x − 2 2 = (x3 + 6x) − (3x2 + 2) 2.


x3 + 6x − 5
et
donc
Il en r´esulte que 2 =
2 ∈ Q,
l ce qui n’est pas.
2+2
3x


Conclusion : le r´eel x = 3 5 + 2 est un irrationnel.
´ de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Soit (vn ) une suite convergente d’´el´ements de A. Pour montrer que A est ferm´e, il suffit de
montrer que la limite de (vn ) est encore un ´el´ement de A.
Pour tout n de IN, soit vn =

+∞
P

an,k 10−k le d´eveloppement d´ecimal de vn .

k=1

On va v´erifier que la suite des d´ecimales de rang donn´e dans les vn successifs est stationnaire.
Pour tous entiers m, n, N , on peut ´ecrire :
vm − vn =

N
X
k=1

(am,k − an,k )10−k +

+∞
X

(am,k − an,k )10−k

k=N +1

Mais par hypoth`ese, les ap,k sont tous compris entre 0 et 8. On en d´eduit :
+∞

+∞
+∞
X

X
X
8

−k
−k
(am,k − an,k )10 ≤
|am,k − an,k | 10 ≤ 8
10−k = 10−N



9
k=N +1
k=N +1
k=N +1
1
Si on se donne ε > 0, il existe un entier M tel que n, m ≥ M ⇒ |vn − vm | < 10−N .
9

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Rationnels et irrationnels
Corrig´es

On en d´eduit, pour n, m ≥ M :



N
+∞
X


X


−k
−k
(am,k − an,k )10 < 10−N
(am,k − an,k )10 = vm − vn −



k=1

k=N +1

Ce r´esultat implique am,k = an,k pour tout k de {1, . . . , N }.
En effet, dans le cas contraire, et en notant j l’indice minimum tel que am,j 6= an,j , on aurait :


N
N
X

X

j−N
j−k
j−N
|am,j − an,j | < 10
+
(am,k − an,k )10 < 10
+9
10j−k


k=j+1

j−N

Or 10

N
P

+9

j−k

10

(j−N )

= 10

k=j+1

k=j+1

9 1 − 10j−N
+
= 1.
10 1 − 10−1

On en d´eduirait |am,j − an,j | < 1, ce qui est incompatible avec l’hypoth`ese am,j 6= an,j .
Ainsi pour chaque entier k, la suite des k-i`emes d´ecimales an,k des vn est stationnaire.
Pour chaque entier k, soit bk la valeur en laquelle stationne la suite des an,k .
Comme chacun des an,k les entiers bk sont compris entre 0 et 8.
Posons ` =

+∞
P

bk 10−k : ` est donc un ´el´ement de A.

k=1

Soit M dans IN∗ . Par construction, et pour n assez grand, on a an,k = bk pour 1 ≤ k ≤ M .



+∞
+∞
8
P
P
−k
−k


On a alors : |vn − `| = (an,k − bk )10 =
(an,k − bk )10 ≤ 10−M −1
9
k=1

k=M +1

On constate donc que lim vn = `.
n → +∞

Ainsi la limite de la suite convergente (vn ) de A est encore un ´el´ement de A.
Cela prouve que A est un ensemble ferm´e.

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