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M EA REE JMF 02 .pdf



Nom original: M-EA-REE-JMF-02.pdf
Auteur: Jean-Michel Ferrard

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´matiques
Exercices de Mathe
´
´galite
´s, ine
´quations dans IR
Equations,
e
´
Enonc´
es

´
Enonc´
es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
1. Etudier l’existence et le signe des racines r´eelles de P = (m − 2)x2 + (2m + 3)x + m + 2.
2. Mˆeme question avec P = (m − 2)x2 − (2m − 5)x + m + 3.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
R´esoudre dans IR les ´equations suivantes :


1. 2x + 3 − x + 2 = 2.


2. x − 9 + x − 24 = x.

3. x2 + mx − 1 = −x + 3m (avec m r´eel).
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]


R´esoudre 4 41 + x + 4 41 − x = 4 dans IR.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
3
x = 7x + 3y
R´esoudre le syst`eme
dans IR.
y 3 = 7y + 3x
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
4

2

1

2

4

1

2

2

3

Montrer que pour tous r´eels positifs a, b : (a2 + a 3 b 3 ) 2 + (b2 + a 3 b 3 ) 2 = (a 3 + b 3 ) 2
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
R´esoudre dans IR les in´equations suivantes :

1. 2x + 1 < x2 + 8.

2. x + x2 − 5x + 4 < 2.
Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ]
Discuter, suivant√les valeurs du param`etre r´eel m, le nombre de solutions r´eelles de l’´equation
(Em ) : x − 1 = 4 x4 + x2 + m.
On note ϕ(m) l’unique solution de cette ´equation quand elle existe.
Etudier l’application ϕ (monotonie, continuit´e, limites aux bornes).

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´matiques
Exercices de Mathe
´
´galite
´s, ine
´quations dans IR
Equations,
e
Indications, r´esultats

Indications ou r´
esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Si m = 2, une seule seule racine, n´egative. Si m 6= 2, ∆ = 12m + 25.
Si deux racines r´eelles distinctes α, β, former αβ et α + β, et discuter.
2. Si m = 2, une seule racine. Si m 6= 2, ∆ = 49 − 24m. Continuer comme ci-dessus.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. La seule solution de (E) est x = 23.


2. Pour x ≥ 24, on a x − 24 < x − 9. Il n’y a pas de solution sur IR.
3. Si m = 0, il n’y a pas de solution.
h
h h
h
9m2 + 1
1
1


Si m 6= 0, la seule solution est xm =
, si m ∈ −
,0 ∪
, +∞ .
2 3
2 3
7m
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]


Poser X = 4 41 + x et Y = 4 41 − x. On a X 4 + Y 4 = 82 et S = X + Y = 4.
Exprimer X 4 + Y 4 en fonction de S = X + Y et de P = XY .
En d´eduire P = 29 ou P = 3. Les deux seules solutions sont x = −40 et x = 40.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Proc´eder par somme et diff´erence.

– Si y = x, on trouve x = 0 ou x = ± 10. Si y = −x, on trouve x = 0 ou x = ±2.
– Si y 6= ±x, on obtient x + y = ε et xy = −3, avec ε = ±1. Discuter suivant ε.
– Finalement, on trouve 9 couples solutions
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Deux factorisations tr`es simples suffisent.
Indication pour l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. L’ensemble des solutions est ] − ∞, 1[.
2. L’ensemble des solutions est ]0, 1].
Indication pour l’exercice 7 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– On a (Em ) ⇔ (fm (x) = 0 et x ≥ 1 =, avec fm (x) = 4x3 − 5x2 + 4x + m − 1.
Montrer que fm est une bijection de IR sur IR.
(Em ) n’a pas de solution r´eelle si m > −2, et a une seule solution ϕ(m) ≥ 1 si m ≤ −2.
1/3
.
On ´etudie ensuite ϕ et ϕ−1 . On trouve lim ϕ(m) = +∞. et ϕ(m) ∼ − m4
m→−∞

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´
´galite
´s, ine
´quations dans IR
Equations,
e
Corrig´es

Corrig´
es des exercices
´ de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
4
1. Si m = 2, alors P = 7x + 4 et la seule racine est − , qui est n´egative.
7
On suppose maintenant m 6= 2 : P est un polynˆome de degr´e 2.
Le discriminant de P est ∆ = (2m + 3)2 − 4(m − 2)(m + 2) = 12m + 25.
– Si m < −25/12 alors ∆ < 0 et P n’a pas de racine r´eelle.
– Si m = −25/12 alors ∆ = 0 et P a une racine double n´egative x = −

2m + 3
1
=− .
2(m − 2)
7

– Si m > −25/12 (avec m 6= 2) alors ∆ > 0 et P a deux racines r´eelles distinctes α, β.


−(2m + 3) − 12m + 5
−(2m + 3) + 12m + 5
Ces racines sont
et
.
2(m − 2)
2(m − 2)
2m + 3
m+2
et α + β = −
.
On a αβ =
m−2
m−2
Si −25/12 < m < −2 alors αβ > 0 et α + β < 0 : les deux racines sont n´egatives.
Si m = −2, alors P = −4x2 − x = −x(4x + 1) : une racine nulle, l’autre n´egative.
Si −2 < m < 2 alors αβ < 0 : les deux racines sont de signes contraires.
Si 2 < m alors αβ > 0 et α + β < 0 : les deux racines sont n´egatives.
2. Si m = 2, alors P = x + 5 et la seule racine est −5, qui est n´egative.
On suppose maintenant m 6= 2 : P est un polynˆome de degr´e 2.
Le discriminant de P est ∆ = (2m − 5)2 − 4(m − 2)(m + 3) = 49 − 24m.
– Si m > 49/24 alors ∆ < 0 et P n’a pas de racine r´eelle.
– Si m = 49/24 alors ∆ = 0 et P a une racine double n´egative x =

2m − 5
= −11.
2(m − 2)

– Si m < 49/24 (avec m 6= 2) alors ∆ > 0 et P a deux racines r´eelles distinctes α, β.


2m − 5 − 49 − 24m
2m − 5 + 49 − 24m
Ces racines sont
et
.
2(m − 2)
2(m − 2)
m+3
2m − 5
On a αβ =
et α + β =
.
m−2
m−2
Si 2 < m < 49/24, alors αβ > 0 et α + β < 0 : les deux racines sont n´egatives.
Si −3 < m < 2 alors αβ < 0. Les deux racines sont de signes contraires.
Si m = −3, alors P = −5x2 + 11x = −x(5x − 11) : une racine nulle, l’autre positive.
Si m < −3, alors αβ > 0 et α + β > 0 : les deux racines sont positives.

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´
´galite
´s, ine
´quations dans IR
Equations,
e
Corrig´es

´ de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige


1. Soit (E) l’´equation 2x + 3 − x + 2 = 2.


(E) ⇔ 2x + 3 = 2 + x + 2 (les deux membres sont ≥ 0 : on ´el`eve au carr´e)

⇔ 2x + 3 = 4 + 4 x + 2 + x + 2

⇔x−3=4 x+2
On ´el`eve au carr´e, mais avec la condition x ≥ 3 pour garder l’´equivalence :

(x − 3)2 = 16(x + 2)
(E) ⇔
x≥3

x2 − 22x − 23 = 0

x≥3

(x − 23)(x + 1) = 0

⇔ x = 23
x≥3
La seule solution de (E) est donc x = 23.





2. Pour tout x ≥ 24, on a x − 24 < x − 9 donc x − 9 + x − 24 < 2 x − 9.

Or pour tout x ≥ 9, on a 2 x − 9 < x. En effet ces deux quantit´es positives sont dans le
mˆeme ordre que leurs carr´es 4(x − 9) et x2 , et le polynˆome x2 − 4(x − 9) = x2 − 4x + 36
(dont le discriminant r´eduit est ∆0 = −32 < 0) reste strictement positif sur IR.



Pour tout x ≥ 24, on a donc x − 9 + x − 24 < 2 x − 9 < x.


L’´equation x − 9 + x − 24 = x n’a donc pas de solution sur IR.

3. Soit (Em ) l’´equation x2 + mx − 1 = −x + 3m.
On ´el`eve au carr´e en ajoutant la condition x ≤ 3m pour assurer l’´equivalence.
2
(x + mx − 1) = (−x + 3m)2
(E) ⇔
x ≤ 3m

7mx = 9m2 + 1

x ≤ 3m
On voit que si m = 0 ce syst`eme n’a pas de solution.
9m2 + 1
Si m 6= 0, il admet la seule solution xm =
, sous r´eserve que xm ≤ 3m.
7m


12m2 − 1
(2m 3 − 1)(2m 3 + 1)
Or 3m − xm =
=
.
7m
7m
Cette quantit´e est positive ou nulle si et seulement si : m ∈ [− 2√1 3 , 0[∪[ 2√1 3 , +∞[.
Conclusion :
h h
h
h
9m2 + 1
si m ∈ − 2√1 3 , 0 ∪ 2√1 3 , +∞ .
7m
Dans le cas contraire, (E) ne poss`ede aucune solution dans IR.
L’´equation (E) a une solution unique x =

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´
´galite
´s, ine
´quations dans IR
Equations,
e
Corrig´es

´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Soit x une solution de l’´equation (s’il en existe).


Posons X = 4 41 + x et Y = 4 41 − x.
On constate que X 4 + Y 4 = 82 et S = X + Y = 4.
On ´ecrit l’expression sym´etrique X 4 + Y 4 en fonction de S = X + Y et de P = XY .
X 4 + Y 4 = (X 2 + Y 2 )2 − 2P 2 = ((X + Y )2 − 2P )2 − 2P 2
.
= (16 − 2P )2 − 2P 2 = 256 − 64P + 2P 2 .
Puisque X 4 + Y 4 = 82, il vient P 2 − 32P + 87 = 0, c’est-`a-dire (P − 29)(P − 3) = 0.
n
n
X +Y =4
X +Y =4
On a donc
ou
.
XY = 29
XY = 3
– Le premier syst`eme signifie que X, Y sont les racines de t2 − 4t + 29.
Mais le discriminant de ce trinˆome est n´egatif.
Ce premier cas ne donne aucune solution r´eelle X, Y , donc aucune solution r´eelle x.
– Le deuxi`eme syst`eme signifie que X, Y sont les racines de t2 − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3).

X=1
Cela ´equivaut `a
c’est-`a-dire x = X 4 − 41 = 41 − Y 4 = −40,
Y =3

X=3
c’est-`a-dire x = X 4 − 41 = 41 − Y 4 = 40.
ou `a
Y =1
R´eciproquement −40 et 40 sont solutions de l’´equation initiale.
On a donc obtenu les deux seules solutions de cette ´equation.
´ de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
(S) ´equivaut au syst`eme obtenu par somme et diff´erence de ses deux ´equations.
3
x + y 3 = 10(x + y)
(S) ⇔
x3 − y 3 = 4(x − y)

(x + y)(x2 − xy + y 2 − 10) = 0

(x − y)(x2 + xy + y 2 − 4) = 0

– Avec la condition y = x : (S) ⇔ x(x2 − 10) = 0 ⇔ x = 0 ou x = ± 10.
√ √


On obtient les couples solutions (0, 0), ( 10, 10) et (− 10, − 10).
– Avec la condition y = −x : (S) ⇔ x(x2 − 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = ±2.
On obtient donc les couples solutions (0, 0), (2, −2) et (−2, 2).
2
2
x − xy + y 2 = 10
x + y2 = 7
– Si on suppose y 6= ±x, alors (S) ⇔

x2 + xy + y 2 = 4
xy = −3
2
2
2
Mais la premi`ere ´equation devient 7 = x + y = (x + y) − 2xy = (x + y)2 + 6.

x+y =ε
Le syst`eme (S) ´equivaut donc `a :
avec ε = ±1.
xy = −3

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Exercices de Mathe
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´galite
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´quations dans IR
Equations,
e
Corrig´es

Si ε = 1, cela revient `a dire que x et y sont les racines de P (t) = t2 − t − 3, dont le
discriminant est ∆ = 13.


1 − 13
1 + 13
et b =
.
Les racines de P (t) sont a =
2
2
On obtient les couples solutions (a, b) et (b, a).
Si ε = −1, cela revient `a dire que x et y sont les racines de Q(t) = t2 + t − 3, dont les
racines sont les oppos´ees de celles de P .
Avec les notations pr´ec´edentes, on obtient donc les solutions (−a, −b) et (−b, −a).
Conclusion : on trouve 9 couples solutions, qui sont
√ √


(0, 0), ( 10, 10), (− 10, − 10),
(2, −2), (−2, 2), (a, b), (b, a), (−a, −b), (−b, −a)
´ de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
4

4

On factorise a 3 dans la premi`ere parenth`ese et b 3 dans la seconde.
4

2

1

2

4

1

2

2

2

1

2

2

2

1

(a2 + a 3 b 3 ) 2 + (b2 + a 3 b 3 ) 2 = a 3 (a 3 + b 3 ) 2 + b 3 (b 3 + a 3 ) 2
2

2

2

2

1

2

2

3

= (a 3 + b 3 )(a 3 + b 3 ) 2 = (a 3 + b 3 ) 2

´ de l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige

1. Notons que si x < − 12 alors 2x + 1 < 0 < x2 + 8.
Si on suppose x ≥ − 21 , on obtient une in´equation ´equivalente par ´el´evation au carr´e.
(2x + 1)2 < x2 + 8 ⇔ 3x2 + 4x − 7 < 0 ⇔ (x − 1)(3x + 7) < 0 ⇔ x ∈] − 73 , 1[.

Conclusion : l’ensemble des solutions de 2x + 1 < x2 + 8 est ] − ∞, 1[.
p

2. Le domaine de d´efinition D de x2 − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) est ] − ∞, 1] ∪ [4, +∞[.

Notons aussi que si x ≥ 4 alors 2 − x < 0 alors que x2 − 5x + 4 ≥ 0.
Un tel r´eel x n’est donc pas solution de l’in´egalit´e propos´ee.
On peut donc supposer x ≤ 1 (pour rester dans le domaine D).
Cela permet d’´ecrire :


x + x2 − 5x + 4 < 2 ⇔ x2 − 5x + 4 < 2 − x ⇔ x2 − 5x + 4 < (2 − x)2 ⇔ x > 0.

Conclusion : l’ensemble des solutions de x + x2 − 5x + 4 < 2 est l’intervalle ]0, 1].

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e
Corrig´es

´ de l’exercice 7 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
– On a les ´equivalences :

3
4x − 5x2 + 4x + m − 1 = 0
(x − 1)4 = x4 + x2 + m
(Em ) ⇔

x≥1
x≥1
Notons fm l’application d´efinie sur IR par : fm (x) = 4x3 − 5x2 + 4x + m − 1.
0
Pour tout x r´eel, fm
(x) = 12x2 − 10x + 4 = 2(6x2 − 5x + 2).

Le discriminant ∆ de P (x) = 6x2 − 5x + 2 est δ = 25 − 48 < 0.
0
On en d´eduit que, pour tout x de IR, fm
(x) > 0.

L’application fm est donc strictement croissante sur IR.
Puisque lim fm (x) = −∞ et lim fm (x) = +∞, fm est une bijection de IR sur IR.
x→−∞

x→+∞

En particulier il existe un r´eel ϕ(m) unique (d´ependant de m) tel que fm (ϕ(m)) = 0.
Ce r´eel est effectivement solution de (Em ) s’il est sup´erieur ou ´egal `a 1.
Or fm (1) = m + 2. L’application fm ´etant strictement croissante, on a :
ϕ(m) ≥ 1 ⇔ fm (ϕ(m)) ≥ fm (1) ⇔ 0 ≥ m + 2 ⇔ m ≤ −2
Conclusion :
L’´equation (Em ) n’a pas de solution r´eelle si m > −2.
Elle a une solution unique ϕ(m) ≥ 1 si m ≤ −2.
– On sait que l’application ϕ est d´efinie sur ] − ∞, −2] et qu’elle est `a valeurs dans [1, +∞[.
On a x = ϕ(m) ⇔ m = ψ(x), avec ψ(x) = (x − 1)4 − x4 − x2 = −4x3 + 5x2 − 4x + 1.
L’application ψ est continue sur [1, +∞[ et elle est strictement d´ecroissante (en effet on a
ψ 0 (x) = −2(6x2 − 5x + 2) < 0 comme on l’a vu pr´ec´edemment.)
D’autre part, ψ(1) = −2 et lim ψ(x) = −∞.
x→+∞

L’application ψ est donc une bijection de [1, +∞[ sur ] − ∞, −2].
L’application ϕ est la bijection r´eciproque de ψ. On en d´eduit que :
ϕ est continue sur ] − ∞, −2], et strictement d´ecroissante.
Elle v´erifie ϕ(−2) = 1 et lim ϕ(m) = +∞.
m→−∞

On peut mˆeme trouver un ´equivalent de ϕ(m) quand m → −∞.
En effet, en utilisant le fait que lim ϕ(m) = +∞, on trouve :
m→−∞

4ϕ3 (m) − 5ϕ2 (m) + 4ϕ(m) = 1 − m ⇒ 4ϕ3 (m) ∼ −m
1/3
On en d´eduit ϕ(m) ∼ − m4
quand m → −∞.

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