M EA REE JMF 05 .pdf


Nom original: M-EA-REE-JMF-05.pdfAuteur: Jean-Michel Ferrard

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´matiques
Exercices de Mathe
´galite
´s et re
´currences
Ine
´
Enonc´
es

´
Enonc´
es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soient m, n, p des entiers naturels.
1 m
m
m
) <1+
+ ( )2 .
n
n
n
p n
1 n
2. En d´eduire (1 + ) < 3, puis (1 + ) < 3p .
n
n
1. Montrer que 1 ≤ m ≤ n ⇒ (1 +

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit x1 , x2 , . . . , xn une famille de r´eels de [0, 1].
Prouver l’in´egalit´e

n
Y
k=1

(1 − xk ) ≥ 1 −

n
X

xk .

k=1

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
On consid`ere les r´eels a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ 0 et b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn ≥ 0.
Montrer que (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) ≤ n(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ).
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soient x1 , x2 , . . . , xn dans IR+ , et y1 , y2 , . . . , yn dans IR+∗ .
x x
x x
xn x1 + x2 + . . . + xn
xn
2
1
2
1
Montrer que min
, ,...,

≤ max
, ,...,
.
y1 y2
yn
y1 + y2 + . . . + yn
y1 y2
yn

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ee sont interdites.

´matiques
Exercices de Mathe
´galite
´s et re
´currences
Ine
Indications, r´esultats

Indications ou r´
esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. On proc`ede par une r´ecurrence finie sur l’entier m, avec n ≥ 1 fix´e.
1
m + 1 m2 + m m2
Passer par l’in´egalit´e (1 + )m+1 < 1 +
+
+ 3.
n
n
n2
n
2. Que donne la question pr´ec´edente si m = n ?
p
1
Pour tout p ≥ 1, on a (1 + )p = 1 + .
n
n
On conclut par ´el´evation `a la puissance n.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
R´ecurrence facile sur l’entier n ≥ 1.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
n
n
n
P
P
P
Poser An =
ak , Bn =
bk et Sn =
ak b k .
k=1

k=1

k=1

Par hypoth`ese An Bn ≤ nSn et on veut (An + an+1 )(Bn + bn+1 ) ≤ (n + 1)(Sn + an+1 bn+1 ).
Par diff´erence prouver : (n + 1)(Sn + an+1 bn+1 ) − (An + an+1 )(Bn + bn+1 ) ≥ nSn − An Bn .
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On proc`ede par r´ecurrence sur n. Il est essentiel de traiter le cas n = 2.

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´matiques
Exercices de Mathe
´galite
´s et re
´currences
Ine
Corrig´es

Corrig´
es des exercices
´ de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
1. On proc`ede par une r´ecurrence finie sur l’entier m, avec n ≥ 1 fix´e.
La propri´et´e est ´evidente si m = 1.
1
m
m
Soit m un entier compris entre 1 et n − 1. On suppose que (1 + )m < 1 +
+ ( )2 .
n
n
n
1
m
m 2
1 m+1
On en d´eduit : (1 + )
< (1 + ) 1 +
+( ) .
n
n
n
n
2
1
m + 1 m + m m2
Autrement dit : (1 + )m+1 < 1 +
+
+ 3.
n
n
n2
n
2
m
m+1
Mais m < n ⇒ m2 < n(m + 1). Il en d´ecoule 3 <
.
n
n2
1
m + 1 m2 + 2m + 1
m + 1 (m + 1)2
On en d´eduit (1 + )m+1 < 1 +
+
=
1
+
+
.
n
n
n2
n
n2
Cela prouve la propri´et´e au rang m + 1 et ach`eve la r´ecurrence.
1 n
) < 3.
n
p
1
p P
1
p
Pour tout p ≥ 1, on a (1 + )p = 1 + +
C kp k ≥ 1 + .
n
n k=2
n
n
On en d´eduit, par ´el´evation `a la puissance n :

p
p n
1 np
1 n
(1 + ) ≤ (1 + ) = (1 + )
< 3p .
n
n
n

2. Dans le cas particulier m = n, on trouve bien sˆ
ur : (1 +

´ de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
On proc`ede par r´ecurrence sur l’entier n ≥ 1. C’est ´evident si n = 1.
C’est vrai pour n = 2 car : (1 − x1 )(1 − x2 ) = 1 − (x1 + x2 ) + x1 x2 ≥ 1 − (x1 + x2 ).
On suppose que le r´esultat est ´etabli au rang n ≥ 2.
On se donne x1 , . . . , xn , xn+1 dans [0, 1].
On trouve :

n+1
Y

(1 − xk ) = (1 − xn+1 )

k=1

Ainsi :

n+1
Y
k=1

(1 − xk ) ≥ 1 −

n
Y

(1 − xk ) ≥ (1 − xn+1 ) 1 −

k=1
n+1
X
k=1

xk + xn+1

n
X
k=1

n
X

!
xk

k=1

xk ≥ 1 −

n+1
X

xk .

k=1

On a ainsi prouv´e la propri´et´e au rang n + 1, ce qui ach`eve la r´ecurrence.

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Exercices de Mathe
´galite
´s et re
´currences
Ine
Corrig´es

´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
La propri´et´e est ´evidente si n = 1.
Supposons qu’elle soit vraie pour un certain entier n ≥ 1.

a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ an+1 ≥ 0
On se donne les r´eels
b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn ≥ bn+1 ≥ 0
n
n
n
P
P
P
Posons An =
ak , Bn =
bk et Sn =
ak bk . Par hypoth`ese An Bn ≤ nSn .
k=1

k=1

k=1

On doit prouver (An + an+1 )(Bn + bn+1 ) ≤ (n + 1)(Sn + an+1 bn+1 ).
On ´evalue la diff´erence entre les deux termes `a comparer :
(n + 1)(Sn + an+1 bn+1 ) − (An + an+1 )(Bn + bn+1 )
= nSn − An Bn + Sn + nan+1 bn+1 − an+1 Bn − bn+1 An
n
P
= nSn − An Bn +
(ak bk + an+1 bn+1 − an+1 bk − bn+1 ak )
= nSn − An Bn +

k=1
n
P

(ak − an+1 )(bk − bn+1 ) ≥ nSn − An Bn ≥ 0
{z
}

k=1 |

≥0

On a ainsi prouv´e la propri´et´e au rang n, ce qui ach`eve la r´ecurrence.
´ de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
La propri´et´e est ´evidente si n = 1.
Pour la prouver au rang n = 2, on peut supposer

x1
x2

c’est-`a-dire x1 y2 ≤ x2 y1 .
y1
y2

x1
x1 + x2
x2

≤ .
y1
y1 + y2
y2
x2 x1 + x2
x2 y1 − y2 x1
x1 + x2 x1
x 2 y1 − y2 x1
Or

=
≥ 0 et

=
≥ 0.
y2
y1 + y2
y2 (y1 + y2 )
y1 + y2
y1
y1 (y1 + y2 )
On a donc prouv´e la propri´et´e au rang 2.
Il s’agit alors d’´etablir

On suppose maintenant que la propri´et´e est vraie au rang n, avec n ≥ 2.
On se donne x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 dans IR+ et y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 dans IR+∗ .
Notons Xn = x1 + x2 + · · · + xn et Yn = y1 + y2 + · · · + yn .




Xn xn+1
Xn + xn+1
Xn xn+1
La d´emonstration au rang 2 a montr´e que : min
,

≤ max
,
Yn yn+1
Yn + yn+1
Yn yn+1
x x
x x
xn Xn
xn
1
2
1
2
Par hypoth`ese de r´ecurrence, on a : min
, ,...,

≤ max
, ,...,
.
y1 y2
yn
Yn
y1 y2
yn
x x
x x
xn xn+1 Xn + xn+1
xn xn+1
1
2
1
2
On en d´eduit min
, ,..., ,

≤ max
, ,..., ,
y1 y2
yn yn+1
Yn + xn+1
y1 y2
yn yn+1
Ce qui prouve la propri´et´e au rang n + 1 et ach`eve la r´ecurrence.

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