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M EA REE JMF 06 .pdf



Nom original: M-EA-REE-JMF-06.pdf
Auteur: Jean-Michel Ferrard

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´matiques
Exercices de Mathe
´tiques ou ge
´ome
´triques
Suites arithme
´
Enonc´
es

´
Enonc´
es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soient a, b et c trois r´eels distincts, a ´etant non nul. On suppose que a, b, c sont en progression
arithm´etique et que 3a, b, c sont en progression g´eom´etrique.
Que dire de la raison de cette progression g´eom´etrique ?
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit a un r´eel strictement positif et diff´erent de 1.
On consid`ere la suite d´efinie par u0 > 0 et, pour tout n ≥ 0, un+1 =
1. V´erifier que la suite (vn ) d´efinie par vn =

1 + aun
.
a + un

a−1
−1 + un
est g´eom´etrique de raison
.
1 + un
a+1

2. En d´eduire lim vn puis lim un .




Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient a, b deux r´eels, et une suite (un ) telle que : ∀ n ∈ IN∗ , u0 + u1 + · · · + un−1 = n(an + b).
Montrer que la suite (un ) est arithm´etique. Calculer un .
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
On suppose que les r´eels a, b, c sont en progression arithm´etique.
Montrer qu’il en est de mˆeme des r´eels x = b2 + bc + c2 , y = c2 + ca + a2 et z = a2 + ab + b2 .
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Dans quelle base de num´eration les r´eels 123, 140, 156 sont-ils en progression arithm´etique ?

c
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individuelle et priv´
ee sont interdites.

´matiques
Exercices de Mathe
´tiques ou ge
´ome
´triques
Suites arithme
Indications, r´esultats

Indications ou r´
esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]


3+ 6
3− 6
On trouve deux solutions : q =
et q =
.
3
3
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
a−1
.
a+1
2. Constater que vn tend vers 0 quand n tend vers +∞. En d´eduire lim un = 1.
1. V´erifier que la suite (vn ) est bien d´efinie, et g´eom´etrique de raison q =

n→+∞

Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Par diff´erence un = 2an + a + b.
La suite (un ) est arithm´etique de raison 2a, de premier terme u0 = a + b.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On v´erifie x + z = 2y, sachant que a + c = 2b.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On cherche b telle que (b2 + 2b + 3) + (b2 + 5b + 6) = 2(b2 + 4b). On trouve b = 9.

c
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´matiques
Exercices de Mathe
´tiques ou ge
´ome
´triques
Suites arithme
Corrig´es

Corrig´
es des exercices
´ de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
On sait que a + c = 2b.
D’autre part, il existe q 6= 0 tel que b = 3aq et c = bq = 3aq 2 .
On en d´eduit a + c = a(3q 2 + 1) = 6aq, puis 3q 2 − 6q + 1 = 0.


3+ 6
3− 6
et q =
.
On trouve donc deux solutions : q =
3
3


Dans le premier cas on a : b = (3 + 6)a et c = (5 + 2 6)a.


Dans le deuxi`eme cas on a : b = (3 − 6)a et c = (5 − 2 6)a.
´ de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
1. Une r´ecurrence ´evidente montre que (un ) est bien d´efinie et que un > 0 pour tout n.
En cons´equence la suite (vn ) est elle aussi bien d´efinie, et pour tout n ≥ 0 :
1 + aun
−(a + un ) + 1 + aun
−1 + un+1
a + un
=
=
=
1
+
au
n
a + un + 1 + aun
1 + un+1
1+
a + un
(a − 1)(un − 1)
a−1
=
=
vn
(a + 1)(un + 1)
a+1
−1 +

vn+1

a−1
.
a+1
(a + 1)2 − (a − 1)2
4a
2. On constate que 1 − q 2 =
=
> 0.
2
(a + 1)
(a + 1)2
Autrement dit −1 < q < 1, donc vn = q n v0 tend vers 0 quand n tend vers +∞.
−1 + un
1 + vn
Pour tout n, l’´egalit´e vn =
s’´ecrit un =
.
1 + un
1 − vn
Pusique lim vn = 0 on en d´eduit lim un = 1.
La suite (vn ) est donc g´eom´etrique de raison q =

n→+∞

n→+∞

´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Pour tout entier n ≥ 1, on a :
un =

n
X
k=0

uk −

n−1
X

uk = a(n + 1)2 + b(n + 1) − an2 − bn = 2an + a + b

k=0

L’´enonc´e montre que cette expression est encore correcte si n = 0.
La suite (un ) est donc arithm´etique de raison 2a, de premier terme u0 = a + b.

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´triques
Suites arithme
Corrig´es

´ de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Il suffit pour cela de v´erifier l’´egalit´e x + z = 2y, sachant que a + c = 2b.
Effectivement :
x + z = b2 + bc + c2 + a2 + ab + b2 = 2b2 + b(a + c) + a2 + c2
= 2b(a + c) + a2 + c2 = (a + c)2 + a2 + c2 = 2(a2 + ac + c2 ) = 2y

´ de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Il faut trouver une base b telle que (b2 + 2b + 3) + (b2 + 5b + 6) = 2(b2 + 4b).
Cette condition ´equivaut `a b = 9.

 x = 123 = 102
Effectivement, en base 9, on a : y = 140 = 117 = x + 15 .

z = 156 = 132 = y + 15

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