M EA REE JMF 08 .pdf



Nom original: M-EA-REE-JMF-08.pdfAuteur: Jean-Michel Ferrard

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´matiques
Exercices de Mathe
Suites adjacentes
´
Enonc´
es

´
Enonc´
es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
n 1
P
1
et vn = un +
sont adjacentes.
n(n!)
k=0 k!
Montrer que leur limite commune est irrationnelle.

Montrer que les suites de terme g´en´eral un =

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Trouver la condition sur les r´eels u0 , v0 , λ ≥ 0 et µ ≥ 0 pour que les suites (un ) et (vn ) d´efinies
un + λvn
un + µvn
par les r´ecurrences un+1 =
et vn+1 =
soient adjacentes.
1+λ
1+µ
Dans le cas g´en´eral, les suites (un ) et (vn ) sont-elles convergentes, et vers quelle limite ?
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
1
1
1
Montrer que la suite de terme g´en´eral un = 1 − + − · · · + (−1)n est convergente et que
1! 2!
n!
sa limite est un irrationnel.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Etudier les suites (un ) et (vn ) d´efinies par la donn´ee du couple (u0 = a > 0, v0 = b > 0) et par
un + vn

les relations un+1 = un vn et vn+1 =
.
2
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soient a et b deux r´eels strictement positifs.
2
1
1
un + v n
On pose u0 = a, v0 = b, et pour tout n,
=
+
et vn+1 =
.
un+1
un v n
2
Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.

c
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eserv´
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´matiques
Exercices de Mathe
Suites adjacentes
Indications, r´esultats

Indications ou r´
esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– La suite (un ) est croissante, la suite (vn ) est d´ecroissante, et lim (vn − un ) = 0.
n→+∞

– Utiliser n(n!)un < n(n!)` < n(n!)vn , et en d´eduire que ` est irrationnel.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Montrer que la suite (vn − un )n≥0 est g´eom´etrique, puis que lim (vn − un ) = 0.
n→+∞

Etudier alors les monotonies des suites u et v.
On constate qu’elles sont adjacentes ⇔ µ ≥ λ ou u0 = v0 .
On trouve alors lim un = lim vn =
n→+∞

n→+∞

(1 + λ)u0 + λ(1 + µ)v0
.
1 + 2λ + λµ

Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Montrer que les suites (an = u2n ) et (bn = u2n+1 ) sont adjacentes.
1
Utiliser ensuite l’encadrement u2n+1 = u2n −
< ` < u2n .
(2n + 1)!
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tout n ≥ 1, v´erifier qu’on a : vn ≥ un .
En d´eduire les monotonies de (un ) et (vn ), `a partir de n = 1.
Justifier pourquoi les deux suites (un ) et (vn ) sont convergentes.
Montrer que leurs limites sont ´egales en utilisant les d´efinitions des suites u et v.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Montrer que pour tout n ≥ 1, on a un ≤ vn .
En d´eduire les monotonies de (un ) et (vn ), `a partir de n = 1.
Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont convergentes, ensuite que leurs limites sont ´egales.

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´matiques
Exercices de Mathe
Suites adjacentes
Corrig´es

Corrig´
es des exercices
´ de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
– La suite (un ) est croissante car un+1 − un =

1
> 0.
(n + 1)!

– La suite (vn ) est d´ecroissante car :
vn+1 − vn = un+1 − un +

1
1
1
1
1

=
+

(n + 1)(n + 1)! n(n!)
(n + 1)! (n + 1)(n + 1)! n(n!)

n(n + 1) + n − (n + 1)2
−1
=
=
<0
n(n + 1)(n + 1)!
n(n + 1)(n + 1)!
1
= 0.
n→+∞ n(n!)

– Enfin lim vn − un = lim
n→+∞

– Les trois propri´et´es pr´ec´edentes prouvent que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.
Elles sont donc convergentes et ont une mˆeme limite `.
– On peut prouver que lim un = lim vn = e.
n→+∞

n→+∞

– Pour tout entier n, on a un < ` < vn .
On en d´eduit l’encadrement : n(n!)un < n(n!)` < n(n!)vn .
Mais N = n(n!)un est un entier et n(n!)vn = N + 1.
Cela prouve que n(n!)` n’est jamais un entier, quelque soit n.
Il en d´ecoule que ` est irrationnel (par l’absurde, consid´erer n ´egal au d´enominateur de `).
´ de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
– Comme λ ≥ 0 et µ ≥ 0, on voit que un et vn sont d´efinis pour tout n ≥ 0.
– Pour tout entier naturel n, on a :
vn+1 − un+1 =

un + µvn un + λvn
(µ − λ)(vn − un )

=
1+µ
1+λ
(1 + µ)(1 + λ)

La suite de terme g´en´eral vn − un est donc g´eom´etrique de raison q =

µ−λ
.
(1 + µ)(1 + λ)

On en d´eduit, pour tout n de IN : vn − un = q n (v0 − u0 ).
– On remarque que |q| ≤

µ+λ
< 1.
(1 + µ)(1 + λ)

On en d´eduit lim (vn − un ) = 0.
n→+∞

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Suites adjacentes
Corrig´es

– Pour tout entier naturel n, on a :
un+1 − un =

un + λvn
λ
λ
− un =
(vn − un ) =
q n (v0 − u0 )
1+λ
1+λ
1+λ

De mˆeme :
vn+1 − vn =

un − vn
−1 n
un + µvn
− vn =
=
q (v0 − u0 )
1+µ
1+µ
1+µ

– On constate que si u0 = v0 = a, alors pour tout n de IN, un = vn = a.
On peut dire dans ce cas que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.
Supposons maintenant u0 6= v0 .
Pour que les suites (un ) et (vn ) soient adjacentes, il faut et il suffit que l’une soit croissante,
l’autre d´ecroissante, car on sait d´ej`a que lim (vn − un ) = 0.
n→+∞

Ces conditions de monotonie ´equivalent `a q ≥ 0, c’est-`a-dire µ ≥ λ.
– Conclusion : les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes ⇔ µ ≥ λ ou u0 = v0 .
– Remarque :
Dans tous les cas, on a :
n−1
X

n−1
λ(v0 − u0 ) 1 − q n
λ(v0 − u0 ) X k
q = u0 +
un = u0 +
(uk+1 − uk ) = u0 +
1+λ
1+λ
1−q
k=0
k=0

On en d´eduit :
lim un = u0 +

n→+∞

λ(v0 − u0 )
λ(1 + µ)
= u0 +
(v0 − u0 )
(1 + λ)(1 − q)
1 + 2λ + µλ

Finalement :
lim un = lim vn =

n→+∞

n→+∞

(1 + λ)u0 + λ(1 + µ)v0
1 + 2λ + λµ

´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
1
1
Pour tout entier n ≥ 0 : u2n+2 − u2n =

< 0.
(2n + 2)! (2n + 1)!
1
1
De mˆeme, pour tout n ≥ 1, on a : u2n+1 − u2n−1 = −
+
> 0.
(2n + 1)! (2n)!
1
Enfin u2n+1 − u2n = −
tend vers 0 quand n tend vers +∞.
(2n + 1)!
Tout cela signifie que les suites (an = u2n ) et (bn = u2n+1 ) sont adjacentes.
Cela implique qu’elles sont convergentes et ont une mˆeme limite `.
Il en d´ecoule que la suite (un ) est elle-mˆeme convergente vers `.

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Exercices de Mathe
Suites adjacentes
Corrig´es

1
< ` < u2n .
(2n + 1)!
On multiplie par (2n + 1)! : N − 1 < (2n + 1)!` < N o`
u N = (2n + 1)!u2n est entier.
Cela prouve que (2n + 1)!` n’est jamais un entier, ce qui implique que ` n’est pas rationnel (s’il
l’´etait, choisir n tel que 2n + 1 soit sup´erieur ou ´egal au d´enominateur de `).
1
1
Remarque : on montre que ` = . On en d´eduit que et donc e sont irrationnels.
e
e
D’autre part, pour tout n ≥ 0, on a l’encadrement u2n+1 = u2n −

´ de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Par une r´ecurrence ´evidente, (un ) et (vn ) sont bien d´efinies et sont `a valeurs > 0.
1 √
un + vn √

Pour tout n ≥ 0, on a : vn+1 − un+1 =
− un vn = ( vn − un )2 ≥ 0.
2
2
On en d´eduit que pour tout n ≥ 1, on a l’in´egalit´e : un ≤ vn .
un + v n

Dans ces conditions : ∀n ≥ 0, un+1 = un vn ≥ un et vn+1 =
≤ vn .
2
La suite (un ) est donc croissante, et la suite (vn ) d´ecroissante, `a partir de n = 1.
En utilisant ce qui pr´ec`ede, on trouve : ∀n ≥ 1, u1 ≤ un ≤ vn ≤ v1 .
Ainsi la suite (un ) est croissante major´ee, et la suite (vn ) est d´ecroissante minor´ee.
On en d´eduit que ces deux suites sont convergentes.
Posons ` = lim un et `0 = lim vn .
n→+∞

n→+∞

un + vn
` + `0
on trouve `0 =
donc ` = `0 .
2
2
Conclusion : les deux suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.
Si on passe `a la limite dans l’´egalit´e vn+1 =

´ de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Par une r´ecurrence ´evidente, (un ) et (vn ) sont bien d´efinies et sont `a valeurs > 0.
un + vn
2un vn
(vn − un )2
Pour tout n ≥ 0, on a : vn+1 − un+1 =

=
≥ 0.
2
un + vn
2(un + vn )
On en d´eduit que pour tout n ≥ 1, on a l’in´egalit´e : un ≤ vn .
Dans ces conditions, pour tout entier naturel n :
2
1
1
2
un + v n
=
+

(donc un ≤ un+1 ) et vn+1 =
≤ vn .
un+1
un v n
un
2
La suite (un ) est donc croissante, et la suite (vn ) d´ecroissante, `a partir de n = 1.
En utilisant ce qui pr´ec`ede, on trouve : ∀n ≥ 1, u1 ≤ un ≤ vn ≤ v1 .
Ainsi la suite (un ) est croissante major´ee, et la suite (vn ) est d´ecroissante minor´ee.
On en d´eduit que ces deux suites sont convergentes.
Posons ` = lim un et `0 = lim vn .
n→+∞

n→+∞

un + vn
` + `0
on trouve `0 =
donc ` = `0 .
2
2
Conclusion : les deux suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.
Si on passe `a la limite dans l’´egalit´e vn+1 =

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