M EA REE JMF 09 .pdf



Nom original: M-EA-REE-JMF-09.pdf
Auteur: Jean-Michel Ferrard

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´matiques
Exercices de Mathe
Suites extraites
´
Enonc´
es

´
Enonc´
es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soit (un ) une suite dont les suites extraites (an = u2n ) et (bn = u3n ) convergent respectivement
vers ` et `0 . Montrer que ` = `0 .
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
On se donne une suite r´eelle (un ).
On suppose que les suites (u2n ), (u2n+1 ) et (u3n ) sont convergentes.
Montrer que la suite (un ) est convergente.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soit (un ) une suite born´ee ne poss`edant qu’une seule valeur d’adh´erence.
Montrer que cette suite est convergente.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soit (un ) une suite telle que lim(un+1 − un ) = 0.


Prouver que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de (un ) est vide ou est un intervalle ferm´e.
Donner un exemple repr´esentatif de cette deuxi`eme ´eventualit´e.

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´matiques
Exercices de Mathe
Suites extraites
Indications, r´esultats

Indications ou r´
esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tout entier n, consid´erer cn = u6n .
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Consid´erer la suite des u6n et celle des u6n+3 .
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On suppose que (un ) est born´ee et que a est son unique valeur d’adh´erence.
On suppose par l’absurde que la suite (un ) n’est pas convergente, donc pas convergente vers a.
On se donne ε > 0 et on extrait une suite (vn ) de (un ) telle que ∀n ∈ IN, |vn − a| ≥ ε.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– Consid´erer la suite de terme g´en´eral un = ln n.
– On suppose que X 6= ∅, et on se donne deux valeurs d’adh´erence a < b.
Soit c un ´el´ement de ]a, b[, et ε > 0 tel que a + ε < c < b − ε.
On prouve enfin l’existence d’un entier n tel que |c − un | ≤ ε.
– Penser `a des parcours successifs de [0, 1], dans un sens puis dans l’autre, avec un pas qui
diminue `a chaque nouveau parcours.

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Exercices de Mathe
Suites extraites
Corrig´es

Corrig´
es des exercices
´ de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Pour tout entier n, posons cn = u6n .
– On a cn = a3n . La suite (cn ) est donc extraite de la suite (an ).
On en d´eduit que la suite (cn ) est convergente de limite `.
– On a cn = b2n . La suite (cn ) est donc extraite de la suite (bn ).
On en d´eduit que la suite (cn ) est convergente de limite `0 .
– Par unicit´e de la limite, il en d´ecoule ` = `0 .
´ de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Notons `a , `b et `c les limites respectives des suites (an ), (bn ) et (cn ).
La suite de terme g´en´eral xn = u6n = a3n = c2n est extraite de la suite (an ).
La suite (xn ) est donc convergente de limite `a .
Mais la suite (xn ) est ´egalement extraite de la suite (cn ).
Ell est donc convergente de limite `c .
Par unicit´e de la limite, on en d´eduit `a = `c .
De mˆeme, la suite de terme g´en´eral yn = u6n+3 = b3n+1 = c2n+1 est extraite de la suite (bn )
(donc convergente de limite `b ) et extraite de la suite (cn ) (donc convergente de limite `c ).
Par unicit´e de la limite, on en d´eduit `b = `c .
Finalement `a = `b . La suite des termes d’indices pairs et la suite des termes d’indices impairs
de la suite (un ) sont donc convergentes vers la mˆeme limite.
On en d´eduit que la suite (un ) est convergente vers ` = `a = `b .
´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
On suppose que la suite r´eelle (un ) est born´ee et que a est son unique valeur d’adh´erence.
On suppose par l’absurde que la suite (un ) n’est pas convergente, et qu’elle n’est donc pas
convergente vers a, sa seule limite possible.
Alors il existe ε > 0 tel que, pour tout entier N , il existe n ≥ N v´erifiant |un − a| ≥ ε.
On peut donc extraire une suite (vn ) de (un ) de telle mani`ere que : ∀n ∈ IN, |vn − a| ≥ ε.
Tout comme la suite (un ), la suite (vn ) est born´ee.
Elle poss`ede donc une valeur d’adh´erence b, qui v´erifie n´ecessairement |b − a| ≥ ε.
Le r´eel b est alors aussi une valeur d’adh´erence de (un ), distincte de a, ce qui est absurde.
Conclusion : toute suite (un ) born´ee et n’ayant qu’une valeur d’adh´erence a converge vers a.

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Corrig´es

´ de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
– L’exemple de la suite de terme g´en´eral un = ln n (qui tend vers +∞) montre que l’ensemble
X des valeurs d’adh´erence de la suite (un ) peut ˆetre vide.
– On suppose que X est non vide. On va montrer que X est un intervalle.
Pour cela on se donne deux valeurs d’adh´erence a et b de (un ), avec a < b.
Soit c un ´el´ement de ]a, b[. Il faut montrer que c est aussi une valeur d’adh´erence de (un ).
On se donne ε > 0 : il faut montrer qu’il existe un entier n tel que |c − un | ≤ ε. On ne modifie
pas la port´ee de la d´emonstration en supposant que a + ε < c < b − ε.
D’une part il existe un entier N tel que n ≥ N ⇒ |un+1 − un | ≤ ε.
D’autre part, il existe un entier m ≥ N tel que |um − a| ≤ ε et un entier p > m tel que
|up − b| ≤ ε (en effet a et b sont deux valeurs d’adh´erence de la suite (un )).
Compte tenu de l’hypoth`ese sur ε, on a um < c < up .
Notons n l’indice maximum, compris entre m et p, tel que un ≤ c.
Avec cette d´efinition, on a donc un ≤ c < un+1 .
Or |un+1 − un | ≤ ε (car n ≥ m ≥ N ). On en d´eduit |c − un | ≤ ε.
Cela prouve que c est une valeur d’adh´erence de la suite (un ) et ach`eve la d´emonstration.
– On d´efinit la suite un de la mani`ere suivante.
Il s’agit d’effectuer des parcours successifs du segment [0, 1], dans un sens puis dans l’autre,
avec un pas qui diminue `a chaque nouveau parcours.
On pose donc :
u1 = 0, u2 = 1, u3 = 0 (premier “aller-retour”)
1
1
u4 = 0, u5 = , u6 = 1, u7 = , u8 = 0 (deuxi`eme “aller-retour”)
2
2
1
2
2
1
u9 = 0, u10 = , u11 = , u12 = 1, u13 = , u14 = , u15 = 0
3
3
3
3
Soit m ∈ IN∗ . Le m-i`eme “aller-retour”) s’´ecrit, en posant n = m2 (et 0 ≤ k ≤ m) :
1
k
1
un = 0, un+1 = , . . . , un+k = , . . . , un+m−1 = 1 − , un+m = 1,
m
m
m
1
k
1
un+m+1 = 1 − , . . . , un+m+k = 1 − , . . . , un+2m−1 = , un+2m = 0
m
m
m

1
u m = [ n].
Avec cette d´efinition, on voit que |un+1 − un | = , o`
m
On a donc bien lim(un+1 − un ) = 0.


D’autre part, l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite (un ) est le segment [0, 1].
En effet, soit x un r´eel de [0, 1]. Pour tout entier m ≥ 1, x se situe dans un et un seul intervalle

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Suites extraites
Corrig´es

1
[un , un+1 [ avec m2 ≤ n ≤ m2 + m − 1, et alors |x − un | <
qui peut ˆetre rendu inf´erieur `a
m
tout ε > 0 donn´e `a l’avance.

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