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Nom original: Hydrodynamique COURS.pdfTitre: HYDRO-Cours Emm 2012-13Auteur: 569491

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Dynamique des fluides
Biophysique PACES année 2012-2013
Pr. E. Itti, CHU H. Mondor/Paris Est

Plan du cours :
• Hydrostatique
• Dynamique des fluides parfaits
– Théorème de Bernoulli
– Effet Venturi
• Dynamique des fluides visqueux
– Loi de Poiseuille
• Circulation sanguine : hémodynamique

Introduction
Dynamique des fluides

• Objectif : comprendre les phénomènes physiques qui régissent la
circulation sanguine
• Fluides : liquides et gaz (pas de résistance au cisaillement)
• Rhéologie : étude des écoulements liquidiens (Bingham, 1920)

1648

Hydrostatique
Pression dans un fluide au repos
• Pression = force s’exerçant sur une surface
perpendiculairement à elle

F
P=
S

en Pascals (N.m-2)
= force par unité de surface

Éléphant : 6 t réparties sur 4 pieds de 50 cm de ∅
P = (6000 × 9,81)/(4 × 3.14 × 0.252) = 75 kPa

• Poussée d’Archimède
– force égale au poids du fluide déplacé
F = mg

B. Pascal

Hydrostatique
Pression dans un fluide au repos
• Pression hydrostatique = force exercée sur les parois, égale dans
toutes les directions (= pression transmurale)
• Ex: seringue de Pascal

La pression appliquée sur
le piston est transmise
uniformément à tous les
points du liquide

Hydrostatique
Pression dans un fluide au repos
• Transmission de la pression en tout point du fluide
– si la section de l’élévateur est 100 × plus grande, la force exercée est
100 × plus élevée
– par contre, le trajet du petit piston sera 100 × plus grand que celui de
l’élévateur (100 cm pour 1 cm !)

F1 F2
S1 = S2

1644

Hydrostatique
Pression atmosphérique
• Hauteur de la colonne de mercure
dans un tube sous vide (rappel UE3-S1)

en Pascals (N.m-2)

Torricelli

F
P=
= ρgh
S

hauteur
masse volumique
accélération pesanteur

1 atm = 1,013 bar = 1,013.105 Pa = 760 mmHg = 760 Torr = 10,33 mH2O

Hydrostatique
Pression dans un récipient
Les 4 récipients représentés ci-dessous sont remplis d’un liquide de masse
volumique ρ à la même hauteur h.
Les volumes sont dans l’ordre : V1 > V2 > V3 > V4.
Les surfaces des fonds sont dans l’ordre : S1 < S2 < S4 < S3.
h
V1
S1

V2
S2

V3
S3

V4
S4

Exprimer puis classer les pressions hydrostatiques P1, P2, P3, P4 s’exerçant sur le
fond de chaque récipient.

h
V1
S1

V2
S2

V3
S3

V4
S4

P° hydrostatique = pression sur les parois (ici, au fond du récipient)

F
Pabsolue = S + Patm en Pa ou N.m-2
mg ρVg ρShg
m = ρV
Entre la surface et le fond ∆P =
=
=
=
ρgh
V = Sh
S
S
S
→ la pression est indépendante de la surface S
→ elle ne dépend que de la hauteur de liquide h → P1 = P2 = P3 = P4
Pour s’en convaincre, on place des tubes en U au
fond du récipient :
→ quel que soit l’endroit où l’on place le tube
au fond du récipient, le niveau de liquide
reste le même.

Dynamique des fluides
Biophysique PAES année 2010-2011
Pr. E. Itti, CHU H. Mondor/Paris Est

Plan du cours :
• Hydrostatique
• Dynamique des fluides parfaits
– Théorème de Bernoulli
– Effet Venturi
• Dynamique des fluides visqueux
– Loi de Poiseuille
• Circulation sanguine : hémodynamique

Dynamique des fluides parfaits
Caractéristiques de l’écoulement
• Fluides parfaits = non visqueux, dépourvus de frottements
• Régime d’écoulement étudié :
– laminaire (régulier en tout point)
– permanent (indépendant du temps)
• Chaque molécule est indépendante des voisines
• Mouvement de translation sous l’effet des pressions :
– ligne de courant
(tangente au vecteur v )
– tube de courant
v
(section formée par +ieurs lignes)

Dynamique des fluides parfaits
Caractéristiques de l’écoulement
• Le fluide se déplace dans un tube de courant (“tuyau invisible”)
– il ne traverse pas les limites du tube
– il ne se mélange pas avec les autres tubes adjacents

Dynamique des fluides parfaits
Débit dans une canalisation
• Le débit est le volume de fluide dV traversant une section S de la
canalisation par unité de temps dt :

en m3.s-1

dV
Q = dt
Sv dt
= dt
Q = Sv

dV = Sdl
v = dl ⇔ dl = v dt
dt

dV

Dynamique des fluides parfaits
Débit dans une canalisation de section variable
• Équation de continuité :
– en régime permanent, QA = QB ⇔ SAvA = SBvB
B

Q = Sv = cte

A

• Lorsque la section S augmente, la vitesse v diminue

Dynamique des fluides parfaits
Débit dans des ramifications
• Équation de continuité :
– en régime permanent, Q = QA + QB + QC
A

Q = Sv = cte

B

C

• Le débit dans la canalisation mère est égal à la somme des débits
dans les canalisations filles

1738

Théorème de Bernoulli
Énergie totale d’un fluide

Bernoulli

• Principe de conservation de l’énergie :
l’énergie totale du fluide reste constante au cours de l’écoulement
(la constante prend le nom de charge de l’écoulement)

mgh + 1 mv 2 + PV = cte
2
Énergie potentielle

Énergie cinétique

Énergie de pression

Ou encore, en divisant par V avec m = ρV

1
ρgh +
ρv 2 + P = cte
2
P° de pesanteur

P° dynamique

P° hydrostatique

dépend de l’altitude h

dépend de la vitesse v

force exercée sur les parois

Théorème de Bernoulli
Pression totale d’un fluide
• Dans un fluide en mouvement, la pression ne dépend pas
seulement de l’altitude du point considéré mais également de la
vitesse de l’écoulement en ce point :
ρgh1 + 1 ρv12 + P1 = ρgh2 + 1 ρv22 + P2
2
2

∆EP = ∆mg (h2 – h1)
1
∆EC = ∆m (v22 – v12)
2

P1

v1
h1

h2

v2

P2

Théorème de Bernoulli
Conditions de validité
• Pour appliquer Bernoulli, il faut :
– fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
– fluide parfait (non visqueux, sans frottement)
– écoulement laminaire (mvt de translation, sans turbulence)
– écoulement permanent (vitesse constante en chaque point)

Théorème de Bernoulli
Mesure de la pression
• Orientation du capteur :
– si parallèle à l’écoulement → uniquement P° hydrostatique
– si perpendiculaire à l’écoulement → P° hydro + P° dynamique
ρgh + 1 ρv 2 + P = cte
2
P° dynamique
P° de pesanteur P° hydrostatique
s’applique partout

Théorème de Bernoulli
Mesure de la pression
• Démonstration détaillée :
– dans le capteur A :
0
0
1
2
2
=
=
PA – PA’ = ρ (vA’ – vA ) + ρg (hA’ – hA)
2
= ρg (hA’ – hA)

– dans le capteur B :

∆P

A’

0
0
1
2
2
=
=
PB – PB’ = ρ (vB’ – vB ) + ρg (hB’ – hB)
2
= ρg (hB’ – hB)

• On compare PA et PB :

A



P atm
P atm
=
=
PB – PA = ρghB’ – ρghB + PB’ – ρghA’ + ρghA – PA’

PB – PA = ρg (hB’ – hA’)

même altitude

B’

B



Effet Venturi
Rôle de la section sur la pression
• Dans les conditions de validité de Bernoulli :
– si la section de la canalisation (horizontale) est constante
→ h = cte, v = cte, la pression totale est constante
– si la section diminue → v augmente (éq. de continuité) et il se
produit une dépression
1 ρv 2 + P = 1 ρv 2 + P
A
B
2 A
2 B
1
PB – PA = ρ (vA2 – vB2)
2
avec SAvA = SBvB on obtient :
2

S
∆P = 1 ρvA2 (1 – SA )
2
B

∆P

A



B



Effet Venturi
Exemples d’application
• Trompe à eau :
– destinée à faire le vide dans une enceinte
– effet Venturi au niveau du rétrécissement (aspiration de l’air)

aspiration d’air
vitesse

Effet Venturi
Exemples d’application
• Nébuliseur à “effet Venturi” :
– aérosol = suspension de particules liquides dans un gaz
– aérosolthérapie : antibiotiques, corticoïdes, bronchodilatateurs
patient

“Venturi”

air comprimé

Effet Venturi
Plaque d’athérome
• Sténose artérielle :
– dépression puis surpression
– mouvement vibratoire (souffle systolique audible)
Pression

Dynamique des fluides
Biophysique PAES année 2010-2011
Pr. E. Itti, CHU H. Mondor/Paris Est

Plan du cours :
• Hydrostatique
• Dynamique des fluides parfaits
– Théorème de Bernoulli
– Effet Venturi
• Dynamique des fluides visqueux
– Loi de Poiseuille
• Circulation sanguine : hémodynamique

Dynamique des fluides visqueux
Notion de viscosité
• Viscosité :
– fluide réel → frottements avec les parois de la canalisation
– gradient de vitesse entre les différents plans (de 0 à vmax)

plan mobile

y

dv
dy
v = vmax

v=0

plan fixe

x

Dynamique des fluides visqueux
Notion de viscosité
• Viscosité :
– la force qu’il faut exercer sur le plan mobile (de surface S) est
la contrainte de cisaillement :
F
dv
S = η dy
plan mobile

plan fixe

coefficient de viscosité
en kg.m-1.s-1 ou Pa.s

Pour l’eau à 20°C, η = 10-3 Pa.s
Pour la glycérine, η = 0,8 Pa.s
Pour le sang, η = 2 à 5.10-3 Pa.s
(selon l’hématocrite)

Dynamique des fluides visqueux
Écoulement laminaire
• Si on colore la partie axiale d’un liquide qui s’écoule :
– la partie axiale ne se mélange pas avec la partie périphérique
– au contact des parois de la canalisation, la vitesse est nulle
– au centre de la canalisation, la vitesse est maximale
→ profil de vitesse parabolique

v=0

dv
dy

Vitesse moyenne : v = 1 vmax
2
v = vmax

“le liquide se déplace par lames concentriques qui glissent les unes sur les autres”

Dynamique des fluides visqueux
Écoulement turbulent
• S’il existe un obstacle à l’écoulement :
– la vitesse augmente, l’écoulement devient turbulent
– les molécules axiales se mélangent avec les molécules
périphériques → apparition de tourbillons (vortex)
ρv r
Nombre de Reynolds : ℜ = η

Si ℜ < 1200 : laminaire
Si ℜ > 1500 : turbulent
Entre les 2 : imprévisible

N.B. v et r évoluent en sens inverse
r

Q = Sv
Q
v = πr 2

Dynamique des fluides visqueux
Écoulement d’un liquide visqueux
• Le théorème de Bernoulli n’est plus applicable
• Frottements → l’énergie totale diminue
ρgh + 1 ρv 2 + P
2
• ρ, g, h, v sont constantes, on observe une baisse de la pression P

A

B

C

Loi de Poiseuille
Perte de charge
• Pour une canalisation horizontale, cylindrique, de petit diamètre,
l’écoulement étant laminaire
• La différence de pression entre 2 points distants de l vaut :
8ηl Q
= RQ
4
πr

perte de charge: ∆P =
l

A

∆P
B

l

∆P
C

Dynamique des fluides
Conclusion
• Fluides newtoniens :
– fluides pour lesquels la contrainte de cisaillement (F/S) est
proportionnelle au gradient de vitesse
F
dv
= coefficient de viscosité constant (à t° et P° ctes)
=
η
S
dy
• Fluides non newtoniens : tous les autres
– corps plastiques = comportement à seuil (ketchup, dentifrice)
– rhéofluidifiants = η avec dv/dy (peintures, mayonnaise)
– rhéoépaississants = η avec dv/dy (argiles)
F/S
– viscosité variable avec le temps
seuil
n

en
i
n
to
ew

dv/dy

Dynamique des fluides
Biophysique PAES année 2010-2011
Pr. E. Itti, CHU H. Mondor/Paris Est

Plan du cours :
• Hydrostatique
• Dynamique des fluides parfaits
– Théorème de Bernoulli
– Effet Venturi
• Dynamique des fluides visqueux
– Loi de Poiseuille
• Circulation sanguine : hémodynamique

Circulation sanguine
Rappels anatomiques : la pompe cardiaque

Ao
VCS

AP

“Cœur droit”

“Cœur gauche”

OG
OD
VG
VCI
VD

Circulation sanguine
Rappels anatomiques : les deux circulations
Petite circulation
(circulation pulmonaire)

Poumons

Sang désoxygéné
(saturation 70-80%)

Sang oxygéné
(saturation > 95%)

Grande circulation
(circulation systémique)

Organes
périphériques

Circulation sanguine
Rappels anatomiques : les deux circulations
artères

veines
capillaires

Sang désoxygéné
(saturation 70-80%)

Sang oxygéné
(saturation > 95%)

veines

artères
capillaires

Hémodynamique
Section totale/vitesse moyenne

Section totale (cm2)

Vitesse moyenne (cm.s-1)
3000 cm2

1000

50
40

100
10
1

30
20
4 cm2

10
0,5 mm.s-1

s
s
s
s
s
e
te
e
e
e
e
e
v
r
l
l
r
r
n
a
i
i
o
u
c
a
i
e
n
l
r
Ao artè
e
v
il
ei

n
p
r
i
v
a
ca
ve

0

Hémodynamique
Principaux paramètres
• Débit cardiaque :
– volume de sang éjecté par le VG par minute
– adulte au repos : QC = 5 L.min-1 (de 4 à 6)
– la totalité du sang passe à travers l’organisme chaque minute
– exemples de facteurs influençant QC :
effort, stress
troubles du rythme, conduction, hypertrophies (cf. ECG)
• Index cardiaque :
– QC rapporté à la surface corporelle
– permet de comparer des patients de corpulence différente
– IC = 3,5 L.min-1.m-2

Hémodynamique
Répartition du débit cardiaque
100%

Poumons

Cœur droit
Q=5 L.min-1

Cœur gauche
Q=5 L.min-1

Système digestif

20%

Foie
Reins
Cerveau
Peau
Muscles
Os, autres

5%
20%
15%
10%
15%
15%

Hémodynamique
Principaux paramètres
• Pression sanguine :
– pression artérielle moyenne en décubitus = 100 mmHg
– diastolique < 90 mmHg, systolique < 140 mmHg (OMS*)
– pression veineuse proche de 0 mmHg (perte de charge)

P = Q.R
Pression sanguine
Résistances périphériques
Débit cardiaque

• Résistances :
– viscosité sanguine (dépend de l’hématocrite)
– calibre des artérioles (réflexe myogénique) +++
*OMS = organisation mondiale de la santé

Hémodynamique
Perte de charge
• Dans le réseau artériel, P diminue avec le ∅ des vaisseaux
∅ 2 cm

Pression (mmHg)

150

∅ 1 mm

∅ 10 µm

systolique
pression moyenne

100
diastolique

50

0

VG


r
a

s
re
t
ar

s
e
l
o
i
r
é
c

s
e
r
i
a
l
il
p
a

v

s
e
l
u
n
i
e

v

s
e
ein

Hémodynamique
Réflexe myogénique
• La paroi des artérioles contient des cellules musculaires lisses
– vasoconstriction : R donc P (et Q )
– vasodilatation : R donc P (et Q )

d’après Poiseuille, R varie en 1/r4
∆P 8ηl
R= Q = 4
πr
-3
(en Pa.s.m )

Hémodynamique
Règles de sommation des résistances
• Analogie avec la loi d’Ohm (P = QR ⇔ U = RI)
– vaisseaux en série : Rtot = R1 + R2 + R3 +…+ Rn
R1

R2

R3

R4

– vaisseaux en parallèle : 1/Rtot = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 +…+ 1/Rn
R1
R2
R3
R4

Hémodynamique
Modifications de la viscosité
• Plusieurs paramètres imbriqués :
– sérum = newtonien (η = cte)
– sang = suspension d’hématies (η dépend de l’hématocrite)
normale = 45%
anémie ( ) ou polyglobulie ( )
– rouleaux d’hématies au niveau des capillaires (écoulement lent
→ gradient de vitesse faible → cisaillement faible)
η à 37°C

dv/dy faible

dv/dy élevé

20% 40% 60%

hématocrite

F
dv
=
η
S
dy

Hémodynamique
Pressions en position debout
• Le débit cardiaque reste constant
• Mais l’altitude varie → ∆P = ρg.∆h
60 mmHg

∆P (–)
100 mmHg

95 mmHg

100 mmHg

95 mmHg

∆P (+)

180 mmHg

Hémodynamique
Mesure de la pression artérielle


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