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Universit´e Paris Descartes
UFR de Math´ematiques et Informatique
45, rue des Saints-P`eres 75270 Paris cedex 06

´matiques et Calcul 1 (MC1)
Licence 1`ere ann´ee, 2012-2013, Mathe

Feuille de TD n◦ 4 :

erivabilit´
e d’une fonction num´
erique

Exercice 1 Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? D´emontrer chaque assertion correcte et
donner un contre-exemple pour chaque assertion fausse.
(1) Une fonction continue en x0 est d´erivable en x0 .
(2) Une fonction d´erivable en x0 est continue en x0 .
(3) Une fonction d´erivable sur un intervalle I a une d´eriv´ee continue sur I.
(4) Si deux fonctions ont leurs d´eriv´ees ´egales sur un intervalle ouvert, alors elles sont ´egales sur cet intervalle.
(5) Si les nombres d´eriv´es d’une fonction `
a gauche et `a droite existent en un point, alors la fonction est
d´erivable en ce point.
(6) Si une fonction paire est d´erivable, alors sa d´erive est impaire.
Exercice 2

Calculer f 0 (x0 ) en utilisant la d´efinition du nombre d´eriv´e dans chacun des cas suivants :

x
(2) f (x) = x3 + 3x
(3) f (x) =
(1) f (x) = 2 + x
.
x+1

Exercice 3

Calculer, lorsqu’elle est d´efinie, la d´eriv´ee des fonctions suivantes :
(1) f (x) = sin(cos x)

(3) f (x) = 1 + x2 + 2x4

(5) f (x) = tan( 1 − x2 )
(7) f (x) = (1 + x)x

(2) f (x) = exp(2x ln(x))
x+ln(x)
(4) f (x) = x−ln(x)
(6) f (x) =

2

1
exp( x
)−1
1
exp( x
)+1

Exercice 4 Soit n ∈ N∗ . Pour tout x ∈ R, on pose Pn (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn .
(1) Pour tout x 6= 1, donner une expression de Pn (x) sous forme de fraction rationnelle.
(2) En d´eduire une expression sous forme de fraction rationnelle de la somme Sn (x) = 1 + 2x + 3x2 + · · · +
nxn−1 pour tout x 6= 1.
Exercice 5 Calculer la d´eriv´ee n-i`eme des fonctions suivantes :
(1) f (x) = sin(x),
(2) f (x) = xk pour k ∈ N,
(3) f (x) = √1x ,
(4) f (x) =

exp(x)
x .

Exercice 6
(1) D´eterminer si l’application suivante est d´erivable sur R :

(x − 1)2 si x 6 −1,
f (x) =
−4x si x > −1.
(2) D´eterminer les r´eels a et b pour que l’application suivante soit d´erivable sur R :
2
x − x + 1 si x > 2,
f (x) =
(ax + b)2 si x < 2.
Exercice 7 Soit f : R∗ → R la fonction d´efinie par f (x) = x2 sin( x1 ) pour tout x 6= 0. Montrer que f est
prolongeable par continuit´e en 0. On note encore f la fonction prolong´ee. Montrer que f est d´erivable sur R,
mais que f 0 n’est pas continue en 0.
Exercice 8

Calculer les limites suivantes :
exp(x) − 1
x
exp(x) − exp(2)
(3) lim
x→2
x2 + x − 6

ln(1 + sin x)
x
sin(1 + x)
(4) lim 2
x→−1 x − x − 2

(1) lim

(2) lim

x→0

x→0

1

2

Exercice 9

On consid`ere l’application
f : ] − 13 , +∞[ −→
x 7−→

] 23 , +∞[
2x+1
3x+1

(1) Montrer que f est strictement d´ecroissante.
(2) Montrer que f r´ealise une bijection de ] − 13 , +∞[ dans ] 23 , +∞[. D´eterminer sa r´eciproque, not´ee f −1 .
(3) Calculer la d´eriv´ee de f −1 en utilisant la formule de la d´eriv´ee d’une fonction r´eciproque. V´erifier le
r´esultat par le calcul direct de la d´eriv´ee de f −1 .
Exercice 10

Soit f la fonction d´efinie sur R par

0
f (x) =
exp(− x12 )

si
si

x = 0,
x 6= 0.

Justifier que f est de classe C ∞ sur R∗ .
Calculer l’expression des d´eriv´ees d’ordre 1, 2 et 3 de f sur R∗ .
Montrer que f est d´erivable sur R et pr´eciser la valeur de f 0 (0).
(x)
Montrer par r´ecurrence que pour tout n > 1 et tout x 6= 0, f (n) (x) = Pxn3n
exp(− x12 ) o`
u Pn est un
polynˆ
ome dont on pr´ecisera le degr´e et le coefficient dominant.
(5) Montrer que f est de classe C ∞ sur R et calculer f (n) (0) pour tout n ∈ N∗ .
(1)
(2)
(3)
(4)

Exercice 11 Soit g une fonction d´efinie et deux fois d´erivable sur l’intervalle [a, b] telle que g(a) = g(b) = 0.
2g(x0 )
. Montrer qu’il existe α ∈]a, b[ tel que A = g 00 (α). (Indication : on
Soit x0 ∈]a, b[, et on pose A = (x0 −a)(x
0 −b)
pourra ´etudier la fonction g1 d´efinie par g1 (x) = g(x) − A2 (x − a)(x − b).)
Exercice 12 Montrer les encadrements suivants `a l’aide du th´eor`eme des accroissements finis :
(1) sin(x) 6 x pour x > 0,
(2) 1−exp(−x)
< 1 si x > 0.
x
Exercice 13 Le but de l’exercice est d’´etudier la bijection r´eciproque de la fonction tangente.
(1) Montrer que la fonction tan :] − π2 , π2 [→ R est d´erivable et strictement croissante. D´eterminer ses limites
en − π2 et π2 .
(2) En d´eduire que tan r´ealise une bijection de ] − π2 , π2 [ dans R. On note arctan sa bijection r´eciproque.
(3) Calculer la d´eriv´ee de la fonction arctan.
(4) Montrer que, pour tout x non nul,
1
π
arctan(x) + arctan( ) = sgn(x)
x
2

1 si x > 0
avec sgn(x) =
.
−1 si x < 0
Exercice 14 Soient x et y r´eels avec 0 < x < y.
(1) Montrer que

y−x
< y.
ln y − ln x
(2) On consid`ere la fonction f d´efinie sur [0, 1] par
x<

α 7→ f (α) = ln(α x + (1 − α) y) − α ln x − (1 − α) ln y
De l’´etude de f , d´eduire que pour tout α de ]0, 1[,
α ln x + (1 − α) ln y < ln(α x + (1 − α) y).
Interpr´etation g´eom´etrique ?
Exercice 15 Soit f une fonction d´efinie sur ]a, b[ et valeurs r´eelles. D´eterminer si les assertions suivantes
sont vraies ou fausses :
(1) Soit x0 ∈]a, b[ tel que f 0 (x0 ) = 0, alors x0 est un extremum local.
(2) Si f admet un extremum local en x0 , alors f 0 (x0 ) = 0.
Exercice 16 Soit f une fonction de classe C n sur ]a, b[ s’annulant en n + 1 points distincts. Montrer qu’il
existe un point x0 ∈]a, b[ tel que f (n) (x0 ) = 0. (Indication : on proc´edera par r´ecurrence.)


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